BG03 bai toan tim diem

Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Tài liệu bài giảng (Chương trình Toán 10)

BG3. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Bài 1: [ĐVH]. Cho đường thẳng d: 2x + y + 3 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho
a) MA = 2 5 với A(3; −1)
b)

MA
2
=
, với A(0; 1) và B(3; −1).
MB
19

c) xM2 + 2 yM2 = 3.
Lời giải:
Ta có M ∈ d ⇒ M ( m; −2m − 3)
a) MA = 2 5 ⇒ ( m − 3) + ( −2m − 2 )
2

2

m = 1
= 20 ⇔ 

7
m = −
5


m2 + ( −2m − 4 )
MA
2
4
5m 2 + 16m + 16 4
b)
=
⇒
=
⇔
=
⇔ 75m2 + 396m + 252 = 0
2
2
2
MB
19
( m − 3) + ( −2m − 2 ) 19 5m + 2m + 13 19
2

⇔m=−

(

2

74 ± 751
75

)

 m = −1
c) m + 2 ( −2m − 3) = 3 ⇔ 
m = − 5
3

2

2

Bài 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng d: x – 3y + 1 = 0. tìm điểm M trên d sao cho
a) d ( M ; ∆ ) = 3 2 với ∆: x + y + 3 = 0.
b) d ( M ; ∆1 ) = d ( M ; ∆ 2 ) , với ∆1: x + 2y – 1 = 0; ∆1: 2x + y + 4 = 0;
Lời giải:

M ∈ d ⇒ M ( 3m − 1; m )
a) d ( M ; ∆ ) = 3 2 ⇒

3m − 1 + m + 3

b) d ( M ; ∆1 ) = d ( M ; ∆ 2 ) ⇔

2

m = 1
= 3 2 ⇔ 2m + 1 = 3 ⇔ 

 m = −2

3m − 1 + 2m − 1
5

=

2 ( 3m − 1) + m + 4
5

 m = −2
⇔
m = 0

 x = 1 + 2t
Bài 3: [ĐVH]. Cho 2 điểm A(–1; 0), B(2; 3), đường thẳng d : 
. Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho
 y = −3 − t
tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:
Ta có C ∈ d ⇒ C (1 + 2t ; −3 − t ) ⇒ AB = ( 3;3) ; AC = ( 2 + 2t ; −3 − t )
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Tam giác ABC vuông tại A thì AB. AC = 3 ( 2t + 2 ) − 3 ( 3 + t ) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ C ( 3; −4 )

x = 1− t
. Tìm tọa độ điểm A trên d sao
Bài 4: [ĐVH]. Cho 2 điểm M(–1; 4); N(5; –4), đường thẳng d : 
 y = 2 − 3t
cho tam giác AMN vuông tại A.
Lời giải:
A ∈ d ⇒ A (1 − t ; 2 − 3t ) ⇒ AM = ( t − 2;3t + 2 ) ; AN = ( 4 + t ;3t − 6 )
Tam giác ABC vuông tại A thì AM . AN = ( t − 2 )( 4 + t ) + ( 3t + 2 )( 3t − 6 ) = 0 ⇔ t =

(

1
−13 ± 129
10

)

 x = 1 − 2t
Bài 5: [ĐVH]. Cho đường thẳng d : 
, B(3; –1), C(–1; –3). Tìm tọa độ điểm A trên d sao cho A,
 y = −1 + 3t
B, C thẳng hàng.

Lời giải:
A ∈ d ⇒ A (1 − 2t ; −1 + 3t ) ⇒ AB = ( 2t + 2; −3t )

2t + 2 = −4k
1
⇒t =−
A, B, C thẳng hàng suy ra: AB = k BC ⇒ 

4
−3t = −2k
 x = −2 − 2t
Bài 6: [ĐVH]. Cho đường thẳng ∆ : 
và điểm M(3; 1). Tìm điểm B trên ∆ sao cho MB ngắn
 y = 1 + 2t
nhất.

