Quỹ tích hình chiếu trong không gian

Quỹ tích hình chiếu của một điểm cố định trong
không gian
/>Trước khi đọc bài viết này các bạn nên có 1 tờ giấy nháp để vẽ hình.
DẠNG TOÁN 1: Quỹ tích hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di
động.
Phương pháp : Để tìm quỹ tích hình chiếu của một điểm A cố định trên đường thẳng
di động, ta thực hiện các bước sau :
-Trước tiên xem đường thẳng thuộc mặt phẳng cố định nào?
-Xem đường thẳng đi qua điểm cố định nào ?
-Tìm xem hình chiếu của A liên hệ với các phần tử cố định như thế nào? (Ta hãy vẽ
thêm hình chiếu của A trên mặt phẳng cố định chứa đường di động).
Bài toán 1 : Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm M và trên tia At
vuông góc với mp(ABCD) lấy S. Gọi I là trung điểm của SC và H là hình chiếu của I
trên CM. Tìm quỹ tích điểm H khi M chạy trên AD và S chạy trên At ?
Phân tích : Đường thẳng CM luôn thuộc mp(ABCD) cố định, do vậy H luôn nằm trên
mp(ABCD). Đường thẳng CM này luôn đi qua 1 điểm cố định là điểm C. Như vậy ta sẽ
tìm mối liên hệ giữa H(hình chiếu của I) với các yếu tố cố định trên. Ta sẽ tìm thêm
hình chiếu của I trên mp(ABCD) cố định. Dự đoán : Đó sẽ là giao điểm O của 2 đường
chéo AC và BD.
Từ đó ta có bài giải cụ thể như sau :
Giải : Gọi O là giao điểm của AC và BD => O là trung điểm AC
Mà I là trung điểm SC. => OI là đường trung bình của tam giác SAC => OI // SA
Mà SA vuông góc với mp(ABCD) => OI vuông góc với mp(ABCD) => O là hình chiếu
của I lên mp(ABCD)
=> IH có hình chiếu trên mp(ABCD) là OH => CM vuông góc với OH (định lý 3 đường
vuông góc)
Rõ ràng O cố định, C cố định, góc OHC=1v và H thuộc mp(ABCD) cố định => H thuộc
đường tròn đường kính OC. Ta tìm được quỹ tích điểm M.
Bài toán 2 (bài tập tự luyện): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. SA vuông góc (ABCD), SA=a. Gọi O là tâm hình vuông. Trên SD lấy điểm M di
động. Tìm tập hợp các hình chiếu của O trên CM.

DẠNG TOÁN 2 : Quỹ tích hình chiếu của 1 điểm cố định trên mặt phẳng di động.
Phương pháp: Muốn tìm quỹ tích của hình chiếu 1 điểm cố định trên mặt phẳng di
động. Ta thực hiện các bước sau:
- Xem mặt phẳng chứa đường cố định nào ? (Ta tìm 2 điểm cố định)
- Từ điểm cố định (gọi là điểm A) dựng đường AK vuông góc với đường cố định (K
thuộc đường cố định đó). Khi đó hình chiếu của A trên mp di động thuộc đường tròn
đường kính AK cố định.
Bài toán 3 : Một mặt phẳng (P) di động quay quanh đường thẳng d cố định và H là hình
chiếu của A trên (P). Tìm quỹ tích của H khi (P) quay quanh d.
Phân tích : Ta dễ dàng nhận thấy mặt phẳng (P) luôn chứa một đường thẳng cố
định đó là đường thẳng d. Ta sẽ dựng AK vuông góc với đường thẳng d đó (K thuộc d) .
Khi đó H sẽ thuộc đường tròn đường kính AK cố định. Từ đó ta có bài giải cụ thể sau :
Giải : Gọi K là hình chiếu của A trên d. Vì A, d cố định => K cố định.
H là hình chiếu của A trên mp (P) => AH vuông góc với mp (P).
=> AH vuông góc với HK. Vậy góc AHK vuông.
Mà mp (AHK) qua A và vuông góc với d => mp(AHK) cố định. Vậy H thuộc
mp(AHK) cố định.
Quỹ tích của H là đường tròn đường kính AK.
Các bài toán sau các bạn hãy tự luyện tập để thành thạo :
Bài toán 4 : Trong mp(P) cho đường tròn (T) đường kính AB. Trên đường thẳng vuông
góc với mp(P) tại A lấy 1 điểm cố định C. 1 điểm M di động trên (T) . Gọi H là hình
chiếu của A trên CM. Tìm quỹ tích điểm H ?
Bài toán 5 : Cho 2 điểm cố định A, B . I là trung điểm của AB. d là đường thẳng thay
đổi trong không gian sao cho d cách đều A, B.
1) Chứng minh rằng : Hình chiếu M của I lên d thuộc 1 mp cố định.
2) Gọi O là 1 điểm cố định nằm ngoài (P) . Giả sử d luôn đi qua O. Tìm quỹ tích giao
điểm của đường thẳng d với mp(P).
Chúc các bạn thành công!!