Nghiên cứu một mô hình Toán học liên quan đến sự tăng trưởng: sự nối khớp giữa Sinh học và Toán học (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trung Hiếu

NGHIÊN CỨU MỘT MÔ HÌNH TOÁN HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN SỰ TĂNG TRƢỞNG:
SỰ NỐI KHỚP GIỮA SINH HỌC VÀ TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trung Hiếu

NGHIÊN CỨU MỘT MÔ HÌNH TOÁN HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN SỰ TĂNG TRƢỞNG:
SỰ NỐI KHỚP GIỮA SINH HỌC VÀ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TRẦN ANH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn
nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.
Nguyễn Trung Hiếu


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến thầy Trần Anh Dũng, người đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và
động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến những thầy cô đã tận tâm giảng dạy
và truyền đạt cho tôi những bài giảng didactic bổ ích. Tôi cũng xin chân
thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh, những thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26
đã cho tôi những kiến thức toán học về Đại số và Giải tích.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hamid Chaachoua và cô Annie Bessot
về những lời góp ý cho luận văn của tôi. Điều đó đã giúp tôi định hướng lại
và phát triển hơn hướng nghiên cứu của mình.
Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe và thành công!
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin của
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện học
tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng
về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Didactic
Toán khóa 26 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm

luận văn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Nam Kì Khởi
Nghĩa (Thành phố Hồ Chí Minh) cùng toàn thể học sinh đã giúp tôi hoàn
thành tốt thực nghiệm của mình.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì
những sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành thật tốt khóa học.

Nguyễn Trung Hiếu


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH TĂNG TRƢỞNG LOGISTIC ...........9
1.1. Mô hình tăng trưởng logistic trong một số giáo trình Sinh học ............................ 9
1.2. Tổng quan lịch sử hình thành hàm số logistic ..................................................... 11
1.3. Vài kết luận .......................................................................................................... 14
1.3.1. Các đặc trưng của hàm số logistic ..............................................................14
1.3.2. Các tri thức toán cần thiết để đảm bảo cho sự tồn tại của
hàm số logistic ................................................................................................14
1.3.3. Sự giống nhau và khác nhau giữa hàm tăng trưởng dân số mũ
và hàm tăng trưởng dân số logistic ................................................................15
CHƢƠNG 2. MÔ HÌNH TĂNG TRƢỞNG LOGISTIC TRONG DẠY HỌC
TOÁN Ở MỸ................................................................................................16

2.1. Hàm số logistic và mô hình tăng trưởng logistic trong giáo trình
Precalculus của Demana ................................................................................. 16
2.1.1. Về mặt lí thuyết ...........................................................................................16
2.1.2. Các tổ chức toán học cần dạy liên quan đến hàm số logistic .....................23
2.2. Hàm số logistic và mô hình tăng trưởng logistic trong giáo trình
Precalculus của Sullivan ................................................................................. 30
2.2.1. Về mặt lí thuyết ...........................................................................................30
2.2.2. Các tổ chức toán học cần dạy liên quan đến hàm số logistic .....................34
2.3. Kết luận ................................................................................................................ 37


CHƢƠNG 3. MÔ HÌNH TĂNG TRƢỞNG LOGISTIC TRONG DẠY HỌC
SINH HỌC VÀ VẾT CỦA NÓ TRONG CHƢƠNG TRÌNH
TOÁN VIỆT NAM ......................................................................................39
3.1. Hàm số logistic trong thể chế dạy học Sinh học Việt Nam ................................ 39
3.1.1. Chương trình cơ bản ....................................................................................39
3.1.2. Chương trình nâng cao ................................................................................43
3.2. Hàm số logistic trong thể chế dạy học Toán Việt Nam ...................................... 45
3.3. Môi trường sinh thái cho khái niệm hàm số logistic ........................................... 47
3.4. Kết luận ................................................................................................................ 55
CHƢƠNG 4. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ........................................................57
4.1. Những kiểu nhiệm vụ được lựa chọn .................................................................. 57
4.2. Thực nghiệm 1 ..................................................................................................... 58
4.2.1. Phân tích tiên nghiệm bài toán 1 và bài toán 2 ..........................................59
4.2.2. Phân tích hậu nghiệm bài toán 1 và bài toán 2 ..........................................67
4.2.3. Kết luận pha 1 ............................................................................................71
4.2.4. Phân tích tiên nghiệm bài toán 3 và bài toán 4 ..........................................72
4.2.5. Phân tích hậu nghiệm bài toán 3 và bài toán 4 ..........................................79
4.2.6. Kết luận pha 2 ............................................................................................86
4.3. Thực nghiệm 2 ..................................................................................................... 87

4.3.3. Phân tích tiên nghiệm bài toán 6................................................................87
4.3.4. Phân tích hậu nghiệm bài toán 6 ................................................................88
4.3.5. Kết luận thực nghiệm 2 ..............................................................................89
4.4. Kết luận ................................................................................................................ 89
KẾT LUẬN ....................................................................................................................90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................92
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CNTT

:

Công nghệ thông tin.

KNV

:

Kiểu nhiệm vụ.

Nxb

:

Nhà xuất bản.

SBT

:

Sách bài tập.

SGK

:

Sách giáo khoa.

SGV

:

Sách giáo viên.


