BG01 vec to va toa do phang

Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Tài liệu bài giảng (Chương trình Toán 10)

BG1. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ PHẲNG OXY
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Bài 1: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 3); B(−1; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm D để
a) ABCD là hình bình hành.
b) ACDB là hình bình hành.
Bài 2: [ĐVH]. Cho các điểm A(−1; 1); B(1; 3), C(−2; 0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B không thẳng hàng.
 3
Bài 3: [ĐVH]. Cho các điểm A(4; 6); B(1; 4), C  7;  , D(−2; 2) .
 2
Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng; ba điểm A, B, D thẳng hàng.

Bài 4: [ĐVH]. Cho các điểm A(0; 5); B(−2; −1), C(2; 1). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Đ/s: I(−1; 2).
Bài 5: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; −3); B(3; 4), C(0; 2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 3MA − 2MB = 0.
Đ/s: M(0; −17).
Bài 6: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 3); B(3; 4) Tìm điểm M thuộc Ox để ba điểm A; B; M thẳng hàng.
Bài 7: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; −1); B(4; 0), C(6; 4). Tìm điểm D trên Oy để ABCD là hình thang.
Bài 8: [ĐVH]. Cho điểm A(1; 1) Tìm điểm B trên đường thẳng y = 3; điểm C trên Ox để tam giác ABC đều.
Bài 9: [ĐVH]. Tìm điểm A trên Ox, điểm B trên Oy sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x
– 2y + 3 = 0.

Đ/s: A ( 2;0 ) , B ( 0; 4 ) .
Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A ( 2;5 ) , B (1;1) , C ( 3;3) .
a) Tìm toạ độ điểm D sao cho AD = 3 AB − 2 AC.
b) Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm toạ độ tâm hình bình hành đó.
Đ/s: a) D ( −3; −3) .

5 
b) E ( 4; 7 ) , I  ; 4  .
2 

Bài 11: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A ( −1;1) , B ( 5; −3) , đỉnh C thuộc Oy và trọng tâm G thuộc Ox. Tìm
toạ độ đỉnh C.
4 
Đ/s: G  ;0  , C ( 0; 2 ) .
3 

Bài 12: [ĐVH]. Cho tam giác ABC biết A ( 2; −2 ) , B ( 0; 4 ) , C ( −2; 2 ) . Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Đ/s: Tam giác vuông tại C nên H ≡ C ; I (1;1) .
Bài 13: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A ( −4;1) , B ( 2; 4 ) , C ( 2; −2 ) . Tìm trực tâm H và tâm đường tròn ngoại
tiếp O của tam giác ABC.
1   1 
Đ/s: H  ;1 ; O  − ;1 .

2   4 

Bài 14: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (0;5), C (2; 4) .
a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AM + BM = CM
b) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
c) Tìm điểm E thuộc trục hoành để tam giác AEB cân tại E.
Đ/s: a) M (−1; 2)

b) D (3;0)

 23 
c) E  − ; 0 
 2 

Bài 15: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1; 0), B (0;5), C (2;1) .
a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn OA + OB + OC = OM
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC . Tìm m để AG = a biết a = (m; 2 3)
c) Tính độ dài đường trung bình của ∆ABC song song với BC
Đ/s: a) M (3; 6)

b) m = ±4

c) 5

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 3); B(−1; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm D để
a) ABCD là hình bình hành.
b) ACDB là hình bình hành.
Lời giải:
a) Để ABCD là hình bình hành

 xB − x A = xC − xD
⇔ AB = DC ⇔ ( xB − x A ; yB − y A ) = ( xC − xD ; yC − yD ) ⇔ 
 yB − y A = yC − yD
 xD = x A + xC − xB = 4
⇔
⇒ D ( 4; 0 ) .
 yD = y A + yC − yB = 0
b) Tương tự phần a ta tìm được D ( −2; 2 )

Bài 2: [ĐVH]. Cho các điểm A(−1; 1); B(1; 3), C(−2; 0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B không thẳng hàng.
Lời giải:
a) Ta có: AB = ( 2; 2 ) , AC = ( −1; −1) ⇒ AB = −2 AC ⇒ 3 điểm A, B và C thẳng hàng.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

b) Ta có : OA = ( −1;1) , OB = (1;3) .
1 1
Do − ≠ nên 2 véc tơ OA và OB không cùng phương hay 3 điểm O, A và B không thẳng hàng.
1 3



3

Bài 3: [ĐVH]. Cho các điểm A(4; 6); B(1; 4), C  7;  , D( −2; 2) .
 2
Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng; ba điểm A, B, D thẳng hàng.

