01 mo dau ve dao ham p1 baigiang

Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)

MỞ ĐẦU VỀ ĐẠO HÀM (Phần 1)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Để tính đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
B1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 . Tính ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) .
∆y
= f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) .
∆x →0 ∆x

B2: Tính lim

Cách khác: f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) = lim

f ( x ) − f ( x0 )

x → x0

x − x0

Bài 1: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) y = f ( x ) = 2 x 2 − x + 2 tại x0 = 1

b) y = f ( x ) = 3 − 2 x tại x0 = −3

Bài 2: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) y = f ( x ) =

2x +1
tại x0 = 2
x −1

b) y = f ( x ) = sin x tại x0 =

π
6

Bài 3: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) y = f ( x ) =

3

x tại x0 = 1

b) y = f ( x ) =

x2 + x + 1
tại x0 = 0
x −1

Bài 4: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f ( x ) = x 2 − 3 x + 1

b) f ( x ) = x 3 − 2 x

Bài 5: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f ( x ) =

x + 1, ( x > − 1)

b) f ( x ) =

1
2x − 3

Bài 6: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f ( x ) = sin x

b) f ( x ) =

1
cos x

( x − 1)2 , x ≥ 0

Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh rằng hàm số f ( x ) = 
không có đạo hàm tại x = 0 , nhưng liên
2
( x + 1) , x < 0
tục tại đó.
3
 x − 2 khi x ≤ 0
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) =  2
. Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 0.
 x + ax + b khi x > 0

1 − 1 − x
khi x ≠ 0

x
Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) = 
.
 1 khi x = 0
 2
Chứng minh rằng hàm số liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 0.
MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

 x 2 − x + 2 khi x ≤ 2

Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) =  1
khi x > 2

 x −1
Xét tính liên tục và tính đạo hàm (nếu có) của hàm số đã cho tại điểm x = 2.
 x 2 + 1 khi x > 0
Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) = 
3
1 − x khi x ≤ 0
Xét tính liên tục và tính đạo hàm (nếu có) của hàm số đã cho tại điểm x = 0.

3 − 2x + 9
khi x > 0

x
Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) = 
 1 khi x ≤ 0
 3
Xét tính liên tục và tính đạo hàm (nếu có) của hàm số đã cho tại điểm x = 0.
Bài 13: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) =

x2 − 2 x + 3
3x − 1

. Chứng minh rằng hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x = −3

nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) y = f ( x ) = 2 x 2 − x + 2 tại x0 = 1

b) y = f ( x ) = 3 − 2 x tại x0 = −3
Lời giải

a) f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

2 x2 − x + 2 − ( 2 − 1 + 2)
( x − 1)( 2 x + 1) = lim 2 x + 1 = 3
2x2 − x −1
= lim
= lim
(
)
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1

= lim

b) f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) = lim

x → x0

x →−3

x →−3

x − x0

3 − 2 x − 3 − 2. − 3
3 − 2x − 3

= lim
= lim
x
→−
3
x →−3
x+3
x+3

= lim
= lim

f ( x ) − f ( x0 )

(

−2 ( x + 3)

)

3 − 2 x + 3 ( x + 3)

= lim

x →−3

(

3 − 2x − 9

)

3 − 2 x + 3 ( x + 3)

−2
−2
−1
=
=
3 − 2x + 3
3 − 2. − 3 + 3 3

Bài 2: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) y = f ( x ) =

2x + 1
tại x0 = 2
x −1

b) y = f ( x ) = sin x tại x0 =

π
6

Lời giải
a) f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 )

x − x0

MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

2 x + 1 2.2 + 1
2x + 1
−
−5
2 x + 1 − 5 ( x − 1)
−3 x + 6
−3
2 − 1 = lim x − 1
= lim x − 1
= lim
= lim
= lim
= −3
x→2
x →2
x → 2 ( x − 2 )( x − 1)
x → 2 ( x − 2 )( x − 1)
x→2 x − 1
x−2

x−2
π
6

b) f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) = ( sin x0 ) = cos x0 = cos =
'

