Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về hệ đếm thập phân ở bậc Tiểu học (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thị Thanh Tuyền

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC
CỦA GIÁO VIÊN VỀ HỆ ĐẾM THẬP PHÂN
Ở BẬC TIỂU HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thị Thanh Tuyền

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC
CỦA GIÁO VIÊN VỀ HỆ ĐẾM THẬP PHÂN
Ở BẬC TIỂU HỌC
Chuyên ngành : Giáo dục học (Giáo dục Tiểu học)
Mã số

: 60 14 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. VŨ NHƢ THƢ HƢƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan, đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dƣới sự hƣớng dẫn
của TS. Vũ Nhƣ Thƣ Hƣơng.
Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, đƣợc thu
thập trong quá trình nghiên cứu và không trùng lặp với các đề tài khác.

Học viên

Võ Thị Thanh Tuyền


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Vũ Nhƣ Thƣ
Hƣơng. Chính cô là ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, động viên tinh thần và giúp đỡ
tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn:
TS. Dƣơng Minh Thành, PGS.TS. Nguyễn Thị Ly Kha, TS. Hoàng Thị
Tuyết, TS. Ngô Thị Phƣơng, TS. Trần Thị Mai, TS. Trần Thị Hƣơng đã nhiệt
tình truyền đạt cho chúng tôi những kiến thức chuyên ngành quý báu.
Ban Giám hiệu trƣờng ĐHSP TP.HCM, Ban chủ nhiệm khoa Giáo dục Tiểu
học và các chuyên viên phòng Sau Đại học đã giúp đỡ, tổ chức tốt lớp học cho
chúng tôi.
Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, tôi cũng nhận đƣợc sự động viên
của gia đình, bạn bè và các thành viên của lớp Cao học Giáo dục Tiểu học K26.
Đó là động lực để tôi tiếp tục phấn đấu và hoàn thành luận văn. Tôi xin gửi đến
họ lòng biết ơn chân thành và những tình cảm tốt đẹp nhất.

Xin cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp và các em học sinh trƣờng Tiểu
học Chánh Mỹ đã tạo điều kiện, hỗ trợ tôi trong hoạt động giảng dạy cũng nhƣ đã
giúp đỡ tôi hoàn thành thực nghiệm cho luận văn này.
Võ Thị Thanh Tuyền


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ....................................................................................... 6
1.1. Hệ đếm - Hệ đếm thập phân theo tiến trình lịch sử .............................................. 6
1.1.1. Phép đếm ....................................................................................................... 6
1.1.2. Hệ ghi số không theo vị trí ............................................................................ 7
1.1.3. Hệ ghi số theo vị trí – Hệ thập phân .............................................................. 8
1.2. Quan sát thực hành dạy học của giáo viên (theo quan điểm didactic toán) ....... 11
Chƣơng 2. HỆ ĐẾM THẬP PHÂN Ở BẬC TIỂU HỌC ......................................... 16
2.1. Phân tích chƣơng trình ....................................................................................... 16
2.1.1. Toán 1 .......................................................................................................... 18
2.1.2. Toán 2 .......................................................................................................... 18
2.1.3. Toán 3 .......................................................................................................... 19
2.2. Phân tích sách giáo khoa .................................................................................... 20
2.2.1. Toán 1 .......................................................................................................... 20
2.2.2. Toán 2 .......................................................................................................... 28
2.2.3. Toán 3 .......................................................................................................... 33

2.3. Kết luận chƣơng 2 .............................................................................................. 42
Chƣơng 3. QUAN SÁT THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN ................ 44
3.1. Thực nghiệm thứ nhất......................................................................................... 44
3.1.1. Giới thiệu thực nghiệm ................................................................................ 44
3.1.2. Phân tích tổ chức sƣ phạm........................................................................... 45
3.2. Thực nghiệm thứ hai........................................................................................... 51


3.2.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 51
3.2.2. Hình thức và đối tƣợng của thực nghiệm ................................................ 51
3.2.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 51
3.2.4. Phân tích tiên nghiệm .............................................................................. 52
3.2.5. Phân tích hậu nghiệm .............................................................................. 56
3.3. Kết luận chƣơng 3 .............................................................................................. 61
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 64
PHỤ LỤC 1 .................................................................................................................. P1
PHỤ LỤC 2 ................................................................................................................ P17


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CHỮ VIẾT TẮT

CHỮ VIẾT ĐẦY ĐỦ

GV

Giáo viên

HS

Học sinh


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Các kiến thức liên quan chủ đề hệ đếm thập phân từ lớp 1 đến lớp 3 .......... 16
Bảng 2.2. Tổng kết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hệ đếm thập phân ...................... 41
Bảng 2.3. Thống kê số lƣợng bài tập liên quan đến hệ đếm thập phân ở lớp 1, 2, 3 .... 42
Bảng 3. 1. Thống kê kết quả ghi nhận đƣợc đối với bài toán thứ nhất ......................... 56
Bảng 3. 2. Thống kê kết quả ghi nhận đƣợc đối với bài toán thứ hai ........................... 59