Lời giải:
Chứng minh tương tự như bài 2

Bài 4: [ĐVH]. Cho các điểm A(0; 5); B(−2; −1), C(2; 1). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Lời giải:
x +x +x

xG = A B C = 0

OA + OB + OC

 5
3
+) G là trọng tâm tam giác ABC nên OG =
⇒
⇒ G  0;  .
3
 3
 y = y A + yB + yC = 5
G

3
3
Gọi H ( xo ; yo ) .

2 xo + yo = 5
 xo = 2
 AH .BC = 0
( xo ; yo − 5 ) . ( 4; 2 ) = 0
+) H là trực tâm tam giác ABC ⇔ 
⇔
⇔
⇔
( xo + 2; yo + 1) . ( 2; −4 ) = 0
 xo − 2 yo = 0
 yo = 1
 BH . AC = 0

⇒ H ( 2;1)
+) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, gọi D là chân đường phân giác kẻ từ A.
Theo tính chất đường phân giác ta có

a
ab
 DB DC DB + DC

=
=
=
DB AB c

 DC =
b
b+c
b+c ⇔ 

b+c
=
= ⇒ c
.
DC AC b
bDB + cDC = 0
bDB + cDC = 0



(

) (

)

Từ bDB + cDC = 0 ⇔ b IB − ID + c IC − ID = 0 ⇔ bIB + cIC − ( b + c ) ID = 0 (1)
Trong tam giác ADC có IC là phân giác góc C nên

ID DC
ab
a
=
=
=
⇔ ( b + c ) ID + aIA = 0 ( 2 ) .
IA AC ( b + c ) b b + c

Cộng (1) với (2) ta có được aIA + bIB + cIC = 0

ax A + bxB + cxC

= −1
 xI =
a+b+c
Từ đ ó 
⇒ I ( −1; 2 )
ay
+
by
+
cy
A
B
C
y =
=2
 I
a+b+c
Bài 5: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; −3); B(3; 4), C(0; 2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 3MA − 2 MB = 0.
Lời giải:
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

x A − kxB


x
=
M

1− k
Tổng quát MA = k MB ⇒ 
.
y
−
ky
A
B
y =
 M
1− k
2

x A − xB

3
=0
 xM =
2

1−
2

3
Khi đó 3MA − 2 MB = 0 ⇔ MA = MB ⇒ 
2

3

y − y
 y = A 3 B = −17
 M
2
1−

3


Bài 6: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 3); B(3; 4) Tìm điểm M thuộc Ox để ba điểm A; B; M thẳng hàng.
Lời giải:
 AM = ( x0 − 2; −3)

Gọi M ( x0 ;0 ) ⇒ 

 BM = ( x0 − 3; −4 )

Do A, B và M thẳng hàng nên

.

x0 − 2 −3
=
≠0
x0 − 3 −4

x0 = −1 ⇒ M ( −1;0 )

Bài 7: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; −1); B(4; 0), C(6; 4). Tìm điểm D trên Oy để ABCD là hình thang.
Lời giải:
Gọi D ( 0; y0 ) .
Để ABCD là hình thang thì AB // CD ⇒ AB / / CD ⇔ ( 3;1) / / ( −6; y0 − 4 ) ⇔

3
1
=
⇔ y0 = 2 ⇒ D ( 0;2 )
−6 y0 − 4

Bài 8: [ĐVH]. Cho điểm A(1; 1) Tìm điểm B trên đường thẳng y = 3; điểm C trên Ox để tam giác ABC đều.
Lời giải:
Giả sử: B ( b;3) ; C ( c;0 ) ta có: AB 2 = ( b − 1) + 4; AC 2 = ( c − 1) + 1; BC 2 = ( b − c ) + 9
2

