Chương 2 Dòng chảy vòng

Chương 2 Dòng chảy vòng
Chương 2
DÒNG CHẢY VÒNG
2.2. Khái niệm:
Dßng ch¶y xo¾n

Hình 2-1. Sơ đồ dòng chảy vòng.
Trong sông thiên nhiên ta thường gặp dòng chảy vòng: hướng của tầng chảy trên
mặt và dưới đáy ngược chiều nhau. Dòng chảy vòng thường xảy ra ở đoạn sông cong (do
lực ly tâm) hoặc do lực Côriôlít. Ở đoạn sông cong dưới tác dụng của dòng chảy vòng bờ
lõm sẽ bị xói và bờ lồi sẽ bị bồi. Ngoài ra dòng chảy vòng còn do lực Côriôlít sinh ra.
Dòng chảy ở Nam bán cầu và Bắc bán cầu chỉ c
ần hướng chảy không trùng với hướng
của vĩ tuyến mà chảy theo hướng của kinh tuyến thì dưới tác dụng của lực Côriôlít sẽ có
dòng chảy vòng, kết quả là sẽ có 1 bờ bị xói và 1 bờ bị bồi.
2.2. Dòng chảy vòng trong đoạn sông cong
2.2.1. Độ dốc mặt nước theo hướng ngang
Để xác định được phương trình độ dốc mặt nước ta xét cột nước thẳng đứng chịu
tác dụng của các lực theo phương y. Do cột nước ở trạng thái cân bằng theo phương y
nên tổng các lực tác dụng theo phương này sẽ bằng 0.
y
x
R
z
y
z
y
Jy
1
P
1

F
P
2
T
0

Hình vẽ 2-2. Sơ đồ lực tác dụng vào cột nước.
Phương trình cân bằng:
P
1
- P
2
+ F + T = 0 (2- 1)

2-1
Chương 2 Dòng chảy vòng
Trong đó:
T - lực ma sát đáy, ở đây coi như bỏ qua;
P
1
- áp lực nước bên trái;
P
2
- áp lực nước bên phải;
F - lực quán tính ly tâm;
R - bán kính cong;
0
α
- hệ số phân bố lưu tốc.
Các lực được xác định theo công thức:

2
1
2
1
HP
γ
=
(2- 2)
22
2
)(
2
1
)(
2
1
y
IHHHP +=∆+=
γγ
(2- 3)
()
R
u
IHF
bq
y
0
2
2
1

α
ρ
+=

Do cột nước có kích thước ngang bằng đơn vị nên
1=∆y
do đó
H
y
H
I
y
∆=
∆
∆
=
,
thay vào phương trình cân bằng ta có:
0)2(
2
1
)(
2
1
2
1
2
0
22
=+++−

R
u
IHIHH
bq
yy
α
ργγ

0)2(2
2
0
2
22
=++−−−
R
u
JHIHIHH
bq
yyy
α
ργγγγ

Bỏ qua đại lượng vô cùng bé bậc cao
và coi
2
y
J
( )
HIH
y

22 =+
ta được:
0
2
0
=+−
R
u
HHI
bq
y
α
ργ

Suy ra:
Rg
u
R
u
I
bqbq
y
.
2
0
2
0
αα
γ
ρ

==
; (2- 4)
Hệ số
0
α
được xác định như sau:
ξα
du
u
x
bq
∫
=
1
0
2
2
0
1
; thay giá trị theo công thức Nicuratde:
x
u
()
ξξ
d
CK
g
uu
bqx
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++= ln11
; ở đây:
H
z
=
ξ

() ()
∫∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎣
⎡
++=
1
0
2
1
0
2
2
2
0
ln11ln11
1
ξξξξα
d
CK
g
d
CK
g
u
u
bq
bq


2-2
Chương 2 Dòng chảy vòng

()
()
ξξξξ
d
KC
g
CK
g
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+++++=
1
0
2
22
lnln21ln121

22
1
KC
g
+=
(2- 5)

Vậy:
gR
u
KC
g
gR
u
I
bqbq
y
2
22
2
0
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==
α
(2- 6)
u
bq
- vận tốc trung bình của thuỷ trực theo phương dòng chảy.
2.2.2. Phương trình đường mặt nước theo hướng ngang:
z
x

R
1
R
2
R
1
R
R
2
R
z
1
z
z
2

Hình vẽ 2-3. Sơ đồ biến thiên cao trình mặt nước theo bán kính cong.
Áp dụng công thức:
dR
dz
gR
u
I
bq
y
==
2
0
α
(2- 7)

⇒
dR
gR
u
dz
bq
2
0
α
=

⇒
CR
g
u
dR
gR
u
z
bqbq
+==
∫
ln
2
0
2
0
αα

C - hằng số tích phân được xác đinh theo điều kiện biên:

Khi R = R
1
thì z = z
1
⇒
CR
g
u
z
bq
+=
1
2
01
ln
α

⇒
1
2
01
ln R
g
u
zC
bq
α
−=

Vậy:

2-3
Chương 2 Dòng chảy vòng
1
2
01
ln
R
R
g
u
zz
bq
α
+=
(2- 8)
Phương trình trên là phương trình đường mặt nước theo hướng ngang.
2.2.3. Độ chênh mực nước giữa bờ trái và bờ phải:
∫∫
=
2
1
2
1
.
2
0
R
R
bq

z
z
dR
Rg
u
dz
α

⇒
1
2
2
0
ln
R
R
gR
u
z
bq
α
=∆
(2- 9)
Trong đó:
R
1
- bán kính cong của bờ lồi;
R
2
- bán kính cong của bờ lõm.

