Đề kiểm tra học kỳ 2 môn toán lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 90 phút
Đề gồm có 01 trang

Câu 1. (2,0 điểm):
3x  2 y  1
�
1) Giải hệ phương trình: �
2x - y  3
�
2) Giải các phương trình sau: 1) x2 = 5x
2) x4 + 3x2 – 4 = 0
(1)
Câu 2. (2,0 điểm): Cho phương trình x 2  2(m  1) x  2m  7  0
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với
mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A  x12  x22  x1 x2
Câu 3. (2,0 điểm):
1
2

1) Cho parabol (P) có phương trình y  x 2 và đường thẳng (d) có phương
trình y = ax + b. Xác định các hệ số a và b biết (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành
độ lần lượt là - 1 và 2.
2) Một đội công nhân được giao may 150 chiếc áo trong một thời gian
nhất định. Khi làm việc, do được bổ sung thêm người nên mỗi giờ đội may

nhiều hơn dự định 11 chiếc áo. Vì vậy, không những đội hoàn thành trước dự
định 1 giờ mà còn làm vượt mức được giao 14 chiếc áo. Hỏi số áo mà đội đó dự
định may được trong 1 giờ là bao nhiêu?
Câu 4. (3,0 điểm): Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ
các đường cao AD, BE của ABC . Các tia AD và BE lần lượt cắt (O) tại các
điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, E, D, B cùng thuộc một đường tròn.
b) MN song song với DE
c) Cho (O) và dây AB cố định. Điểm C di chuyển trên cung lớn AB.
Chứng minh rằng đường kính đường tròn đi qua 3 điểm C, D, E có độ dài không
đổi.
1 1 1
Câu 5. (1,0 điểm): Cho các số dương x, y, z thỏa mãn    4.
x y z
1
1
1


�1
Chứng minh rằng:
2x+y+z x  2y  z x  y  2z
----------------------Hết----------------------


PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: TOÁN 9
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang

Câu 1. (2,0 điểm):
Phần

a

Đáp án
3x  2 y  1 �
3x  2 y  1
�
��
a) �
2x - y  3
4x - 2y  6
�
�
3x  2 y  1
�
�y  1
��
��
7x
 7 �x  1
�
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (1;-1)
1) x2 = 5x
 x2 - 5x = 0

 x(x-5) = 0
x0
�
x5
�

Điểm
0,25

0,75

0,25

�

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 5

0,25

b
2) x4 + 3x2 – 4 = 0
Đặt x2 = t ( ĐK: t ≥ 0)
Ta có: t2 + 3t – 4 = 0
Có a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
 t1 = 1 ( TMĐK) t2 = - 4 (KTMĐK)
Với t1 = 1  x1 = 1 ; x2 = -1
Vậy phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = -1
Câu 2. (2,0 điểm):
Phần

Đáp án
Phương trình (1) có

 '   (m  1)  (2m  7)  m 2  2m  1  2m  7

0,25

0,25

Điểm
0,25

2

2a

 m 2  4m  8  (m  2) 2  4  0

m

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi – ét cho phương trình (1) ta có :

0,25
0,25
0,25

�x1  x2  2m  2
�
�x1 x2  2m  7

Ta có A  x12  x22  x1 x2  ( x1  x2 ) 2  x1 x2
A  (2m  2) 2  (2m  7)  4m2  10m  11

0,25


2b

2

5 � 19 19
�
A�
2m  � �
2� 4
4
�
5
5
Dấu “=” khi 2m   0 � m 
2
4
19
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
khi m 
4
4

0,25
0,25
0,25

Câu 3. (2,0 điểm):
Ý

1

Đáp án
1
Tọa độ giao điểm (d) và (P) là (-1 ; ) và (2; 2)
2
1
Vì 2 điểm (-1 ; ) và (2; 2) thuộc (d) nên ta có hệ phương trình:
2
1
�
�a  b 
2
�
�
�2a  b  2
1
Giải hệ phương trình trên ta được a  ; b  1
2
1
Vậy a  ; b  1
2

Gọi số áo mà đội dự định may được trong 1 giờ là x (chiếc) (x
�N * )
Thời gian làm việc theo dự định là:

150
(giờ)
x

Số áo thực tế mỗi giờ may được là: x + 11 (chiếc)
Tổng số áo thực tế may được là: 150 + 14 = 164 (chiếc)
2

164
(giờ)
x  11
150 164

1
Theo bài ra ta có phương trình:
x
x  11
� x 2  25 x  1650  0

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

Thời gian làm việc thực tế của đội là:

Giải phương trình trên ta được x1 = 30 (thỏa mãn),
x2 = -55 (không thỏa mãn)
Vậy số áo mà đội công nhân dự định may được trong 1 giờ là 30
chiếc.
Câu 4. (3,0 điểm):
Ý

Điểm
0,25

Đáp án

0,25

0,25

Điểm


Vẽ hình chính xác
A

N

E
H

a

B

C

D

M

b

0,25

O

F

�  900 và �
Ta có AD và BE là đường cao của ABC nên BEA
ADB  900
�  900 � E thuộc đường tròn đường kính AB
BEA
�
ADB  900 � D thuộc đường tròn đường kính AB
Vậy E và D cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay bốn điểm
A, E, D, B cùng thuộc một đường tròn.
A, E, D, B cùng thuộc một đường tròn (theo câu a)
�  BED
�
� )

(hai góc nội tiếp cùng chắn BD
� BAD
�  BED
�
hay BAM
�  BNM
� (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM
� của (O))
Mặt khác BAM
�  BNM
�
� BED

Mà hai góc ở vị trí đồng vị suy ra DE // MN
Gọi H là giao điểm của AD và BE
�  900 ; HEC
�  900 � HDC
�  HEC
�  1800
Xét tứ giác CDHE có HDC
� tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính HC.
� 3 điểm C, D, E thuộc đường tròn đường kính HC
Kẻ đường kính AF � �
ABF  900 � FB  AB
Vì H là trực tâm của ABC � CH  AB
c � CH//FB
Chứng minh tương tự ta có BH // FC
� Tứ giác CHBF là hình bình hành
� CH = BF.
Mà BF không đổi do AB cố định và (O) cố định

� CH không đổi hay đường kính đường tròn đi qua 3 điểm C, D, E
có độ dài không đổi .
Câu 5. (1,0 điểm):
Ý

Đáp án

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

Điểm


1 1
4
 �
với a > 0, b > 0 ta có:
a b ab
1
1

1
1
1 �1
1 �
� � 
�và y  z �4 y  4 z
2 x  y  z 4 �2 x y  z �
1
1 1
1
1
Suy ra 2 x  y  z �4 ( 2x  4 y  4 z )

Áp dụng bất đẳng thức

a

Tương tự ta có:
1
1 �1 1 1 �
� � 

x  2y  z 4�4x 2y 4z �
�

0,25

0,25

0,25

1
1 �1 1 1 �
� � 

x  y  2z 4�4x 4y 2z �
�
1 1 1
1
1
1
1 �1 1 1 �


� �   �mà    4
2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z 4 �x y z �
x y z
1
1
1
�


�1
2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z
3
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =
4
�

0,25

Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
----------------------Hết----------------------