Đề thi HSG toán 8 huyện quế sơn

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,5 điểm)
1
x2 − x − 2
2x − 4
a. Cho:
A=
+ 2
−
x − 2 x − 7 x + 10 x − 5
- Thực hiện rút gọn A.
- Tìm x nguyên để A nguyên.
b. Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: (1,5 điểm)
a. Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c.
b. Chứng minh

bc ac ab
+
+
≥ a + b + c với mọi số dương a, b, c.
a
b
c

Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình:

x 2 + 4 x + 6 x 2 + 16 x + 72 x 2 + 8 x + 20 x 2 + 12 x + 42
+
=
+
x+2
x+8
x+4
x+6

Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB
và MF vuông góc với AD.
a. Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM
b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung
điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.
Chứng minh BF = CE.

HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (2,5 điểm)
A=

1
x2 − x − 2

2x − 4
+
−
x − 2 ( x − 5)( x − 2) x − 5

0,25

Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
x − 5 + x 2 − x − 2 − ( 2 x − 4)( x − 2 − x 2 + 8 x − 15
=
( x − 5)( x − 2)
( x − 5)( x − 2)
− ( x − 5)( x − 3) − x + 3
A=
=
( x − 5)( x − 2
x−2
A=

−( x − 2) + 1
1
= −1 +
x−2
x−2
/>A=

0,25
0,25
0,25
1

A nguyên khi và chỉ khi

1
nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
x−2

⇒ x=3, hoặc x=1.
Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2)2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab)2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2)
= 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)]
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]
= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]
= 0 ⇒ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2

Bài 2: (1,5 điểm)
⇔ 2(a2 + b2 + c2)≥ 2(ab + ac + bc)
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc ≥ 0
⇔ (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 ≥ 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2 ≥ 0 …) nên có đpcm
Câu b
⇔

(bc) 2 (ac ) 2 (ab) 2
+

+
≥ a+b+c
abc
abc
abc

Nhân hai vế với số dương abc được:
⇔ (bc) 2 + (ac) 2 + (ab) 2 ≥ a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (bc) 2 + (ac) 2 + (ab) 2 ≥ a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab ⇒
đpcm

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

Bài 3: (1,5 điểm)
( x + 2) 2 + 2 ( x + 8) 2 + 8 ( x + 4) 2 + 4 ( x + 6) 2 + 6
+
=

+
x+2
x+8
x+4
x+6
2
8
4
6
+ x +8 +
= x +4 +
+ x +6 +
⇔x + 2 +
x +2
x +8
x +4
x +6
2
8
4
6
1
4
2
3
+
=
+
+
=

+
⇔
⇔
x+2 x+8 x+4 x+6
x+2 x+8 x+4 x+6
5 x + 16
5 x + 24
=
⇔
( x + 2)( x + 8) ( x + 4)( x + 6)

⇔

⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
⇔ (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)(x2 +10x + 16)
⇔ 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
⇔ 8x2 + 40x = 0
⇔ 8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
2
/>
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

Bài 4: (3,0 điểm)
Câu a: 1,25 điểm
DF = AE ⇒ ∆DFC = ∆AED
⇒ADE = DCF

D

0,25

C

F

M

0,25

⇒ EDC + DCF = EDC + ADE
EDC + ADE = 900 nên DE ⊥ CF
MC = MA (BD là trung trực của AC)
MA = FE nên EF = CM

0,25
0,25
0,25

A

E

Câu b: 1,0 điểm
⇒ ∆MCF =∆FED ⇒ MCF = FED
Từ MCF = FED chứng minh được CM ⊥ EF
Tương tự a) được CE ⊥ BF
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của ∆FEC nên chúng đồng qui.
Câu c: 0,75 điểm
ME + MF = FA + FD là số không đổi.
⇒ ME.MF lớn nhất khi ME = MF
Lúc đó M là trung điểm của BD
Bài 5: (1,5 điểm)
Trong ∆BMF có AD//MF nên:
BF
F = BM
A BA BD
Trong ∆CAD có AD//ME
nên:
E
CE CM
=
CA CD

B
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25

Chia vế theo vế được:
BF CA BM CD
.
=
.
B
DBA CE
M BD CM C
BF CA CD
⇒
.
=
(BM=CM)
BA CE BD
CD AC
=
AD là phân giác nên:
BD AB

0,25
0,25
0,25

Thay vào trên được:
BF CA AC

.
=
BA CE AB
BF
⇒
= 1 ⇒ BF = CE
CE

0,25

/>
3