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong giáo trình
Precalculus của Demana ............................................................................. 28
Bảng 2.2. Bảng thống kê số lượng bài tập theo các KNV trong giáo trình
Precalculus của Sullivan .............................................................................. 35
Bảng 4.1. Bảng thống kê các chiến lược học sinh sử dụng – bài toán 1 ....................... 68
Bảng 4.2. Bảng thống kê các chiến lược học sinh sử dụng – bài toán 2 ....................... 69


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 4.1. Đồ thị của hàm hồi quy tăng trưởng mũ biểu diễn số lượng nấm men
thay đổi theo thời gian ..................................................................................... 77
Hình 4.2. Đồ thị của hàm hồi quy tăng trưởng mũ biểu diễn số lượng nấm men

thay đổi theo thời gian ..................................................................................... 77
Hình 4.3. Bài làm giải quyết bài toán 4 của nhóm 1 ....................................................... ..81
Hình 4.4. Bài làm giải quyết bài toán 4 của nhóm 4 ....................................................... ..84


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong phần 1: Những vấn đề chung, và ở mục bàn về chương trình giáo dục trung
học phổ thông môn Toán đổi mới, SGV Đại số 10 đưa ra ba định hướng nhằm đáp
ứng nhu cầu đổi mới giáo dục như sau:
1. Tăng cường tính thực tiễn và tính sư phạm, giảm nhẹ yêu cầu quá chặt chẽ
về lí thuyết…
2. Xây dựng nội dung chương trình đáp ứng mục tiêu môn học, đồng thời chú
ý đáp ứng yêu cầu của một số môn học khác như Vật lí, Sinh học…
3. Hội nhập.
[4, tr.3-4]

Như vậy, tư tưởng đổi mới giáo dục theo xu hướng: tăng cường tính thực tiễn và
đáp ứng mục đích của việc dạy học Toán: cung cấp cho con người khả năng thấu
hiểu các tình huống phức tạp để hành động một cách hợp lí. Trong dự thảo chương
trình giáo dục phổ thông, chương trình tổng thể của Bộ giáo dục và đào tạo (2017),
về định hướng môn Toán, Bộ cũng nhấn mạnh khía cạnh này: “Giáo dục toán học
được thực hiện ở nhiều môn học như Toán, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ,
Tin học, Hoạt động trải nghiệm sáng tạo,... trong đó Toán là môn học cốt lõi”.
Thật vậy, sự trình bày chương trình dạy học bậc trung học phổ thông giữa
Sinh học và Toán học hiện tại cho thấy tồn tại mối quan hệ giữa chúng, thông qua
vấn đề về các mô hình toán học biểu diễn cho sự tăng trưởng của quần thể. Cụ thể
đó là các mô hình Toán học được xây dựng từ các hàm số siêu việt. Hàm số siêu

việt là một trong những đối tượng toán học chiếm vị trí quan trọng trong việc giảng
dạy Toán ở bậc trung học phổ thông của nhiều nước trên thế giới. Trong ba loại
hàm số siêu việt được giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước là hàm số mũ, hàm
số logarit, hàm số logistic, chúng tôi quan tâm đến hàm số logistic vì những lí do
sau: Thứ nhất, hàm số logistic tuy thực sự tồn tại trong thể chế dạy học Sinh học
Việt Nam, nhưng hoàn toàn không được đề cập trong thể chế dạy học Toán Việt
Nam. Cụ thể trong phần trình bày về sự tăng trưởng của quần thể sinh vật, thể chế


2

dạy học Sinh học đề xuất hai hàm số dùng để mô hình hóa sự tăng trưởng của quần
thể là: hàm số mũ (ứng với mô hình tăng trưởng mũ) và hàm số logistic1 (ứng với
mô hình tăng trưởng logistic). Tuy nhiên, khi đối chiếu với thể chế dạy học Toán,
thì thể chế này chỉ đề cập đến mô hình tăng trưởng mũ và vai trò của nó, bỏ qua mô
hình tăng trưởng logistic. Nghĩa là hoàn toàn không có sự nối khớp giữa Toán học
và Sinh học; nó làm cho hai môn học trở nên xa rời nhau, thậm chí là gây nên sự
mâu thuẫn cho học sinh. Vì theo sự trình bày của SGV Sinh học 12 nâng cao: “Đây
là điều kiện giả định vì không tồn tại trong thực tế… Kiểu tăng trưởng trong điều
kiện môi trường không bị giới hạn là không có thực… Đó là kiểu tăng trưởng theo
tiềm năng với đường cong hình chữ J (mô hình tăng trưởng mũ)” (tr.284-285), thì
mô hình tăng trưởng mũ là mô hình tăng trưởng không có thực. Đồng thời, SGV này
khẳng định sự tăng trưởng theo hàm số logistic mới là sự tăng trưởng thực tế.
Ngược lại, theo sách Giải tích 12 nâng cao: “Nhiều hiện tượng tăng trưởng của tự
nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng dân số, cũng được tính theo công thức (3)2. Vì
vậy công thức (3) còn được gọi là công thức tăng trưởng mũ” (tr.96), thì mô hình
tăng trưởng mũ là một mô hình được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng tăng
trưởng trong tự nhiên và xã hội. Xem xét các ví dụ trong sách Giải tích 12 nâng cao,
chúng tôi nhận thấy SGK này đã đưa ra hàng loạt các bài toán thực tế được giải
quyết bằng công thức lãi kép, chẳng hạn:

Ví dụ 2: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức (3), trong đó A là dân số
của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng trưởng dân số
hàng năm… Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm là 1,32%, năm 1998 dân số
thế giới vào khoảng 5926,5 triệu người. Khi đó, sự đoán dân số thế giới vào
năm 2008 (10 năm sau) là 5926,5.e10.0.0132  6762.8 (triệu người) [14, tr.96].
1

Christopher Clapham and James Nicholson (2009), The concise Oxforrd dictionary of Mathematics fourth

edition, Oxford University Press: “Hàm số logistic (đường cong logistic) Đường cong có dạng y 

k
1  e a bx

với b > 0 và thường thì k > 0. Nó có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = k, có giao điểm với trục Oy tại

k
 0;
a
 1 e





và cung cấp một mô hình tốt để mô tả sự tăng trường dân số với dân số bị hạn chế trong giới hạn

bão hòa” [21, tr.491].
2
S  A.erN (gọi tắt là công thức (3)) hay công thức lãi kép liên tục.