Lời giải:
 x = −2 − 2t
Ta có ngay B ∈ ∆ : 
⇒ B ( −2 − 2t ;1 + 2t ) ⇒ MB = ( 5 + 2t ; −2t ) .
 y = 1 + 2t
2

5 2
 5  25 25
Khi đó MB = 8t + 20t + 25 = 8  t +  +
≥ , ∀t ∈ ℝ ⇒ MB ≥
.
2
2
2
 4
2

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi t = −

5
1 3
⇔ B ;−  .
4
2 2

Bài 7: [ĐVH]. Cho tam giác ABC với A ( −1;0 ) , B ( 2;3) , C ( 3; −6 ) và đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0.
Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.

Lời giải:

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

4

Gọi G là trọng tâm tam giác ta có hệ thức vec tơ GA + GB + GC = 0 và tọa độ G  ; −1 .
3

Khi đó MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3MG + 0 = 3 MG .
Do đó MA + MB + MC

min

⇔ 3 MG

min

⇔ MGmin .
2

5
2
4


Ta có G  ; −1 , M ( 2 x + 3; x ) ⇒ MG 2 =  2 x +  + ( x + 1)
3
3


2

= 5x2 +
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = −

26
34
13 
1
1
1

x+
= 5 x +  +
≥

⇒ MG ≥
3
9
15  45 45
3 5


13
 19 13 
⇔ M  ;−  .
15
 15 15 

Bài 8: [ĐVH]. Cho hình bình hành ABCD tâm I có diện tích S = 2. Biết A(1; 0), B(2 ; 0), tâm I thuộc phân
giác y = x. Xác định toạ độ C, D.

Lời giải:

Qua tâm I kẻ đường thẳng đồng thời vuông góc với AB và CD, cắt hai cạnh theo thứ tự tại H, K.
1
HK . AB ⇒ HK = 4; IH = d ( I ; ( AB ) ) = 2 .
2
Dễ thấy đường thẳng AB chính là trục hoành nên

Ta có AB = 1; HK = 2 IH = 2 IK và S ABCD = 2 =

I ( x; x ) ; d ( I ; Ox ) = x = 2 ⇒ x ∈ {−2; 2} ⇒ I1 ( 2; 2 ) , I 2 ( −2; −2 ) .
 A (1; 0 )
C ( 3; 4 )


hoặc
Dẫn đến hai trường hợp  B ( 2; 0 ) ⇒ 
D
2;
4
(
)



 I1 ( 2; 2 )

 A (1; 0 )
C ( −5; −4 )

 B ( 2; 0 ) ⇒ 
 D ( −6; −4 )

 I 2 ( −2; −2 )

Kết luận có hai cặp điểm C, D cần tìm.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Bài 9: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy có A(2; –1), B(1; –2), trọng tâm G thuộc đường thẳng d:
x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm C biết diện tích tam giác ABC bằng

3
.
2

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AB và H, K theo thứ tự là hình chiếu của đỉnh C, trọng tâm G xuống AB.
Ta có A ( 2; −1) , B (1; −2 ) ⇒ AB = 2 và phương trình AB: x − y − 3 = 0 .
Lại có S ABC =

3 1
1
3
= .CH . AB = . 2.CH ⇒ CH =
.
2 2
2
2

Ta có CH song song với GK nên áp dụng định lý Talet
GK GM 1
1
1 3
1
=
= ⇒ CH = 3GK = d ( G; ( AB ) ) = ⇒ GK = .
=
.
CH CM 3

3
3 2
2
Tham số hóa trọng tâm G thì G ( x; 2 − x ) và

d ( G; ( AB ) ) =

x − (2 − x) − 3
1
1
⇔
=
⇔ 2 x − 5 = 1 ⇔ x ∈ {3; 2} .
2
2
2

G1 ( 3; −1) ⇒ C1 ( 6; 0 )
Dẫn đến hai trường hợp 
G2 ( 2; 0 ) ⇒ C2 ( 3;6 )
Bài 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;−1) , B (1;− 2) , trọng tâm G
của tam giác nằm trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
27
.
2

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AB và H, K theo thứ tự là hình chiếu của đỉnh C, trọng tâm G xuống AB.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Ta có A ( 2; −1) , B (1; −2 ) ⇒ AB = 2 và phương trình AB: x − y − 3 = 0 .
Lại có S ABC =

