LUẬN văn sư PHẠM vật lý hàm BESSEL và ỨNG DỤNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ
***** *****

HÀM BESSEL VÀ ỨNG DỤNG
Luận văn Tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

Giáo viên hướng dẫn
Th.S Trần Minh Quý
Giáo viên phản biện
Nguyễn Thị Thúy Hằng
Trịnh Thị Ngọc Gia

Sinh viên thực hiện
Võ Thanh Hoa Việt
Mã số SV: 1060187
Lớp: SP Vật Lý – K32

Cần Thơ, 2010


Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Trần
Minh Quý đã hướng dẫn tận tình, giúp tôi hoàn thành tốt luận văn
đúng thời hạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Thúy Hằng và cô
Trịnh Thị Ngọc Gia đã đóng góp ý kiến để đề tài của tôi được hoàn
chỉnh.
Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến tất cả thầy, cô trong Bộ
môn SP Vật Lý đã truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi

điều kiện thuận lợi cho tôi trong lúc thực hiện đề tài này.
Thành kính cảm ơn gia đình và những người thân đã luôn chia
sẻ, động viên và ủng hộ tôi.
Tôi cũng cảm ơn các bạn lớp Sư Phạm Lý K32, Sư Phạm LýTin K32 đã giúp đỡ và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian
qua.
Sự tận tình của quý thầy cô cùng sự động viên của gia đình,
bạn bè là nguồn động lực to lớn để tôi vượt qua nhiều khó khăn và
cố gắng hết mình. Một lần nữa, mong mọi người nhận nơi đây lòng
cảm ơn chân thành nhất.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc rằng luận văn của tôi
không thể tránh khỏi sai sót, mong được sự chỉ dẫn thêm của thầy,
cô và sự góp ý của các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Kính chúc quý thầy cô và các bạn vui, khỏe!

Cần Thơ, tháng 5 năm 2010
Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

MỤC LỤC
PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................................. 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .............................................................................. 1
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................ 1
5. Các bước thực hiện đề tài ........................................................................................... 2
PHẦN HAI: NỘI DUNG ............................................................................................ 3

Chương 1: Phương trình Bessel .................................................................................. 3
1.1. Thiết lập phương trình Bessel dựa vào bài toán dao động màng tròn ..................... 3
1.2. Thiết lập phương trình Bessel dựa vào việc giải phương trình Laplace trong
hệ tọa độ trụ ..................................................................................................................... 5
Chương 2: Hàm Bessel................................................................................................. 8
2.1. Khái niệm hàm Bessel........................................................................................... 8
2.1.1. Hàm Bessel loại I hạng nguyên....................................................................... 8
2.1.2. Hàm Bessel loại II hạng nguyên ................................................................... 12
2.2. Các công thức truy toán đối với hàm Bessel ........................................................ 14
2.2.1. Các công thức truy toán đối với hàm Bessel loại I ........................................ 14
2.2.2. Các công thức truy toán đối với hàm Bessel loại II ....................................... 17
2.3. Hàm Bessel hạng bán nguyên.............................................................................. 19
2.4. Một số dạng phương trình vi phân đưa về phương trình Bessel ........................... 21
2.5. Không điểm của hàm Bessel................................................................................ 23
2.6. Tính chất trực giao của hàm Bessel ..................................................................... 26
2.6.1. Tính chất trực giao thứ nhất.......................................................................... 26
2.6.2. Tính chất trực giao thứ hai............................................................................ 28
2.7. Các hệ thức liên quan đến hàm Bessel................................................................. 30
2.7.1. Khai triển chuỗi Fourier- Bessel và Dyni-Bessel........................................... 30
2.7.1.1. Khai triển chuỗi Fourier- Bessel .............................................................. 30
2.7.1.2. Khai triển chuỗi Dyni- Bessel .................................................................. 30
2.7.2. Hàm sinh của hàm Bessel loại I hạng nguyên ............................................... 31
Chương 3: Ứng dụng của hàm Bessel ....................................................................... 35
3.1. Sử dụng hàm Bessel giải bài toán Vật Lý trong hệ tọa độ ĐêCac......................... 35
3.2. Sử dụng hàm Bessel giải các bài toán Vật Lý trong hệ tọa độ trụ......................... 40
3.2.1. Dao động của màng tròn ............................................................................... 40
3.2.2. Truyền nhiệt trong ống hình trụ tròn ............................................................. 47
3.2.3. Sự truyền nhiệt trong hình quạt trụ ............................................................... 54
3.2.4. Sự phân bố điện thế trong hình trụ ................................................................ 59
3.2.5. Sóng điện từ trong ống dẫn sóng trụ tròn dài vô hạn, bán kính trong r0 ......... 62

3.2.6. Chuyển động tự do của hạt trong trường thế hai chiều .................................. 66
3.3. Sử dụng hàm Bessel giải các bài toán Vật Lý trong hệ tọa độ cầu........................ 68
3.3.1. Dao động của quả cầu có biên gắn chặt......................................................... 68
3.3.2. Truyền nhiệt trong quả cầu có bề mặt duy trì nhiệt độ bằng không ............... 70
PHẦN BA: KẾT LUẬN ............................................................................................ 73

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vật Lý học là ngành khoa học tự nhiên nghiên cứu, tìm hiểu về cấu trúc và quy
luật vận động của mọi vật trong tự nhiên. Bằng những phương pháp toán học, Vật
Lý học còn tìm ra những quy luật mới chưa được tìm ra bằng thực nghiệm, và tiên
đoán trước các mối quan hệ của hiện tượng tự nhiên. Vì thế, Toán học trở thành
công cụ đắc lực, là phương tiện chủ yếu mà Vật Lý học dùng mô tả định lượng hiện
tượng vật lý. Trong các môn học thuộc chuyên ngành Vật Lý, Toán cho Vật Lý là
môn học đánh dấu mối quan hệ không thể tách rời giữa Vật Lý học và Toán học.
Đây là môn học rất cần thiết cho sinh viên Vật Lý, cung cấp những phương pháp,
công cụ toán học hiện đại giải các phương trình Vật Lý, đặc biệt là việc giải phương
trình đạo hàm riêng đã mô tả được các hiện tượng vật lý.
Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp
hai bằng phương pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace sẽ gặp các
phương trình vi phân thông thường mà nghiệm của chúng là các dạng hàm đặc biệt

