00 oxy NC cac tinh chat hinh phang oxy p4

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)

CÁC TÍNH CHẤT HÌNH PHẲNG OXY (P4)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1. [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hai đường cao xuất phát từ B
và C cắt nhau tại điểm H (−1;0) , điểm A thuộc đường thẳng d : 3 x + y − 3 = 0. Đường tròn đường kính
BC có phương trình ( x − 2 ) + ( y + 1) = 16 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
2

2

Lời giải:
Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm I , M là trung điểm của BC.
CD / / HB ⊥ AC
Dễ thấy HBDC là hình bình hành do: 
 BD / / CH ⊥ AB
Khi đó M cũng là trung điểm của HD hay IM là đường trung bình
của tam giác AHD ⇒ AH = 2 IM .Lại có: M ( 2; −1) ; MB = 4

 5 + t −3t + 1 
Gọi A ( t ;3 − 3t ) ta có AH = 2 IM ⇒ I 
;

2 
 2

Lại có: IA2 = IB 2 = IM 2 + MB 2 .

 5 − t   5 − 3t   t + 1   3 − 3t 
⇔
 +
 =
 +
 + 16
 2   2   2   2 
2

2

2

2

⇔ t = −1 ⇒ A ( −1; 6 ) ; I ( 2; 2 ) ⇒ BC : y = −1
Do đó: A ( −1;6 ) ; B ( 6; −1) ; C ( −2; −1) hoặc A ( −1;6 ) ; B ( −2; −1) ; C ( 6; −1)

Ví dụ 2. [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H ( 2; −2 ) , phương trình cạnh BC
là y + 5 = 0 . Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua hai điểm M ( 7; −3) , N ( 4; −8) .Tìm tọa độ

điểm A,B,C của tam giác ABC.
Lời giải:
Phương trình đường cao AH đi qua H ( 2; −2 ) và vuông góc
với BC là: x = 2 .
Gọi D là điểm đối xứng của A qua I , J là trung điểm của BC.
Ta có: BH / / CD ⊥ AC , tương tự BH / / CD do vậy BHCD là
hình bình hành khi đó IJ là đường trung bình của tam giác

AHD. Gọi J ( t ; −5 ) ∈ BC , A ( 2; u ) .
0 = 2 ( t − xI )
 u −8 
Ta có: AH = 2 IJ ⇒ 
⇒ I  t;

2 

−2 − u = 2 ( −5 − yI )
MN ( −3; −5 ) , phương trình trung trực của MN
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

là: 3 x + 5 y + 11 = 0 .
Vì điểm I thuộc trung trực của MN nên ⇒ 3t + 5

Lại có: IM = IA ⇔ ( 7 − t )
2

2

2
u−2
 u +8
+
 = (t − 2) + 

 ⇔ 30 = 10t + 5u ⇔ 2t + u = 6 ( 2 )
 2 
 2 
2

2

u −8
= −11 ⇔ 6t + 5u = 18 (1) .
2
2

Từ (1) và (2) suy ra t = 3; u = 0 ⇒ I ( 3; −4 ) ; A ( 2; 0 ) ⇒ ( ABC ) : ( x − 3) + ( y + 4 ) = 17
2

2

Vậy A ( 2;0 ) ; B ( 7; −5 ) ; C ( −1; −5 ) hoặc A ( 2;0 ) ; B ( −1; −5 ) ; C ( 7; −5 ) .

5 2
Ví dụ 3. [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC cân tại A và C ( 2; −3) . Biết I  ; −  là
3 3
7 1
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K  ;  là trọng tâm tam giác ACM, với M là trung điểm
 3 3
của AB. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC, biết A không trùng với gốc tọa độ.
Đ/s: A ( 0;1) và B ( 4; −1) .
Hướng dẫn giải:
 1
- Gọi N là trung điểm AM, suy ra N 1; 

 2
N
→ A ( 0;1 − t )
- CM vuông góc KI nên CM : x − 2 = 0 ⇒ M ( 2; t ) 

t = 0
- Giải điều kiện GI ⊥ MK ⇒ 
t = 1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 10 ,
2

2

đường cao AK của tam giác ABC đi qua điểm E ( 2; 4 ) . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết trọng

 4 11 
tâm tam giác ABC là G  ;  và điểm A có tung độ dương.
3 3 
Lời giải:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
Theo tính chất Ơ-le ta có: HG = 2GI ( các bạn có thể dựa vào hình
bên để chứng minh lại tính chất này )
−1
4
− xH = 2.