3
2

Bài 3: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) y = f ( x ) =

3

b) y = f ( x ) =

x tại x0 = 1

x2 + x + 1
tại x0 = 0
x −1

Lời giải
f ( x ) − f ( x0 )

a) f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) = lim

x − x0

x → x0

= lim
x →1

3

x −1
= lim
x →1
x −1

3

(

3

)(

x −1

x −1

)

x2 + 3 x + 1

3

= lim
x →1

(

1
3

)

x2 + 3 x + 1

=

1
3

f ( x ) − f ( x0 )

b) f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) = lim

x − x0

x → x0

x2 + x + 1 1
−
2
2
x

−
1
−1 = lim x + x + 1 + x − 1 = lim x + 2 x = lim x + 2 = −2
= lim
x →0
x →0
x → 0 x ( x − 1)
x →0 x − 1
x−0
x ( x − 1)

Bài 4: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f ( x ) = x 2 − 3 x + 1

b) f ( x ) = x 3 − 2 x
Lời giải
f ( x ) − f ( x0 )

a) f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) = lim

x − x0

x → x0

= lim

(

) = lim ( x − x0 )( x + x0 − 3) = lim ( x + x

x 2 − 3x + 1 − x02 − 3 x0 + 1
x − x0

x → x0

x → x0

x − x0

x → x0

0

− 3) = 2 x0 − 3

⇒ f ' ( x) = 2x − 3

b) f ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) = lim

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

x → x0

= lim

x → x0

(

x3 − 2 x − x03 − 2 x0
x − x0

) = lim ( x − x0 ) ( x2 + x.x0 + x02 − 2) = lim
x → x0

x − x0

x → x0

( x2 + x.x0 + x02 − 2) = 3x02 − 2

⇒ f ' ( x ) = 3x 2 − 2

Bài 5: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f ( x) =

x + 1, ( x > − 1)

MOON.VN – Học để khẳng định mình

b) f ( x) =

1
2x − 3
www.facebook.com/Lyhung95


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

Lời giải
a) Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 .
Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = x + ∆x + 1 − x + 1 =
f ' ( xo ) = lim

∆x → 0

∆y
=
∆x

∆x
x + ∆x + 1 + x + 1

∆x
1
1
x + ∆x + 1 + x + 1 = lim
=
∆
x
→
0
∆x
x + ∆x + 1 + x + 1 2 x + 1

b) Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 .
Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) =

1
1
−2∆x
−
=
2 ( x + ∆x ) − 3 2 x − 3 ( 2 x − 3)( 2 x + 2∆x − 3)

−2∆x
2
∆y ( 2 x − 3)( 2 x + 2∆x − 3)
−2
f ' ( xo ) = lim
=
= lim
=−
2
∆x → 0 ∆x
∆x → 0 ( 2 x − 3 )( 2 x + 2∆x − 3 )
∆x
( 2 x − 3)

Bài 6: [ĐVH]. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
b) f ( x) =

a) f ( x) = sin x

1
cos x

Lời giải
a) Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 .

∆x 
∆x

Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = sin ( x + ∆x ) − sin x = 2 cos  x +
 sin
2 
2

∆x 
∆x

∆x
2 cos  x +
sin
sin

∆y
∆
x
2
2




2 = lim cos  x + ∆x  = cos x
f ' ( xo ) = lim

=
= lim cos  x +
. lim



∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆x → 0
∆x
2  ∆x →0 ∆x
2 


2
b) Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 . Ta có

∆x 
−∆x

−2 sin  x +
sin

cos x − cos ( x + ∆x )
1
1
2 
2

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) =

−
=
=
cos ( x + ∆x ) cos x cos x.cos ( x + ∆x )
cos x.cos ( x + ∆x )
∆x 
∆x

2sin  x +
 sin
2 
2

=
cos x.cos ( x + ∆x )

f ' ( xo ) = lim

∆x → 0

∆y
=
∆x

∆x 
∆x

2sin  x +
 sin
2 

2

cos x.cos ( x + ∆x )
∆x

= lim

∆x → 0

∆x 

∆x
sin  x +

sin x
2 

2 . lim
=
∆x ∆x →0 cos x.cos ( x + ∆x ) cos 2 x
2

sin

( x − 1)2 , x ≥ 0
Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh rằng hàm số f ( x ) = 
không có đạo hàm tại x = 0 , nhưng liên
2
( x + 1) , x < 0
tục tại đó.

