Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều (Luận văn thạc sĩ)

B
TR

NG

GIÁO D C VÀ ÀO T O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

TR

NT

H UH N

I V I BÀI TOÁN D M LIÊN T C CH U
T I TR

PHÂN B

U

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T
NG D N KHOA H C

H i Phòng, 2017

L

u c a riêng tôi. Các s li u, k t
qu trong lu n

là trung th

c ai công b trong b t k

công trình nào khác.
Tác gi lu n

Tr


L IC

Tác gi lu

xin trân tr ng bày t lòng bi t

sâu s c nh t

ng khoa h
sâu s c v
th

ng ch b o

c tr Gauss và nh ng chia s v ki n

c, toán h c uyên bác c a G

và

cho nhi u ch d n khoa h c có giá tr
m

u ki n thu n l

c u hoàn thành lu n

và ngoài

ng viên, t o

tác gi trong su t quá trình h c t p, nghiên
.

Tác gi xin chân thành c

c, các chuyên gia trong

i h c Dân l p H i phòng

tâm góp ý cho b n lu n

, quan

, giáo viên c a Khoa xây d ng,

i h c và
ng nghi p

u ki

c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c
Phòng

iv i

ih cu ki n thu n l

nghiên c u và hoàn thành lu n

i h c Dân l p H i phòng,
tác gi trong quá trình

.
Tác gi lu n

Tr


:

P

có:

và c

hân -

:

.

P

thông qua

theo ba mô hình g m: Mô hình chuy n v , xem
chuy n v

ng c n tìm và hàm n i suy bi u di n g

ng phân

b c a chuy n v trong ph n t ; Mô hình cân b ng, hàm n i suy bi u di n
g

ng phân b c a ng su t hay n i l c trong ph n t và mô hình

h n h p, c

ng chuy n v và ng su t là hai y u t

bi t. Các hàm n i suy bi u di n g

c l p riêng

ng phân b c a c chuy n v l n

ng su t trong ph n t .

Trong

theo mô

.


1.
nay.
2. Trình bày

- Bernoulli

3. Trình bày
.
4.


1.
BÀI TOÁN

C K T C U VÀ
I

Tr

,t

phân,

c tiên trình bày các v

ch trình bày các khái ni

n

toán c c tr có ràng bu c
c n thi t

v phép tính bi n

as

iv

c.

ng v n
gi i thi

c

ck t

ng dùng hi n nay.

1.1. Phép tính bi n phân 1.1.1.
Bi n phân y c a hàm y(x) c a bi

c l p x là m t hàm c

c

nh t i m i giá tr c a x và b ng hi u c a m t hàm m
có y(x):

. y gây ra s

i quan h hàm gi a y và x và

c nh m l n v i s gia y khi có s gia x.
N u cho hàm
bi n phân

c a các hàm

thì s gia c
c vi
(1.1)

N u hàm y(x) và

là kh vi thì

c a

do

c xác

(1.2)
N u cho hàm
c a nó

ng v i các bi n phân

thì gia s
là:

(1.3)


N
o hàm riêng liên t c b c 2 thì s gia c
nh theo (1.3) có th vi t
i d ng chu i Tay-

c xác

(1.4)
ng vô cùng bé b c cao v i
(1.5)
T

ng v i b c m t c a

và

c g i là

bi n phân b c m t c a hàm F có ký hi u F, t ng th
c a chúng và b ng m t n a bi n phân b c hai
1.1.2. C c tr c a phi
y(x)

m b o c c tr

ng v i tích

c a F.

. [ 2,3,12,13]
ng c a phép tính bi n phân là tìm nh
nh sau:

t

(1.6a)
ho c là
(1.6b)
[Phép ánh x
t m i hàm (h
ng v i m

Phi m hàm I có c c ti
yi(x) n u

nt is

nh trên m t t p nào
c g i là phi m hàm].
i v i hàm y(x) ho c h hàm
s gia Z.

(1.7)
i v i t t c các bi n phân

ho c t t c h bi n phân
ki n

th

u


ho c

khi
C

.

a Z khi Z < 0.
tìm c c tr c a(1.6): Gi i tr c ti p trên phi m

hàm ho
ki n c n

m hàm v
m hàm (1.6a) v
phi m hàm có c c tr là:

V i

u

(a)
là bi n phân b c nh

nh theo (1.4):

(b)
Tích phân t ng ph n bi u th c (b) ta s có:

m biên là c

Và do

(c)
nh thì s h ng th nh t c a (c) b ng không

tùy ý cho nên t

u ki n c

phi

t

c c tr là:

(1.8)
cg

a phi m hàm
(1.6a).