3

Đây là bài toán hoàn toàn mang đặc trưng của các số liệu thực tế. Theo cục dân số
Liên Hợp Quốc (2015), dân số thế giới được ước tính theo đồ thị dân số sau:

Nếu sử dụng công thức dự đoán được SGK Giải tích 12 nâng cao đưa ra, thì độ
chênh lệch về số dân được dự báo bằng công thức (3) với số liệu có từ biểu đồ dân
số trên càng ngày càng lớn. Ví dụ là vào năm 2100, theo biểu đồ trên thì dân số thế
giới được dự đoán tăng trưởng bình thường là khoảng 11 tỷ người và cao nhất là
khoảng 16,5 tỷ người. Trong khi đó, nếu sử dụng công thức (3) thì dân số thế giới
vào năm 2100 là trên 22,788 tỷ người, chênh lệch hơn 6 tỷ người so với mức dự
đoán cao nhất và gần như gấp đôi so với mức dự đoán bình thường. Trong khi đó,
nếu sử dụng công thức hàm logistic được Finan đưa ra3 thì dân số thế giới vào năm
2100 là 10,5 tỷ người – tức chênh lệch với mức tăng trưởng bình thường vào
khoảng 500 triệu người.
Ngoài ví dụ này, hàng loạt các ví dụ khác của SGK Giải tích 12 và SGK Giải tích
12 nâng cao cũng rơi vào tình trạng tương tự. Chẳng hạn ví dụ: tính thời điểm dân
số Việt Nam đạt khoảng 100 triệu người. Bằng việc sử dụng công thức số (3), SGK
Giải tích 12 nâng cao đưa ra đáp án là năm 2015. Trong khi đó, theo số liệu mới
nhất của tổng cục dân số và kế hoạch hóa gia đình (1/12/2016) thì dân số Việt Nam
sẽ đạt 100 triệu người vào khoảng năm 2026, tức cách 11 năm so với dự đoán của
SGK này. Đồng thời, cũng theo tổ chức thống kê dân số thế giới thì dân số Việt
3

P(t) 

11.5
1  12.8e0.0266t

, với mốc thời gian là năm 1900.


4

Nam vào năm 2015 chỉ là khoảng 90 triệu người. Lệch 10 triệu người so với dự báo.
Như vậy, mặc dù cả hai bộ SGK Giải tích 12 và Giải tích 12 nâng cao có đưa vào
các bài toán thực tế, nhưng đáp án có được từ mô hình toán học tăng trưởng mũ lại
cho câu trả lời có giá trị chênh lệch rất lớn so với số liệu thực tế, khó chấp nhận (mô
hình tăng trưởng mũ – sự tăng trƣởng không có thực). Do đó, cần có một mô hình
toán học khác nhằm cho câu trả lời phù hợp hơn trong việc mô tả sự tăng trưởng
dân số thực tế.
Thứ hai, hàm số logistic là một trong những tri thức được coi trọng trong thể chế
dạy học toán ở nhiều nước trên thế giới, đặc biệt là ở Mỹ. Theo Gregory:
Hàm số logistic, một viên đá tự nhiên vững chắc để giảng dạy những đường
cong hàm mũ, là một phần mở rộng và hợp lí của dạy học toán vì sự ứng
dụng đa dạng của nó. Nó nên là một phần của các hàm số được giảng dạy cho
học học sinh lớp 11 và lớp 12 [24, tr.286].

Như vậy việc dạy học hàm số logistic là cần thiết đối với chương trình Toán phổ
thông. Nó cũng thể hiện được tính ứng dụng đa dạng trong giải quyết các bài toán
thực tế - một trong những mục đích được nhắm đến trong việc đổi mới giảng dạy
Toán ở bậc trung học. Ngoài ra nó có thể được sử dụng với mục đích dạy học tích
hợp4 giữa Toán học và Sinh học. Trong giáo trình Precalculus, Demana và các cộng
sự (2011) viết về hàm số logistic như sau: “Chúng tôi sẽ không tỏ ra quen thuộc với
những công thức được vay mượn từ những môn học khác... Chúng tôi sẽ giả sử sự
quen thuộc đến từ một công thức quan trọng được lặp lại nhiều lần trong toán học”
(tr.140). Ở Mỹ, hàm số này cũng được đề cập đến, ít nhất là ngầm ẩn thông qua mô
hình tăng trưởng logistic. Như vậy, tương tự như thể chế dạy học Việt Nam, trong

thể chế dạy học Mỹ thì hàm số logistic đã được đề cập trước đó trong một bộ môn
khác, nhưng việc nghiên cứu nó như một đối tượng toán học vẫn là cực kì cần thiết.
Phân tích sự trình bày hàm số logistic và mô hình tăng trưởng của nó cho thấy việc
dạy học tích hợp giữa Sinh học và Toán học được thể chế dạy học Mỹ triển khai. Từ
4

Theo dự thảo chương trình giáo dục phổ thông, chương trình tổng thể của bộ giáo dục và đào tạo: “Dạy học
tích hợp: là định hướng dạy học giúp học sinh phát triển khả năng huy động tổng hợp kiến thức, kỹ năng,...
thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau để giải quyết có hiệu quả các vấn đề trong học tập và trong cuộc sống, được
thực hiện ngay trong quá trình lĩnh hội tri thức và rèn luyện kỹ năng.”