như hàm Legendre, hàm cầu, hàm Bessel…Trong số các hàm đặc biệt đó, hàm
Bessel- nghiệm của phương trình Bessel- đóng một vai trò quan trọng trong việc
giải các phương trình vật lý toán, là phương pháp chính sử dụng giải các bài toán
liên quan đến hình tròn, hình trụ và kể cả hình cầu. Nhiều tính chất quan trọng của
hàm Bessel đã được tìm ra và biết đến với nhiều ứng dụng có tính thực tiễn cao
trong Vật Lý, kỹ thuật, xây dựng…
Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong Vật Lý học mà việc nghiên cứu hàm Bessel
mang lại, tôi mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống về hàm Bessel
cùng những ứng dụng của nó. Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu đề tài “Hàm Bessel
và ứng dụng”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu các cách xây dựng hàm Bessel,
tập hợp và hệ thống hóa lại các khái niệm, các tính chất của các hàm Bessel loại I,
loại II hạng nguyên và bán nguyên. Đồng thời, nghiên cứu ứng dụng của hàm
Bessel trong Vật Lý thông qua việc giải một số bài toán cho các tọa độ, bài toán
biên, bài toán dừng để làm sáng tỏ cho phần lý thuyết và giúp người đọc hiểu sâu
hơn về công dụng của hàm Bessel.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các khái niệm hàm Bessel loại I, loại II hạng nguyên và hàm
Bessel hạng bán nguyên, trong đó đi sâu tìm hiểu và chứng minh các tính chất quan
trọng của hàm Bessel loại I hạng nguyên.
- Nghiên cứu ứng dụng của hàm Bessel loại I giải các bài toán vật lý liên quan
đến phương trình sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, lý thuyết
điện từ, cơ học lượng tử chủ yếu trong tọa độ trụ và tọa độ cầu.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Sử dụng phương pháp tìm tòi và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài,
sau đó hệ thống lại lý thuyết theo cách hiểu riêng.
- Sử dụng phương pháp chứng minh để làm rõ một số vấn đề cũng như một số
tính chất trong lý thuyết về hàm Bessel.
GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 1

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

- Ngoài ra, còn sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các
tài liệu đã nghiên cứu để đi đến một bài luận văn hoàn chỉnh.
5. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
- Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt được của đề tài.
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan.
- Lập đề cương chi tiết của luận văn, thông qua giáo viên hướng dẫn.
- Tiến hành viết đề tài và trao đổi với giáo viên.
- Sửa chữa hoàn chỉnh luận văn và báo cáo.

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 2

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

PHẦN HAI: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
1.1. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH BESSEL DỰA VÀO BÀI TOÁN DAO
ĐỘNG MÀNG TRÒN
Xét dao động của một màng tròn. Giả sử màng chiếm một hình tròn D bán
kính q trong mặt phẳng Oxy. Chọn tâm của màng làm gốc tọa độ, chuyển từ hệ tọa
độ ĐêCac sang hệ tọa độ cực thì phương trình của đường tròn biên của màng sẽ là
r = q (H.1).
y
Độ lệch của một điểm của màng là hàm của r , ϕ và t :
u = u (r , ϕ , t )

r

ϕ

Trong tọa độ cực, toán tử Laplace hai chiều có dạng:

q

O

x

1 ∂  ∂u  1  ∂ u 

∆u ≡ u ′xx′ + u ′yy′ =
r  + 
r ∂r  ∂r  r 2  ∂ϕ 2 
2

(H.1)
Do đó, phương trình dao động của màng trong tọa độ cực có dạng:

1  ∂ 2 u 
∂ 2u
2 1 ∂  ∂u 
 2  = 0
+
a
r
−



2 
∂t 2
 r ∂r  ∂r  r  ∂ϕ 

hay
1

1
′′  = 0
utt′′ − a 2  (ru ′r )′r + 2 uϕϕ
r
r



(1.1)

Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên có dạng:
u t =0 = f (r , ϕ ) ; u t′ t =0 = F (r , ϕ )
u r =q = 0

(1.2)
(1.3)

Dùng phương pháp tách biến Fourier, ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.1) biểu
diễn sóng đứng trên màng tròn dưới dạng: u = R(r )Φ (ϕ )T (t )
Thế u = R(r )Φ (ϕ )T (t ) vào phương trình (1.1), ta được:
1

1
RΦT ′′ − a 2  ( rR′)′ΦT + 2 RΦ′′T  = 0
r
r



hay
1

( r R ′) ′


′
′
Φ

T ′′
1
− a2  r
+ 2
= 0
T
r Φ
 R



(1.4)

Ta thấy phương trình (1.4) có vế trái không phụ thuộc vào r và ϕ , còn vế phải
không phụ thuộc vào t , do đó hai vế phương trình này không phụ thuộc vào r , ϕ và
t , nghĩa là:
GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 3

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng
1

(rR′)′
1 Φ′′ 

1 T ′′  r
−
+ 2
 = const
a2 T  R
r Φ



Đặt hằng số là − ν 2 , ta thu được hai phương trình vi phân sau:
T ′′
= −ν 2 a 2
T

(1.5)

1
(rR′)′
1 Φ′′
r
=ν 2
+ 2
R
r Φ

(1.6)

và

Phương trình (1.6) được viết lại dưới dạng:

1

(rR ′)′


′
′
Φ
= −r 2  r
+ν 2 
Φ
 R




(1.7)

Cũng tương tự như trên, ta đặt hằng số của vế trái và vế phải của đẳng thức
(1.7) là λ . Từ đây, ta rút ra:
(1.8)
Φ′′ − λΦ = 0
1

 r (rR′)′
2
−r 
+ν  = λ
 R




2

(1.9)

Ta sẽ tìm nghiệm không thuần nhất của phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai (1.8) thỏa mãn điều kiện tuần hoàn của hàm Φ :
(1.10)
Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ )
Bài toán chỉ có nghiệm không thuần nhất với một số giá trị đặc biệt của λ .
Xét phương trình đặc trưng của phương trình (1.8) là:
p2 − λ = 0
Tùy theo dấu của λ , ta sẽ có các trường hợp sau đây:
a) λ = k 2
Nghiệm tổng quát của (1.8) là:
Φ (ϕ ) = C1e kϕ + C2e − kϕ

( C1 và C 2 là những hằng số tùy ý)
Từ điều kiện tuần hoàn (1.10), ta có:
C1e k (ϕ + 2π ) + C 2 e − k (ϕ + 2π ) = C1e kϕ + C 2 e − kϕ

⇒ C1 = C 2 = 0

Vậy, trong trường hợp này, phương trình (1.8) chỉ có nghiệm thuần nhất bằng
không.
b) λ = 0
Phương trình (1.8) có nghiệm tổng quát là:
Φ (ϕ ) = C1ϕ + C 2

Từ điều kiện (1.10), ta cũng suy ra được:
C1 = C 2 = 0

Vậy, phương trình (1.8) cũng chỉ có nghiệm thuần nhất bằng không.
GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 4

