BÀI TẬP MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

ĐẠI SỐ

Chuyên đề 1:
MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PT VI PHÂN

Bài 04.01.1.001
1 2 
 4 3
Cho A= 
, B= 

 . So sánh AB, BA.
3
4
2
1





Bài 04.01.1.002
1 2 
a b 
Cho A= 
,
B=


 c d  Với a  c  d , 2c  3d . Chứng minh AB=BA
3 4 



Bài 04.01.1.003
Sử dụng công thức
cos      cos  cos   sin  sin  , sin      sin  cos   sin  cos 

Chứng minh:
cos
 sin 


 sin   cos 
cos   sin 

 sin   cos      sin     


cos    sin     cos     

Bài 04.01.1.004
Lũy thừa của ma trận được tính là A2  AA, A3  AAA, …
0 1
Cho A  
. Tính A2 , A3 , A4 , A100 .

1 1

Bài 04.01.1.005
a b 
e
Cho A= 
,
B=

g
c d 


f
i
,
C=
k
h 


j
l 

Chứng minh  AB  C  A  BC 
MOON.VN – Học để khẳng định mình

1


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.006
a 0 
Chứng minh ma trận giao hoán với A  
 là ma trận đường chéo, a  d .
0
d



Bài 04.01.1.007
Chứng minh  AB    BT  AT 
T

Bài 04.01.1.008
a)Chứng minh kết quả của hai ma trận quay cũng là một ma trận quay.
b)Chứng minh kết quả của hai ma trận nghịch đảo là một ma trận quay.
c)Kết quả của một ma trận nghịch đảo với một ma trận quay?
Bài 04.01.1.009
Tìm ma trận A với A2  I , A không phải là ma trận nghịch đảo.
Bài 04.01.1.010
Giả sử A là một ma trận quay hoặc ma trận nghịch đảo. Chứng minh
AT  A1

Bài 04.01.1.011
Đúng hay sai?
a) det  xA   x det  A 
b) det  A  B   det  A  det  B 

Bài 04.01.1.012
Cho A,B là ma trận vuông thực cấp 2001 thỏa mãn A2001  0 A và
det(B) = 0
AB  A  B . Chứng minh:
Bài 04.01.1.013
Cho A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện A2003  0 . Chứng minh rằng với
mọi nguyên dương n ta luôn có:

rank  A  rank  A  A2  A3  ...  An  (1)

MOON.VN – Học để khẳng định mình

2


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.014 : Tìm a thỏa mãn :
1 3 4   4 3 6  7 12 6 
a
   0 1 1    6 4 2 
2
1

1

 
 



Bài 04.01.1.015 : Tìm a thỏa mãn:
3 1 4 1 2 1 
a  2 0    3 2    1 2

 
 

1 4   0 1   2 6 

Bài 04.01.1.016 : Tìm a, b thỏa mãn:
1 2 
 2 1  1 4 
a

b

 3 1   6 1 
4 1

 


Bài 04.01.1.017
1 0 0 
Cho ma trận A  0 2 0  .
0 2 3

Tìm A2 , A3 , A4 . Tìm dạng tổng quát của An với mọi n nguyên dương.

Bài 04.01.1.018

a
b
Tính định thức D  c
bc
2

b
c
a
ca
2

c
a
b
ab
2

1
1
1
1

Bài 04.01.1.019
2 3
4 2
Tính định thức D 
a b

3 1

MOON.VN – Học để khẳng định mình

4
3
c
4

1
2
d
3

3


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.020
5
4
Tính định thức D 
2
4

a 2
b 4

c 3
d 5

1
3
2
4

Bài 04.01.1.021
1 1 1 1
1 1 1 1
Tính định thức D 
1 1 1 1
1 1 1 1

Bài 04.01.1.022
0
1
Tình định thức D 
1
1

1
0
1
1

1
1
0

1

1
1
1
0

Bài 04.01.1.023
2 5 1
3 7 1
Tình định thức D 
3 9 2
4 6 1

2
4
7
2

Bài 04.01.1.024
3 3 5 8
3 2 4 6
Tình định thức D 
2 5 7 5
4 3 5 6

MOON.VN – Học để khẳng định mình

4

KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.025
3 9 3 6
5 8 2 7
Tình định thức D 
4 5 3 2
7 8 4 5