Lời giải

MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

 lim f ( x ) = lim ( x − 1)2 = 1
 x → 0+
x →0+
Ta có : 
⇒ lim+ f ( x ) = 1 = f ( 0 ) ⇒ hàm số liên tục tại x = 0
2
x →0
lim
f
x
=
lim
x
+
1
=
1
( )
 − ( )

x → 0−
 x →0
2

x − 1) − 1
(
=0
 f '+ (1) = lim+
x →1

x
Ta có : 
⇒ f '+ (1) ≠ f '− (1) ⇒ hàm số không có đạo hàm tại x = 0
2
x + 1) − 1
(

=2
 f '− (1) = xlim
→1−
x

 x3 − 2 khi x ≤ 0
. Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 0.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) =  2
 x + ax + b khi x > 0
Lời giải

( x 2 + ax + b ) − b = a
 f '+ ( 0 ) = lim+

x→0
x

3

x − 2) + 2
 f '+ ( 0 ) = f '− ( 0 )
 f ' ( 0 ) = lim (
=0
Ta có :  −
,
để
hàm
s
ố
có
đạ
o
hàm
t
ạ
i
x
=
0
thì
−

x →0
x


f ( x ) = lim− f ( x )
 xlim

→1+
x →1
 lim+ f ( x ) = a + b + 1
 x →0
 lim− f ( x ) = −1
  x →0
a = 0
a = 0
⇔
⇔
a + b + 1 = −1 b = −2
1 − 1 − x
khi x ≠ 0

x
Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) = 
.
1
 khi x = 0
 2
Chứng minh rằng hàm số liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 0.
Lời giải
Ta có : lim f ( x ) = lim
x →0

x →0

1− 1− x
x
1
1
= lim
= lim
= = f ( 0)
x
→
0
x
→
0
x
1+ 1− x 2
x 1+ 1− x

⇒ Hàm số liên tục tại x = 0

(

)

(1)

1
1

−


1
1
1 + 1 − x 2 = lim 1 − 1 − x = lim
=
 f '+ ( 0 ) = lim+
+
+
x
→
0
x
→
0
x
→
0
Ta có : 
x
x
1 + 1 − x 2 ⇒ f '+ ( 0 ) = f '− ( 0 )

1 1
 f '− ( 0 ) = lim− =
x →0 2

2
Từ (1) và ( 2 ) ⇒ hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0.

( 2)

 x 2 − x + 2 khi x ≤ 2

Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) =  1
khi x > 2

 x −1
Xét tính liên tục và tính đạo hàm (nếu có) của hàm số đã cho tại điểm x = 2.

Lời giải

MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

•
•

lim f ( x ) = lim+

x → 2+

x→2

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

1

1
=
= 1; lim− f ( x ) = lim− ( x 2 − x + 2 ) = 2 2 − 2 + 2 = 4.
x→2
x →2
x −1 2 −1

f ( 2 ) = 22 − 2 + 2 = 4 ⇒ f ( 2 ) = lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x )
x →2

x→2

⇒ f ( x ) không liên tục tại x = 2 ⇒ f ( x ) không có đạo hàm tại x = 2.
Vậy f ( x ) không liên tục tại x = 2 và không có đạo hàm tại x = 2.

 x 2 + 1 khi x > 0
Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) = 
3
1 − x khi x ≤ 0
Xét tính liên tục và tính đạo hàm (nếu có) của hàm số đã cho tại điểm x = 0.

Lời giải
•

lim f ( x ) = lim+ ( x 2 + 1) = 02 + 1 = 1; lim− f ( x ) = lim− (1 − x 3 ) = 1 − 03 = 1.

x → 0+

x→0

x →0

x →0

f ( 0 ) = 1 − 03 = 1 ⇒ lim = lim− = f ( 0 ) ⇒ f ( x ) liên tục tại x = 0.
x →0+

•

x →0

x 2 + 1) − 1
(
f ( x) − f (0)
lim
= lim+
= lim+ x = 0
x → 0+
x→0
x →0
x−0
x
lim

f ( x ) − f ( 0)

x → 0−

⇒ lim+
x →0

x−0

(1 − x ) − 1 = lim
= lim
3

x → 0−

x → 0+

x

(−x ) = 0
2

f ( x ) − f ( 0)
f ( x ) − f ( 0)
= lim−
= 0 ⇒ f ' ( 0 ) = 0.
x →0
x−0
x−0

Vậy f ( x ) liên tục tại x = 0 và f ' ( 0 ) = 0.