3
 4 11 

3
Trong đó I (1; 2 ) , G  ;  ta có: 
⇒ H ( 2; 7 )
11
−
5
3 3 
 − y = 2.
H
 3
3
Do vậy phương trình đường thẳng AH : x = 2 .
Ta có: A = AH ∩ ( C ) ⇒ A ( 2;5) ( do y A > 0 )

Khi đó gọi M là trung điểm của BC ta có: AM = 3GM do vậy

4

 xM − 2 = 3  xM − 3 



⇒ M (1;3) ⇒ BC : y = 3

11


y −5 = 3 y −
 M


 M
3


Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

 B ( 4;3) ; C ( −2;3)
 y = 3
Khi đó toạ độ B,C là nghiệm của hệ PT: 
⇒
2
2
( x − 1) + ( y − 2 ) = 10  B ( −2;3) ; C ( 4;3)
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD với AB < CD. Biết rằng

 −3 1 
3 3
AC vuông góc CD và M  ;  , N  ;  lần lượt là trung điểm của BD, BC. Gọi I là giao điểm AC và
 2 2
2 2
BD, J là giao điểm của AD và BC. Tìm tọa độ các đỉnh A và B, biết đường thẳng IJ có phương trình là
3x − y + 3 = 0

Lời giải:
Ta có:

BE IE IA AB
=
=
=
(định lý Talet)
DF IF IC CD

Lại có :

BE JB AB
=
=
(Ta let)
CF JC CD

Do vậy CF = DF , tương tự ta cũng có EA = EB .
Khi đó NE / / AC ⊥ MN ⇒ NE : 3 x + y − 6 = 0

1 9
⇒ E  ;  ⇒ AB : x − 3 y + 13 = 0 , gọi K là điểm
2 2
 5 −3 
đối xứng của E qua N khi đó K  ;  ∈ CD
2 2 
Do vậy CD : x − 3 y − 7 = 0 ⇒ F ( −2; −3) . Do NMFC là hình bình hành nên C (1; −2 )
Do đó AC : 3x + y − 1 = 0 ⇒ A ( −1; 4 ) ⇒ B ( 2;5 ) .
Vậy A ( −1; 4 ) ; B ( 2;5) .

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại hai đỉnh A và D, CD = 2AB. Gọi E

7 9
là hình chiếu vuông góc của D lên đường chéo AC. Đỉnh D ( −1;1) , và điểm N  ;  là trung điểm EC,
 5 5
đỉnh B thuộc đường thẳng x − y + 2 = 0 . Tìm toa độ các đỉnh A, B, C.
Lời giải:
Gọi K là trung điểm của CD khi đó ABCD nội tiếp đường
tròn đường kính AB và AK. Do NK / / DE ⇒ NK ⊥ AN do
vậy AKN nội tiếp đường tròn đường kính AK. Do đó 5

điểm A,B,N,K,D thuộc đường tròn đường kính BD.
Do vậy ∆BDN vuông tại N.
Khi đó: BN : 3x + y − 6 = 0 ⇒ B (1;3) .
Lại có: AC ∩ BD = F .

FB 1
1
= ⇒ FB = − FD
FD 2
2

1

1 − xF = − 2 ( −1 − xF )
1 7
⇒
⇒ F  ;  ⇒ AC : x + 2 y − 5 = 0
3 3
3 − y = − 1 (1 − y )
F

F

2
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

 −1 13 
Khi đó DE : 2 x − y + 3 = 0 ⇒ E  ;  ⇒ C ( 3;1) .
 5 5
Lại có: DC = 2 AB ⇒ A ( −1;3) .