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

c) λ = − k 2
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.8):
Φ (ϕ ) = C1 cos(kϕ ) + C2 sin(kϕ )
Dạng nghiệm này thỏa điều kiện tuần hoàn vì hàm sin và hàm cos là các hàm
tuần hoàn với chu kì 2π .
Vậy, phương trình (1.8) chỉ có nghiệm không thuần nhất là:
Φ (ϕ ) = C1 cos( kϕ ) + C 2 sin( kϕ )
trong đó C1 và C 2 là các hằng số bất kì và k 2 = −λ .
Do đó, đối với hàm R(r ) từ phương trình (1.9) ta có:
1

(rR′)′


− r2  r

+ν 2  = − k 2
 R




hay

1
k2
R ′′ + R ′ + ν 2 − 2
r
r



 R = 0


Bây giờ, ta đưa vào biến số mới x = ν .r và đặt:
x
R(r ) = R  = y
v

Tính các đạo hàm:
dR dy dy dx
dy
=
=
=ν

dr dr dx dr
dx
2
dR ′
d  dy 
d y dx
d2y
=ν
=ν 2 2
R ′′ =
  =ν 2
dr
dr  dx 
dx dr
dx
R′ =

Do đó, ta nhận được phương trình vi phân đối với hàm y (x )
ν2

hay

d 2 y ν dy  2 ν 2 k 2 
+ ν
+ ν − 2  y = 0
dx 2 x dx 
x 
2
d y
dy

x 2 2 + x + ( x 2 − k 2 ) y = 0 ( với k là hằng số)
dx
dx

(1.11)

Phương trình (1.11) được gọi là phương trình Bessel.
1.2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH BESSEL DỰA VÀO VIỆC GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ
Ta xét các quá trình sóng trong không gian, đặc biệt sự phân bố dừng của
chúng, được mô tả bằng phương trình Laplace.
Phương trình sóng đồng nhất ba chiều có dạng:
2
∂ 2u ∂ 2u 
∂ 2u
2 ∂ u

= a  2 + 2 + 2 
∂z 
∂y
∂t 2
 ∂x

Phương trình truyền nhiệt trong vật thể đồng chất có dạng:
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 
∂u
= a 2  2 + 2 + 2 
∂t
∂z 
∂y

 ∂x

Trong trường hợp khi hàm u = u (x, y, z ) không phụ thuộc vào t thì:
∂u
=0
∂t

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 5

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng
∂ 2u
=0
∂t 2

và

Do đó, ta có phương trình Laplace:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
=0
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∆u = 0 với u = u ( x, y, z )

hay

Chuyển sang tọa độ trụ, bằng cách đặt:
 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ
z = z


Khi đó ta được các hàm u và toán tử Laplace cho tọa độ trụ là:
u = u (r , ϕ , z )

và
∆=

1 ∂  ∂  1 ∂2
∂2
+
r  + 2
r ∂r  ∂r  r ∂ϕ 2 ∂z 2

Phương trình Laplace trong tọa độ trụ có dạng:
1 ∂  ∂u  1 ∂ 2 u ∂ 2 u
=0
+
r  +
r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
Bằng phương pháp tách biến Fourier, ta đặt: u (r , ϕ , z ) = V (r , z )Φ (ϕ )

(1.12)

Thay vào phương trình (1.12), ta được:
∂ 2V
Φ ∂  ∂V  V ∂ 2 Φ
=0
+
Φ
+ 2
r
∂z 2
r ∂r  ∂r  r ∂ϕ 2

hay
Φ ′′
r ∂  ∂V  r 2 ∂ 2V
=−
+
r
2
Φ
V ∂r  ∂r  V ∂z

(1.13)

Ta thấy phương trình (1.13) có vế trái không phụ thuộc vào ϕ , vế phải không
phụ thuộc vào r và z , do đó hai vế phương trình này phải bằng một hằng số, đặt
hằng số đó là k 2 , nghĩa là:
(1.14)
Φ′′ + k 2 Φ = 0

và
1 ∂  ∂V  ∂ 2V k 2
− V =0
r
+
r ∂r  ∂r  ∂z 2 r 2

(1.15)

Với phương trình (1.14), ta có nghiệm:
Φ (ϕ ) = C1 cos( kϕ ) + C2 sin( kϕ )
Còn phương trình (1.15), tiếp tục dùng phương pháp tách biến Fourier để giải
bài toán bằng cách đặt: V (r , z ) = R(r )Z (z ) , thế vào phương trình (1.15), ta được:
Z
k2
(rR ′)′ + RZ ′′ − 2 RZ = 0
r
r

hay
1
k2
Z ′′
(rR ′)′ − 2 = −
rR
Z
r

(1.16)

Đẳng thức (1.16) có vế trái là hàm của r và vế phải là hàm của biến z, nên ta
đặt hằng số của vế phải và vế trái là − ν 2 . Từ đây, ta có hệ phương trình:
GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 6

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

 Z ′′ − ν 2 Z = 0

 2 k2 
1
′
′
 r ( rR ) + ν − r 2  R = 0



Với phương trình (1.17) ta có nghiệm:

(1.17)
(1.18)

Z (z ) = Ceν z + D e −ν z

Còn với phương trình (1.18), ta biến đổi về dạng:
R ′′ +


1
k2 
R ′ + ν 2 − 2  R = 0
r
r 


Có thể biến đổi tiếp bằng cách đặt:
 x = ν .r


 x
 R(r ) = R ν  = y
 


Ta tìm được phương trình Bessel:
d2y
dy
+ x + (x 2 − k 2 ) y = 0
x
2
dx
dx
2

(với k là hằng số và gọi là chỉ số của phương trình Bessel)

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 7

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

CHƯƠNG 2: HÀM BESSEL
2.1. KHÁI NIỆM HÀM BESSEL
Phương trình Bessel là phương trình có dạng:
x 2 y ′′ + x y ′ + ( x 2 − k 2 ) y = 0
(trong đó k là hằng số)

(2.1)

Nghiệm riêng của phương trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm
Bessel.
Vì phương trình Bessel là tuyến tính nên nghiệm tổng quát của nó có thể viết
dưới dạng: y = C1 y1 + C 2 y 2 , trong đó y1 và y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính
bất kỳ, còn C1 và C2 là các hằng số tùy ý.
Như vậy, để tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bessel, ta chỉ cần tìm hai
nghiệm độc lập tuyến tính bất kỳ của nó.
2.1.1. Hàm Bessel loại I hạng nguyên
Ta sẽ tìm nghiệm riêng của phương trình (2.1) dưới dạng chuỗi lũy thừa:

