TỈ số LƯỢNG GIÁC của góc NHỌN

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. Kiến thức cơ bản
∠ABC = α (00 < α < 900 )
1. Định nghĩa : Cho
ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA
của tam giác ABC vuông tại A như sau:
AC
AB
C
sin α =
;
cos α =
BC
BC
β
AC
AB
tgα =
;
cot gα =
Huyền
AB
AC
Đối
α

A

B

Kề

* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy :

+ tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn luôn dương
1
cot gα =
; tgα .cot gα = 1
tgα
+

+ 0 < sin, cos < 1
2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau.
- Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotg góc kia.
cos α = sin β
sin α = cos β ;

cot gα = tg β
α + β = 900
tgα = cot g β ;
Tức: nếu
thì ta có :
3. Bảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:
α
300
450
600
Tỉ số lượng giác
Sin

1
2

2
2

3
2

Cos

3
2

2
2

1
2

tg

1
3

1

3

Cotg

3

1

1
3

* Nhận xét :
- Dựa vào bảng trên ta thấy:

với

sin α1 < sin α 2 ; tgα1 < tgα 2
00 < α1; α 2 < 900 và α1 < α 2 ⇒ 
cos α1 > cos α 2 ; cot gα1 > cot gα 2

.


Tức là :
+ góc lớn hơn thì có sin lớn hơn, nhưng lại có cosin nhỏ hơn.
+ góc lớn hơn thì có tg lớn hơn, nhưng lại có cotg nhỏ hơn.
00 < α < 900
Hay ta có thể phát biểu :
thì :
+ sin và tg đồng biến với góc

α

.

+ cosin và cotg nghịch biến với góc
4. Các hệ thức cơ bản:
sin
( 1) tg = ;
cos
cos
( 2 ) cotg = ;
sin

α

.

( 3)

tg .cot g = 1;

( 4)

sin 2 + cos 2 = 1

B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tính cos, tg và cotg?
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = 1 − sin 2 α = 1 − 0, 62 = 0,8

+ ta có:
tgα =

sin α 0, 6 3
=

= ;
cos α 0,8 4

cotgα =

cos α 0,8 4
=
=
sin α 0, 6 3

+
Bài 2:
1. Chứng minh rằng:
1
1
a ) tg 2α + 1 =
; b) cotg 2α + 1 =
; c ) cos 4 α − sin 4 α = 2 cos 2 α − 1
2
2
cos α
sin α
2. Áp dụng: tính sin, cos, cotg, biết tg = 2
LG
1. a) ta có:
sin α
sin 2 α
sin 2 α
2
tgα =

⇔ tg 2α =
⇔
tg
α
+
1
=
+1
cos α
cos 2 α
cos 2 α
sin 2 α + cos 2 α
1
2
⇔ tg α + 1 =
=
2
cos α
cos 2 α
VT = cot g 2α + 1 =

cos 2 α
cos 2 α + sin 2 α
1
+
1
=
=
= VP
2

2
sin α
sin α
sin 2 α

b)
c)
VT = cos 4 α − sin 4 α = ( cos 2 α + sin 2 α ) . ( cos 2 α − sin 2 α ) = cos 2 α − sin 2 α

(

)

= cos 2 α − 1 − cos 2 α = cos 2 α − 1 + cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = VP

2. Ta có:


+ tgα = 2 nên ( a ) ⇒ 22 + 1 =

1
1
1
⇔ cos 2 α = ⇔ cos =
;
2
cos α
5
5

1
+ tgα = 2 ⇒ cotgα = ;
2

2

1
1
5
4
2 5
1
+ ( b) ⇒  ÷ +1 =
⇒
= ⇒ sin 2 α = ⇒ sin =
2
2
sin α
sin α 4
5
5
2

Bài 3: Biết tg = 4/3. Tính sin, cos, cotg?
LG
+ ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾
1
9
3
tg 2α + 1 =

⇒ cos 2 α =
⇒ cos α = ;
2
cos α
25
5
+ mà
2

4
 3
sin α + cos α = 1 ⇒ sin α = 1 − co s α = 1 −  ÷ =
5
5
2

+ mặt khác:
Bài 4: Dựng góc
1
a ) sin α = ;
2

2

α

trong các trường hợp sau:
2
b) cos α = ;
3

2

c) tgα = 3;

LG
a)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
- vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2, cung này cắt
Ox tại A.
⇒ ∠BAO = α
- nối A với B
cần dựng
* Chứng minh:
OB 1
sin α = sin ∠BAO =
=
AB 2
- ta có:
đpcm

d ) cot gα = 4

y

B
1

2

α

O

A

x


b)* Cách dựng
y
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
B
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 2.
- vẽ cung tròn tâm A, bán kính bằng 3, cung này cắt
Oy tại B.
3
⇒ ∠BAO = α
- nối A với B
cần dựng
* Chứng minh:
OA 2
cos α = cos ∠BAO =
=
2
O
AB 3
- ta có:
đpcm
c) * Cách dựng:

y
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị.
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 3
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
⇒ ∠OBA = α
cần dựng.
B
* Chứng minh: - thật vậy, ta có:
α
OA 3
1
tgα = tg ∠OBA =
= =3
OB 1
O
3
đpcm
d) * Cách dựng
y
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 4
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
⇒ ∠OAB = α
cần dựng
B
* Chứng minh: - thật vậy, ta có:
OA 4
1
cotgα = cotg ∠OAB =
= =4

OB 1
O
đpcm
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13
a) CMR tam giác ABC vuông.
b) Tìm tỉ số lượng giác của góc A và góc C.
LG
2
2
2
2
2
AB + BC = 12 + 5 = 169 = 13 = AC 2 ⇒ AB 2 + BC 2 = AC 2
a) Ta có:
theo định lý Pytago đảo, suy ra tam giác ABC vuông tại B.
b)

α

x

A

x

A

4

α

A

x


∠A + ∠C = 900 ⇒ ∠A; ∠C
- vì
- do đó:
12
;
13
12
tgA = cot gC = ;
5
sin A = cos C =

A

là 2 góc phụ nhau
13

5
13
5
cot gA = tgC =
12

5

cos A = sin C =

C
B

12