Trong m t s tài li
sau:

c suy ra t b


B
nh

: Cho phi m hàm tuy n tính trong không gian D1 (G m các hàm xác
n [x1,x2] liên t c cùng v
o hàm c p 1 c a nó).
N u

V i m i hàm

sao cho

c và a(x) -

y, bài toán tìm c c tr c a phi m hàm(1.6a) d n v gi
trình (1.8) v
u ki
Khi phi m hàm (1.6b) có h hàm yi(i=1..n) c n tìm thì ng v i m i
yi s có m
ng (1.8).
ng h p giá tr c a hàm y t i x1 ho c x2 ho c t i c hai c n x1
và x2
ng h p các
ng) thì ng v i m
ng h p
y,
u ki n biên.
ng h
i d u tích phân ch
o hàm c p cao

(1.9)
thì s d ng bi n phân b c nh t c a F:

(1.10)
s nh

u ki n c n (a) và b ng cách tích phân t ng ph n 2 l n, 3 l
ch
F
yi

d
dx

F
yi '

d2
dx 2

F
yi ''

d3
dx3

F
yi '''

.... 0

(1.11)
H
c gi i v
u ki n biên c a yi và các
n b c (ri-1) c a nó (ri là b
o hàm c a yi).
Các công th c trên có th m r
ng h p hàm nhi u bi
c

l p x i.


Chú ý r
phi

ng v i

ph n ti

u ki

1.1.3. Bài toán c c tr

u ki n c
các
t c c tr
i v i các bài
ng(s th y trong
.

u ki n -

a s Lagrange

t ra là: C n tìm h hàm

V

làm c c tr cho phi m hàm

(a)
u ki n ràng bu c
(V
(b)
n: S hàm c n tìm ; m: s ràng bu c
nh lý sau:

Phi

t c c tr trên h hàm c n tìm

bu c (b) thì h

v

u ki n ràng

n th a mãn h

(c)
V i
Các hàm
(m+n) hàm
ki n biên

c g i là phi m hàm Lagrange m r ng.
c g i là th a s Lagrange. N u bài toán có nghi m thì
nh t
u ki n c n ch

u
.

ch a c

v n dùng

c.
1.1.4.
sai phân h u h n [ 13]
ng c

c ti p trong bài toán bi n phân u h n là xét giá tr c a phi m hàm


Ch ng h n

;

,

Không ph
ng cong có th nh n b t k trong m t bài toán
bi n phân
c, mà ch xét các giá tr c a phi
ng gãy
khúc thi t l p t n
c có
là:

,

, ...,

.

ng g p khúc này, phi m
hàm

tr

thành

hàm

c

c

ng g

nh b

Ta s ch
t

nh

này.

hàm

nh

t c c tr ,

t h

n qua gi i h n khi n
Trong ph
c nghi m c
phi m hàm I
h n,
trong

ng g p khúc, b i

m vi c a m t s
a bài toán bi
c tính g
bài
toán

,

.

.
u ki

a hàm F, ta s nh n
thu n ti
a, giá tr c a
ng g p khúc nêu trên, ch ng
nh t,
thay
tích
phân:

n

b ng t ng tích phân

.

V

i v i phi m hàm
I

ng h

x1
x0

ng g

F y, y ' , x dx

Vì ch có hai s h ng th i và th (i-1) c a t ng này ph thu c vào yi:
và
(i = 1,2,.., n - 1) có d ng:

( i =1,2,..,(n1) )
Hay là:
Hay:
Chuy n qua gi i h n khi n

n hàm y(x) ph i tìm c n th
,
u ki n c
n c a c c tr trong các bài toán bi n

có th nh
phân khác.
N u không th c hi n quá trình quá gi i h n thì t h
có th
nh

c n tìm
ng g p khúc là nghi m g

trình mang tên ông
1.2.

a bài toán bi n phân.
u h
a phép tính bi n phân ).

- Bài

-

ta

1.3. Các p

1.3


1.3

1.3

;
o

1.3.4


chu
1.3.5

NT H UH N

trình bày m t s khái ni
t h uh

nc

ph c v cho vi c xây d

chuy n v cho các d m liên t c ch u t i tr

n
nh n i l c và

p trung

ph n t h u h n
2.1.

nt h uh n
n t h u h n là m

qu

tìm d ng g

am

c bi t có hi u
t trong mi

nh V c a


n t h u h n không tìm d ng x p x c a hàm

c n tìm trên toàn mi n V mà ch trong t ng mi n con

(ph n t ) thu c mi n

t thích h p v i hàng lo t bài toán v t lý
và k thu

nh trên các mi n ph c t p g m

nhi u vùng nh

c tính hình h c, v t lý khác nhau, ch u nh

u ki n

i t tr c quan phân tích k t c u, r
phát bi u m t cách ch t ch và t

c

n phân hay
c x p x trên m i ph n t .

T

n t h u h n chia k t c u công trình thành m t

s h u h n các ph n t . Các ph n t
ng t

c n i v i nhau t

nh ph n t (th m trí t

m trên biên ph n t ) g i là

y vi c tính toán k t c
ph n t c a k t c

nh

tính toán trên các

t n i các ph n t này l i v

cl i

gi i c a m t k t c u công trình hoàn ch
phân h u h

n nh (ph n t ) và các tr ng

thái chuy n v

ng chuy n v

nh t

m nút sai

phân. S khác bi t c

u h n sau

c các chuy n v t i các nút c

m n m gi a

nh b ng n i suy tuy
h

h u

c chuy n v t i các nút c a ph n t

m bên

nh b ng hàm n i suy (hàm d ng).
V

c v t r n bi n d ng, tu

t lí c a hàm

n i suy có th phân tích bài toán theo 3 lo i mô hình sau:
- Mô hình chuy n v : Xem chuy n v
suy bi u di n g

ng c n tìm và hàm n i

ng phân b c a chuy n v trong ph n t .