∞

(a0 ≠ 0)

y = x ρ ∑ ar x r

(2.2)

r =0

Ta lấy các đạo hàm:
y′ =


dy d  ρ ∞
=  x ∑ a r x r 
dx dx  r = 0

∞

= ∑ (r + ρ ) a r x

(2.3)

r + ρ −1

r =0

y′′ =


dy ′ d  ∞
r + ρ −1
=
∑ (r + ρ ) ar x

dx dx  r = 0


(2.4)

∞

= ∑ (r + ρ )(r + ρ − 1) ar x r + ρ − 2
r =0

Thế (2.2), (2.3) và (2.4) vào phương trình (2.1), ta được:
∞

∞

(

x 2 ∑ (r + ρ )(r + ρ − 1) ar x r + ρ − 2 + x ∑ (r + ρ )ar x r + ρ −1 + x 2 − k 2
r =0

r =0

∞

∞

∞

r =0
∞

r =0
∞

r =0
∞
2

∞

)∑ a x

r+ρ

r

=0

r =0

∞

⇔ ∑ (r + ρ )(r + ρ − 1)a r x r + ρ + ∑ (r + ρ )a r x r + ρ + ∑ a r x r + ρ + 2 − k 2 ∑ a r x r + ρ = 0
⇔ ∑ (r + ρ )(r + ρ − 1) ar x r + ρ + ∑ (r + ρ )ar x r + ρ − k

r =0
∞

∑a x

r+ρ

r

+ ∑ ar − 2 x r + ρ = 0
r =2

r =0

r =0

[

r =0

∞

∞

]

⇔ ∑ (r + ρ )(r + ρ − 1) + (r + ρ ) − k 2 a r x r + ρ + ∑ a r − 2 x r + ρ = 0
r =2

r =0

∞

[

]

∞

⇔ ∑ (ρ + r ) − k 2 a r x r + ρ + ∑ a r − 2 x r + ρ = 0
2

r =2

r =0

(

)

[

]

∞

⇔ ρ 2 − k 2 a0 x ρ + (ρ + 1) − k 2 a1 x ρ + 1 + ∑
2

{[(ρ + r ) − k ]a
2

2

r

}

+ ar − 2 x r + ρ = 0

(2.5)

r =2

Chuỗi (2.5) chỉ bằng 0 khi các hệ số đứng trước mỗi lũy thừa của x phải bằng
0, tức là:
GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 8

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

(

Hàm Bessel và ứng dụng

)

(2.6)

 ρ 2 − k 2 a0 = 0

2
2
 (ρ + 1) − k a1 = 0

 . .......... .......... .......... ....

2
2
 (ρ + r ) − k a r + a r + 2 = 0
 .......... .......... .......... .....

Vì a0 ≠ 0 , nên từ (2.6) suy ra ρ = ± k

[
[

]

(2.7)

]

(2.8)

Trường hợp: ρ = k
Từ (2.7) và (2.8) ta tìm được:

a1 = 0
ar = −

ar − 2
(ρ + r )2 − k 2

với r = 2, 3, 4...

Do đó, tất cả các hệ số ar với chỉ số r lẻ đều bằng không, nghĩa là:
a2 r +1 = 0 (r = 0,1, 2,...)

Các hệ số với chỉ số r chẵn được cho bởi:
Với r = 2

⇒ a2 = −

a0
2 (k + 1)1!

r=4

⇒ a4 = −

a2
a
=− 2 2
4 (2k + 4 )
2 (k + 2) 2!

2

a0
2 (k + 1)(k + 2 ) 2!
a4
a2
=−
r = 6 ⇒ a6 = −
6 (2k + 6 )
2(k + 2 )3!
a0
=− 6
2 (k + 1)(k + 2 )(k + 3) 3!
a0
Tổng quát: a2 r = (− 1) r 2 r
( a 0 tùy ý)
2 (k + 1)(k + 2 )... (k + r ) r!
=−

4

Chọn a 0 có dạng:
a0 =

1
2 Γ(k + 1)
k

trong đó Γ(k ) là hàm Gamma xác định với mọi giá trị k dương có dạng:
∞

Γ(k ) = ∫ x k −1e − x dx

(k > 0)

0

Sử dụng các tính chất của hàm Gamma:

Γ(k + 1) = kΓ(k )
Γ(k + 1) = k!

và
Chú ý rằng:

(k + 1)(k + 2)...(k + r )Γ(k + 1) = Γ(r + k + 1)

Khi chọn có dạng như trên, hệ số a2 r được viết lại dưới dạng:
a2 r = (− 1) r

2

2r +k

1
(k + 1)(k + 2)... (k + r )Γ(k + 1)r!

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 9

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

hay
r
− 1)
(
a2 r = 2 r + k
2 Γ(r + k + 1) r!

Thay các giá trị của hệ số a2 r và a2 r +1 vào (2.2), ta tìm được nghiệm riêng của
phương trình Bessel (2.1) là:
2r +k

∞

y ( x ) = J k ( x) = ∑ (− 1) r
r =0

x
 
2
r!Γ(r + k + 1)

(2.9)

Chuỗi (2.9) xác định hàm Bessel loại I tất cả các hạng k = 0,1, 2,... ( k là số
nguyên). Dễ dàng thấy rằng chuỗi hội tụ với mọi x và thỏa mãn phương trình (2.1).
Trường hợp: ρ = − k
Vì phương trình (2.1) không đổi khi ta thay k bởi − k . Do đó, với ρ = − k , ta
nhận được nghiệm riêng thứ hai của phương trình Bessel và nó được suy ra từ dạng
nghiệm (2.9) bằng cách thay k bởi − k .
2r −k

J −k ( x) =

∞

∑ (− 1)
r =0

r

x
 
2
r ! Γ ( r − k + 1)

(2.10)

J k ( x ) và J − k (x ) được gọi là các hàm Bessel loại I hạng nguyên.

Nhận xét:
- Nếu k không phải là số nguyên thì các nghiệm riêng J k (x ) và J − k ( x ) là độc
lập tuyến tính. Vì khi x → 0 thì J k ( x ) → 0 , còn khi x → 0 thì J − k ( x ) → ∞ .
Trong trường hợp này, nghiệm tổng quát của phương trình Bessel (2.1) có

dạng:
y ( x ) = AJ k ( x ) + BJ − k ( x ) trong đó A, B là những hằng số tùy ý.
- Nếu k là một số nguyên dương n thì J k ( x ) và J −k (x ) phụ thuộc tuyến tính,
hơn nữa: J −n (x ) = (− 1)n J n (x )
Chứng minh:
Với k = n , ta có:
2 r −n

∞

J − n ( x) = ∑ (− 1) r
r =0

 x
 
2
r!Γ(r − n + 1)

Đặt: r = l + n
2l + n

(− 1)  x 
∞
2
J −n ( x) = ∑
l + n = 0 (l + n )!Γ (l + 1)
l +n

hay
2l + n

(− 1)  x 
−1
 2
J − n ( x) = ∑
(l + n )! l!
l =−n
l+n

2l + n

(− 1)  x 
∞
2
+∑
(l + n )! l!
l =0
l +n

(2.11)

Với l = −n,..., − 1 thì l ! = ∞
suy ra:
GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 10

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt

Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng
−1

(− 1)l + n  x 

2l + n

∑ (l + n)! l!
2

=0

l =− n

Thế vào (2.11), ta được:
∞

(− 1)l + n  x 

2l + n

l =0

2
(l + n )! l!