2

2

( b − 1)2 + 4 = ( c − 1) 2 + 1
⇒
2
2
( c − 1) + 1 = ( b − c ) + 9
2
2
u 2 + 3 = v 2
v − u = 3
Đặt u = b − 1; v = c − 1 ta có hệ PT ⇒  2

⇔ 2
2
−u + 2uv = 8
v = ( u − v ) + 8

4v

u=

⇒ 8 ( v − u ) = 3 ( −u + 2uv ) ⇔ 5u + 6uv − 8v = 0 ⇔ ( 5u − 4v )( u + 2v ) = 0 ⇔
5

u = −2v
2

2

2

2

2

2

•

u=

4v

9
5
4
 4v 
⇒ v2 −   = 3 ⇒ v2 = 3 ⇒ v = ±
⇒u =±
5
25
3
3
 5 

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

•

MOON.VN – Học để khẳng định mình

u = −2v ⇒ v 2 − ( −2v ) = 3 ⇒ VN
2

  4
  5

+ 1;3  ; C 
+ 1; 0 
B 

 3
  3

⇒
  4
  5

+ 1;3  ; C  −
+ 1;0 
B  −
3
3
 

 

Bài 9: [ĐVH]. Tìm điểm A trên Ox, điểm B trên Oy sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x
– 2y + 3 = 0.
Lời giải:
Giả sử: A ( a; 0 ) , B ( 0, b ) A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0.
 a + 3 −2b + 3
=
d ( A; d ) = d ( B; d )  5
5 ⇔  a + 3 = −4a + 3 ⇔ a = 2 
⇒
⇒
→ A ( 2; 0 ) , B ( 0; 4 ) .


b

=
4
b
=
2
a
−
a
b
 AB ⊥ d




=
 1 −2

Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A ( 2;5) , B (1;1) , C ( 3;3) .
a) Tìm toạ độ điểm D sao cho AD = 3 AB − 2 AC.
b) Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm toạ độ tâm hình bình hành đó.
Lời giải:

 x D − 2 = −5
a) AB = ( −1; −4 ) ; AC = (1; −2 ) ⇒ AD = ( −5; −8 ) ⇒ 
⇔ xD = yD = −3
 y D − 5 = −8
1 = xE − 3
x = 4
b) ABCE là hình bình hành ⇔ BA = CE ⇒ 
⇔ E

4 = yE − 3  yE = 7
5



Tâm của hình bình hành là trung điểm I  ;4  của AC.
2 

Bài 11: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A ( −1;1) , B ( 5; −3) , đỉnh C thuộc Oy và trọng tâm G thuộc Ox. Tìm toạ
độ đỉnh C.
Lời giải:
4

−1 + 5 + 0 = 3.g
g =
Gọi C ( 0; c ) ; G ( g ;0 ) ta có: 
⇔
3
1 − 3 + c = 3.0
c = 2

Bài 12: [ĐVH]. Cho tam giác ABC biết A ( 2; −2 ) , B ( 0;4 ) , C ( −2;2 ) . Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:
Ta có: CA = ( 4; −4 ) ; CB = ( 2; 2 ) ⇒ CA.CB = 0 ⇒ Tam giác ABC vuông tại C hay C là trực tâm của tam giác
ABC.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Và trung điểm I (1;1) của AB là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 13: [ĐVH]. Cho tam giác ABC có A ( −4;1) , B ( 2;4 ) , C ( 2; −2 ) . Tìm trực tâm H và tâm đường tròn ngoại
tiếp I của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi H ( x; y ) ⇒ AH = ( x + 4; y − 1) , CH = ( x − 2; y + 2 ) . Có AB ( 6;3) , BC ( 0; −6 ) .
AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0 ⇔ 0. ( x + 4 ) − 6.( y − 1) = 0 ⇔ y = 1.
CH ⊥ AB ⇔ CH . AB = 0 ⇔ 6 ( x − 2 ) + 3 ( y + 2 ) = 0 ⇔ 2 x + y − 2 = 0 ⇒ x =

