Quan hệ trên các tập hợp

Quan hệ trên các tập
hợp


Bài 1 a
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

Khi gặp dạng bài này ta cần xét 4 tính chất:
1.Phản xạ
2.Đối xứng
3.Phản xứng
4.Truyền (bắc cầu)


Bài 1 a
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

1. Phản xạ:

Tính chất phản xạ được phát biểu như sau
Nói đơn giản thì phản xạ là tính chất mỗi phần tử đều tự quan hệ với chính nó
Nếu đúng: Lấy từng phần tử trong S và chỉ ra là nó có quan hệ với chính nó
Nếu sai: Chỉ ra một phần tử trong S không có quan hệ với chính nó


Bài 1 a
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

1. Phản xạ:
Không vì nhưng

Do ở đây không có cặp (1,1) nên không có tính phản xạ


Bài 1 a
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

2. Đối xứng
Tính chất đối xứng được phát biểu như sau
Nói đơn giản thì đối xứng là tính chất mỗi cặp phần tử hoặc là không quan hệ hoặc là quan hệ theo cả 2
chiều
Nếu đúng: Lấy từng quan hệ trong tập và chỉ ra là những quan hệ đó cũng có quan hệ theo chiều ngược lại
Nếu sai: Chỉ ra một quan hệ chỉ một chiều trong


Bài 1 a
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

2. Đối xứng
Không vì  nhưng

Ta xét lần lượt các cặp (2,2) và (2,3) thì đều có cặp ngược lại. Nhưng (2,4)
thì không có cặp (4,2) tương ứng vậy nên không có tính đối xứng


Bài 1 a
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

3. Phản xứng

Tính chất phản xứng được phát biểu như sau

Nói đơn giản thì phản xứng là tính chất mỗi cặp phần tử “phân biệt” hoặc là không quan
hệ hoặc là quan hệ theo đúng 1 chiều.
Nếu đúng: Chỉ ra toàn bộ các bộ thỏa điều kiện và sau đó cho thấy
Nếu sai: Chỉ ra một cặp mà và nhưng


Bài 1 a
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

3. Phản xứng
Không vì và nhưng

Bỏ cặp (2,2) vì là quan hệ với chính nó thì cặp tiếp theo (2,3) có cặp (3,2)
tương ứng vậy nên không có tính phản xứng


Bài 1 a
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

4. Truyền (bắc cầu)

Tính chất truyền được phát biểu như sau

Nói đơn giản thì truyền là tính chất mà nếu phần quan hệ với và quan hệ với thì quan hệ với .
Nếu đúng: Liệt kê toàn bộ thỏa điều kiện và từ đó cho thấy
Nếu sai: Chỉ ra một bộ thỏa điều kiện và nhưng


Bài 1 a
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

4. Truyền (bắc cầu)

Sau khi kiểm tra nháp thì ta có thể thấy có tính chất truyền.
Tiếp theo ta sẽ trình bày.


Bài
1
a
 
.

4. Truyền (bắc cầu)
Với ,

Bước 1: liệt kê tất cả các bộ có tính chất và


Bài
1
a
 
.

 4. Truyền (bắc cầu)
Với ,

Mà

Bước 2: cho thấy


Bài
1
a
 
.

 4. Truyền (bắc cầu)
Với ,

Mà
Nên
Vậy có tính truyền

Bước 3: kết luận


Bài 1 b
 Cho là quan hệ trên tập . Hãy xét có những tính chất nào?

1. Phản xạ
Vì là quan hệ trên tập
Mà
Nên có tính phản xạ

có tính phản xạ. Để chỉ ra điều đó, ta chỉ cần liệt kê các phần tử
của và các cặp quan hệ tương ứng

Bài
 . 1 b
 2. Đối xứng
Xét tất cả các cặp có quan hệ

Hay
Vậy có tính đối xứng

có tính đối xứng. Để chỉ ra điều đó, ta chỉ cần liệt kê các quan hệ
và các quan hệ đối xứng tương ứng


Bài
 . 1 b
 3. Phản xứng
Ta có: và
Nhưng
Vậy nên không có tính phản xứng

không phản xứng. Vì ta có lại có


Bài
 . 1 b
4. Truyền (bắc cầu)
Với ,

Mà
Nên

Vậy có tính truyền

Ta làm tương tự bài trước


Bài 2
 
Kiểm
chứng là quan hệ thứ tự trên . Hỏi là thứ tự toàn phần hay bán phần?
Tại sao? Vẽ sơ đồ Hasse cho và tìm, min, max  và các phần tử tối tiểu và tối
đại (nếu có):

Để là quan hệ thứ tự thì cần có 3 tính chất:
1. Phản xạ
2. Phản xứng
3. Truyền


Bài 2
Kiểm
chứng là quan hệ thứ tự trên . Hỏi là thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại sao? Vẽ sơ đồ Hasse
 
cho và tìm, min, max  và các phần tử tối tiểu và tối đại (nếu có):

1. Phản xạ

Xét tính phản xạ


Bài 2

Kiểm
chứng là quan hệ thứ tự trên . Hỏi là thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại sao? Vẽ sơ đồ Hasse
 
cho và tìm, min, max  và các phần tử tối tiểu và tối đại (nếu có):

1. Phản xạ
Với , ta có

Vậy có tính phản xạ

Phản xạ được phát biểu


Bài 2
Kiểm
chứng là quan hệ thứ tự trên . Hỏi là thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại sao? Vẽ sơ đồ Hasse
 
cho và tìm, min, max  và các phần tử tối tiểu và tối đại (nếu có):

2. Phản xứng
Với ,

Không cần
thiết

Sai

Do ta có thể chia thành 2 trường hợp như sau

Trường hợp 1: chẵn

Trường hợp 2: lẻ

Theo giả thiết chẵn, ta có:

Theo giả thiết lẻ, ta có:

Khi đó cũng chẵn. Vậy nên

Khi đó cũng chẵn. Vậy nên

Phản xứng được
phát biểu
Vậy ,
Vậy có tính phản xứng


Bài 2

Kiểm
chứng là quan hệ thứ tự trên . Hỏi là thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại sao?
 
Vẽ sơ đồ Hasse cho và tìm, min, max  và các phần tử tối tiểu và tối đại (nếu có):

3. Truyền

Sai

Với ,

Không cần
thiết

Do ta có thể chia thành 2 trường hợp như sau
Trường hợp 1: lẻ
Theo giả thiết lẻ, ta có:

Trường hợp 2: chẵn
Theo giả thiết chẵn, ta có:
Vậy nên

Vậy nên

Truyền được phát biểu

Vậy ∀�,�,�∈�, � �
ℜ "và" � ℜ
�⇒� �
ℜ
Vậy ℜ
có tính truyền


Bài 2

Kiểm
chứng là quan hệ thứ tự trên . Hỏi là thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại sao?
 
Vẽ sơ đồ Hasse cho và tìm, min, max  và các phần tử tối tiểu và tối đại (nếu có):

Toàn phần hay bán phần?

Quan hệ thứ tự có 2 loại:
1. Toàn phần: Khi đó ta có thêm tính chất
2. Bán phần: Không có tính chất trên


Bài 2

Kiểm
chứng là quan hệ thứ tự trên . Hỏi là thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại sao?
 
Vẽ sơ đồ Hasse cho và tìm, min, max  và các phần tử tối tiểu và tối đại (nếu có):

Toàn phần hay bán phần?
Với ,

Trước khiVậy
làmlàtiếp
quan
phần
hệ sơ
thứđồ
tựHasse
toàn phần
ta sẽtrên
ôn lại một tí.


Sơ đồ Hasse và giá trị min, max

  sơ đồ Hasse như thế nào?
Vẽ
-Sơ đồ Hasse gồm các đỉnh là các phần tử của và các cạnh biểu thị các cặp
phần tử kề nhau. Chiều của cạnh đi từ phần tử nhỏ hơn đến phần tử lớn hơn
Thể nào là 2 phần tử kề nhau?
-Giả sử ta có và không tồn tại ( và ) sao cho thì khi đó đươc gọi là kề nhau.
Và nếu kề thì cũng kề
Ví dụ với và là quan hệ.