Bài 04.01.1.026
1
0
Tình định thức D  1
1
1

0
1
2
0
1

1 1 2
1 2 1
1 0 1
1 0 2
1 1 1

Bài 04.01.1.027
0 0 5
0
0 2 0 2
Tình định thức D  1 3 18 6
4 17 9 15
19 20 24 3

0
0
2
2
5

Bài 04.01.1.028
1 2
1 3
Tình định thức D  0 5
0 0
0 0

1
2
3
2
0

4 10
5 3

7 9
3 7
3 15

2
4
7
3

6
9
3
4

Bài 04.01.1.029
7 3
8 9
Tình định thức D 
7 2
5 3

MOON.VN – Học để khẳng định mình

5


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.030
1 2
1 3
Tính định thức D  0 5
0 0
0 0

1
2
3
2
0

4 10
5 3
7 9
3 7
3 15

Bài 04.01.1.031
Tính

a b c
b c a
c a b

trong đó a, b, c là nghiệm của phương trình

x 3  px  q  0

Bài 04.01.1.032
a1  b1
Tính a2  b2
a3  b3

b1  c1
b2  c2
b3  c3

c1  a1
c2  a2
c3  a3

Bài 04.01.1.033
1  a1
a2
a3
a1
1  a2
a3
a2
1  a3
Tính định thức a1

an
an
an

a1

1  an

a2

a3

Bài 04.01.1.034
0 1 1 ... 1
1 0 x ... x
Tính định thức: 1 x 0 ... x
1 x

x ... 0

MOON.VN – Học để khẳng định mình

6


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.035

Tính định thức: Dn 

5 3 0 0 ... 0 0
2 5 3 0 ... 0 0
0 2 5 3 ... 0 0

0 0 0 0 ... 5 3
0 0 0 0 ... 2 5

Bài 04.01.1.036
 2 4 3 1
 1 2 1 4
Tìm hạng của ma trận A  
 0 1 1 3

 1 7 4 4

0
2 
1

5

Bài 04.01.1.037
 0 2 4 
 1 4 5 


Tìm hạng của ma trận A   3 1
7 


0
5

10



2 3
0 


Bài 04.01.1.038
 2 1 3 2 4 
Tìm hạng của ma trận A   4 2 5 1 7 
 2 1 1 8 2 



Bài 04.01.1.039
 1 3 5 1 
 2 1  5 4 

Tìm hạng của ma trận A  
5 1 1 7 


 7 7 9 1 

MOON.VN – Học để khẳng định mình

7


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.040
 2 2 1 5 1 
 1 0 4 2 1 


 2 1 5 2 1 
Tìm hạng của ma trận A  


1

2
2

6
1


 3 1 8 1 1 


1
2

3
7

2




Bài 04.01.1.041
4 
 1 1 2 3
 2 1 1 2
0 

Tìm hạng của ma trận A   1 2 1 1
3 


 1 5 8 5 12 
 3 7 8 9 13 



Bài 04.01.1.042
 3 2 7 8 
 1 0

5

8

Tìm hạng của ma trận A  
 4 2 2 0 



3 7
1 0

Bài 04.01.1.043
3 4 
 1 3
 4 7  2 1 

Tìm hạng của ma trận A  
 3 5 1
0


 2 3 0 1 

Bài 04.01.1.044
1
7
Tìm hạng của ma trận A  
17

3

MOON.VN – Học để khẳng định mình

3
1
1
4

1 6 
3 10 
7 22 

2 10 

8


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.045
 0 1 10 3 
 2 0 4 1 

Tìm hạng của ma trận A  
16 4 52 9 


 8 1 6  7 

Bài 04.01.1.046
3

Biện luận hạng của ma trận A  
1

2

1 1 4
4 10 1 
7 17 3 

2 4 1

Bài 04.01.1.047
3

Biện luận hạng của ma trận A  
1

2

1 1 4
4 10 1 
7 17 3 

2 4 3

Bài 04.01.1.048
4
0
Biện luận hạng của ma trận A  
1

6

1 3

6 10
4 7
 8

3
2 
2

2

Bài 04.01.1.049
 3
0
Biện luận hạng của ma trận A  
1

3

MOON.VN – Học để khẳng định mình

9 14 1 
6 10 2 
4 7 2

 1 2

9


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.050
4
8
Tìm hạng của ma trận: A  
4

8

3
6
3
6

5
7
8
1

1
3
3
5

3
2
5
1

2
3
0
4

5
4

7

1

1
2
4
5

2
1
3
6

1
2
4
7

2
1

3
5

1
3
1
1
2
1

1
1
4
1
3
1

1
1

1

5
4

1

2 3
4 2


2 7

4 6 

Bài 04.01.1.051
3
5
Tìm hạng của ma trận A  
1

7

Bài 04.01.1.052
2
1
Tìm hạng của ma trận: A  
3

5

1
2

4

5

Bài 04.01.1.053
2
1


1
Tìm hạng của ma trận A  
1
1

1

Bài 04.01.1.054
3
a
Tìm hạng của ma trận A  
1

2

MOON.VN – Học để khẳng định mình

1 1 4
4 10 1 

7 17 3

2 4 3

10


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.055
 1 2
 a 1
Tìm hạng của ma trận A  
1 a

1 2

1 1 1 
1 1 1

0 1 1

2 1 1 

Bài 04.01.1.056 : Tìm hạng của ma trận
a
1  a
 a
1 a
A


a
 a

a 
a 




... 1  a 

...
...