- Mô hình cân b ng: Hàm n i suy bi u di n g
ng su t hay n i l c trong ph n t .

ng phân b c a


- Mô hình h n h

ng chuy n v và ng su t là 2 y u t

c l p riêng bi t. Các hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a c

chuy n v l n ng su t trong ph n t .
Hi n nay, khi áp d

ph n t h u h

ng s d

gi i các bài toán

n t h u h n theo mô hình chuy n

v

n t h u h n theo mô

hình chuy n v .
2.1.1 N

n t h a h n theo mô hình chuy n v
n t h u h n - mô hình chuy n v , thành ph n

chuy n v
d ng m

ng c n tìm. Chuy n v

c l y x p x trong

n g i là hàm n i suy (hay còn g i là hàm chuy n v ).

Trình t phân tích bài toán theo ph
chuy n v có n

n t h u h n - mô hình

sau:

2.1.1.1. R i r c hoá mi n kh o sát
Mi n kh

ng nghiên c

c chia thành các mi n con hay

còn g i là các ph n t có hình d ng hình h c thích h p. Các ph n t
coi là liên k t v i nhau t i các nút n m t

nh hay biên c a ph n t . S nút

c a ph n t không l y tu ti n mà ph thu c vào hàm chuy n v
Các ph n t

ng có d ng hình h

Hình 2.1 D ng hình h
2.1.1.2. Ch n hàm x p x

c

n (hình 2.1)

n c a ph n t

nh ch n.


M t trong nh

ng c

n t h u h n là x p x

ng c n tìm trong m i mi

u này cho phép ta kh

thay th vi c tìm nghi m v n ph c t p trong toàn mi n V b ng vi c tìm
nghi m t i các nút c a ph n t , còn nghi m trong các ph n t
vi c d a vào hàm x p x

c tìm b ng

n.

Gi thi t hàm x p x (hàm chuy n v
i tho

i v i vi c tính

u ki n h i t

ng ch

id

th c. Bi u di n hàm x p x theo t p h p giá tr các thành ph n chuy n v và
có th c

o hàm c a nó t i các nút c a ph n t . Hàm x p x

c ch

ng

c vì các lý do sau:

-

t t h p tuy n tính c

t ph

c tho mãn yêu c

c thì

c l p tuy

uc a

Ritz, Galerkin.
- Hàm x p x d

ng d tính toán, d thi t l p công th c

khi xây d

a ph n t h u h n và tính toán b ng máy

c bi t là d
- Có kh

o hàm, tích phân.
chính xác b

x (v lý thuy

b cc

cx p

c b c vô cùng s cho nghi m chính xác). Tuy nhiên, khi

th

ng l

c x p x b c th p mà thôi.

T p h p các hàm x p x s xây d ng nên m

ng chuy n v

nh

m t tr ng thái chuy n v duy nh t bên trong ph n t theo các thành ph n
chuy n v nút. T

ng chuy n v s

nh m t tr ng thái bi n d ng,

tr ng thái ng su t duy nh t bên trong ph n t theo các giá tr c a các thành
ph n chuy n v nút c a ph n t .

Khi ch n b c c
tr

cx px c

c x p x c n tho

u ki n h i t

n t h u h n là m

u sau:
u quan
i


mb

c ph n t gi m thì k t qu s h i t

n nghi m chính

xác.
-

cx px

c ch n sao cho không m

ng hình

h c.
- S tham s c

c x p x ph i b ng s b c t do c a ph n t ,

t c là b ng s thành ph n chuy n v nút c a ph n t . Yêu c u này cho kh
c c a hàm x p x theo giá tr
giá tr các thành ph n chuy n v t
2.1.1.3. Xây d
tr

m nút c a ph n t .
ng trong t ng ph n t , thi t l p ma

c ng

i tr ng nút

thi t

(2.1)
Ta có:
(2.2)
[N] -

(2.3)
-

(2.4)

ng c n tìm, t c là theo

c a ph n t th e.


{ } = [D][B]{ }e
(2.5)
e

}e
.
e

We

Ue
e

= Ue - We

(2.6)
We

We trên, thu

(2.7)
Ue

Ue

(2.8)

(2.9)


(2.10)
[K]etích ([B]T

e

(2.11)
{F}e n}e

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

q}e


Thay

e

(2.16)

Suy ra :
(2.17)
-

tr ng nút c a ph n t

-

y n v nút c a ph n t th e xét trong h t

- ma tr

th

e xét trong h to

a
a

c ng c a ph n t th e xét trong h t
ng c a ph n t th e.

2.1.1.4. Ghép n i các ph n t xây d

ng c a toàn

h .

(2.18)
e

e

e

vào


e

(2.19)
'

'

e

=
(2.20)
(ne x1)
e

[H]e
(ne x n) (n x 1)

trong

(2.21)

e

.


(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)
e