Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

B

GIÁO D
O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

TR N M NH HÙNG

ÁP D NG TH A S

LARGRANGE GI I BÀI TOÁN K T

C U DÀN PH

U KI

B

CT
NT

DO

H UH N

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU

C S K THU T

NG D N KHOA H C

TS. PH

T

H i Phòng, 2017

i


L

Tên tôi là: Tr n M nh Hùng
Sinh ngày: 03/08/1984
n v công tác: Ban qu n lý d án công trình huy n Bình Liêu t nh
Qu ng Ninh.
u c a riêng tôi. Các s
li u, k t qu trong lu

c ai công b trong

b t k công trình nào khác.
H
Tác gi lu

Tr n M nh Hùng

ii


L IC
Tác gi lu

ng bày t lòng bi

Ti n s Ph

t vì nh

s cv

c nh

ng khoa h

iv i

ng ch b o sâu

phân tích n i l c, chuy n v bài toán tuy n tính k t

c u dàn ch u t i tr

a

Ti n s . Ti n s

và cho nhi u ch d n khoa h c

có giá tr

ng viên, t o m

u ki n thu n l

tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu
Tác gi xin chân thành c

c, các chuyên gia trong

i h c Dân l p H
tâm góp ý cho b n lu

ng nghi

, quan

c hoàn thi n

Tác gi xin trân tr ng c
ih

u ki

, giáo viên c a Khoa xây d ng,
ih cu ki n thu n l

i h c Dân l p H i phòng,
tác gi trong quá trình

nghiên c u và hoàn thành lu

Tác gi lu

Tr n M nh Hùng

iii


M CL C
L

............................................................................................. i
.................................................................................................iii

L IC

M C L C....................................................................................................... iv
M

U .......................................................................................................... 1

1. Tính c p thi t c
2. M

tài ............................................................................. 1
u.................................................................................. 2

3. Ph m vi nghiên c u.................................................................................... 2
u ........................................................................... 2
5. B c c c

tài ........................................................................................ 2
NG QUAN V PHÂN TÍCH K T C U DÀN.................... 4

1.1. M t s

i l c và chuy n v cho bài toán k t

c u dàn, khi ch u t i tr

....................................................................... 4
........................................................................ 4
t c t.......................................................................... 5
t c t ph i h p .......................................................... 6
- Gi

Maxwell - Cremona......................... 6

c ................................................................................ 7
n v ..................................................................... 7
[1,7,12]............................................................. 8
1.2. Các cách x

u ki n biên c a k t c u khi gi i b

ph n t h u h n.............................................................................................. 9

1.2.1 Khi biên có thành ph n chuy n v

[1,7] ................. 9

1.2.2 Khi biên có thành ph n chuy n v

c m t giá tr [1,7] ........ 10

1.2.3 Khi biên là g
u ki

i [1]...................................................... 11
c t do .................................................. 11

1.3. M t s nh n xét..................................................................................... 14

iv


NT

H UH NS

D NG TH A S

GI I BÀI TOÁN K T C U DÀN PH
KI

U

C T DO ........................................................................ 15
n t h u h n [1].......................................................... 15
gi

n t h u h n ....... 16

2.1.2 R i r c hóa k t c u .......................................................................... 18
2.1.3 Xây d ng ma tr

c ng c a các ph n t trong h t

2.1.4 Phép chuy n tr c t

riêng.. 28

................................................................... 41

2.1.5 Xây d ng các ma tr

c ng c a ph n t trong h t

chung 46

2.1.6 Cách ghép n i các ph n t ............................................................... 47
2.2 Hàm Largrange [4]................................................................................. 50
2.3 S d ng hàm s

gi i bài toán k t c

b c t do b

n t h u h n............................................. 51

2.4 S d ng ph n m
ki

u ki

t

u

c t do. ................................................................................. 57
M TS