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của B trên đường

 3 −3 
thẳng AC là E(5; 0), trung điểm của AE và CD lần lượt là F(0; 2), I  ;  . Viết phương trình đường
2 2 
thẳng CD.

Lời giải:
Kẻ FK / / AB / / CD ( K ∈ BE ) khi đó KF là đường trung bình của
tam giác AEB ta có: KF / / =

1
AB = CI nên KCIF là hình bình
2

hành.

 FK ⊥ BC
Dễ thấy 
⇒ CK / / FI ⊥ BF .
 BE ⊥ AC
Phương trình đường thẳng BF qua F và vuông góc với FI là
BF : 3 x − 7 y + 14 = 0 . Lại có F là trung điểm của AE nên A ( −5; 4 ) .

Phương trình đường thẳng BE qua E và vuông góc với AC là: 5 x − 2 y − 25 = 0 ⇒ B = BE ∩ BF ⇒ B ( 7;5)
Khi đó: AB = (12;1) ⇒ nCD = (1; −12 ) ⇒ CD : x − 12 y +

39
=0
2

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm B(2; 0), đường thẳng đi qua đỉnh
B và vuông góc với đường chéo AC có phương trình 7 x − y − 14 = 0 , đường thẳng đi qua đỉnh A và trung

điểm của cạnh BC có phương trình x + 2 y − 7 = 0 . Tìm tọa độ điểm D của hình chữ nhật ABCD, biết điểm
A có hoành độ âm.

Lời giải
Gọi H là hình chiếu của B trên AC , M là trung điểm
BC

Do M ∈ x + 2 y − 7 = 0 ⇒ M ( 7 − 2t ; t )

M ( 7 − 2t ; t ) là trung điểm của BC ⇒ C (12 − 4t ; 2t )
Đường thẳng AC qua C (12 − 4t ; 2t ) và vuông góc với

BH nên đường thẳng AC : x + 7 y − 10t − 12 = 0

Ta có A = AM ∩ AC ⇒ A ( 5 − 4t ; 2t + 1)
Do AB ⊥ BC ⇒ AB.BC = 0
Mà AB = ( 4t − 3; −2t − 1) , BC = (10 − 4t ; 2t )

t = 1 ⇒ A (1;3) → l
⇒ ( 4t − 3)(10 − 4t ) + 2t ( −2t − 1) = 0 ⇔ 2t − 5t + 3 = 0 ⇔  3
t = ⇒ A ( −1; 4 ) , C ( 6;3 )
 2
2

5 7
Gọi I là trung điểm của AC ⇒ I  ;  , mà I là trung điểm của BD ⇒ D ( 3;7 )
2 2
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Vậy D ( 3;7 )
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 2, BC = 2 2 , điểm E thuộc
đoạn DC sao cho EC =

4 2
 14 17 
, điểm I  ;  thuộc đường thẳng BE. Biết đường thẳng AC có phương
3

 3 3

trình x - 5y + 3 =0 và các điểm A, B có hoành độ nguyên dương. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D của hình
chữ nhật.

Lời giải
Ta có AC = AB + BC và BE = BC + CE

(

)(

)

⇒ AC.BE = AB + BC BC + CE = AB.BC + AB.CE +
BC.BC + BC.CE = 0 − AB.CE + BC 2 + 0 = 8 − 8 = 0

⇒ AC.BE = 0 ⇒ AC ⊥ BE
 14 17 
Đường thẳng BE qua I  ;  và vuôn góc với AC
 3 3
nên đường thẳng BE : 5 x + y − 29 = 0

 71 22 
Gọi H là giao điểm của BE với AC ⇒ H  ; 
 13 13 
Do B ∈ BE : 5 x + y − 29 = 0 ⇒ B ( t ; 29 − 5t ) . Xét ∆ABC ta có

1
1

1
13
72
=
+
=
⇒ BH 2 =
2
2
2
72
13
BH
BA
BC

 77
 77 8 
2
2
72
 71   355

t = 13 ⇒ B  13 ; − 13  → l
2
⇒ t −  + 
− 5t  =
⇔ 26t − 284t + 770 = 0 ⇔ 



13
 13   13

t = 5 ⇒ B ( 5; 4 )
Do A ∈ AC : x − 5 y + 3 = 0 ⇒ A ( 5a − 3; a )
Mà AB = 3 2 ⇒ ( 5a − 8 ) + ( a − 4 )
2