3 − 2x + 9
khi x > 0

x

Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) = 
 1 khi x ≤ 0
 3
Xét tính liên tục và tính đạo hàm (nếu có) của hàm số đã cho tại điểm x = 0.

Lời giải
•

•

lim+ f ( x ) = lim+

x →0

x →0

9 − ( 2x + 9)
3 − 2x + 9
−2
−2
1
= lim+
= lim+
=
=− .
x
→
0
x
→

0
x
3
3 + 2 x + 9 3 + 2.0 + 9
x 3 + 2x + 9

(

)

1
1
lim− f ( x ) = ; f ( 0 ) = ⇒ f ( 0 ) = lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x )
x →0
x →0
x →0
3
3

⇒ f ( x ) không liên tục tại x = 0 ⇒ f ( x ) không có đạo hàm tại x = 0.
Vậy f ( x ) không liên tục tại x = 0 và không có đạo hàm tại x = 0.

Bài 13: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x ) =

x2 − 2 x + 3
3x − 1

. Chứng minh rằng hàm số f ( x ) liên tục tại điểm x = −3

nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Lời giải
MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

•

lim+ f ( x ) = lim+

x →−3

x 2 − 2 ( x + 3)
3x − 1

x →−3

lim− f ( x ) = lim−

x →−3

x 2 + 2 ( x + 3)

x →−3

3x − 1

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM và ỨNG DỤNG

( −3)
=

2

( −3 )
=

2

− 2 ( −3 + 3 )

3. ( −3) − 1

+ 2 ( −3 + 3 )

3. ( −3) − 1

=−

9
.
10

=−

9
10

( −3) = − 9 ⇒ lim f x = lim f x = f −3 ⇒ f x
f ( −3 ) =
( ) x→−3 ( ) ( )
( )
x →−3
3. ( −3) − 1
10
2

+

•

−

liên tục tại x = −3.

x 2 − 2 ( x + 3 ) −9
−

f ( x ) − f ( −3 )
x2
2
9
3
x
−
1
10 = lim 

= lim+
−
+
lim+


x →−3
x →−3
x →−3+  ( x + 3 )( 3 x − 1)
x − ( −3 )
x+3
3 x − 1 10 ( x + 3) 


= lim+
x →−3

10 x 2 + 9 ( 3x − 1)
( x + 3)(10 x − 3)
−2
−2
+ lim+
=
+ lim+
3x − 1 x →−3 10 ( x + 3)( 3x − 1) −9 − 1 x →−3 10 ( x + 3)( 3x − 1)

1
10 x − 3
1
−30 − 3

53
= + lim+
= +
=
.
5 x →−3 10 ( 3x − 1) 5 10 ( −9 − 1) 100

•

x 2 + 2 ( x + 3 ) −9
−

f ( x ) − f ( −3 )
x2
2
9
3x − 1
10 = lim 
= lim−
+
+
lim−


− 
x →−3
x →−3
x →−3
x − ( −3)
x+3

 ( x + 3)( 3 x − 1) 3 x − 1 10 ( x + 3) 

10 x 2 + 9 ( 3x − 1)
( x + 3)(10 x − 3)
2
2
= lim−
+ lim−
=
+ lim−
x →−3 3 x − 1
x →−3 10 ( x + 3 )( 3 x − 1)
−9 − 1 x →−3 10 ( x + 3)( 3x − 1)
1
10 x − 3
1
−30 − 3
13
= − + lim−
=− +
=
.
5 x →−3 10 ( 3x − 1)
5 10 ( −9 − 1) 100
⇒ lim+
x →−3

f ( x ) − f ( −3 )
x − ( −3 )

≠ lim+
x →−3

f ( x ) − f ( −3)
x − ( −3 )

⇒ f ( x ) không có đạo hàm tại x = −3.

Vậy f ( x ) liên tục tại x = −3 và không có đạo hàm tại x = −3.

Chương trình lớp 11 trên Moon.vn : />
MOON.VN – Học để khẳng định mình

www.facebook.com/Lyhung95