5

đó đối chiếu với thể chế dạy học Việt Nam, dạy học hàm số logistic, thông qua mô
hình tăng trưởng logistic không chỉ cho thấy tính liên môn giữa Sinh học và Toán
học, mà nó còn mang lại cho học sinh thêm nghĩa của các hàm số logistic đã được
trình bày trước đó trong chương trình Toán – hàm số logistic không được đề cập
tường minh và được dùng trong các bài tập liên quan đến tích tích phân, nguyên
hàm, phương trình mũ…
Đó là hai lí do đó mà chúng tôi nhận thấy rằng việc xây dựng các tình huống
dạy học nối khớp hàm số logistic trong Sinh học và Toán học, thông qua mô hình
tăng trưởng logistic, là phù hợp với xu thế dạy học toán của các nước trên thế giới.
Nó cũng giúp bổ sung và hoàn thiện hơn tính đúng đắn của cả ba định hướng đổi
mới dạy học Toán tại Việt Nam. Vì vậy, chúng tôi cho rằng cần thực hiện một
nghiên cứu về tính cần thiết của việc dạy học mô hình tăng trưởng logistic. Đồng
thời làm rõ việc có thể thiết kế một tình huống dạy học mô hình tăng trưởng logistic
trong Sinh học nối khớp với Toán học từ các tri thức sẵn có trong thể chế dạy học
Toán Việt Nam hay không.
Thông qua những phân tích trên, những câu hỏi xuất phát cho nghiên cứu của

của chúng tôi được tóm tắt như sau:
i.

Khái niệm hàm số logistic được sinh ra như thế nào trong lịch sử ? Nó mang
những đặc trưng nào?

ii.

Trong chương trình dạy học Sinh học Việt Nam, hàm số logistic được trình
bày ra sao?

iii.

Trong chương trình giảng dạy Toán ở Mỹ, hàm số logistic được trình bày
như thế nào? Có những bài tập nào gắn liền với nó?

2. Tổng quan công trình nghiên cứu
Trong bài báo “Dạy học hàm số logistic ở trường phổ thông”5 in trong tạp
chí The Mathematics Teacher, Vol. 95, tác giả Gregory P.Stephen (2002) đã đưa ra
các lí do cần thiết để giảng dạy hàm số logistic ở trường phổ thông. Đồng thời ông

5

“Teaching the logistic function in high school”.


6

cũng chỉ ra dạng hàm logistic cần dạy trong chương trình Toán là f ( x) 

L
.
1  aebx

Ngoài ra, tác giả đã xây dựng một hoạt động thực tế ban đầu để dẫn nhập đến tri
thức cần dạy: bài toán lan truyền tin đồn (một bài toán tăng trưởng). Đây là một tình
huống dạy học tích cực có sự tham gia hoạt động của cả giáo viên và học sinh. Tuy
nhiên, tình huống lại chưa kiểm soát được các yếu tố ngẫu nhiên, tình thành bại của
tình huống phụ thuộc vào sự lựa chọn của học sinh. Bài báo cũng đề ra một dự án
dạy học sử dụng phần mềm máy tính có tên là “Logist” để củng cố và kiểm tra sự
hiểu biết của học sinh về hàm số logistic với các câu hỏi được tính điểm. Mặc dù
vậy, dự án này hoàn toàn là một bài toán toán học thuần túy, không phải là một bài
toán liên quan đến vấn đề tăng trưởng. Tác giả cũng không đề cập đến việc thực
nghiệm và trình bày kết quả thực nghiệm của dự án.
3. Khung lí thuyết tham chiếu
Để trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở trên, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu
tố của Didactic Toán. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ sử dụng lí thuyết nhân chủng học
(trường sinh thái, tổ chức toán học). Nhờ việc vận dụng lí thuyết này, chúng tôi tiến
hành phân tích các giáo trình Toán ở Mỹ, sách giáo khoa Sinh học Việt Nam về
cách học sinh được tiếp cận khái niệm hàm số logistic và mô hình tăng trưởng
logistic Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sử dụng các kiến thức liên quan đến đồ án dạy
học làm cơ sở lí thuyết, để xây dựng một tiểu đồ án dạy học, nhằm đạt được mục
tiêu nghiên cứu sẽ được chỉ ra trong mục 4 dưới đây.
4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
4.1. Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng một tiểu đồ án dạy học mô hình tăng trưởng logistic trong Sinh
học nối khớp với Toán học.
4.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong khuôn khổ phạm vi và lí thuyết đã lựa chọn, chúng tôi xin trình bày các
câu hỏi nghiên cứu của mình như sau:

7

CH1: Về phương diện lịch sử hình thành tri thức, hàm số logistic ra đời thế nào?
Những đặc trưng nào của tri thức đó? Ứng dụng của nó trong vấn đề tăng trưởng
dân số ra sao? Các tri thức toán học nào cần thiết để đảm bảo cho sự tồn tại của hàm
số logistic và mô hình tăng trưởng của nó?
CH2: Trong dạy học Toán ở Mỹ, hàm số logistic và mô hình tăng trưởng logistic
được triển khai như thế nào? Có những tổ chức toán học nào gắn liền với nó?
Những tri thức Toán học nào được dùng để đảm bảo cho sự tồn tại của hàm số
logistic?
CH3: Trong thể chế dạy học Sinh học tại Việt Nam, mô hình tăng trưởng logistic
được trình bày như thế nào? Trong thể chế dạy học Toán tại Việt Nam, hàm số
logistic được trình bày ngầm ẩn ra sao? Những tri thức toán nào cần thiết cho sự tồn
tại của hàm số logistic đã có trong thể chế dạy học Toán ở Việt Nam?
5. Các bƣớc tiến hành nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
-

Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một số

công trình đã có làm cơ sở so sánh hoặc sử dụng các kết quả nghiên cứu đã có.
-

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: phân tích các giáo trình giảng dạy Toán ở

Mỹ và SGK Sinh học và Toán học ở Việt Nam.
-

Phương pháp thực nghiệm (bao gồm cả phương pháp thống kê và xử lí số

liệu).
-

Phương pháp đồ án didactic: xây dựng một tiểu đồ án dạy học và thực

nghiệm đối với học sinh lớp 12.
Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, và trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi
xác định nhiệm vụ nghiên cứu như sau:
Trước hết, chúng tôi nghiên cứu lịch sử hình thành khái niệm hàm số logistic, mô
hình tăng trưởng logistic thông qua phân tích các sách tham khảo, các bài báo khoa
học. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu sự ra đời của hàm số logistic. Bài toán nào nảy
sinh ra nó và nó có những đặc trưng gì. Ngoài ra, chúng tôi cũng phân tích sự trình
bày mô hình tăng trưởng logistic trong một số giáo trình Sinh học và tổng quan lịch


8

sử về mô hình này nhằm xác định những tri thức cần thiết cho sự tồn tại của nó.
Dựa vào các kết quả phân tích được nêu ở trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu các
giáo trình được dùng để giảng dạy Toán ở bậc phổ thông Mỹ. Mục tiêu của nghiên
cứu là xác định các tổ chức toán học cần dạy về hàm số logistic, liên quan đến các
bài toán tăng trưởng thực tế, được trình bày trong hai giáo trình: một giáo trình hàm
số logistic được giảng dạy trước khái niệm logarit, một giáo trình hàm số logistic
được giảng dạy sau khái niệm logarit. Sử dụng các kết quả phân tích làm cơ sở tham
chiếu, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại của hàm số logistic trong chương trình dạy học ở
Việt Nam – Nó hiện diện ra sao? Vai trò của nó là gì? Đồng thời, sau phân tích
chúng tôi cũng lí giải về sự cần thiết trong việc dạy học nối khớp hàm số logistic
giữa Sinh học và Toán học. Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra các câu

hỏi mới và khẳng định tính hợp lí của các giả thuyết nghiên cứu được đề xuất trước
đó. Để chứng minh tính đúng đắn của chúng, chúng tôi sẽ tiến hành kiểm chứng
bằng các thực nghiệm.
6. Cấu trúc của luận văn
Mở đầu.
Chương 1: Tổng quan về mô hình tăng trưởng logistic.
Chương 2: Mô hình tăng trưởng logistic trong dạy học Toán ở Mỹ.
Chương 3: Mô hình tăng trưởng logistic trong dạy học Sinh học và vết của nó trong
chương trình dạy học Toán Việt Nam.
Chương 4: Nghiên cứu thực nghiệm.
Kết luận.


9

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
VỀ MÔ HÌNH TĂNG TRƢỞNG LOGISTIC
1.1. Mô hình tăng trƣởng logistic trong một số giáo trình Sinh học
Trong mục này, chúng tôi phân tích hai giáo trình sau:
 Nguyễn Như Hiền (2005), Sinh học đại cương, Nxb Đại học Quốc gia Hà
Nội (viết tắt là [6]).
 Lê Trọng Sơn (2006), Sinh học đại cương, Trung tâm giáo dục cơ bản và
thực hành, Đại học Huế (viết tắt là [15]).
Cả hai giáo trình đều là những tài liệu học tập được sử dụng rộng rãi trong việc
giảng dạy ở các khoa Sinh học của nhiều trường đại học Việt Nam. Trong đó, tác
giả Nguyễn Như Hiền là đồng chủ biên và chủ biên các SGK Sinh học bậc trung
học phổ thông, cũng như các SGV tương ứng. Chúng tôi phân tích hai giáo trình
nhằm tìm ra mối liên hệ giữa mô hình tăng trưởng mũ và mô hình tăng trưởng
logistic. Đồng thời, làm rõ các đặc trưng về mô hình tăng trưởng logistic trong Sinh
học. Trong giáo trình [6] khi bàn về sự sinh trưởng của quần thể, tác giả viết:

Trong giai đoạn đầu thí nghiệm, quần thể tăng
trưởng chậm chạp. Tuy nhiên … mức tăng
trưởng ngày càng nhanh và đường cong sinh
trưởng bùng nổ này có tên gọi là sinh trƣởng
luỹ thừa [6, tr.153-154].

Quan sát đồ thị về sự thay đổi số lượng nấm men
theo thời gian, ta nhận thấy đường cong biểu diễn
là một đường cong hàm mũ với sự chỉ rõ hàm
biểu diễn là N  N 0ert (với t là biến). Do đó mô hình tăng trưởng lũy thừa là mô
hình tăng trưởng mũ (đồng bản chất).
Ngoài ra, giáo trình cũng đề xuất thêm một mô hình tăng trưởng khác là mô hình
tăng trưởng logistic:
Các tế bào phát triển dần chậm lại khi chất dinh dưỡng bị dùng ngày một
nhiều và suy kiệt… Sự tăng trưởng của các tế bào thường theo quy luật


10

đường cong hình S, hay gọi là đường
cong hình chữ S, đôi lúc nó còn có
tên là đường cong logistic cho mức
tăng trưởng... Trở ngại môi trường
tăng lên tạo ra một giới hạn tuyệt đối
cho số lượng cá thể của một loài có
thể sinh sống được tại một khu định
cư cho trước. Giới hạn này được gọi
là khả năng chứa của môi trường và
thường được ký hiệu là K.
[6, tr.155]