VÍ D

U KI

PHÂN TÍCH K T C U DÀN PH NG CÓ

CT

DO........................................................... 61

3.1 Ví d phân tích k t c u dàn ph

u ki

c t do .... 61

3.2 Ví d phân tích k t c u dàn ph ng có 2

u ki

c t do .... 72

3.3 Ví d phân tích k t c u dàn ph

u ki

c t do và

m

u ki n biên là g

i........................................................ 75

K T LU N VÀ KI N NGH ...................................................................... 79
TÀI LI U THAM KH O ............................................................................ 80

v


M
1. Tính c p thi t c

U

tài
n, vi c gi i các bài toán

có s

n l n là m t v

r

công trình khi xây d
gi

tc u
ng ph

t s gi thuy t nh

gi m n s . Trong nh

công ngh

c phát tri n c a

n t nên vi c gi i các bài toán ph c t p, có

nhi u n s không còn là m t v
tích k t c

ph c t p. D

c xây d ng ngày càng cho phép mô ph

tính toán ph c t

c nhi u

c các mô hình

c tính khác nhau c a v t li u.

Vì v y, k t qu phân tích b ng lý thuy t s g n sát v i s làm vi c th c t c a
k t c u.
M t trong nh
s d

t c u hi

c

phân tích các bài toán k t c

n t h u h n.

nt h uh
h c viên cao h
t h uh

ng K thu t, tuy nhiên tài li u v
c xu t b n t i Vi t Nam

bài toán k t c u có
h n.

ng d y cho các sinh viên,

u ki

u ki

ng

gi i thi u cách gi i

c t do b
c t do

c hi

b c t do theo chuy n v th ng trong h tr c t
biên nào

n

nt h u
u ki n biên làm các
t ng th c a k t c u t i

c nhau.

Nh m có m

c t do b

n v cách gi i bài toán k t c u có
n t h u h n, tác gi l a ch

Áp d ng th a s Largrange gi i bài toán k t c u dàn ph ng có
c t do b

u ki n
tài:

u ki n biên

nt h uh n

1


2. M

ích nghiên c u
Áp d

n t h u h n s d ng hàm s Largrange gi i

c các bài toán k t c
th ng trong h t

u ki n biên làm các b c t do theo chuy n v

t ng th t

c nhau.

3. Ph m vi nghiên c u
tài nghiên c u vi c áp d
d ng hàm s Largrange

n t h u h n và s

gi i bài toán tuy n tính k t c u dàn ph ng

ki n biên làm các b c t do theo chuy n v th ng trong h t
c nhau khi ch u t i tr

u

t ng th t i

t li u làm vi c trong giai

i.
u
Áp d

nt h uh nk th pv

Largrange

pháp th a s

xây d ng l i gi i cho bài toán k t c u dàn, khung ph ng có biên

ph c t p.
5. B c c c

tài

Ngoà

-

:

phân tích
trình bày

chuy

.
gi i bài toán k t c u có

ph n t h u h n s d ng hàm s Largrange
u ki

c t do:

trình bày
ge

2


bài toán
gi i bài toán k t c u có

u ki

c t do

pháp ph n t h u h n.
ki

M t s ví d phân tích k t c u dàn ph ng, khung ph ng có

u

c t do:
kt

c u dàn ph ng, khung ph ng có
.

3


: T NG QUAN V PHÂN TÍCH K T C U DÀN
1.1. M t s

i l c và chuy n v cho bài toán k t

c u dàn, khi ch u t i tr
T n

u c a th k XVII tr v

xây d

ng d

h khác ho c t s

c

truy n bá kinh nghi m t th h này qua th
ng d n c

ph

c xây d

y. Nh ng công trình ho c b ph n

công trình sau khi xây d ng, n u
cho nh

c t n t i thì l

v

xây d ng
r t nguy hi m, vì các công

trình xây d ng m i d a vào kinh nghi
ch c ch

i xây d ng không

c các công trình này có t n t i không, ho c các b ph n c a
mb

d ng và trong th c

t r t nhi u công trình có th b phá ho i ngay trong quá trình xây d ng. Mãi
n gi a th k

i ta m

u l c c a v t li

n nghiên c

n kh

làm các b ph n c a công trình và yêu c u

c các c u ki n c a các công trình này h p lý nh
xây d ng là nh nh

chi phí

m b o yêu c u k t c u không b phá ho i

khi s d ng. Hi

phân tích chuy n v , n i l c c a k t

c u dàn, k t c u khung khi ch u t i tr

có th chia thành m t s nhóm

sau:

ng h
l c c n kh o sát cân b ng là h l

c bi t c

t c t.

ng quy.
kh o sát s cân b ng

N
c at

c tách ra kh i dàn.