2 − y 2 −1 1
1 
=
= ⇒ H  ;1 .
2
2
2
2 

Gọi I ( a; b ) . Khi đó ta có
AI = ( a + 4; b − 1) ⇒ AI =

( a + 4 )2 + ( b − 1)2

BI = ( a − 2; b − 4 ) ⇒ BI =

( a − 2 ) 2 + ( b − 4 )2

CI = ( a − 2; b + 2 ) ⇒ CI =

( a − 2 )2 + ( b + 2 )2

Có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên

 AI = BI

⇔

AI
=
CI




( a + 4 )2 + ( b − 1)2

=

( a − 2 )2 + ( b − 4 )2

( a + 4 )2 + ( b − 1)2

=

( a − 2 )2 + ( b + 2 )2

( a + 4 )2 + ( b − 1) 2 = ( a − 2 )2 + ( b − 4 )2


⇔
2
2
2
2
( a + 4 ) + ( b − 1) = ( a − 2 ) + ( b + 2 )

1

8a − 2b + 17 = −4a − 8b + 20 12a + 6b = 3
a = −
 1 
⇔
⇔
⇔
4 ⇒ I  − ;1 .
8
a
−
2
b
+
17
=
−
4
a
+
4

b
+
8
12
a
−
6
b
=
−
9
 4 


b = 1
1 

 1 

Vậy H  ;1 , I  − ;1 .
2   4 
Bài 14: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (0;5), C (2;4) .
a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AM + BM = CM
b) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
c) Tìm điểm E thuộc trục hoành để tam giác AEB cân tại E.
Lời giải:
a) Có AM + BM = CM ⇔ AM = CM − BM = CM + MB = CB
 xM − 1 = −2
 xM = −1
⇔ ( xM − 1; yM − 1) = ( −2;1) ⇔ 

⇔
⇒ M ( −1;2 ) . Vậy M ( −1;2 ) .
 yM − 1 = 1
 yM = 2

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành
 xD − 2 = 1
 xD = 3
⇔ CD = BA ⇔ ( xD − 2; yD − 4 ) = (1; −4 ) ⇔ 
⇔
⇒ D ( 3;0 ) . Vậy D ( 3;0 ) .
 yD − 4 = −4  yD = 0
1+ 0 1+ 5 
1 
;
 ⇒ N  ;3  . Tam giác AEB cân tại E ⇒ EN ⊥ AB
2 
 2
2 

c) Gọi N là trung điểm của AB ⇒ N 

1 
⇒ EN sẽ nhận BA = (1; −4 ) làm VTPT. Kết hợp với EN qua N  ;3 
2 
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

1

⇒ EN :1.  x −  − 4 ( y − 3) = 0 ⇒ EN : 2 x − 8 y + 23 = 0.
2


y = 0
y = 0

 23 
E = EN ∩ Ox ⇒ tọa độ của E là nghiệm của hệ 
⇔
23 ⇒ E  − ;0  .
 2 
2 x − 8 y + 23 = 0  x = −

2
 23



Vậy E  − ;0  .
 2 
Bài 15: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;0), B (0;5), C (2;1) .
a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn OA + OB + OC = OM
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC . Tìm m để AG = a biết a = (m; 2 3)
c) Tính độ dài đường trung bình của ∆ABC song song với BC
Lời giải:

a) OA + OB + OC = OM ⇔ (1;0 ) + ( 0;5 ) + ( 2;1) = ( xM ; yM ) ⇔ (1 + 0 + 2;0 + 5 + 1) = ( xM ; yM )
 xM = 3
⇔
⇒ M ( 3;6 ) . Vậy M ( 3;6 ) .
 yM = 6
1+ 0 + 2 0 + 5 +1
;
 ⇒ G (1; 2 ) ⇒ AG = ( 0;2 ) ⇒ AG = 2.
3
3 


b) G là trọng tâm của ∆ABC ⇒ G 

(

Bài ra có AG = a = m 2 + 2 3

)

2

= m 2 + 12 ⇒ m 2 + 12 = 2 ⇔ m 2 + 12 = 4 ⇔ m 2 + 8 = 0.

PT này vô nghiệm. Vậy không có giá trị m thỏa mãn bài toán.
c) Gọi d là độ dài đường trung bình của ∆ABC song song với BC ⇒ d =
BC = ( 2; −4 ) ⇒ BC = 22 + ( −4 ) = 20 = 2 5 ⇒ d =
2

BC

.
2

2 5
= 5.
2

Chương trình học TOÁN 10 Online : />
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!