Vậy đường cong logistic còn có một tên gọi khác, đó là đường cong hình chữ S. Sự
tăng trưởng này là một sự tăng trưởng có giới hạn, khi môi trường chỉ có khả năng
chứa nhất định. Ở đây, tác giả tiếp tục lấy ví dụ minh họa là sự tăng trưởng của nấm
men. Chính giáo trình [6] cũng thừa nhận rằng quy luật tăng trưởng lũy thừa là
không thể tiếp tục mãi mãi, mà sự tăng trưởng sẽ trở nên “cân bằng” tại một thời
điểm mà mức sinh bằng mức tử. Từ biểu thức

dN
 rN , ta tham số hóa hiện thực
dt

KN
tăng trưởng (g), với g 
thì ta được phương trình N  N0 .e
K

( K  N ) rt
K

. Cũng theo

tác giả, sự tăng trưởng theo hàm mũ chỉ là một phần của đường cong tăng trưởng
logistic (trừ một số loài như tảo...). Vào thời điểm đầu, khi số lượng cá thể N trong
quần thể nhỏ hơn khả năng chứa đã dẫn đến g

1 nên sự tăng trưởng sẽ diễn ra

theo hàm mũ. Ngoài ra, từ đồ thị, ta nhận xét hàm số logistic có hai tiệm cận là y =
0 và y = K. Hơn nữa, hàm số luôn là một hàm đồng biến trên

và có miền giá trị

là [0; K].
Tương tự, trong [15] cũng chỉ đề xuất hai mô hình tăng trƣởng là mô hình tăng
trƣởng mũ và mô hình tăng trƣởng logistic. Tuy nhiên, nó có một sự rạch ròi khi
khẳng định rằng hai mô hình tăng trưởng đó là khác biệt nhau. Sự tăng trưởng theo
hàm mũ còn được gọi là đường cong tăng trưởng có hình chữ J. Viết về mô hình


11

này, giáo trình [15] nhấn mạnh: “Đồ thị phương trình có dạng hàm số mũ, nghĩa là
cùng với thời gian, số lượng cá thể có thể tăng lên một cách vô hạn và càng ngày
tốc độ tăng càng lớn. Điều này không thể xảy ra trong thực tế tự nhiên.” (tr.271).
Như vậy, mô hình tăng trưởng mũ là mô hình không có thực, là một mô hình lí
thuyết và cần đến một mô hình toán học khác để biểu diễn cho sự tăng trưởng thực
tế. Mô hình tăng trưởng logistic ra đời từ nhu cầu đó, với công thức là
dN
KN 
 rN 
 . Tuy nhiên khác với [6], giáo trình [15] đã không biến đổi công
dt
 K 

thức về dạng hàm mũ cơ số e. Sự sinh trưởng của nấm men tiếp tục được sử dụng
làm ví dụ. Các đặc trưng về hàm logistic cũng được trình bày giống [6], ngoài trừ
việc giáo trình [15] đề cập thêm về giá trị tung độ điểm uốn:

K

. Hơn nữa, các hình
2

minh họa trong [15] đều là các đường cong hồi quy logistic. Nó được sử dụng trong
việc giải thích sự tương thích của hàm số logistic đối với sự tăng trưởng của trùng
lông bơi.
1.2. Tổng quan lịch sử hình thành hàm số logistic
Phần dưới đây được tổng hợp từ các tài liệu: [20], [22], [25], [26], [29], [33], [34].
Vào những năm đầu của thế kỉ 19, Toán học Thống kê, theo nghĩa định lượng, đã
tìm cách áp đặt các mô hình không đổi trên các quần thể hữu cơ sống.
Hàm logistic được phát minh vào thế kỉ thứ 19 với mục đích ban đầu là theo dõi sự
gia tăng dân số. Verhulst bắt đầu bằng cách lí luận rằng trong các thời điểm đầu của
sự phát triển, dân số sẽ tăng theo cấp số nhân cho đến thời điểm các nguồn tài
nguyên quan trọng trở nên có giới hạn, nhưng vẫn đủ cung ứng, thì dân số sẽ phát
triển chậm lại. Ông gọi dân số trong thời điểm đó là một dân số “bình thường”. Khi
số dân vượt quá mức giới hạn của dân số “bình thường” thì được gọi là dân số “quá
nhiều” (bùng nổ dân số). Verhulst đề xuất phương trình vi phân của hàm dân số P(t)
tại thời điểm t là:

dP
P

 rP 1   , với K là ngưỡng dân số tối đa. Khi dân số P(t)
dt
 K

nhỏ so với tham số K, ta được phương trình xấp xỉ

dP
 rP . Lời giải của nó là

dt


12

P(t )  P(0)ert . Tỉ lệ tăng trưởng giảm khi P(t) tiến gần đến K và trở thành số âm nếu

như P(t) vượt qua K. Sử dụng công thức về phương trình vi phân của Bernoulli, ta
được phương trình: P(t) 