Th t áp d ng:
-L

t tách t ng nút ra kh i dàn b ng nh ng m t c t bao quanh nút.
4


- Thay th tác d ng c a các thanh b c t b ng l c d
khi thay th t i m i nút ta có m t h l

ng quy.

- Kh o sát s cân b ng c a t ng nút chúng ta s xây d
h

cm t

ng các nút mà n s c a các h này là l c d c trong các

thanh dàn.
- Cu i cùng ta ch vi c gi i h s

c l c d c trong các thanh dàn.
s d ng tính toán

Ph m vi áp d
c.
tc t
N

tc

:

m t c t qua các thanh tìm n i l c (s l
trình cân b

c l p) và vi

c th c hi n b ng
t không l
ng cho t ng ph n c a dàn.

Th t áp d ng:
- Th c hi n m t c t qua thanh c n tìm n i l c và m t c t chia dàn ra làm
hai ph

c l p.

- Thay th tác d ng c a các thanh b c t b ng các l c d
t l c d c ta gi thi t l c d

-L

ng ra ngoài m t c t

n b ng cho m t ph n dàn b c t (ph n bên ph i

ho c ph n bên trái). T
N u k t qu mang d

n b ng s suy ra n i l c c n tìm.

un il

ng theo chi u gi

c l i n u k t qu mang d u âm thì chi u n i l
chi u gi

ng. Khi

nh, t c
c

nh, t c là nén.

Ph m vi áp d

tc

n ch dùng

5


t c t ph i h p
N
t c t ph i h

c áp d

cm tc t

tính dàn khi không dùng

i m t m t c t, s l

ba. M

tl
tl pm ts

trình cân b ng ch ch a m t s l
thi t l p m
lo i tr

t b ng s

ng trong m i m t c t nói chung ta ch có th
c hai l

t.

B i v y, khi ch có th th c hi n m t c t qua b
l cm
ph

tn i

u ki n là c t qua thanh c n tìm n i l c và chia dàn thành hai
c l p thì ta ph i dùng hai m t c t ph i h p. V i hai m t c t thì ta có

th

c ngay hai n i l

n v y:

- Hai m t c t cùng ph

n tìm n i l c và m i m t c t

ch có th

n tìm n i l c.

- Trong m i m t c t, thi t l p m

ng sao cho các l c

n tìm không tham gia.
t c t ph i h p ch dùng

Ph m vi áp d

- Gi

Maxwell - Cremona

N
a

gi i bài toán. Có th dùng

gi i nhi u bài toán khác nhau c
ph n l c, n i l c cho h
b trên hình v g i là gi
D
giác l c c a h

u ki n c

nh

nh. Cách gi

c trình bày toàn

Maxwell Remona.
h l

ng quy này ph i khép kín. L

c cân b
t áp d

u ki n này

cho t ng nút c a dàn b tách ra theo th t sao cho t i m i nút c a dàn ch có

6

hai n i l

t tr s

ã bi

cn il c

c a t t c các thanh dàn.
ch dùng tính toán cho

Ph m vi áp d

c
N
c áp d ng trong vi c tính toán h dàn siêu
tính toán h

c ti p trên h

h thay th khác cho phép d
h

t

nh n i l c. H thay th này suy ra t

ng cách lo i b t các liên k t th a g i là h
nc a

n. H

c ph i là h b t bi n hình suy ra t h

cho b ng cách lo i b t t c hay m t s liên k t th a. N u lo i b t t c các
liên k t th a thì h