∞

(− 1)l (− 1)n  x 

J − n ( x) = ∑

=∑

 2
l!Γ(l + n + 1)

l =0

= (− 1)

2l + n

n

∞

(− 1)l  x 

2l + n

∑ l!Γ(l + n+ 1)
2

l =0

hay

J − n ( x ) = (− 1) J n ( x )
n

(đpcm)
Trong trường hợp này, nghiệm tổng quát của phương trình Bessel (2.1) có
dạng:
y ( x ) = AJ n ( x ) + BJ − n ( x )

= AJ n (x ) + B(− 1) J n ( x )
n

[

]

= A + B(− 1) J n (x )
n

= C J n (x )
( C là hằng số)

Đồ thị hàm Bessel loại I hạng nguyên với các chỉ số k = 0,1 và 2 (H.2).

(H.2)
GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 11

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt

Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

Nhận xét đồ thị hàm Bessel:
- Đồ thị của chúng có dạng hao hao đường sin , các giao điểm với trục hoành
chệch đi (không đều đặn) và biên độ giảm dần (xem bảng giá trị hàm ở bảng phụ
lục).
- Với x rất nhỏ, đồ thị hàm J 0 (x ) tiến đến 1 trong lúc đó J1 ( x ) và J 2 ( x ) tiến
đến 0 .
2.1.2. Hàm Bessel loại II hạng nguyên
Khi k không phải là số nguyên, hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình
Bessel là J k (x ) và J − k (x ) . Tuy nhiên, chúng không là độc lập khi k là một số
nguyên. Do đó, để tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bessel với k là số
nguyên dương, ta cần tìm một nghiệm khác nữa độc lập tuyến tính với J k (x ) .
Xét hàm số:
Yk ( x ) =

J k ( x ) cos(kπ ) − J − k (x )
sin (kπ )

(2.12)

(với k không phải là số nguyên)
Dễ dàng thấy rằng, hàm Yk ( x ) là tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm riêng J k ( x )
và J − k ( x ) , nên hàm Yk ( x ) cũng là nghiệm phương trình Bessel, được gọi là hàm
Bessel loại II hạng k hay còn gọi là hàm Neuman hoặc hàm Webe.
Trường hợp đặc biệt, k là số nguyên dương n thì ta có định nghĩa sau:
Yn (x ) = lim Yk ( x ) = lim

k →n

k →n

J k ( x ) cos(kπ ) − J − k ( x )
sin (kπ )

(2.13)

Vì J −n (x ) = (− 1)n J n (x ) nên khi lấy giới hạn (2.13), biểu thức có dạng

0
0

Áp dụng quy tắc L’Hopital :
∂
[J k (x )cos(kπ ) − J −k (x )]
Yn ( x ) = lim ∂k
k →n
∂
[sin(kπ )]
∂k
∂
∂
cos(kπ ) [J k (x )] − πJ k (x ) sin (kπ ) − [J − k (x )]
∂k
∂k
= lim
k →n
π cos(kπ )

1∂

k ∂
J k (x ) − (− 1)
J − k ( x )

k → n π ∂k
k
∂



= lim

Từ đây, ta có thể suy ra:
Yk ( x ) =

1∂

k ∂
J k ( x ) − (− 1)
J − k ( x )

∂k
π  ∂k


(2.14)

Áp dụng quy tắc L’Hopital, ta thu được biểu thức tường minh của Yn (x ) :

n+2k

Yn ( x ) =

2

π

J n ( x ) ln

x 1
−
2 π

n −1

∑

k= 0

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

(n − k − 1) x  − n+ 2k
k!

 
2

Trang 12

(− 1)  x 
n −1
 Γ′(k + 1) Γ′(n + k + 1)
1
2
+
− ∑
π k = 0 k!(k + n )  Γ(k + 1) Γ(n + k + 1) 
k

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

Nhận xét:
- Hàm Yk (x ) → ∞ khi x → 0 .
- Ta thấy các hàm J k (x ) và Yk (x ) là độc lập tuyến tính, vì J k ( x ) và J −k (x ) phụ
thuộc tuyến tính mà Yk ( x ) là tổ hợp tuyến tính của hai hàm đó. Do đó, Yk ( x ) chính là
nghiệm riêng thứ hai mà ta cần tìm và nghiệm tổng quát của phương trình Bessel sẽ
được biểu diễn dưới dạng:
y ( x ) = C 1 J k ( x ) + C 2 Yk ( x )

(C1, C2 là những hằng số tùy ý).
- Yk ( x ) cũng có tính chất giống như J − k ( x ) , khi k là một số nguyên ta cũng có:
Y− k (x ) = (− 1) Yk ( x )
k

Chứng minh:
Từ biểu thức (2.14), thay k bởi − k , ta được:

1 ∂
∂
k
 ( ) J − k ( x) − (− 1) ( ) J k ( x)
π ∂ − k
∂ −k

1 ∂

k ∂
J − k ( x) + (− 1)
J k ( x)
= −
π  ∂k
∂k


Y− k ( x ) =

= (− 1)

k

1∂

k ∂
J k ( x) − (− 1)

J −k ( x)

π  ∂k
∂k


= (− 1) Yk ( x )
k

Đồ thị hàm Bessel loại II hạng nguyên với chỉ số k = 0,1, 2. (H.3)

0

(H.3)

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 13

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

2.2. CÁC CÔNG THỨC TRUY TOÁN ĐỐI VỚI HÀM BESSEL
2.2.1. Các công thức truy toán đối với hàm Bessel loại I
a/ J k +1 (x ) =

2k
J k ( x ) − J k −1 ( x )
x

(2.15)

Chứng minh:
Ta có:
2r +k

2k
2k
J k ( x ) − J k −1 ( x ) =
x
x

∞

∑ (− 1)

r

r =0

2 r + k −1

 x
 
2
r!Γ(r + k )

x
 
∞
2
− ∑ (− 1) r
r!Γ(r + k + 1) r = 0
2 r + k −1

∞

= ∑ (− 1) r
r =0

2 r + k −1

x
k 
(r + k ) x 
∞
2
2
− ∑ (− 1) r
r!Γ(r + k + 1)
r!Γ(r + k + 1) r = 0
2 r + k −1

x
r 
2

r!Γ(r + k + 1)