2


31
 116 31 
 a = 13 ⇒ A  13 ; 13  → l
= 18 ⇔ 26a − 88a + 62 = 0 ⇔ 


 a = 1 ⇒ A ( 2;1)
2

Đường thẳng BC qua B ( 5; 4 ) và vuông góc với AB nên đường thẳng BC : x + y − 9 = 0
Ta có
9 3
Gọi M là giao điểm của AC và BD ⇒ M  ;  , mà M là trung điểm của BD ⇒ D ( 4; −1)
2 2
Vậy A ( 2;1) , B ( 5; 4 ) , C ( 7; 2 ) , D ( 4; −1)

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là
4 x + 3 y − 7 = 0 , đường phân giác trong góc A cắt cạnh BC tại D , cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 13 −7 
63 −8
;  , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có tâm J  ;  . Tìm tọa độ điểm B biết hoành
2 4
 22 11 

tại M 

độ điểm B là số nguyên.
Lời giải

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

 63 8 
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm J  ; − 
 22 11 
 13 7 
và đi qua điểm M  ; −  nên đường tròn ngoại tiếp
 2 4
∆ABC là
2

2

2

63
8
63 13
8 7
( C ) :  x −  +  y +  =  −  +  − 
22  
11   22 2   11 4 


2

Do B ∈ 4 x + 3 y − 7 = 0 ⇒ B (1 + 3t ;1 − 4t )
2

2

41   19

 1600 2025
Mà M ∈ ( C ) ⇒  3t −  +  − 4t  =
+
22   11
121 1936



 5
 19


t = 4 ⇒ B  4 ; −4 
125


⇔ 25t 2 − 25t −
=0⇔

16
1
1 
t = − ⇒ B  ; 2 
4
4 

 19

1 
Vậy B  ; −4  hoặc B  ; 2 
 4

4 
 11 
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm F  ;3  là trung điểm của cạnh AD.
2 
Đường thẳng EK có phương trình 19x – 8y – 18 = 0 với điểm E là trung điểm của cạnh AB, K thuộc cạnh
CD và KD = 3KC. Tìm tọa độ đỉnh C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3.
Giả sử AB = BC = CA = AD = 4a
Ta có EF =

Lời giải

AE 2 + AF 2 = 4a 2 + 4a 2 = 2a 2

EK = EH 2 + HK 2 = 16a 2 + a 2 = a 17
FK = FD 2 + DK 2 = 4a 2 + 9a 2 = a 13
EF 2 + EK 2 − FK 2
3
⇒ cos FEK =
=
2 EF .EK
34
 11 
Đường thẳng EF qua F  ;3  nên ta gọi đường thẳng EF
2 
11 

là EF : a  x −  + b ( y − 3) = 0
2

19a − 8b
3
3
⇒
=
Ta có cos ( EF , EK ) =
2
2
2
2
34

34
19 + 8 a + b
⇔

19a − 8b
5 17 a + b
2

2

=

3
34

⇔ 2 19a − 8b = 15 2a 2 + 2b 2 ⇔ 4 (19a − 8b ) = 225 ( 2a 2 + 2b 2 )
2

 71a + 97b = 0
⇔ 994a 2 − 1216ab − 194b 2 = 0 ⇔ ( 7 a + b )( 71a + 97b ) = 0 ⇔ 
7a + b = 0
641
=0
Với 71a + 97b = 0 chọn a = 97, b = −71 ⇒ EF : 97 x − 71 y −
2
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

 1286 8687 
Ta có E = EF ∩ EK ⇒ E  −
;−
→l
 573 1146 
Với 7 a + b = 0 chọn a = 1, b = −7 ⇒ EF : x − 7 y +