nh còn n u ch lo i b m t s liên k t th a

thì h

b c th

là b t bi

u quan tr ng là h

n ph i

nh n i l c c a các thanh d dàng. Vì v y,
ng h

ng ch n h

m b o cho h

n làm vi c gi ng h

u ki n. Trong h

v iv

nh.
nb

t các l c X1, X2

ng

n

a các liên k t b lo i b . Nh ng l c này liên k t gi vai

trò là n. Thi t l

u ki n chuy n v trong h

ng v i v trí và

a các liên k t b lo i b b ng không.
ng áp d

Ph m vi áp d

gi i

nv
N
nv
trong h

ng (H

nh n i l c
ng là nh ng h khi ch u chuy n v

ng

7


b c, n u ch

u ki

ng h

nh

t t c các chuy n v t i các nút h ). Khác v
pháp chuy n v ta dùng t p h p các bi n d ng
c n tìm. Nh

ng này s

ng

c n u bi t chuy n v t i các nút c a

h

n n là chuy n v c a các nút c a h .

Chính vì l

cg

n v (còn g i

nd
chuy n v t

n v t i các nút, t c là

u thanh ta s

c n i l c.
nv

tính h

c hi n tính toán trên h
b o cho h

ng ta không tính trên h

ng th i b

u ki

m

n làm vi c gi ng h th c.

H

nc

cho b

n v là h suy ra t h

t thêm vào h nh ng liên k t ph nh

n chuy n v

xoay và chuy n v th ng c a các nút trong h (nh ng liên k t ph g m hai
lo i: liên k t mômen và liên k t l c). H
ho c h

ng. N u s liên k

ng thì h

n là h

s b

v Z1, Z

n là h

ng có n liên k
Z

t thêm vào h

ng v i b c th
t thêm, l

Zn v i Zk là chuy n v

t ký hi u các chuy n

ng b c t i liên k t th

Các chuy n v này gi vai trò là n s c
nv
ng.

1.1.7

[1,7,12]
Khi gi i bài toán b
nh t i m t s h u h

c mô t theo m t t p h p s

t vào h .

nv.

Ph m vi áp d
gi

ng

t thêm vào h b ng s b c siêu
ng. N u s liên k

ch
N uh

n có th là h

ng áp d

, nghi m c a bài toán s
m c a v t th
m còn l

c
m

nh b ng cách

8


n i suy. Các p

là

c chia

thành 2 nhóm chính: Nhóm r i r c hóa v m t toán h c
phân h u h n); Nhóm r i r c hóa v mô hình v t th nghiên c u
pháp ph n t h u h

n t

n

chuy
1.2. Các cách x

u ki n biên c a k t c u khi gi i b

ph n t h u h n
n t h u h n là cu

gi

h c:
( 1.1)
mt

u ki

nh

th c c a ma tr
suy bi n. V i bài toán k t c

u này ch

u ki

tho mãn (k t c u ph i b t bi
chuy n v

u ki

c m t s

ng 0 hay b ng m t giá tr

chuy n v nút ph i liên h v

nh ho c m t s
u ki n biên vào,

ng c a toàn h k t c u trong h t
K*

c

*

Trong th c t khi phân tích k t c

chung có d ng:

F*

(1.2)
ng g

u ki n biên sau:

- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v b ng 0.
- Biên làm m t ho c nhi u thành ph n chuy n v có m t giá tr
- Biên là g

nh.

i.

- Biên làm m t s thành ph n chuy n v ràng bu c nhau (

u ki n biên

c t do).
1.2.1 Khi biên có thành ph n chuy n v
Thành ph n chuy n v t i m t nút c a ph n t
các thành ph n chuy n v này là các liên k t v

ng 0 [1,7]
b

ng v i

t, ta x lí b ng cách:
9


-

n v cho toàn b h , nh ng thành ph n chuy n t i
ng 0 thì ghi mã c a chuy n v

c a chuy n v nút theo th t

mã toàn th
n v nút c a toàn h ch bao g m

các chuy n v nút còn l i.
- Khi l p ma tr n K ' e

c a t ng ph n t , các hàng và c t

ng v i s mã chuy n v nút b ng không thì không c n tính. Và khi
thi t l p ma tr

c ng t ng th

i tr ng nút t ng th

nh ng hàng và c t nào có mã b ng 0 thì ta lo i b hàng, c t.
1.2.2 Khi biên có thành ph n chuy n v

c m t giá tr [1,7]

Khi thành ph n chuy n v t i m
nh, thí d
m

m

= a (hay liên k

ch u chuy n v

c m t giá tr xác
ng v i các thành ph n chuy n v nút

ng b c có giá tr b ng a). Lúc này ta có th gi i quy t

bài toán này theo 2 cách:
mã c a b c t do (các thành ph n chuy n v ) t ng

Cách 1:

th k t c u thì thành ph n chuy n v t i nút có chuy n v b ng a ta v
ng ch ng h n mã là m. Sau khi l
th

c ma tr

i tr ng nút t ng th

tr n th

ng

hàng m trong ma tr

s h ng

c ng t ng
trong ma

v i A là m t s vô cùng l n và thay s h ng t i
f m b ng

.

Cách 2: Theo cách th

n v t ng th cho k t

c u nh ng thành ph n nào chuy n v b ng không ho c có chuy n v
b
t t

n chuy n v còn l i
nh

p ma tr

cho toàn b h
chuy n v
khi tính

ng

c

i tr ng tác d ng nút
nv

ng b

ng b c. Lúc này ta coi

t d ng t i tr ng tác d ng lên k t c u, vì v y

i tr ng tác d ng nút lên toàn b h ph i k thêm ph n t i

10


tr ng tác d ng nút do chuy n v
là do chuy n v
tr

ng b

ng b c các liên k t t
}e c a m i ph n t

b c: P

T

e

T
e

do chuy n v

i tr ng nút lúc này

P

c t ng h p t

có liên k t t a chuy n v
nh

e

ng b c g i t a v i d

1.2.3 Khi biên là g

i
ng

c b ng ph n l c liên k t nút
c l i.

i [1]

Khi biên có g i lò xo, thì lúc nà
ch u kéo (nén) v i giá tr

EA
trong ma tr
l

c thay b ng giá tr
t ng th

t ph n t thanh
c ng c a ph n t thanh ch u

c ng c a lò xo k. Ti

nh các ma tr n

mã

c

i tr ng tác d ng

có thêm thanh ch u kéo (nén).
1.2.4 Khi có

u ki

c t do

u ki

c t do (Multi freedom constraints)

làm m t s b c t do theo chuy n v th ng t

c nhau.

Ví d 1.1: Cho k t c u dàn và ch n h tr c t

chung c a h

A(0,0)

4

4m

4m

Hình 1.1 Ví d 1.1

3

C(3,4)

D(5,6)

y'

y'

3m

5

C

D

2

1

3m

x'

1.1:

B(1,2)

B

A

u ki n biên

x'

4m

4m

Hình 1.2 S hi u b c t do và ph n t

Ta th y t i g i A (biên A) không có chuy n v theo c hai p
h tr c t
chung l

c t do trong h t
t là: 0; 0 (hình 1.2) .

T i g i C (biên C) khi h ch u l c thì có chuy n v theo c
trong h t

i nút C có hai b c t

11


th t

. Tuy nhiên, hai b c ( '3 , '4 )

ràng bu c v i nhau cho b

:
tan 300. '3

y biên C

'4

(1.3)

0

c g i là biên có

tr c t

c l p v i nhau mà

u ki

c t do trong h

.

Ví d 1.2: Cho k t c u dàn và ch n h tr c t
B

chung c a h

1.3:

D

C

4m

4m
A

y'

K

H
3m

x'

4m

3m

4m

Hình 1.3 Ví d 1.2
T i g i A (biên A) trong h t

chuy n v

nv

i biên A có ba b c t do và

th
t

. Tuy nhiên, hai b c ( '1 , '2 )

nhau mà ràng bu c v i nhau cho b

cl pv i

:

'1 0, 75. '2

(1.4)

0

c g i là biên có

u ki

c t do trong h

tr c t
(4,5,6)

B
1

4m

y'

4

(7,8,9)
C

5

(10,11,12)
D
3

2

A

(1,2,3)
3m
x'

H

4m

(0,0,0)

(13,14,0)

4m

4m
K

3m

Hình 1.4 S hi u b c t do và ph n t

12


Ta th y t i g i H (biên H) trong h tr c t
chuy n v th ng theo c

chung (x

không có

t c t ngang t i H không xoay
c t do trong h t

chung l

t là:

(0,0,0) (hình 1.4).
Ta th y t i g i K (biên K) trong h tr c t
v th ng theo c

n

t c t ngang t i K không xoay

K

c t do trong h t

chung l

1.4). Tuy nhiên, hai b c ( '13 , '14 )
nhau cho b

i biên

t là: (13,14,0) (hình

c l p v i nhau mà ràng bu c v i

:
'13 0,75. '14

0

c g i là biên có

(1.5)
u ki

c t do trong h

tr c t
Khi gi i bài toán k t c u có
pháp ph n t h u h
khi x lý các

u ki

u ki

c t do b

ng là m t trong nh ng v

n nay

c t do này, các nhà khoa h

u

n chính ph

(Master Slave

có m t s
Method) [14,15];

pháp m r ng s b t l i (Penalty Augmentation

Method) [14,15];

pháp th a s Largrange (Largrange Multiplier

Method ) [14,15].
Tuy nhiên p

n chính ph và p

b t l i khi phân tích bài toán k t c
ph n t h u h
-

ng g p m t s

u ki n ph c t p b
m:

n chính ph

ch áp d

r ng s

n chính ph

ng

n phân tích b ng tay, không áp d ng

c các bài toán có nhi u biên ph c t p t ng quát [15].
-

r ng s b t l

r ng s b t l i k t

qu c a bài toán s ph thu c r t l n vào vi c ch n giá tr c a tr ng s w.

13


Trong m t s

u ki n biên không quá ph c t p thì vi c ch n tr ng

s này có th theo quy t c

t s bài toán ph c t p thì

i ph i th c hi n b
khi v

d n s r t m t th i gian và nhi u
c k t qu phù h p do sai l ch c a s t h p nghi m.

c bi t trong bài toán có nhi u

u ki

c t do thì m

u ki n

biên ph i s lý quá trình l p m t l n và các s hi u phân t
i

c

r t lâu và t n b nh [15].

1.3. M t s nh n xét
pháp th a s Largrange

c m t s tài li

thi u [14,15]

ng t p trung phân tích v m t toán

h cc
nhi

c ngoài gi i

nv
u ki n ràng bu

cc n

n tính, vì v y yêu c u
toán h c nh

Các tài li u v

nh.

nt h uh

thì h

c xu t b n t i Vi t Nam

u nào gi i thi u chi ti t v

Largrange

x lý

u ki

pháp th a s

c t do khi gi i bài toán k t c u b ng

n t h u h n. T

xu

tài nghiên c

d ng th a s Largrange gi i bài toán k t c u dàn ph ng có
t do b

Áp

u ki

c

n t h u h n v i các n i dung ch y

- D a trên nguyên lý d ng th
Largrange trong bài toán quy ho
- Xây d

pháp th a s
xây d

cho bài toán k t c u dàn ph ng có

ng

u ki

c t do.

c cách m r ng ma tr

d ng c a toàn h trong h t
ki

u m t ho c

c

i tr ng tác

chung khi h k t c u có m t ho c nhi u

u

c t do.
- D a trên các lý thuy

s k t c u dàn ph ng ch u t i tr

lu

s ti n hành phân tích m t
u ki

c t do b ng

áp ph n t h u h n k t h p v i s d ng hàm s Largrange .

14

:

N T H U H N S D NG TH A S

LARGRANGE

GI I BÀI TOÁN K T C U DÀN PH NG

CÓ
2.1

U KI

C T DO

n t h u h n [1]
nt h uh n

um tv t

th (k t c u công trình) thì v t th nghiên c
các mi n con (ph n t ). Các ph n t
ng t

c chia thành m t s h u h n
c n i v i nhau t

nh ph n t (th m trí t

m trên biên ph n t ) g i là

y vi c tính toán k t c
ph n t c a k t c

nh

tính toán trên các

t n i các ph n t này l i v

cl i

gi i c a m t k t c u công trình hoàn ch
phân h u h n
thái chuy n v

n nh (ph n t ) và các tr ng
ng chuy n v ), n i l c ( ng su

nh t i

m nút sai phân. S khác bi t gi

u h n và

n t h u h

ai phân h u h

pháp r i r c hóa toán h

c các chuy n v ho c n i l c t i
m n m gi

tuy

nt h uh

v t th

nh b ng n i suy
i r c hóa mô hình

c chuy n v ho c n i l c t i các nút c a ph n

t thì các giá tr chuy n v ho c n i l c c
b ng hàm n i suy (hàm x p x ). Hàm x p x c
h