∞

= −∑ (− 1) r
r =0

2 r + k −1

 x
 
∞
2
= ∑ (− 1) r +1
(r − 1)!Γ(r + k + 1)
r =1

Ở biểu thức cuối cùng, ta thay r bởi r + 1 , sẽ nhận được kết quả:
2 r + k +1

∞
2k
J k (x ) − J k −1 (x ) = ∑ (− 1) r + 2
x
r =0

 x
 
2
r!Γ(r + k + 2 )

= J k +1 ( x )

b/ J k′ (x ) =

1
[J k −1 (x ) − J k +1 (x )]
2

(2.16)

Chứng minh:
Ta có :
∞

J k′ ( x ) = ∑ (− 1) r
r =0

(2r + k )x 2r + k −1
r!Γ (r + k + 1)2 2 r + k

Tách (2r + k ) thành (r + k ) + r , ta được:
∞

J k′ ( x ) = ∑ (− 1) r
r =0

(r + k ) x 2r + k −1 + ∞ (− 1) r
(x )2r + k −1
∑

(r − 1)!Γ(r + k + 1)2 2 r + k
r!Γ(r + k + 1)2 2 r + k r = 1
2 r + k −1

2 r + k −1
(
x)
= ∑ (− 1)
r!Γ(r + k )2 2 r + k
r =0
∞

r

+

1 ∞
(− 1) r
∑
2 r =1

2 r + k −1

2 r + k +1

 x
 x
 
 
∞

1
2
2
r
− ∑ (− 1)
r!Γ(r + k ) 2 r = 0
r!Γ(r + k + 2)

=

1 ∞
(− 1) r
∑
2 r =0

=

1
[J k −1 (x ) − J k +1 (x )]
2

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

 x
 
2
(r − 1)!Γ(r + k + 1)

Trang 14

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng
k
x

c/ J k′ (x ) = J k −1 (x ) − J k (x )

(2.17)

Chứng minh:
Ta có :

(2r + k )x 2r + k −1
r!Γ (r + k + 1)2 2 r + k
r =0
Biến đổi đại lượng (2r + k ) thành (2r + 2k ) − k :
∞

J k′ ( x ) = ∑ (− 1) r

2 r + k −1

∞

J k′ ( x ) = ∑ (− 1) r
r =0

 x
 
∞
x 2 r + k −1
 2
− k ∑ (− 1) r
r!Γ(r + k )
r!Γ(r + k + 1)2 2 r + k
r =0
2r +k

k ∞
∑ (− 1) r
x r =0
k
= J k −1 ( x ) − J k ( x )
x
= J k −1 ( x ) −

d/ J k′ (x ) =

x
 
2
r!Γ(r + k + 1)

k
J k ( x ) − J k +1 ( x )
x

(2.18)

Chứng minh:
Từ công thức hàm Bessel, ta có:
∞

J k′ ( x ) = ∑ (− 1) r
r =0

(2r + k )x 2r + k −1
r!Γ(r + k + 1) 2 2 r + k

∞

= k ∑ (− 1) r
r =0

∞
x 2 r + k −1
x 2 r + k −1
r
(
)
+ ∑ −1
(r − 1)! Γ(r + k + 1) 2 2 r + k −1
r!Γ(r + k + 1)2 2 r + k r =1
2r +k

k ∞

(− 1) r
∑
x r =0

=

 x
 
∞
x 2 r + k +1
2
+ ∑ (− 1) r +1
r!Γ(r + k + 1) r =0
r! Γ(r + k + 2 ) 2 2 r + k +1
2 r + k +1

∞
k
J k ( x ) − ∑ (− 1) r
x
r =0

=
=

e/

x
 
2

r! Γ(r + k + 2 )

k
J k ( x ) − J k +1 ( x )
x

[

]

d k
x J k ( x ) = x k J k −1 ( x )
dx

(2.19)

Chứng minh:
Ta có:
2r +k


 x




d  k ∞
d k
2



r
x J k (x ) =

 x ∑ (− 1)
r!Γ(r + k + 1) 
dx  r =0
dx


∞
(− 1) r
d 2r +2k
.
x
=∑
2r +k
dx
r = 0 r!Γ (r + k + 1)2

[

]

(

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 15

)

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng
∞

= ∑ (− 1) r
r =0

2(r + k )x 2 r + 2 k −1
r!Γ(r + k + 1)2 2 r + k
x 2 r + k −1
r!Γ(r + k )2 2 r + k −1

∞

= x k ∑ (− 1) r
r =0

= x J k −1 (x )
k

[

]

d k
x J k (x ) = x k J k −1 ( x )
dx

hay
f/

[

(k = 1, 2, 3,...)

]

d −k
x J k (x ) = − x − k J k +1 ( x )
dx

(2.20)

Chứng minh:
2r +k


 x




d  −k ∞
d −k


2
r
(
)
−
x
1
x J k (x ) =


∑
r!Γ(r + k + 1) 
dx 
dx
r =0


∞
(− 1) r
d 2r
=∑
x
2r +k
dx
r = 0 r! Γ(r + k + 1)2

[

]

( )

(2r )x 2r −1
r!Γ(r + k + 1)2 2 r + k
r =0
∞
(2r )x 2 r + k −1
= x − k ∑ (− 1) r
r!Γ(r + k + 1)2 2 r + k
r =0
∞

= ∑ (− 1) r

∞

= x − k ∑ (− 1) r
r =1

x 2 r + k −1
(r − 1)!Γ(r + k + 1)2 2r + k −1

Thay r = r + 1 , ta thu được:
2 r + k +1

 x
 
2
r!Γ(r + k + 1 + 1)

∞
d −k
x J k ( x ) = − x − k ∑ (− 1) r
dx
r =0

[

]

= − x − k J k +1 (x )

g/ x k −n J k −n (x ) =

dn

(xdx )

n

[x

k

]

J k (x )

(2.21)

Chứng minh:
Từ công thức (2.19), ta nhận được:
x k −1 J k − 1 ( x ) =

[

]

1 d
x k J k (x )
x dx

Thay k bởi k − 1 vào biểu thức trên sẽ nhận được:
x k −2 J k −2 (x ) =

[

]

[

]

1 d k −1
1 d 1 d k

x J k −1 ( x ) =
x J k (x ) 


x dx
x dx  x dx


[

]

d2
x k J k (x )
x J k −2 (x ) =
2
(xdx)
Lặp lại quá trình trên k − 2 lần, và k < n , ta được:
k −2

x k −n J k −n (x ) =

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

dn

(xdx )

Trang 16

n

[x

k

]

J k (x )

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

h/ x − k − n J k + n ( x ) = (− 1)n

[

]

dn
x − k J k (x )
n
(xdx )