27 1
1
27
= .CH . AB = . 2.CH ⇒ CH =
.
2 2
2
2

Ta có CH song song với GK nên áp dụng định lý Talet
GK GM 1
1
1 27
9
=
= ⇒ CH = 3GK = d ( G; ( AB ) ) = ⇒ GK = .
=
.
CH CM 3
3
3 2

2
Tham số hóa trọng tâm G thì G ( x; 2 − x ) và

d ( G; ( AB ) ) =

x − (2 − x) − 3
9
9
⇔
=
⇔ 2 x − 5 = 9 ⇔ x ∈ {7; −2} .
2
2
2

Với G1 ( 7; −5 ) ⇒ C1 (18; −12 ) . Với G2 ( −2; 4 ) ⇒ C2 ( −9;15 ) . Vậy có 2 điểm C cần tìm.

Bài 11: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(–2; 0), B(2; 0) và
khoảng cách từ trọng tâm G đến trục hoành bằng

1
. Tìm tọa độ đỉnh C.
3

Lời giải:

Nhận xét do A(–2; 0), B(2; 0) nên đường thẳng AB chính là trục hoành.
Gọi M là trung điểm của AB và H, K theo thứ tự là hình chiếu của đỉnh C, trọng tâm G xuống AB.
Ta có CH song song với GK nên áp dụng định lý Talet
GK GM 1

1
=
= ⇒ CH = 3GK ; GK = d ( G; ( AB ) ) = ⇒ CH = 1 .
CH CM 3
3
Hơn nữa CH = d ( C ; ( Ox ) ) ⇒ yC = 1 .
Tam giác ABC vuông tại C nên C thuộc đường tròn đường kính AB.
AB
= 2 nên
2

Đường tròn này có tâm M trùng với O, với bán kính bằng
2
2
2
 x + y = 4  x = 3
C ( x; y ) : 
⇒
⇒ C1
 y = 1
 y = 1

(

) (

) (

3;1 , C2 − 3;1 , C3

) (

3;1 , C4

)

3; −1 .

Kết luận có 4 điểm C cần tìm.

Bài 12: [ĐVH]. Cho ∆ABC có A(1;1), B (3;7), C (−1;3) .Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNH .

Lời giải:
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Ta có N, M lần lượt là trung điểm của AB, AC

⇒ N ( 2; 4 ) , M ( 0; 2 ) .
Gọi K là trung điểm của BC ⇒ K (1;5) .
Ta có MK là đường trung bình của ∆ABC

⇒ MK / / AB ⇒ MKC = HBN
Mà HBN = BHN ⇒ MKC = BHN .

Ta có MN là đường trung bình của ∆ABC ⇒ MN / / BC ⇒ HNM = BHN ⇒ MKC = HNM
⇒ tứ giác MNHK nội tiếp ⇒ bốn điểm M, N, H, K cùng nằm trên một đường tròn
⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNH chính là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNK .
Gọi I ( a; b ) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNK .

NI = ( a − 2; b − 4 ) ⇒ NI =

( a − 2) + (b − 4)
2

2

= a 2 + b2 − 4a − 8b + 20.

MI = ( a; b − 2 ) ⇒ MI = a 2 + ( b − 2 ) = a 2 + b 2 − 4b + 4.
2

KI = ( a − 1; b − 5) ⇒ KI =

( a − 1) + ( b − 5 )
2

2

= a 2 + b2 − 2a − 10b + 26.

Có IN = IM ⇔ a 2 + b 2 − 4a − 8b + 20 = a 2 + b 2 − 4b + 4 ⇔ 4a + 4b = 16 ⇔ a + b = 4

(1)

IM = IK ⇔ a 2 + b 2 − 4b + 4 = a 2 + b 2 − 2a − 10b + 26 ⇔ 2a + 6b = 22 ⇔ a + 3b = 11

(2)

1
7
1 7
1 7
Từ (1) và (2) ta có a = , b = ⇒ I  ;  . Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNH là điểm I  ;  .
2
2
2 2
2 2

Bài 13: [ĐVH]. Cho hình chữ nhật ABCD có A(1;1), I (4; 2) với I là giao của 2 đường chéo. Đỉnh B thuộc
đường thẳng d : x + y − 4 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.
Lời giải:
Có I là trung điểm của AC

⇒ C ( 2.4 − 1; 2.2 − 1) ⇒ C ( 7;3) .
Phương trình tham số của đường thẳng d là

x = t
( t ∈ ℝ ) . Do B ∈ d ⇒ B ( t ; 4 − t ) .

y = 4−t

⇒ IB = ( t − 4; 2 − t ) ⇒ IB =

(t − 4) + ( 2 − t )

2

2

.