nh
nt h u

c l p cho toàn b v t th nghiên c u mà hàm x p x ch

l p cho t ng ph n t

c

tính các giá tr chuy n v , n i l

ph n t khi bi t các thông s

i nút ph n t .

15


iv

c v t r n bi n d ng, tu theo cách ch n n s c a

hàm x p x là chuy n v , ng su t mà có th khi phân tích bài toán chia thành
các lo i mô hình sau:
: Khi phân tích k t c u xem các thành ph n
chuy n v t i các nút c a ph n t
di n g

ng c n tìm và hàm n i suy bi u

ng phân b c a chuy n v trong ph n t .

2. Mô hình cân b ng: Khi phân tích k t c u xem các thành ph n ng su t
(n i l c) t i các nút c a ph n t là n s c a bài toán. Hàm n i suy bi u di n
g

ng phân b c a ng su t hay n i l c trong ph n t .
3. Mô hình h n h p: Khi phân tích k t c

và ng su t là 2 y u t

ng chuy n v

c l p riêng bi t. Các hàm x p x bi u di n g

d ng phân b c a c chuy n v l n ng su t trong ph n t .
Trong 3 mô hình v
d

c trình bày

nt h uh

trên, hi

i b ph n khi áp

gi

ng s

d
2.1.1

gi

nt h uh n

gi

n t h u h n có th

c mô t
B

c 1: R i r c hóa k t c u: K t c u c

c r i r c hóa thành

các ph n t liên k t v i nhau t i các nút c a ph n t . Các phân t
s mã theo th t t
t

n t ng s nút (ho c the
t

B

n t ng s ph n t , các nút c a ph n t
c t do c a k t c

n t ng s b c t do c a k t c u theo h t

c

chung.

c 2: Ch n hàm x p x : Hàm x p x (hàm n i suy) là hàm mô t

chuy n v bên trong ph n t , sao cho n u bi

c giá tr c a hàm ho

hàm c a nó t i v trí các nút c a ph n t s

c giá tr hàm ho

ng
o
o hàm

16


c a nó t

m b t k bên trong phân t

ph i là hàm h i t và vi
B

px

o hàm và tích phân c a hàm ph i d dàng.
ng cho ph n t : S d ng nguyên

c 3: Xây d ng ph

lý d ng th

n (ho c m t s nguyên lý bi

h c) s xây d
t

ng cho m i ph n t trong h tr c

riêng c a ph n t :

ó:

- là ma tr

c ng c a ph n t trong h t

tr ng tác d ng c a nút c a ph n t trong h t
c a ph n t trong h t

riêng;

,

,

: là ma tr

chuy n v nút c a ph n t trong h t
B

nh ma tr

c ma tr

-t i

- chuy n v nút

chung có d ng:

c ng, t i tr ng tác d ng c a nút và
chung.
nh

c ng t ng th c a k t c u:

c ng c a t ng ph n t trong h t

n i các ma tr n này l i thành ma tr

chung, ti n hành ghép

c ng t ng th c a k t c u trong h

chung.

B

i tr ng tác d ng nút c a toàn b k t c u:

t i tr ng tác d ng nút c a toàn b k t c

c chi thành hai thành ph n:

i tr ng tác d ng t i nút c a các ph n t
trên các ph n t chuy n v

riêng v h tr c t

i tr ng tác d ng
i tr ng tác d ng

trên các ph n t chuy n v nút ph i chuy

B

riêng;

riêng.

ng trình cân b ng cho ph n t trong h tr c t

t

c ch n sao cho

h tr c t

chung.

nh các thành ph n chuy n v t i các nút c a ph n t : Sau
c ma tr

c ng t ng th c a k t c

i tr ng tác

17


d ng nút c a toàn b k t c u có k
s

u ki n biên, d

c các thành ph

n v c a toàn b

k t c u.
B

nh n i l c ( ng su t) t i các m t c

m) trên k t c u:

c các thành ph n chuy n v t i các nút, d a vào các m i
liên h hình h c và v t lý s
t i các m t c

c các thành ph n n i l c ( ng su t)

m) trên k t c u.