(2.22)

Chứng minh:
Từ công thức (2.20), suy ra:

[

]

1 d
x − k J k (x )
x dx

x − k −1 J k + 1 ( x ) = −

Thay k bởi k + 1 vào biểu thức trên sẽ nhận được:
x − k −2 J k + 2 (x ) = −

[

]

[

]

1 d − k −1
1 d  1 d −k

x J k +1 ( x ) = −
x J k (x ) 
−
x dx
x dx  x dx


hay

[

]

[

]

d2
x −k J k (x )
(xdx )2
...........................................................
x − k − 2 J k + 2 ( x ) = (− 1)

2

x − k − n J k + n ( x ) = (− 1)

n

dn
x −k J k (x )
(xdx )n

z

k/ ∫ x k J k −1 (x )dx = z k J k (z )

(2.23)

0

Chứng minh:
Từ công thức (2.19), lấy tích phân hai vế đẳng thức theo x cận từ 0 đến z ,
sẽ thu được:
z

∫x

k

J k −1 (x ) = x k J k ( x ) = z k J k ( z )
z

0

0

Đặc biệt, trường hợp khi k = 1 thì:
z

∫ xJ (x )dx = zJ (z )
0

1

0

2.2.2. Các công thức truy toán đối với hàm Bessel loại II
a/

[

]

d k
x Yk (x ) = x k Yk −1 (x )
dx

(2.24)

Chứng minh:
Từ công thức truy toán (2.20), thay k bởi − k rồi nhân hai vế với
được:

1
d  k J −k (x )
=−
x k J − k +1 (x )
x


sin kπ
dx  sin kπ 

1
, ta
sin kπ

(2.25)

cos(kπ )
, ta được:
sin (kπ )
 cos(kπ ) k
d  k cos(kπ )
x J k −1 ( x )
J k ( x ) =
x

dx  sin (kπ )
 sin (kπ )

Và từ (2.19) nhân hai vế với

(2.26)

Lấy (2.26) trừ (2.25) ta nhận được:
GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 17

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

 J ( x ) cos(kπ ) + J − k +1 (x ) 
d  k J k ( x ) cos(kπ ) − J − k ( x ) 
= x k  k −1
x



sin (kπ )
sin (kπ )
dx 



 J ( x ) cos(k − 1)π − J − k +1 ( x ) 
= x k  k −1

sin (k − 1)π



Do đó, ta suy ra được:

[

]

d k
x Yk ( x ) = x k Yk −1 (x )
dx

b/

[

]

d −k
x Yk (x ) = − x − k Yk +1 ( x )
dx

(2.27)

Chứng minh:
Từ công thức truy toán (2.19) thay k bởi − k rồi nhân hai vế với
từ (2.20), nhân hai vế với

1
. Và
sin kπ

cos(kπ )
. Sau đó, trừ các kết quả cho nhau, ta sẽ được:
sin (kπ )

 − J (x ) cos(kπ ) − J − k −1 ( x )
d  − k J k ( x ) cos(kπ ) − J − k ( x ) 
x
= x − k  k +1




sin (kπ )
sin (kπ )
dx 



 − J (x ) cos(k + 1)π + J − k −1 ( x ) 
= x − k  k +1

sin (k + 1)π



Như vậy:

[

]

d −k
x Yk ( x ) = − x − k Yk +1 ( x )
dx

k
x

c/ Yk′( x ) = Yk −1 (x ) − Yk (x )

(2.28)

Chứng minh:
Khai triển:

[

]

d k
x Y k ( x ) = kx k −1Y k ( x ) + x k Y k′ ( x )
dx

(2.29)

Kết hợp (2.29) với công thức (2.24) đã được chứng minh, cho ta:
kx k −1Yk ( x ) + x k Yk′ ( x ) = x k Yk −1 ( x )

k
⇔ Yk′ ( x ) = Yk −1 ( x ) − Yk ( x )
x

k
x

d/ Yk′(x ) = Yk (x ) − Yk +1 (x )

(2.30)

Chứng minh:

Ta có:

[

]

d −k
x Yk ( x ) = −kx − k −1Yk ( x ) + x − k Yk′ ( x )
dx

Thay vào (2.27), ta suy ra được công thức (2.30).
e/ Yk′ (x ) =

1
[Yk −1 (x ) − Yk +1 (x )]
2

(2.31)

Công thức này thu được bằng cách cộng hai vế của (2.28) và (2.30) lại với
nhau.

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 18

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

f/ Yk +1 (x ) =

Hàm Bessel và ứng dụng

2k
Yk ( x ) − Yk −1 ( x )
x

(2.32)

Tương tự trên, nếu lấy hai biểu thức (2.28) và (2.29) cộng lại với nhau, thì sẽ
cho ta công thức (2.32).
2.3. HÀM BESSEL HẠNG BÁN NGUYÊN
2n + 1
( n ∈ N ) thì ta được phương
2

Từ phương trình Bessel (2.1) nếu thay k =
trình Bessel hạng bán nguyên.

1
có dạng sau:
2
2

1 

x 2 y ′′ + xy ′ +  x 2 −  k +   y = 0
2  




Cụ thể, xét phương trình Bessel hạng k +

(2.33)

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.33) là:
y ( x ) = C1 J

Nghiệm riêng J

k+

1
2

(x ) + C2Yk + 1 (x )
2

1 ( x ) của phương trình (2.33) được gọi là hàm Bessel loại I
k+
2

hạng bán nguyên, nó được xác định bởi:
2r +k +

∞

J

r
1 ( x ) = ∑ (− 1)
k+
r =0

2

1

2
x
 
2
3

r!Γ r + k + 
2


(2.34)

Các hàm Bessel hạng bán nguyên còn được biểu thị đơn giản qua các hàm
lượng giác sin x, cos x :
2
[M (x ) cos x + N (x )sin x]
πx
1
Với M (x ) và N (x ) là các đa thức của .
x
Chẳng hạn, thay k = 0 vào biểu thức (2.34), ta được:

J

1
k+
2

(x ) =

2r +

∞

J 1 ( x ) = ∑ (− 1) r
2

r =0

1

 x 2
 
2
1

r!Γ r + 1 + 
2


Vận dụng tính chất của hàm Gamma:

Γ(1 + α ) = αΓ(α )
1
Γ  = π
2

và

1
để tìm giá trị của Γ r + 1 +  với (r = 0, 1, 2,...)


2

Khi:
r = 0:

 1 1 1 1
3
π
Γ   = Γ 1 +  = Γ   =
 2 2 2 2
2

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 19

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt

Luận Văn Tốt Nghiệp
r = 1:
r = 2:
r = 3:

Hàm Bessel và ứng dụng
5
 3 3 3 3 1 3
Γ  = Γ1 +  = Γ  = 2 Γ  = 2 π
2
 2 2 2 2 2 2
5. 4. 3. 2.1
5!
7
 5  5  5  5. 3
π = 5
π
Γ  = Γ 1 +  = Γ  = 3 π =
3
4. 2 . 2
2 . 2!
2
 2 2 2 2
7. 6. 5!
7!
 7  7  7  7. 5!
9
π = 6
π = 7
π

Γ  = Γ 1 +  = Γ  = 6
2 . 6. 2!
2 . 3!
 2  2  2  2 . 2!
2

Tổng quát:

1  (2r + 1)!

π
Γ r + 1 +  = 2 r +1
2 2
r!


Vậy:
2r +

∞

J 1 ( x ) = ∑ (− 1) r
r =0

2

⇔ J 1 (x ) =
2

1

 x 2
 
2
(2r + 1)! π
r! 2 r +1
2
r!

2 ∞
x 2 r +1
r
(
)
−
1
∑
(2r + 1)!
πx r =0

(2.35)

Thay r bởi r − 1 , ta có:

(2r − 1)! π
1

Γ r +  = 2 r −1
2  2 (r − 1)!


Tương tự:
2r −

∞

J

1
−
2

(x ) = ∑ (− 1) r
r =0

=

1

 x 2
 
2
1

r!Γ r + 
2


2 r −1
(r − 1)! x 2r
2 ∞

r 2
(
)
−
1
∑
πx r =0
2 2 r r !(2r − 1)!

2r
2 ∞
(− 1) r x
(2.36)
∑
(2r )!
πx r =0
Dựa vào khai triển Maclaurin đối với hàm sin x và cos x :
∞
x3 x5 x7
x 2 r +1
x 2 r +1
r
r
sin x = x − + − + ... + (− 1)
= ∑ (− 1)
(2r + 1)! r = 0
(2r + 1)!
3! 5! 7!

=

cos x = 1 −

2r
2r
∞
x 2 x4 x6
r x
r x
+ − + ... + (− 1)
= ∑ (− 1)
2! 4! 6!
(2r )! r = 0
(2r )!

Do đó, biểu thức (2.35) và (2.36) được viết lại:
J 1 (x ) =
2

J

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

−

1
2

(x ) =

2
sin x
πx
2
cos x
πx

Trang 20

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng
1
1
và k = − , sẽ tìm được:
2
2
2
cos x
Y1 (x ) = − J 1 (x ) = −
−
πx
2
2

Từ công thức (2.12), với k =

Y

−

1
2

2

(x ) = J 1 (x ) =

πx

2

sin x

Dựa vào công thức truy toán:
J k +1 ( x ) =

2k
J k (x ) − J k −1 ( x )
x

1
2

Với k = , ta suy ra:
1
J 1 ( x ) − J 1 (x )

−
x 2
2

J 3 (x ) =
2

=

1 2
2
sin x −
cos x
x πx
πx

=−

2  1

 − sin x + cos x 
πx  x


1
2

Lấy k = − , ta nhận được:
J

3
−
2

2 
1

 sin x + cos x 
x
πx 


(x ) = −

Tương tự, ta có các công thức sau:
J 5 (x ) =
2

J

−

(x ) =

5
2

J 7 (x ) =
2

J

−

(x ) =

7
2


2  3
3

 2 − 1 sin x − cos x 

x
πx  x



2 3
 3

sin x +  2 − 1 cos x 

πx  x
x




2  15 6 
 15 
 3 −  sin x −  2 − 1 cos x 

x
πx  x
x



2  15 
 15 6 
1 − 2  sin x −  3 −  cos x 

x
πx  x 
x


Tổng quát, ta nhận được công thức truy toán của hàm Bessel hạng bán nguyên
như sau:
J
J

1
k+
2

(x ) = (− 1)
(x ) =

2

2

k

π
x

1
k+
2

x

k+

d

1
2

k

(xdx )
Y 1 ( x ) = (− 1) J 1 ( x )
k+
−k −
−k −

1
2

π

k

dk

(xdx )

k

 sin x 


 x 

 cos x 


 x 

k +1

2

2

Y

−k −

1
2

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

(x ) = (− 1)

k

J

k+

1
2

(x )

Trang 21

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt


Luận Văn Tốt Nghiệp

Hàm Bessel và ứng dụng

2.4. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƯA VỀ PHƯƠNG
TRÌNH BESSEL
2.4.1. Phương trình dạng: x 2 y ′′ + xy ′ + (α 2 x 2 − k 2 )y = 0 (α ≠ 0)
(2.37)
Đổi biến: t = αx
Tính các đạo hàm:
dy dy dt
dy
=
=α
dx dt dx
dt
2
d y d  dy  dt
d2y
y ′′(x ) = 2 =  
=α2 2
dx
dt  dx  dx
dt
y ′( x ) =

Thế vào phương trình (2.37), ta có:
2

(

)

2
 t  2 d y  t  dy
+  α + t 2 − k 2 y = 0
  α
2
α
dt
 α  dt
 
2
d y
dy
t 2 2 + t + (t 2 − k 2 )y = 0
(2.38)
hay
dt
dt
Phương trình (2.38) chính là phương trình Bessel hạng k có nghiệm tổng

quát sau:

y k (t ) = AJ k (t ) + BYk (t )

Khi đó, nghiệm của phương trình (2.37) là:

y k (αx ) = AJ k (αx ) + BYk (αx )



2.4.2. Phương trình dạng: u ′′ + 1 +



1 − 4k 2
4x 2


u = 0


(2.39)

Đổi biến: u = y x
Tính các đạo hàm:
1 y
+ y′ x
2 x
1 y
1 y′
1 y′
u ′′ = −
+
+ y ′′ x +
4x x 2 x
2 x
y′
1 y
=−
+
+ y ′′ x
4x x

x

u′ =

Thay vào phương trình (2.39), ta có:

(

)

 1 − 4k 2 
y′
1 y
 y x =0
+
+ y ′′ x + 1 +
4 x 2 
4x x
x

y′
k2y
1 y
1 y
⇔−
+
+ y ′′ x + y x +
−
=0
4x x x x

4 x3
x
1
1
⇔ − y + y ′x + y ′′x 2 + yx 2 + y − k 2 y = 0
4
4
−

hay

(

)

x 2 y ′′ + xy ′ + x 2 − k 2 y = 0

Đây là phương trình Bessel có nghiệm là:

y = AJ k ( x ) + BYk ( x )

Vì vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (2.39):

u = x [ AJ k ( x ) + BYk ( x )]

GVHD: Th.S Trần Minh Quý

Trang 22

SVTH: Võ Thanh Hoa Việt