P (0)e rt





1  P (0) e rt  1 / K

Trong đó P(0) là dân số tại thời điểm

ban đầu, r là tốc độ tăng trưởng dân số và K là số dân tối đa hay còn gọi là mức độ
bão hòa dân số. Verhults đã xuất bản những khám phá của mình từ các năm 1838
đến 1847 trong ba bài báo. Trong bài báo thứ hai, in trong Proceedings của viện
hàm lâm hoàng gia Bỉ, Verhulst đã đặt tên cho nó là logistique, mà không hề có bất
kì lời giải thích nào. Verhulst cũng đã xác định rõ hai tham số r và K bằng việc cho
đường cong đi qua ba điểm đã được quan sát. Ông đưa ra công thức xác định như
sau: mt  log10

p
m

p
n

với p là dân số, t là thời gian (tương ứng các năm), 1/m là một

hệ số tỷ lệ tăng trưởng dân số và

m
là dân số tối đa được dự đoán.
n

Hàm số logistic được khám phá lại một lần nữa vào năm 1920 bởi Pearl và Reed.
Cả Pearl và Reed đều không hề biết đến công trình của Verhulst và đã phát minh
một cách độc lập hoàn toàn đường cong logistic. Tháng 6 năm 1920, cả hai đã xuất
bản một bài báo, mà trong đó đường cong hình chữ S của Robertsons được áp dụng
cho dữ liệu dân số Mỹ. Chỉ sau khi bài báo này được in, cả hai mới biết đến công
trình của Verhulst và chấp nhận sử dụng cụm từ logistic cho những đường cong của
họ ở các bài báo sau này. Trong bài báo đó, cả hai tác giả đều giả định rằng dân số
chỉ được phát triển trong một khu vực hạn chế. Cả hai khẳng định hàm số logistic
hoàn toàn phù hợp với “luật”6 tăng trưởng dân số. Pearl và Reed (1920) đã đưa ra 6
“điều kiện” của “một phương trình bất kì dùng để mô tả sự tăng trưởng dân số
trong một khu vực có giới hạn không đổi” [29, tr.281]:
1. Tiệm cận đến đường thẳng y = k khi

6

.

“luật” của Pearl có nguồn gốc từ Karl Pearson, đồng nghiệp của Pearl và là một nhà thống kê học. Pearson
cho rằng một hoạt động khoa học bao gồm sự phân loại các dữ liệu thực tế và hình thành mối liên hệ giữa

chúng bằng các công thức toán học chính xác.


13

2. Tiệm cận đến đường thẳng y = 0 khi

.

3. Có điểm uốn và giả sử tọa độ của chúng là x   và y  
4. Đồ thị lõm và hướng lên thì nằm phía bên trái của x   , và đồ thị lõm hướng
xuống thì nằm phía bên phải của giá trị x   .
5. Không có hệ số góc theo phương ngang ngoại trừ tại x   .
6. Các giá trị của y thay đổi liên tục từ 0 đến k khi x thay đổi từ

đến

.

Xem y là biểu diễn dân số và x biểu
diễn thời gian. Ta được hàm số:
y

beax
1  ceax

với

a, b, c > 0. Từ phương

trình trên ta tìm được: khi x   thì

điểm uốn là

yk 

b
.
c

x  

1
b
. Hệ số góc tại
log c và y 
a
2c

Tọa

độ

điểm uốn

là:

ab
dy ay(b  cy)
. Đạo hàm bậc một của y là:

. Ta cũng có thể biểu

4c
dx
b

diễn hàm số dưới dạng: y 

b
e

 ax

c

(*) . Giả sử y1, y2, y3 là số dân lần lượt tại các

năm cách đều nhau một khoảng không đổi. Khi đó ta có công thức sau:


2
y2   y1 
b 2 y1 y2 y3  y2  y1  y3 
c
  h loge . Với h là khoảng cách không đổi

, a  log 
c
y1 y3  y2 2
b


b

y1   y2 
c


giữa các năm y1, y2, y3. Và c 

y2
1  y1


y2  y1  ea ea  h 


 . Với α là khoảng cách từ năm


gốc đến năm tương ứng với giá trị y1.
Năm 1931, Winsor đã cho ra đời một bài báo về việc so sánh đường cong
Gompertz7 (cũng là một đường cong thể hiện sự tăng trưởng) và đường cong
logistic. Bài báo được xuất bản vào năm 1932. Trong bài báo đó, Winsor, đã khẳng

7

“ y  abe

cx

với a, b, c là các số thực dương cho trước, e là hằng số Euler” [Winsor, 1932, tr.7].


14

định và nhắc lại các đặc trưng liên quan đến hàm logistic: số lượng hằng số, tiệm
cận, sự uốn cong, tính cân xứng, hình dáng của đồ thị…, nhằm thực hiện việc so
sánh đường cong Gompertz với đường cong logistic. Winsor khi so sánh với đường
cong Gompertz, đã trình bày đường cong sigmoid (đường cong logistic cơ bản)8
như là một trường hợp đặc biệt của hàm logistic khi cho hàm nhận các giá trị đặc
biệt. Tuy nhiên, ông không hề đặt tên cho nó, và chỉ dùng nó để xem xét trường hợp
điểm xuất phát ban đầu của đường cong logistic. Thêm vào đó, Winsor đã sử dụng
một dạng biểu diễn khác của hàm số logistic: y 

k
, với k là dân số tối đa, b
1  ea bx

là hằng số tốc độ tăng trưởng, a là hằng số. Cũng trong phần kết luận của bài báo,
Winsor nhấn mạnh: đường cong logistic đại diện cho các hiện tượng tăng trưởng và
phù hợp với các số liệu được đưa ra trong thực tế hơn đường cong Gompertz; đồng
thời điểm uốn chính giữa hai tiệm cận của hàm logistic là một đặc trưng của nó.
1.3. Vài kết luận
1.3.1. Các đặc trƣng của hàm số logistic
Hàm số logistic có 6 đặc trưng cơ bản sau đây:
- Tập xác định của hàm số là

. Miền giá trị nằm trong khoảng (0; M) với M là

hằng số lớn hơn 0.