Bài 04.01.1.057 : Tìm hạng của ma trận  n  2 
0
1

A  1


1

1 1 ... 1 
0 x ... x 

x 0 ... x 


x x ... 0 

Bài 04.01.1.058 : Tìm hạng của ma trận vuông cấp n
a
b

A  b



 b

b b
a b
b a
b b

... b 
... b 

... b 


... a 

Bài 04.01.1.059 : Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
1 0 3 
A  2 1 1


 3 2 2 

MOON.VN – Học để khẳng định mình

11


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.060: Tìm ma trận nghịch đảo của
1 3 2
A   2 1 3 
3 2 1



Bài 04.01.1.061
 3 4 5 
Tìm ma trận nghịch đảo của A   2 3 1 
 3 5 1



Bài 04.01.1.062
 2 7 3
Tìm ma trận nghịch đảo của A   3 9 4 
1 5 3



Bài 04.01.1.063
2
1 2
Tìm ma trận nghịch đảo của A   2 1 2 
 2 2 1 




Bài 04.01.1.064 : Tìm ma trận nghịch đảo của
 1 1 1 1 
 1 1 1 1 

A
 1 1 1 1 


 1 1 1 1

Bài 04.01.1.065 : Tìm ma trận nghịch đảo của
0 1 1
 1 0 1
A
 1 1 0

 1 1 1

MOON.VN – Học để khẳng định mình

1
1 
1

0

12

KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.066 : Tìm ma trận nghịch đảo của
1
0

A  0


0


1 1 ... 1
1 1 ... 1
0 1 ... 1


0 0 ... 1n n

Bài 04.01.1.067 : Tìm ma trận nghịch đảo của
1
1  a 1
 1 11 1

A 1
1 1 a



 1
1
1








... 1  a 
...
...
...

1
1
1

Bài 04.01.1.068
1 2
3 5
X

Giải phương trình ma trận 

5 9
3 4




Bài 04.01.1.069
 3 2    1 2 
Giải phương trình ma trận X 
   5 6 
5

4

 


Bài 04.01.1.070
 3 1   5 6  14 16 
Giải phương trình ma trận 
X 


 5 2   7 8   9 10 

Bài 04.01.1.071

 7 x1  2 x2  3x3  15

Giải hệ phương trình tuyến tính  5 x1  3x2  2 x3  15
10 x  11x  5 x  36
2
3

 1

MOON.VN – Học để khẳng định mình

13


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.072

 2 x1  x2  2 x3  10

Giải hệ phương trình tuyến tính 3x1  2 x2  2 x3  1
 5 x  4 x  3x  4
2
3
 1
Bài 04.01.1.073

 x1  2 x2  x3  3

Giải hệ phương trình tuyến tính 2 x1  5 x2  4 x3  5
3x  4 x  2 x  12
2
3
 1
Bài 04.01.1.074

 2 x1  x2  3 x3  1

Giải hệ phương trình tuyến tính 5 x1  2 x2  6 x3  5
 3x  x  4 x  7
3
 1 2
Bài 04.01.1.075

 2 x1  x2  2 x3  8

Giải hệ phương trình tuyến tính 3x1  2 x2  4 x3  15
 5x  4 x  x  1
2
3
 1
Bài 04.01.1.076

 x1  2 x2  3 x3  1

Giải hệ phương trình tuyến tính  2 x1  5 x2  8 x3  4
3 x  8 x  13 x  7
2
3
 1
Bài 04.01.1.077
 2 x1  2 x2  x3  x4
 4 x  3x  x  2 x
 1
2

3
4
Giải hệ phương trình tuyến tính 
8 x1  5 x2  3 x3  4 x4
3 x1  3 x2  2 x3  2 x4

MOON.VN – Học để khẳng định mình

4
6
 12
6

14


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.078
2 x1  3x2  11x3  5 x4
 x  x  5x  2 x

1
2
3
4
Giải hệ phương trình tuyến tính 
 2 x1  x2  3x3  2 x4

 x1  x2  3x3  4 x4

2
1
 3
 3

Bài 04.01.1.079

 2 x1  7 x2  3 x3  x4  6

Giải hệ phương trình tuyến tính 3 x1  5 x2  2 x3  2 x4  4
 9x  4x  x  7x  2
2
3
4
 1
Bài 04.01.1.080