31
=0
2

 5
Ta có E = EF ∩ EK ⇒ E  2; 
 2
 15 11 
Gọi I là giao điểm của AC với EF ⇒ I là trung điểm của EF ⇒ I  ; 
 4 4
 15 11 
Đường thẳng AC qua I  ;  và vuông góc với EF nên đường thẳng AC : 7 x + y − 29 = 0
 4 4
1 7


Do C ∈ AC : 7 x + y − 29 = 0 ⇒ C ( t ; 29 − 7t ) , mà CI = 3IA ⇒ A  5 − t ; t − 6 
3 3


t = 3 ⇒ C ( 3;8)

2
2
4
  28


Ta có AC = 2 EF = 5 2 ⇒  t − 5  +  t − 35  = 50 ⇔  9
9 5
t = ⇒ C  ;− 
3
  3

 2
2 2
9 5
Vậy C ( 3;8 ) hoặc C  ; − 
2 2

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 30, hai điểm E (3;3) ,
điểm F nằm trên đường thẳng BC. Hình chiếu vuông góc của điêm D trên đường thẳng AF là điểm
 14 −3 
 −1 
H  ;  . Biết điểm M  ;0  là trung điểm của cạnh AD và đường thẳng BC có hệ số góc là một số
 5 5 
 2 

nguyên. Tìm tọa độ của hình chữ nhật ABCD.

Lời giải:
Ta có: MA = MD = MH ( tính chất trung tuyến trong tam giác

vuông ). Khi đó: AD = 2 MH = 3 5 .
Lại có: S ABCD = AD. AB = 30 ⇒ AB = 2 5
Gọi nAB = ( a; b ) ( a 2 + b 2 > 0 ) ta có: d ( M ; BC ) = AB = 2 5

7
a + 3b
2

 a = 2b
Trong đó: BC : a ( x − 3) + b ( y − 3) = 0 ⇒
= 2 5 ⇔ 31a − 84ab + 44b = 0 ⇔ 
22 ( loai )
a = b
a 2 + b2
31

2

2

Với a = 2b ⇒ BC : 2 x + y − 9 = 0 ⇒ AD : 2 x + y + 1 = 0 .
2
t = 1
45
2
 1
Gọi A ( t ; −2t − 1) ta có: MA =  t +  + ( 2t + 1) =
⇔
.
4

 2
 t = −2
2

Với t = 1 ⇒ A (1; −3) ; D ( −2;3) ⇒ AB : x − 2 y − 7 = 0 ⇒ B = AB ∩ BC ⇒ B ( 5; −1)
Khi đó: CD : x − 2 y + 8 = 0 ⇒ C ( 2;5)
Với t = −2 tương tự.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho
EB = 2 AB và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho DF = 3 AF . Các đường thẳng CE, CF tương ứng có
Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

phương trình là 4 x − 3 y − 20 = 0 và 2 x + 11 y − 10 = 0 .Biết điểm M (−2; 4) nằm trên đường thẳng AD,
tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD.

Lời giải:
Ta có: C = CE ∩ CF ⇒ C ( 5;0 ) . Đặt AB = 4a ta có:
DF = 3a; CF = DF 2 + CD 2 = 5a . Do vậy cos DFC =

DF 3
= .
CF 5

Gọi nAD = ( a; b ) ( a 2 + b 2 > 0 ) ta có:
cos ( AD; CF ) =

2a + 11b
a 2 + b 2 .5 5

=

 a = 2b
3
⇔ 41a 2 − 44ab − 76b 2 = 0 ⇔ 
 a = −38b
5
41


 1 
Với a = 2b ⇒ nAD ( 2;1) ⇒ AD : 2 x + y = 0 ⇒ F = CF ∩ AD ⇒ F  − ;1
 2 
Khi đó: CD : x − 2 y − 5 = 0 ⇒ D (1; −2 ) . Lại có DF = 3 AF ⇒ A ( −1; 2 ) ⇒ I ( 2;1) ⇒ B ( 3; 4 )
Với a =

−38
b các bạn từ làm nhé ( tương tự ☺))
41

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C). Gọi M là trung
 10 1 
điểm của cạnh AB, đường thẳng CM cắt đường tròn (C) tại E (0; 2) . Biết G  ;  là trọng tâm của tam
 3 3
giác ABC, điểm F (2; −4) nằm trên đường tròn (C) và đểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình chữ nhật ABCD.