- Không giao với trục Ox và chỉ giao với trục Oy tối đa tại một điểm.
- Có hai tiệm cận ngang là y = 0 và y = M.
- Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm.
- Có một điểm uốn và giá trị tung độ của điểm uốn này bằng một nửa giá trị của M.
- Hàm số liên tục và có đồ thị là một đường cong trơn.
1.3.2. Các tri thức toán cần thiết để đảm bảo cho sự tồn tại của hàm số
logistic
Các phân tích trên cho thấy, các tri thức sau đây không chỉ tham gia vào quá
trình xây dựng hàm số logistic mà còn là điều kiện cần thiết để đảm bảo cho sự tồn

8

Đường cong sigmoid (đường cong logistic cơ bản) có dạng: f  x  

ex
1  ex

. Với mọi x thuộc R, đường cong

luôn cho các giá trị từ 0 đến 1. Hàm sigmoid là một trường hợp đặc biệt của hàm số logistic.


15

tại của hàm số này. Đó là: logarit, đạo hàm (cực trị, điểm uốn…), hồi quy tuyến
tính, giới hạn hàm số (tiệm cận, số e, tính liên tục…), phương trình vi phân
Bernoulli, nguyên hàm, mô hình tăng trưởng mũ.
1.3.3. Sự giống nhau và khác nhau giữa hàm tăng trƣởng dân số mũ và
hàm tăng trƣởng dân số logistic
 Giống nhau: Đều liên quan đến bài toán tăng trưởng dân số. Cả hai hàm đều

có chung tính đơn điệu, đều là hàm đồng biến và không có cực trị. Đều giao với trục
Oy tại một điểm. Đều xét trong nội bộ loài. Các thành viên trong dân số là giống
nhau. Những thành viên không cản trở và can thiệp vào sự tồn tại của nhau.
 Khác nhau:
 Hàm tăng trưởng mũ: Những giả thuyết cần thiết cho hàm tăng trưởng mũ:
- Một thành viên của dân số chết, một thành viên tương tự sẽ được sinh ra
thay thế. Tỉ lệ sinh và tỉ lệ tử luôn là hằng số theo thời gian. Những nguồn tài
nguyên được cung cấp là vô tận.
- Hàm số mũ chỉ có duy nhất 1 tiệm cận ngang là trục Ox. Hàm tăng trưởng
mũ trong mô hình rời rạc và mô hình liên tục đều là một tại mọi thời điểm.
 Hàm tăng trưởng logistic:
- Khi nhu cầu cân bằng với nguồn cung tài nguyên thì dân số phát triển như
quy luật của hàm tăng trưởng mũ. Khi nhu cầu vượt qua nguồn cung thì sự gia tăng
dân số sẽ chậm lại và luôn dưới một ngưỡng dân số giới hạn.
- Hàm số logistic trong mô hình rời rạc và mô hình liên tục chỉ là một cho đến
khi bước vào trạng thái cân bằng (tiến về tiệm cận ngang trên). Hàm số logistic có 1
điểm uốn và hai tiệm cận ngang.


16

CHƢƠNG 2. MÔ HÌNH TĂNG TRƢỞNG LOGISTIC
TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở MỸ
Kết quả phân tích lịch sử hình thành tri thức ở chương trước đã làm nảy sinh
ở chúng tôi những câu hỏi liên quan đến SGK Mỹ: “SGK ở Mỹ đã đề cập đến hàm
số logistic như thế nào? Nhằm mục đích gì? Tiến trình dạy học nó ra sao?”
Để tìm câu trả lời, chúng tôi thực hiện phân tích về mặt trình bày tri thức và
xác định các tổ chức toán học của hai giáo trình Mỹ dưới đây. Và từ đó, như một cơ
sở tham chiếu, chúng tôi sẽ tiến hành đối chiếu vai trò của tri thức này ở SGK Mỹ
với sự trình bày ở SGK Việt Nam, đồng thời nghiên cứu tính khả thi cho việc dạy –

học hàm số logistic trong chương trình Toán phổ thông ở nước ta. Hai SGK Toán
Mỹ mà chúng tôi sử dụng ở đây là:
 Franklin D. Demana, Bert K.Waits, Gregory D.Foley, Daniel Kennedy
(2011), Precalculus Graphical, Numerical, Algebraic (8th edition) (viết tắt là [23]).
 Michael Sullivan (2011), Precalculus (9th edition) (viết tắt là [31]).
Chúng tôi lựa chọn hai giáo trình này làm đại diện bởi chúng là các giáo
trình hiện hành và thông dụng. Bên cạnh đó, sự khác biệt về các nội dung, hình thức
đưa vào và vai trò của tri thức nghiên cứu các giáo trình này cũng là một tiêu chí lựa
chọn của chúng tôi. Cụ thể là: trong giáo trình [23], hàm số logistic (mô hình tăng
trưởng logistic) được giảng dạy trước khái niệm logarit, giáo trình [31] hàm số
logistic (mô hình tăng trưởng logistic) được giảng dạy sau khái niệm logarit. Sự lựa
chọn đó có thể giúp chúng tôi tìm được các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của
hàm số logistic.
2.1. Hàm số logistic và mô hình tăng trƣởng logistic trong giáo trình
Precalculus của Demana
2.1.1. Về mặt lí thuyết
Trong mục mở đầu, tổng quan về các hàm số sẽ được giảng dạy trong giáo
trình, hàm số logistic và đồ thị của nó lần đầu tiên được giới thiệu ở chương 1: Hàm
số và đồ thị. Cụ thể, trong bài 1.3: Mười hai hàm số cơ bản, hàm số logistic được đề