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc dạy và học về hệ đếm thập phân trong môn Toán ở bậc Tiểu học nhằm giúp
cho học sinh có những hiểu biết ban đầu về hệ ghi số thập phân: Nắm chắc hệ thống 10
kí hiệu để ghi 10 số tự nhiên đầu tiên sau đó mở rộng dần vòng số qua các lớp. Phân
biệt đƣợc số và chữ số. Nắm chắc cấu tạo thập phân của các số, khái niệm hàng, lớp;
mối quan hệ giữa các hàng kế tiếp nhau và tên gọi của các hàng tƣơng ứng (từ hàng
thấp đến hàng cao). Biết cách viết (ghi) các số tự nhiên bằng chữ số. Hiểu và nắm chắc
giá trị của mỗi chữ số tùy thuộc vào vị trí của chúng trong cách viết số và nắm đƣợc
cách đọc các số tự nhiên. Biết thực hiện các phép tính, vận dụng vào giải toán để có
thể học tốt môn Toán trong chƣơng trình Tiểu học, làm nền tảng cho việc học tiếp lên
bậc Trung học cơ sở và giúp các em có thể vận dụng tốt những điều đã học vào cuộc
sống hằng ngày.
Trong thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy xuất hiện một số sai lầm nơi học sinh:
Ví dụ:
- Với yêu cầu “Viết số hai mƣơi bảy” thì học sinh viết là 207;

- Với yêu cầu “Tính: 30 + 5 = ?” thì học sinh trả lời kết quả là 80;
Điều này khiến chúng tôi tự đặt các câu hỏi sau:
- Các sai lầm trên có nguồn gốc từ đâu? Liệu việc dạy học hệ đếm thập phân có
liên quan gì đến sự xuất hiện của các sai lầm này hay không? Còn có những sai lầm
nào khác nữa không?
- Hệ đếm thập phân đƣợc xây dựng, trình bày và giới thiệu trong chƣơng trình,
sách giáo khoa Toán ở bậc Tiểu học nhƣ thế nào? Điều đó có ảnh hƣởng gì đến việc
xuất hiện các sai lầm nơi học sinh không?
- Trong thực hành giảng dạy, giáo viên dạy tri thức này ra sao?
- Học sinh hiểu và vận dụng kiến thức về hệ đếm thập phân trong thực hành giải
toán nhƣ thế nào?


2
Để tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài:
“Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về hệ đếm thập phân ở bậc Tiểu
học”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là: nghiên cứu ảnh hƣởng của thể chế dạy
học lên mối quan hệ cá nhân của giáo viên đối với tri thức hệ đếm thập phân thông qua
thực hành dạy học của giáo viên.
3. Câu hỏi nghiên cứu
Luận văn sẽ trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:
- Hệ đếm thập phân đƣợc xây dựng, trình bày và giới thiệu trong chƣơng trình,
sách giáo khoa Toán ở bậc Tiểu học nhƣ thế nào? Có những ràng buộc nào của thể
chế liên quan đến hệ đếm thập phân? Chúng ảnh hƣởng đến việc tổ chức và thực hành
giảng dạy các tri thức này của giáo viên ra sao?
- Học sinh hiểu và vận dụng kiến thức về hệ đếm thập phân nhƣ thế nào trong
quá trình thực hành giải toán? Các em thƣờng mắc những sai lầm nào? Đâu là nguyên
nhân của các sai lầm đó?

4. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài bao gồm:
- Dự giờ và quan sát thực hành dạy học của giáo viên ở tiết học: “Các số có bốn
chữ số (tiếp theo)” – Toán lớp 3.
- Thu thập và phân tích dữ liệu về những sai lầm của học sinh khi học và làm các
bài tập về hệ đếm thập phân.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để thực hiện các mục tiêu nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi tiến hành các nhiệm vụ
nghiên cứu cụ thể sau:
- Tìm hiểu về lịch sử hình thành hệ đếm thập phân, về Thuyết nhân học trong lý
thuyết của Didactic Toán đƣợc xây dựng bởi Yves Chevallard.
- Nghiên cứu nội dung dạy học số tự nhiên với hệ đếm thập phân trong sách giáo
khoa Toán ở đầu bậc Tiểu học.
- Dự giờ giáo viên: quan sát thực hành của giáo viên (ghi âm, chụp hình…),


3
chỉ ra cách giáo viên tổ chức các hoạt động dạy học nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh
các tri thức toán học liên quan đến hệ đếm thập phân.
- Xây dựng bài kiểm tra dành cho học sinh liên quan đến số tự nhiên với hệ
đếm thập nhằm tìm hiểu ứng xử của học sinh đối với các bài tập về hệ đếm thập phân.
Quan sát, ghi nhận, phân tích những sai lầm của học sinh khi làm các bài tập về hệ
đếm thập phân.
6. Tổng quan các công trình liên quan
Chúng tôi không tìm thấy nghiên cứu của tác giả Việt Nam về những sai lầm,
khó khăn của học sinh khi học về hệ đếm thập phân. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy có
khá nhiều công trình nghiên cứu ở nƣớc ngoài về vấn đề này.
Bednarz và Janvier (1984) đã chỉ ra những khó khăn mà học sinh gặp tiểu học ở
Canada gặp phải khi làm việc với hệ đếm thập phân. Đặc biệt, các em có khó khăn:
« - khó khăn để hiểu các nhóm và vai trò của các nhóm trong các dạng viết quy ước

mặc dù trong dạy học công việc trên các dạng viết chiếm vị trí lớn nhất;
- khó khăn để hiểu sự thích hợp của các nhóm, ngay cả khi học sinh phải thực hiện
việc lập nhóm trong các bài tập được dạy học;
- khó khăn để thao tác với các nhóm, tạo nhóm hay hủy nhóm;
- khó khăn để làm việc đồng thời với hai nhóm khác nhau;
- khó khăn để giải thích các tiến trình tính toán liên quan đến các phép tính (cộng,
trừ, nhân, chia) với các nhóm, điều này dẫn đến các sai lầm cổ điển trên các phép
toán. »

[Bednarz và Janvier (1984). Trích theo Chaachoua Yasmina (2017),
Praxéologie tham chiếu về phương diện thập phân trong kiểu nhiệm vụ đếm
một tập hợp theo mô hình T4tel, Kỉ yếu Hội thảo Quốc tế về Didactic Toán
lần thứ 6, Nxb Đại học Sƣ phạm, tr.194
Bednarz và Janvier (1984) cho rằng nguyên nhân nằm ở những hoạt động đƣợc
tổ chức cho học sinh trong quá trình dạy học. Ví dụ, trong các hoạt động “việc biểu
diễn số theo hàng, tuân thủ thứ tự trong cách viết số theo quy ước”, “việc áp đặt quá
sớm một sự biểu diễn theo thứ tự tất yếu sẽ dẫn trẻ đến chỗ giải thích cách viết bằng
những thuật ngữ phân cắt, thứ tự, vị trí và tách xa khỏi nghĩa thực sự gắn với vị trí


4
theo cách nhóm” [Chaachoua Yasmina, 2016]
Parouty (2005) khi nghiên cứu và phân tích các sai lầm của học sinh cũng khẳng
định khó khăn liên quan đến việc hiểu hệ đếm và tính toán. Việc quan sát các hoạt
động trong lớp học giải thích tại sao học sinh gặp các khó khăn kiểu này. Trên thực tế,
các hoạt động dạy học chủ yếu liên quan đến khía cạnh vị trí của số và do đó học sinh
hiểu phép đếm chủ yếu về phƣơng diện này.
Tempier (2010) cũng nhận thấy những khó khăn nhƣ trên xuất hiện nơi học sinh.
Thông qua nghiên cứu của Liping Ma (1999), ông cũng chỉ ra những ghi nhận tƣơng
tự trong dạy học ở Mỹ. “Qua phỏng vấn nhiều giáo viên ở Mỹ, tác giả này nhận thấy

một số ngƣời đã không huy động kiến thức về hệ đếm để giải thích những kỹ thuật tính
toán trong phép trừ và phép nhân. Thậm chí, khi giải thích, những giáo viên này đã sử
dụng thuật ngữ “place value” (giá trị của các chữ số tùy thuộc vào vị trí của chúng)
không hoàn toàn đúng nhƣ nghĩa của từ. Cụ thể là họ chỉ tập trung vào một từ “place”
trong thuật ngữ. Khi nói về “cột hàng chục” hay “cột hàng trăm”, họ không nhấn mạnh
vào giá trị của chữ số ở cột ấy. Họ sử dụng “hàng chục”, “hàng trăm” chỉ những tên
gọi gán cho các cột ấy mà thôi.
[Tham khảo Tempier (2010)
7. Đối tƣ ng và ph m vi nghiên cứu
Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu hai
đối tƣợng chính cùng với phạm vi tƣơng ứng sau đây:
- Hệ đếm thập phân ở bậc Tiểu học.
- Hoạt động thực hành dạy học của giáo viên về hệ đếm thập phân ở lớp 3.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng kết hợp các phƣơng pháp nghiên cứu sau:
- Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu (chƣơng trình, sách giáo khoa, sách giáo viên
các công trình nghiên cứu khoa học có liên quan để phục vụ cho đề tài…)
- Phƣơng pháp nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên theo quan điểm
didactic Toán.


5
9. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chƣơng, không kể phần mở đầu và kết luận:
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Hệ đếm - Hệ đếm thập phân theo tiến trình lịch sử
1.2. Quan sát thực hành dạy học của giáo viên (theo quan điểm didactic toán)
1.3. Kết luận chƣơng 1
Chƣơng 2: HỆ ĐẾM THẬP PHÂN Ở BẬC TIỂU HỌC
2.1. Phân tích chƣơng trình

2.2. Phân tích sách giáo khoa
2.3. Kết luận chƣơng 2
Chƣơng 3: QUAN SÁT THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN
3.1. Thực nghiệm thứ nhất
3.2. Thực nghiệm thứ hai
3.3. Kết luận chƣơng 3


6

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày vài điểm chính về lịch sử hình thành các hệ
đếm. Đặc biệt, chúng tôi tập trung vào hệ đếm thập phân và
1.1. Hệ đếm - Hệ đếm thập phân theo tiến trình lịch sử
1.1.1. Phép đếm
Theo tác giả Dƣơng Hữu Tòng1, thì ngƣời tiền sử có thể phân biệt trong tự
nhiên giữa một cái cây và một rừng cây, giữa một con cừu và một đàn cừu, giữa một
con chó sói và một bầy chó sói,… nghĩa là phân biệt giữa nhiều hơn và ít hơn. Có thể
nói, con ngƣời nhận thức đƣợc số lƣợng của sự vật bằng cách so sánh. Để nhận biết
đƣợc số lƣợng của một tập hợp các “vật” nào đó, ta so sánh nó với một tập hợp mà ta
đã biết rõ số lƣợng. Tập hợp này đƣợc gọi là tập hợp chuẩn. Để so sánh ta cho tƣơng
ứng mỗi vật của tập hợp đang xét với một vật xác định của tập hợp chuẩn, sao cho hai
vật khác nhau đƣợc ứng với hai vật phân biệt của tập hợp chuẩn... Có thể nói phép
đếm chính là việc thiết lập sự tƣơng ứng một - một của các tập hợp vật thể khác nhau
mà tác giả Nguyễn Phú Lộc nhận định: “Có lẽ phép đếm sớm nhất là phương pháp đối
chiếu theo nguyên tắc tương ứng một – một” [18, tr.13]. Nhƣ vậy, do nhu cầu cần nhận

biết về số lƣợng của sự vật (đếm số lƣợng thú săn đƣợc, số quả hái đƣợc, số ngƣời của
bộ tộc mình,…) mà phép đếm đƣợc hình thành.
Bên cạnh đó, nhu cầu nhóm các phần tử lại với nhau để tiện ghi nhận đã làm

nảy sinh hệ thống đếm tự nhiên và phổ biến là phép đếm ứng với các ngón tay của một
bàn tay (nhóm 5 phần tử lại với nhau), hoặc ứng với các ngón tay của hai bàn tay
(nhóm 10 phần tử lại với nhau), hoặc ứng với các ngón tay và ngón chân (nhóm 20
phần tử lại với nhau).
Sau đó nhu cầu biểu thị một số lƣợng lớn dẫn đến nhu cầu nảy sinh các kí hiệu
ghi số. Lịch sử ghi nhận đƣợc nhiều hệ ghi số khác nhau.

1

Dƣơng Hữu Tòng (2008), Khái niệm số tự nhiên trong dạy học Toán ở bậc Tiểu học, luận văn thạc sĩ.


7
Sau đây chúng tôi sẽ trình bày một số hệ ghi số2 theo hai tiêu chí: hệ ghi số
không theo vị trí và hệ ghi số theo vị trí.
1.1.2. Hệ ghi số không theo vị trí
Hệ ghi số không theo vị trí là hệ ghi số mà trong đó giá trị của chữ số không phụ
thuộc vào vị trí của nó trong số đó.
a) Hệ ghi số Ai Cập
Từ khoảng 3400 năm trƣớc Công nguyên, ngƣời Ai Cập đã biết dùng phép đếm
lấy 10 làm cơ sở để hình thành nên một hệ thống ghi số. Hệ thống này gồm bảy kí hiệu
tƣợng hình với giá trị tƣơng ứng nhƣ sau:
Kí hiệu ghi số Ai Cập
Số Ả Rập tương ứng

1

10

100 1000 10000 100000 1000000

[13, tr.41]
Các số đƣợc ghi theo nguyên tắc cộng tính: giá trị của số bằng tổng giá trị các kí
hiệu có mặt trong số đó.
Ví dụ:
= 1000000 + 100000 + 10000 + 10000 + 10 + 1 + 1
= 1120012
[13, tr.41]
b) Hệ ghi số La Mã
Chữ số La Mã có một lịch sử lâu dài và vẫn còn đƣợc sử dụng cho đến ngày nay.
Số La Mã hay chữ số La Mã là một hệ thống chữ số có nguồn gốc từ Roma cổ đại, dựa
theo chữ số Etruria. Ngƣời La Mã dùng bảy kí kiệu sau để ghi số:
Kí hiệu ghi số La Mã

I

V

X

L

C

D

M

Số Ả Rập tương ứng

1

5

10

50

100

500

1000

[13, tr.43]
Các số trong hệ ghi số La Mã cũng đƣợc ghi theo nguyên tắc cộng.

2

Nguồn tham khảo : Lịch sử Toán học của tác giả Nguyễn Cang và Cơ sở số học của tác giả Nguyễn Tiến Tài.


8
Ví dụ:
MDCLXVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 1666;
DCCCXXV = 500 + 300 + 20 + 5 = 825

[13, tr.43]
Để tránh việc một kí hiệu bị lặp lại quá nhiều lần khi viết, ngƣời ta quy ƣớc nhƣ sau:
IV = 5 – 1 = 4

thay vì viết IIII;

IX = 10 – 1 = 9

thay vì viết VIIII;

XL = 50 – 10 = 40

thay vì viết XXXX;

XC = 100 – 10 = 90

thay vì viết LXXXX;

CD = 500 – 100 = 400

thay vì viết CCCC;

CM = 1000 – 100 = 900

thay vì viết DCCCC.

[13, tr.43]
So với cách viết số của các hệ ghi số khác thì hệ ghi số La Mã có quy tắc viết
khắt khe hơn và gây nhiều trở ngại khi thực hiện tính toán.
1.1.3. Hệ ghi số theo vị trí – Hệ thập phân
a) Hệ ghi số Babilon
Hệ thống ghi số Babilon ra đời trong cùng khoảng thời gian với sự ra đời của hệ
thống ghi số Ai Cập cổ đại. Ngƣời Babilon ghi số theo hệ cơ số 60 và chỉ sử dụng hai

kí hiệu sau:
Kí hiệu ghi số Babilon



<

Số Ả Rập tương ứng

1

10

[13, tr.41]
Các số từ 1 đến 59 đƣợc ghi theo nguyên tắc cộng tính.
Ví dụ:
<<<  = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 = 32.

[13, tr.41]
Các số từ 60 trở lên đƣợc viết theo từng hàng, giữa các hàng có một khoảng cách.
Tính từ phải sang trái, mỗi kí hiệu ở hàng sau có giá trị bằng 60 lần giá trị của nó ở
hàng trƣớc đó. Giá trị của mỗi hàng vẫn tính theo nguyên tắc cộng tính.
Ví dụ:
<<  <  = 21.60 + 11 = 1271


9
 <  <<<  = 1.602 + 11.60 + 32 = 4292

[13, tr.41-42]

Điểm nổi bật trong hệ ghi số Babilon là ghi giá trị theo vị trí. Tuy các số đƣợc
viết theo từng hàng nhƣng lại chƣa có kí hiệu quy ƣớc nào để chỉ một hàng cụ thể do
đó có thể gây nhẫm lẫn khi đọc số. Chẳng hạn, khi viết  có thể hiểu là 1 nhƣng cũng
có thể hiểu là 1.60 = 60.
b) Hệ ghi số Maya
Nền văn minh Maya đƣợc hình thành và phát triển bởi ngƣời Maya – một bộ tộc
thổ dân sống ở miền trung châu Mĩ (khu vực nƣớc Goa-tê-ma-la Hon-du-rát hiện nay).
Đây là nền văn minh cổ xƣa của nhân loại. Theo lịch của ngƣời Maya thì một năm có
18 tháng, mỗi tháng có 20 ngày (tháng cuối có thêm 5 ngày). Cách ghi số của ngƣời
Maya cũng tƣơng ứng với cách tính lịch của họ. Hệ ghi số này ghi theo hệ cơ số 20 và
sử dụng 3 kí hiệu với các giá trị tƣơng ứng nhƣ sau:
Kí hiệu ghi số Maya

•

—

Số Ả Rập tương ứng

1

5

Kí hiệu

biểu thị không có gì.

[13, tr.42]
Các số từ 1 đến 19 đƣợc ghi theo nguyên tắc cộng tính.

[13, tr.42]
Các số tiếp theo đƣợc ghi theo hệ cơ số 20 nhƣng các hàng đƣợc ghi theo chiều
dọc.
Ví dụ:
•
+

[13, tr.42]

1.20
+
0.1
20

+

11.20
+

7.1
227


10
Theo logic thì hàng thứ ba từ dƣới lên có giá trị là 202, hàng thứ tƣ là 203…
nhƣng trong cách ghi số của ngƣời Maya thì hàng thứ ba có giá trị là 20, hàng thứ tƣ là
202,…
Ví dụ:
6.360
0.20

8.1
2168

••

2.360
10.20
6.1
926

[13, tr.43]
Cách ghi số trong hệ ghi số Maya có nét tƣơng đồng với cách ghi số trong hệ ghi
số Babilon ở chỗ các số đƣợc ghi thành hàng nghĩa là số có giá trị theo vị trí. Nhƣng
cách ghi số của ngƣời Maya khác với cách ghi số của ngƣời Ai Cập cổ đại và ngƣời
Babilon ở chỗ ngƣời Ai Cập cổ đại và ngƣời Babilon ghi số theo hàng ngang còn
ngƣời Maya ghi số theo hàng dọc và một điểm nổi bật của hệ ghi số này so với hệ ghi
số của các nền văn minh đƣơng thời là hệ ghi số này đã có kí hiệu biểu diễn cho giá trị
tƣơng đƣơng với số 0.
c) Hệ ghi số thập phân
Hệ đếm thập phân hay còn gọi là hệ đếm cơ số 10 ra đời ở Ấn Độ vào khoảng thế
kỷ thứ V sau Công nguyên. Sau đó đƣợc phổ biến sang Ả Rập rồi qua châu Âu và
đƣợc sử dụng rộng rãi trên thế giới cho đến tận ngày nay. Hệ đếm này sử dụng mƣời kí
hiệu (chữ số): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để biểu diễn các số.
Hệ đếm thập phân là kết quả của sự khớp nối giữa hai phƣơng diện: phƣơng diện
vị trí và phƣơng diện thập phân.
- Phƣơng diện vị trí: các số đƣợc ghi thành từng hàng (từ phải sang trái các hàng
lần lƣợt là: hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục nghìn,…). Giá
trị của các kí tự giống nhau sẽ hoàn toàn khác nhau nếu nó đứng ở vị trí khác nhau.
Ví dụ: số 4444
+ Chữ số 4 đầu tiên từ trái qua thuộc hàng nghìn nên có giá trị là 4000.

+ Chữ số 4 thứ hai từ trái qua thuộc hàng trăm nên có giá trị là 400.
+ Chữ số 4 thứ ba từ trái qua thuộc hàng chục nên có giá trị là 40.
+ Chữ số 4 cuối cùng qua thuộc hàng đơn vị nên có giá trị là 4.


11
- Phƣơng diện thập phân của hệ đếm chỉ mối liên hệ giữa các hàng. Từ phải sang
trái, hàng sau có giá trị bằng 10 lần hàng trƣớc nó. Chẳng hạn: 1 chục = 10 đơn vị, 1
trăm = 10 chục, 1 nghìn = 10 trăm… Do đó, một số tự nhiên có thể đƣợc phân tích
dƣới nhiều dạng khác nhau.
Ví dụ: số 2638 có thể đƣợc phân tích nhƣ sau:
+ Số 2638 gồm 2 nghìn, 6 trăm, 3 chục, 8 đơn vị. (dạng phân tích chuẩn)
+ Số 2638 gồm 2 nghìn, 6 trăm, 38 đơn vị.
+ Số 2638 gồm 2 nghìn, 5 trăm, 13 chục, 8 đơn vị.
+ Số 2638 gồm 26 trăm, 38 đơn vị.
…
Nhận xét:
Các hệ ghi số nhƣ hệ ghi số Ai Cập, Babilon, Maya, La Mã đều đƣợc ghi theo
nguyên tắc cộng và chỉ có hệ ghi số Maya mới có kí hiệu ghi số 0. Các hệ này sử dụng
các kí hiệu có quy tắc viết phức tạp gây khó khăn trong việc đọc số và bất tiện trong
việc tính toán. Hệ ghi số thập phân ra đời là một bƣớc ngoặt lớn trong lịch sử Toán học
vì việc đọc, viết cũng nhƣ tính toán đƣợc thực hiện gọn gàng và đơn giản hơn hẳn.
1.2. Quan sát thực hành d y học của giáo viên (theo quan điểm didactic toán)
Lấy tham chiếu từ Thuyết nhân học trong lý thuyết của Didactic Toán đƣợc xây
dựng bởi Yves Chevallard (1992), chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt về một số khái niệm
cơ bản mà chúng tôi sẽ dùng làm điểm tựa cho nghiên cứu trong luận văn này về mặt
lý luận, bao gồm: mối quan cá nhân đối với một tri thức, mối quan hệ thể chế đối với
một tri thức đó, tổ chức toán học và tổ chức sƣ phạm (tổ chức didactic):
Về mối quan hệ cá nhân (của học sinh hay của giáo viên) đối với một đối tƣ ng tri
thức :

“Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân.
[…]
Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động
qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, …
Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O.”

[2, tr.315]


12
“Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với
O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan
hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại).” [2, tr.317]

Về mối quan hệ thể chế đối với một đối tƣ ng tri thức
Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại độc lập ở đâu đó mà luôn luôn phải ở
trong ít nhất một thể chế. Từ đó suy ta việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O)
phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Ở đây, giữa I và O
cũng phải có một quan hệ xác định, bởi vì đối tượng O không thể tồn tại độc lập
trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với
những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy.
[…]
Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để
chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I,O) cho biết O
xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, […] Hiển
nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng
buộc của R(I,O).

[1, tr.3]
Nhƣng làm thế nào để chỉ ra đƣợc quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân

đối với một tri thức? Chevallard (1998) đã đƣa ra một mô hình cho phép mô tả hoạt
động nghiên cứu, dạy và học toán bằng khái niệm praxéologie nhƣ sau: Mỗi
praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ , trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ,
τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lí
thuyết giải thích cho θ, nghĩa là công nghệ của công nghệ θ.
Về tổ chức toán học
Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học đƣợc gọi là một
tổ chức toán học (organisation mathématique). Theo Bosch.M và Chevallard, việc
nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tƣợng tri thức O có thể đƣợc tiến hành
thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O:
“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một
tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này]
phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định” (Bosch. M và Chevallard, 1999).


13
Về tổ chức sƣ ph m (tổ chức didactic)
Để phân tích thực hành của giáo viên, Chevallard cho rằng ngƣời nghiên cứu cần
quan tâm đến việc trả lời hai câu hỏi sau:
● Phân tích một tổ chức toán học đƣợc xây dựng trong một lớp học nào đó bằng
cách nào?
● Làm sao để mô tả và phân tích một tổ chức sư phạm mà một giáo viên đã tiến
hành trên lớp học cụ thể để chuyển tải đến học sinh một tổ chức toán học cụ thể
nào đó?
Để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên, Chevallard đƣa ra công cụ lý
thuyết là khái niệm các thời điểm nghiên cứu và không phải là mọi tổ chức toán học
đều đƣợc tổ chức tìm hiểu theo một cách thức duy nhất, thì vẫn có những thời điểm mà
tất cả các hoạt động nghiên cứu đều phải trải qua.
Cụ thể, ông chỉ ra 6 thời điểm và gọi chúng là các thời điểm nghiên cứu (moment
d’étude) hay thời điểm sƣ phạm (moment didactique) nhƣ sau:

Thời điểm thứ nhất: là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học OM
được xem là mục tiêu đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O. Sự gặp gỡ
như vậy có thể xẩy ra theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, có một cách gặp, hay
“gặp lại”, hầu như không thể tránh khỏi, trừ khi người ta nghiên cứu O rất hời hợt,
là cách gặp thông qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ Ti cấu thành nên O. Sự “gặp
gỡ lần đầu tiên” với kiểu nhiệm vụ Ti có thể xẩy ra qua nhiều lần, tùy vào môi
trường toán học và didactic tạo ra sự gặp gỡ này: người ta có thể khám phá lại một
kiểu nhiệm vụ giống như khám phá lại một người mà người ta nghĩ rằng mình đã
biết rõ.
Thời điểm thứ hai: là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti được đặt ra, và xây
dựng nên một kỹ thuật τi cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
Thông thường, nghiên cứu một bài toán cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần
nghiên cứu, là một cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương
ứng. Kỹ thuật này sau đó sẽ lại là phương tiện để giải quyết mọi bài toán cùng
kiểu.


14
Thời điểm thứ ba: là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết [θ/Θ]
liên quan đến τi, nghĩa là tạo ra những yếu tố cho phép giải thích kỹ thuật đã được
thiết lập.
Thời điểm thứ tư: là thời điểm làm việc với kỹ thuật.
Thời điểm này là thời điểm hoàn thiện kỹ thuật bằng cách làm cho nó trở nên hiệu
quả nhất, có khả năng vận hành tốt nhất - điều này nói chung thường đòi hỏi chỉnh
sửa lại công nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đó. Đồng thời đây cũng là thời
điểm làm tăng khả năng làm chủ kỹ thuật: thời điểm thử thách kỹ thuật này đòi hỏi
phải xét một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ.
Thời điểm thứ năm: là thời điểm thể chế hóa.
Mục đích của thời điểm này là chỉ ra một cách rõ ràng những yếu tố của tổ chức
toán học cần xây dựng. Những yếu tố này có thể là kiểu bài toán liên quan, kỹ thuật

được giữ lại để giải, cơ sở công nghệ-lý thuyết của kỹ thuật đó, cách ghi hay ký
hiệu mới.
Thời điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá.
Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hóa. Trong thực tế, việc dạy học
phải đi đến một thời điểm mà ở đó người ta phải “điểm lại tình hình”: cái gì có giá
trị, cái gì đã học được,… 6 thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỹ thuật
thực hiện kiểu nhiệm vụ dạy một tổ chức toán học như thế nào?