3 x1  5 x2  2 x3  4 x4  2

Giải hệ phương trình tuyến tính  7 x1  4 x2  x3  3x4  5
5 x  7 x  4 x  6 x  3
2
3
4
 1
Bài 04.01.1.081
 x1  2 x2  3x3  4 x4
2 x  3 x  4 x  x

 1
2
3
4
Giải hệ phương trình tuyến tính 
3 x1  4 x2  x3  2 x4
4 x1  x2  2 x3  3 x4

 11
 12
 13
 14

Bài 04.01.1.082
 x1  2 x2  3x3  4 x4

x2  x3 + x4

Giải hệ phương trình tuyến tính 
x1  3 x2  3 x4


7 x2  3 x3  x4

4
 3
1
 3

Bài 04.01.1.083

 3x1  4 x2  x3  2 x4  3

Giải hệ phương trình tuyến tính  6 x1  8 x2  2 x3  5 x4  7
9 x  12 x  3x  10 x  13
2
3
4
 1
MOON.VN – Học để khẳng định mình

15


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.084
3 x1  2 x2  5 x3  x4
2 x  3 x  x  5 x
 1
2
3
4
Giải hệ phương trình tuyến tính 
x1  2 x2  4 x4

 x1  x2  4 x3  9 x4

3
 3
 3
 22

Bài 04.01.1.085
 x1  x2  6 x3  4 x4
 3x  x  6 x  4 x
 1 2
3
4
Giải hệ phương trình tuyến tính 
2 x1  3 x2  9 x3  2 x4
 3x1  2 x2  3x3  8 x4

6
2
6
 7

Bài 04.01.1.086 :
2 x1  x2  x3  x4

 x  2x  x  4x

1
2
3
4
Giải hệ phương trình tuyến tính: 

 x1  7 x2  4 x3  11x4
4 x1  8 x2  4 x3  16 x4

1
2
m
 m 1

Bài 04.01.1.087
2 x1  x2  x3  2 x4  3x5

x1  x2  x3  x4  x5

Giải hệ phương trình 
 3x1  x2  x3  3x4  4 x5
 5 x1  2 x3  5 x4  7 x5

3
1
6
9m

Bài 04.01.1.088

mx1  x2  x3  1

Giải và biện luận hệ  x1  mx2  x3  m

2
 x1  x2  mx3  m

Bài 04.01.1.089

mx1  x2  x3  x4  1

Giải và biện luận hệ  x1  mx2  x3  x4  1
 x  x  mx  x  1
3
4
 1 2
MOON.VN – Học để khẳng định mình

16


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.090

2 x1  x3  1


Giải hệ bằng phương pháp Cramer  x1  4 x2  2 x3  7

5 x2  x3  5

Bài 04.01.1.091

 x1  x2  3 x3  6


Giải hệ bằng phương pháp Cramer  4 x2  5 x3  13
 3x  2 x  1
1
3

Bài 04.01.1.092
 x1  4 x2  x3
2 x  3x  5 x
 2
3
4
Giải hệ bằng phương pháp Cramer 
2 x1  x3

 x1  2 x2  3 x4

2
 8
5
0

Bài 04.01.1.093
 x1  3 x3  x4  2
2 x  x  x  0
 1 2
4
Giải hệ bằng phương pháp Cramer 
2 x2  5 x3  2 x4  5
3x 2  x4  4

Bài 04.01.1.094
3x1  2 x2  5 x3  4 x4
 2 x  3x  6 x  8 x
 1
2
3
4
Giải và biện luận 
 x1  6 x2  9 x3  20 x4
 4 x1  x2  4 x3   x4

MOON.VN – Học để khẳng định mình

3
5
 11
2

17


KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017

GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Bài 04.01.1.095
 2 x1  x2  3x3  4 x4
 4 x  2 x  5x  6 x


1
2
3
4
Tìm m để hệ có nghiệm 
 6 x1  3 x2  7 x3  8 x4
mx1  4 x2  9 x3  10 x4

5
7
9
 11

Bài 04.01.1.096
 5 x1  3 x2  2 x3  4 x4
 4 x  2 x  3x  7 x
 1
2
3
4
Giải và biện luận 
 8 x1  6 x2  x3  5 x4
7 x1  3 x2  7 x3  17 x4

3
1
9


Bài 04.01.1.097

3x1  2 x2  5 x3  4 x4
 2 x  3x  6 x  8 x
 1
2
3
4
Giải và biện luận 
 x1  6 x2  9 x3  20 x4
 4 x1  x2  4 x3   x4

MOON.VN – Học để khẳng định mình

3
5
 11
2

18