2.2.4. Sự phân bố lưu tốc dòng chảy vòng trong đoạn sông cong:
Để xác định được sự phân bố lưu tốc hướng ngang theo chiều sâu ta tiến hành như
sau:
- Tính
y
τ
theo phương trình cân bằng lực theo phương ngang (phương y) ta được
mối quan hệ của
y
τ
với ;
bq
u
- Tính
y
τ
theo lý thuyết chảy rối ta được mối quan hệ
y
τ
với .
y
u
Từ đó xác định được mối quan hệ của
với theo phương x.
y
u
bq
u
2.2.4.1. Xác định
y

τ
theo phương trình cân bằng lực theo phương ngang

Hình vẽ 2-4. Sơ đồ lực tác dụng lên phân tố chất lỏng.
Xét một phân tố chất lỏng dạng khối hộp chữ nhật như hình vẽ, xác định các lực bề
mặt tác dụng vào phân tố chất lỏng theo phương ngang:
ABCD:
zxp
y
δδ


2-4
Chương 2 Dòng chảy vòng
EFGH:
zxy
y
p
p
y
y
δδδ
)(
∂
∂
+

BCGF:
yx
y

δδτ

ADHE:
yxz
z
y
y
δδδ
τ
τ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+

Lực ly tâm được xác định theo công thức
ABCDEFGH:
R
u
zyx
x
2
ρδδδ

Do khối chất lỏng ở trạng thái cân bằng nên tổng các lực theo phương ngang phải
bằng 0, thay giá trị của các lực theo các công thức trên ta được phương trình:
0
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
zxy

y
p
pyx
R
u
zyxyxz
z
zxp
y
yy
x
y
yy
δδδδδτ
ρδδδδδδ
τ
τδδ
(2- 10)
0
2
=
∂
∂
−+
∂
∂
⇒ zyx
y
p
R

u
zyxyxz
z
y
x
y
δδδρδδδδδδ
τ

0
2
=
∂
∂
−+
∂
∂
⇒
y
p
R
u
z
y
x
y
ρ
τ
(2- 11)
Xét sự biến thiên của áp suất theo phương y:

()
zzp
y
−
′
=
γ

z' - Cao trình mặt nước.
Lấy đạo hàm theo y ta được:
y
y
I
y
z
y
p
γγ
=
∂
∂
=
∂
∂
'
(2- 12)
Thay vào phương trình (II-10) ta có:
R
u
I

z
x
y
y
2
ργ
τ
−=
∂
∂
(2- 13)
Thay
bằng công thức Nucuratde suy ra:
x
u
()
2
2
ln11
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++−=
∂
∂

⇒
ξργ
τ
CK
g
R
u
I
z
bq
y
y

Do
Hz
ξ
=

()
2
2
ln11
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣

⎡
++−=
∂
∂
ξργ
ξ
τ
CK
g
R
u
I
H
bq
y
y


2-5
Chương 2 Dòng chảy vòng
() ()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++++−=

∂
∂
2
22
2
ln1ln1
2
1
1
ξξ
γ
γ
ξ
τ
KC
g
CK
g
R
u
g
I
H
bq
y
y

⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++++−=
∂
∂
22
22
22
)ln1()ln1(
2
ξ
γ
ξ
γγ
γ
ξ
τ
bq
bqbq
y
y
u
KRC
H
RCKg
Hu
gR

Hu
HI

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
ξξ
γ
2
2
2

2
2
2
2
ln
1
ln1
2
1
K
CK
g
gK
C
g
CK
g
u
RIC
RC
Hu
bq
ybq

Tích phân theo
ξ
ta xác định ứng suất tiếp
y
τ
:

1
2
2
)( CF
RC
Hu
bq
y
+=⇒
ξ
γ
τ
(2- 14)
Trong đó:

()
()
ξξξξ
ξξξξ
ln2ln
1
ln1
2
1
)(
2
2
2
2
2

2
−−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
K
CK
g
gK
C
g
C
CK

g
u
RIC
F
bq
y
(2- 15)
C
1
- hằng số tích phân được xác định như sau:
ξ=1 khi trên mặt nước không có ma sát tức là tại z=H khi đó τ
y
=0.
)1(
2
2
1
)(
=
−=⇒
ξ
ξ
γ
F
RC
Hu
C
bq

[ ]

1
2
2
)()(
=
−=⇒
ξ
ξξ
γ
τ
FFu
RC
H
bqy
(2- 16)
2.2.4.1. Xác định
y
τ
lý thuyết chảy rối
Mặt khác còn gọi là ứng suất tiếp trong chảy rối:
y
τ
ξ
τ
d
du
H
E
dy
du

E
y
y
y
yy
1
==
(2- 17)
Ta chấp nhận giả thiết:
.
xy
EE =
do:
z
u
E
x
x
x
∂
∂
=
τ

z - độ sâu;

2-6