AI = ( 3;1) ⇒ AI = 32 + 12 = 10.
t = 1
= 10 ⇔ 2t 2 − 12t + 20 = 10 ⇔ t 2 − 6t + 5 = 0 ⇔ 
t = 5
Với t = 1 ⇒ B (1;3) ⇒ D ( 2.4 − 1; 2.2 − 3) ⇒ D ( 7;1) .

Ta có IA = IB ⇒
•

(t − 4) + ( 2 − t )
2

2

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

•

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Với t = 5 ⇒ B ( 5; −1) ⇒ D ( 2.4 − 5; 2.2 + 1) ⇒ D ( 3;5 ) .

ĐS: B (1;3) , C ( 7;3) , D ( 7;1) hoặc B ( 5; −1) , C ( 7;3) , D ( 3;5 ) .
 5
Bài 14: [ĐVH]. Cho hình chữ nhật ABCD có A(1;1) với G  3;  là trọng tâm của tam giác ABD. Đỉnh D
 3
thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 8 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD. Tìm tọa độ tâm I và các đỉnh
còn lại của hình chữ nhật.

Lời giải:
5
 2

Ta có AG =  2;  , GI =  xI − 3; yI − 
3
 3


 2 ( xI − 3 ) = 2
 xI = 4

⇒ AG = 2GI ⇔  
⇒ I ( 4; 2 ) .
5 2 ⇔ 
 yI = 2
2  yI − 3  = 3

 
Do I là trung điểm của AC ⇒ C ( 2.4 − 1; 2.2 − 1) ⇒ C ( 7;3)
x = t
Phương trình tham số của ∆ là 

(t ∈ ℝ ).
y = 8−t
Do D ∈ ∆ ⇒ D ( t ;8 − t ) ⇒ ID = ( t − 4;6 − t ) ⇒ ID =

(t − 4) + ( 6 − t )
2

2

= 2t 2 − 20t + 52.

AI = ( 3;1) ⇒ AI = 32 + 12 = 10.
t = 3
Có IA = ID ⇔ 2t 2 − 20t + 52 = 10 ⇔ 2t 2 − 20t + 52 = 10 ⇔ t 2 − 10t + 21 = 0 ⇔ 
t = 7
•

Với t = 3 ⇒ D ( 3;5 ) ⇒ B ( 2.4 − 3; 2.2 − 5 ) ⇒ B ( 5; −1) .

•

Với t = 7 ⇒ D ( 7;1) ⇒ B ( 2.4 − 7; 2.2 − 1) ⇒ B (1;3) .

Bài 15: [ĐVH]. Cho 2 đường thẳng (d1 ) : 2 x − 3 y + 5 = 0;(d 2 ) : 3 x − 2 y − 2 = 0
Tìm M nằm trên Ox cách đều (d1) và (d2).

Lời giải:
Do M ∈ Ox ⇒ M ( m;0 ) .
Ta có d ( M ; d1 ) =

2m − 3.0 + 5
2 + ( −3 )
2

2

Bài ra d ( M ; d1 ) = d ( M ; d 2 ) ⇒

=

2m + 5
13

2m + 5
13

=

; d ( M ; d2 ) =

3m − 2.0 − 2
3 + ( −2 )
2

2

=

3m − 2
13

.

m = 7
 2m + 5 = 3m − 2
⇔
⇔
3
m = −
m
m
2
+
5
=
2
−
3
13

5


3m − 2

3
 3 
Với m = 7 ⇒ M ( 7; 0 ) . Với m = − ⇒ M  − ;0  .
5
 5 

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Chương trình học TOÁN 10 Online : />
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!