2.1.2 R i r c hóa k t c u
n t h u h n khi phân tích k t c u s

c r i r c hóa

thành h u h n các ph n t liên k t v i nhau t i các nút c a ph n t .
2.1.2.1 Phân lo i ph n t h u h n
Khi chia k t c u thành các ph n t thì v t li u trong ph n t
coi

ng ph i

ng nh t. D a vào hình dáng c a ph n t có th chia ph n t thành

m t s d ng sau: Ph n t thanh th ng; Ph n t thanh cong; Ph n t t m ch
nh t; Ph n t t m tam giác; Ph n t hình chóp; Ph n t hình h p (hình 2.1,
hình 2.2, hình 2.3, hình 2
K

c hình h c và s

ng ph n t ph thu c vào hình d ng hình

h c, tính ch t ch u l c c a k t c u (bài toán ph ng hay không gian, h thanh
hay h t m, v v.v...) và yêu c u v
càng l
ns

chính xác c a bài toán. S

i ph n t càng mau, s
ng b c t do c a toàn h

ng chia
n

c phân tích s

Vì v y tùy thu c vào yêu c u c a k t qu phân tích ho c yêu c u c a bài toán
mà chia s

ng ph n t h p lý.

Các ph n t
ph n t

c liên k t v i nhau t i các nút c a ph n t . Các nút c a

ng n m t i v

nh c a ph n t

trên v trí các biên c a ph n t ho c tr ng tâm c a ph n t

n mc
t

18

v trí nút và s

ng các nút trên biên c a ph n t mà phân bi t ph n t h u

h n thành:
- Ph n t h a h n b c 1 còn g i là ph n t h u h n tuy n tính là ph n t
ch

t

nh c a ph n t (hình 2.1).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Hình 2.1 Ph n t h a h n b c 1

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Hình 2.2 Ph n t h a h n b c 2
- Ph n t h a h n b c 2 là ph n t
t trên biên gi

t

nh c a ph n t (hình 2.2).

- Ph n t h a h n b c 3 là ph n t
t trên biên gi
b)

a)

nh c a ph n t

t

nh c a ph n t

nh c a ph n t (hình 2.3).
c)

d)

Hình 2.3 Ph n t h a h n b c 3
Hi

nt h uh

quan tâm và phát tri n m nh m
nt h uh
v ph n t h u h n khác n

c r t nhi u nhà khoa h c

phân tích các k t c u khác nhau. Vì v y
c chia thành nhi

ng nghiên c u

nt h uh

ng tham

19


s

n t

cú s

(Variable-number-of-

i

n t h u h
n t

n (Discrete Fini

h u h n giỏn
i (Meshless

4 nút
a) Phần tử tam giá c 6 nút

12 nút

b) Phần tử tứ giá c

15 nút

16 nút

c) Phần tử lă ng trụ tam giá c

20 nút

d) Phần tử khối lục diện

Hỡnh 2.4 M t s lo i ph n t
2.1.2.2 B c t do -

8 nút

ng tham s

n v nỳt c a ph n t v c a ton h k t c u

* B c t do:
B c t do c a nỳt l cỏc chuy n v th ng v gúc xoay t i nỳt (khỏc
khụng). B c t do c

c g i l cỏc thnh ph n c

nỳt. T p h p b c t do cỏc nỳt c a ph n t

cg

c a ph n t , t p h p b c t do cỏc nỳt c a ton b k t c
chuy n v nỳt c a c a ton h ký hi u

s

n v nỳt
cg
. Cỏc b c t do

chớnh l cỏc n s c
h n. V

nv

nt h u
th y b c t do c a k t c u h thanh gi

n c a bi toỏn gi i t

nv c

c k t c u II.

c d u c a cỏc thnh ph n chuy n v nỳt:

20