[1, tr.5-6]
Phân tích một tổ chức sƣ phạm đƣợc hiểu là cần phân tích cách thức mà sáu thời
điểm nghiên cứu trên đã đƣợc thực hiện (hay không đƣợc thực hiện) trên một lớp học
cụ thể.
Có thể thấy rằng khái niệm thời điểm nghiên cứu tạo nên một mô hình lý thuyết
thỏa đáng cho phép quan sát và phân tích hoạt động của giáo viên.
1.3. Kết luận chƣơng 1
Nghiên cứu về lịch sử hình thành hệ đếm thập phân cho thấy hệ đếm thập phân là
một hệ đếm theo vị trí, đƣợc đặc trƣng bởi hai phƣơng diện:
- Phƣơng diện vị trí: các số đƣợc ghi thành từng hàng (từ phải sang trái, các hàng
lần lƣợt là: hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục nghìn,…). Các
kí tự giống nhau sẽ có giá trị hoàn toàn khác nhau khi chúng đứng ở vị trí khác nhau.


15
- Phƣơng diện thập phân: chỉ mối liên hệ giữa các hàng. Từ phải sang trái, hàng
sau có giá trị bằng 10 lần hàng trƣớc nó. Chẳng hạn: 1 chục = 10 đơn vị, 1 trăm = 10
chục, 1 nghìn = 10 trăm…
Mô hình praxéologie (một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ]) đƣợc xây dựng bởi
Yves Chevallard theo thuyết nhân học trong lý thuyết của Didactic Toán cho phép mô
tả hoạt động nghiên cứu, dạy và học toán với 6 thời điểm nghiên cứu nên là một mô
hình lý thuyết thỏa đáng cho phép quan sát và phân tích hoạt động của giáo viên.

16

Chƣơng 2. HỆ ĐẾM THẬP PHÂN Ở BẬC TIỂU HỌC

Hệ đếm thập phân không phải là một tri thức toán đƣợc trình bày một cách tƣờng
minh trong chƣơng trình và sách giáo khoa toán ở Việt Nam mà nó đƣợc giới thiệu
thông qua việc đƣa vào dạy học các số theo trình tự: số tự nhiên, phân số, số thập
phân... Do vậy, để trả lời các câu hỏi nghiên cứu:
- Hệ đếm thập phân đƣợc xây dựng, trình bày và giới thiệu trong chƣơng
trình, sách giáo khoa Toán ở bậc Tiểu học nhƣ thế nào?
- Có những ràng buộc nào của thể chế dạy học liên quan đến hệ đếm thập
phân?
chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chƣơng trình giáo dục môn Toán phổ thông cấp Tiểu
học và sách giáo khoa, sách giáo viên Toán lớp 1, 2, 3 xoay quanh đối tƣợng số tự
nhiên.
2.1. Phân tích chƣơng trình
Khi nghiên cứu về hệ đếm thập phân ở bậc tiểu học, chúng tôi quan tâm đến
“phần số” (các tri thức toán liên quan đến số học) đƣợc đƣa vào giảng dạy từ các lớp
đầu cấp mà cụ thể là lớp 1, 2, 3.
Trong chƣơng trình Toán 1, 2, 3, vị trí của các kiến thức và kỹ năng đƣợc yêu
cầu ở trên đƣợc tìm thấy trong các bài sau:
Bảng 2.1. Các kiến thức liên quan chủ đề hệ đếm thập phân từ lớp 1 đến lớp 3
LỚP

CHỦ ĐỀ

BÀI
Các số 1, 2, 3

Lớp 1

Các số 1, 2, 3, 4, 5
Phần 1:
Các số đến 10. Hình vuông, Số 6
hình tròn, hình tam giác
Số 7
Số 8
Số 9
Số 0


17
Số 10
Một chục. Tia số
Mƣời một, mƣời hai
Mƣời ba, mƣời bốn, mƣời lăm
Mƣời sáu, mƣời bảy, mƣời tám, mƣời chín
Hai mƣơi. Hai chục
Phần 3:
Các số trong phạm vi 100. Đo Các số tròn chục
độ dài. Giải bài toán
Các số có hai chữ số
Các số có hai chữ số (tiếp theo)
Các số có hai chữ số (tiếp theo)
So sánh các số có hai chữ số
Bảng các số từ 1 đến 100
Đơn vị, chục, trăm, nghìn
So sánh các số tròn trăm

Các số tròn chục từ 110 đến 200
Lớp 2

Phần 6:
Các số trong phạm vi 1000

Các số từ 101 đến 110
Các số từ 111 đến 200
Các số có ba chữ số
So sánh các số có ba chữ số
Viết số thành tổng các trăm, chục, đơn vị
Các số có bốn chữ số

Phần 3:
Các số đến 10 000
Lớp 3

Các số có bốn chữ số (tiếp theo)
Các số có bốn chữ số (tiếp theo)
Số 10 000 – Luyện tập
So sánh các số trong phạm vi 10 000
Các số có năm chữ số

Phần 4:
Các số đến 100 000

Các số có năm chữ số (tiếp theo)
Số 100 000 – Luyện tập
So sánh các số trong phạm vi 100 000