Lời giải:
Gọi I là tâm của hình chữ nhật và cũng là tâm đường tròn ( C ) . Khi

đó điểm I thuộc trung trực của EF hay I thuộc d : x − 3 y − 4 = 0
Do đó I ( 3a + 4; a ) .Lại có: BG = 2GI ⇒ B ( 2 − 6a;1 − 2a )
Mặt khác IB = IE ⇔ ( 2 + 9a ) + ( 3a − 1) = ( 3a + 4 ) + ( a − 2 )
2

2

2

2

3

a=

8
⇔ 8a 2 + 10a − 15 = 0 ⇔ 
.
a = − 1

2

5 1
Do xB > 0 ⇒ B ( 5; 2 ) ⇒ I  ; −  . Khi đó M thuộc GE có PT: GE : x + 2 y − 4 = 0 ⇒ M ( 4 − 2t ; t )
2 2

t = 1 ⇒ M ( 2;1)
3

 1

2
Mặt khác IM .BM = 0 ⇔  − 2t  (1 + 2t ) +  t +  ( 2 − t ) = 0 ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇔  −1
1

t=
⇒ M  5; − 
2

 2

2
2

Do M nằm giữa G và E nên ta có: M ( 2;1)
Từ đó suy ra A ( −1;3) ; D ( 0; −3) ; C ( 6; −4 ) .

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Chuyên đề : Hình phẳng Oxy (Nâng cao)

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I và bán kinh R = 10 , gọi M là một
điểm trên đường thẳng d : 2 x − y − 6 = 0 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là hai

tiếp điểm). Biết rằng phương trình đường AB là x − y = 0 và khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d
bằng 2 5 . Viết phương trình đường tròn (C).
Lời giải:
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d , IH cắt
AB tại K, IM cắt AB tại E.
Ta có IH = 2 2 , Mặt khác
IE IH
cos MIH =
=
⇒ IE.IM = IK .IH = IA2 = R 2 = 10
IK IM
( có thể chứng minh IE.IM = IK .IH (phương tích) vì tứ
giác EMHK là tứ giác nội tiếp)
10
= 5 ⇒ KH = 5
+) Theo gt IH = 2 5 ⇒ IK =
2 5
do đó K là trung điểm của IH.
t −6
+) Gọi K ( t ; t ) ⇒ d ( K ; d ) = 5 ⇔
= 5
5
t = 1 ⇒ K (1;1)
⇔ t −6 = 5⇒ 
t = 11 ⇒ K (11;11)
+) Với K (1;1) ⇒ IH : x + 2 y − 3 = 0 ⇒ H ( 3;0 ) ⇒ I ( −1; 2 ) ⇒ ( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 10
2

2

+) Với K (11;11) ⇒ IH : x + 2 y − 33 = 0 ⇒ H ( 9;12 ) ⇒ I (13;10 ) ⇒ ( C ) : ( x − 13) + ( y − 10 ) = 10
2

2

Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M ( 5;3) là
trung điểm của cạnh BC. Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm E (1;1) . Tìm toạ độ các đỉnh
A,B,C biết D ( 6; 2 ) và điểm C thuộc đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 .

Lời giải
Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có: CH / / BD ⊥ AB và
BH / / CD do vậy BHCD là hình bình hành suy ra M là trung điểm
của BC đồng thời là trung điểm của HD.
Khi đó H ( 4; 4 ) suy ra PT đường cao BH là: x − y = 0 .

2u + 1 + v = 10
Gọi C ( 2u + 1; u ) ; B ( v; v ) ta có: 
⇔ u = v =3.
u + v = 6
Do vậy C ( 7;3) ; B ( 3;3)
Khi đó AH : x = 4; AC : x + y − 10 = 0 ⇒ A ( 4;6 ) .
Vậy A ( 4;6 ) ; B ( 3;3) ; C ( 7;3)

Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !