LUẬN văn sư PHẠM vật lý KHẢO sát DAO ĐỘNG CON lắc với GIAO DIỆN COBRA 3 BASIC UNIT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI :

KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CON LẮC VỚI GIAO
DIỆN COBRA 3 BASIC-UNIT

Giáo viên hướng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

ThS. LÊ VĂN NHẠN

NGUYỄN VĂN LÀNH
MSSV: 1080323
LỚP: SP VẬT LÝ-CN
KHÓA: 34

Cần Thơ, 04 - 2012

`


NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................

.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
Cần Thơ, ngày…tháng…năm 2012

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 1
`


.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................

.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................

Cần Thơ, ngày…tháng…năm 2012

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 2
`


.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................

.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
Cần Thơ, ngày…tháng…năm 2012

`


LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian tìm hiểu tài liệu, nghiên cứu lý thuyết về con lắc và tiến hành
thí nghiệm lấy số liệu đến nay chúng em đã hoàn thành đề tài luận văn của mình. Ngoài
sự nổ lực của bản thân chúng em còn được sự giúp đỡ tận tình của quý Thầy Cô, bạn bè
trong và ngoài lớp. Chúng em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến:
* Quý Thầy Cô tổ Cơ-Nhiệt bộ môn Vật Lý khoa Sư Phạm, Trường Đại học Cần
Thơ, những người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn chúng em trong trong suốt thời
gian học tập và rèn luyện tại bộ môn.
* Thầy Lê Văn Nhạn đã mất rất nhiều thời gian và công sức tận tình hướng dẫn.
giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình làm luận văn.
* Thầy Nguyễn Bá Thành và Thầy Vương Tấn Sĩ đã hỗ trợ chúng em trong việc
hoàn chỉnh một số thí nghiệm.

* Thầy Trương Hữu Thành – Quản lý phòng thực hành thí nghiệm Cơ-Nhiệt đã
giúp đỡ chúng em trong việc mở cửa phòng thực tập.
* Tập thể lớp Sư Phạm Vật Lý Công Nghệ khóa 34 đã đóng góp nhiều ý kiến hữu
ích và giúp đỡ chúng em hoàn thành đề tài này.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên đề tài sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến chân thành của quý Thầy Cô và các bạn.
Chúng em chân thành cảm ơn.

Nguyễn Văn Lành

`


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ..........................................................................................................
MỤC LỤC ...............................................................................................................
PHỤ LỤC DANH SÁCH HÌNH & DANH SÁCH BẢNG............................................
A. PHẦN MỞ ĐẦU.................................................................................................i
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.........................................................................................i
II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ........................................................................ii
III. PHẠM VI THỰC HIỆN ....................................................................................ii
IV. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG ................................................................................ii
V. KẾT CẤU LUẬN VĂN .....................................................................................iii
B. NỘI DUNG........................................................................................................1
CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC.........................................1
A. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.........................................................1
I. QUÁ TRÌNH TUẦN HOÀN ................................................................................1
II. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA. ........................................................2
1.2.1.Chúng ta xét thí dụ sau đây: .......................................................................2

1.2.2. Các bài toán về dao động điều hòa: ..........................................................4
1.2.3. Năng lượng của dao động điều hòa. .........................................................8
1.2.4. Tổng hợp các dao động điều hòa. ...........................................................10
III. DAO ÐỘNG CƠ TẮT DẦN ............................................................................17
1.3.1. Hiện tượng ...............................................................................................17
1.3.2. Phương trình dao động tắt dần ................................................................17
1.3.3. Khảo sát dao động tắt dần .......................................................................18

`


IV. DAO ÐỘNG CƠ CƯỠNG BỨC ......................................................................19
1.4.1. Hiện tượng ...............................................................................................19
1.4.2. Phương trình dao động cưỡng bức .........................................................20
1.4.3. Khảo sát dao động cưỡng bức. Cộng hưởng. .........................................22
1.4.4. Ứng dụng của hiện tượng cộng hưởng cơ ..............................................23
1.4.4.1. Đo tần số dòng điện – tần số kế ..........................................................23
1.4.4.2.Ngăn ngừa sự phá hoại vì cộng hưởng cơ............................................23
V. TÍNH SAI SỐ VÀ XỬ LÍ SỐ LIỆU ...................................................................25
1.5.1. Định nghĩa phép tính về sai số.................................................................25
1.5.2. Phương pháp xác định sai số của phép đo trực tiếp ...............................25
1.5.3. Phương pháp xác định sai số gián tiếp....................................................28
1.5.4. Cách viết kết quả......................................................................................30
1.5.5. Xử lí số liệu và biểu diễn kết quả bằng đồ thị ..........................................31
B. CHU KỲ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ............................................................32
I. CHU KỲ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN.....................................................32
II. CHU KỲ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC VẬT LÝ ..............................................33
CHƯƠNG 2: HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH MEASURENT ĐIỀU
KHIỂN THIẾT BỊ GIAO TIẾP COBRA 3 BASIC-UNIT ĐỂ KHẢO SÁT DAO ĐỘNG
CỦA CON LẮC ...................................................................................................34

2.1. Giới thiệu các dụng để tiến hành thí nghiệm.thiết bị sử..............................34
2.1.1. Máy vi tính ................................................................................................34
2.1.2. Dụng cụ thí nghiệm. .................................................................................34
2.1.3. Phần mềm Measurement .........................................................................34
2.2. Hướng dẫn sử dụng chương trình Measurement .......................................35
2.2.1. Khởi động chương trình Measurement. ...................................................35
2.2.2. Các thao tác trên đồ thị ............................................................................38

`


CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT CHU KỲ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC TOÁN HỌC VỚI
GIAO TIẾP COBRA 3 BASIC-UNIT SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH
MEASUREMENT. ...............................................................................................39
3.1. Cơ sở lý thuyết ............................................................................................39
3.1.1. Nguyên lý .................................................................................................39
3.1.2. Mục đích...................................................................................................39
3.1.3. Giả thuyết và đánh giá .............................................................................39
3.2. Dụng cụ thí nghiệm .....................................................................................40
3.3. Tiến hành thí nghiệm...................................................................................41
3.3.1. Lắp ráp thí nghiệm: ..................................................................................41
3.3.2. Các bước thực hành ................................................................................41
3.4. Kết quả thí nghiệm ......................................................................................43
CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT CHU KỲ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC GẮN BÁN ĐĨA
VỚI GIAO TIẾP COBRA 3 BASIC-UNIT SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH
MEASUREMENT ................................................................................................45
4.1. Cơ sở lý thuyết ............................................................................................45
4.1.1. Nguyên lý .................................................................................................45
4.1.2. Mục đích...................................................................................................45
4.1.3. Giả thuyết và đánh giá. ............................................................................45

4.2. Dụng cụ thí nghiệm. ....................................................................................46
4.3. Tiến hành thí nghiệm...................................................................................47
4.3.1. Lắp ráp thí nghiệm : .................................................................................47
4.3.2. Các bước thực hành ................................................................................47
4.4. Kết quả thí nghiệm ......................................................................................49
C. PHẦN KẾT LUẬN...........................................................................................51
C. HƯỚNG DẪN TIẾN HÀNH THÍ NGHIỆM.......................................................52

`


PHỤ LỤC MÁY ĐO COBRA 3 BASIC UNIT........................................................62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 65
PHỤ LỤC DANH SÁCH HÌNH & DANH SÁCH BẢNG

Hình 1.1: ..............................................................................................................4
Hình1.2: .................................................................................................................6

Hình 1.3: ...............................................................................................................7
Hình 1.4 .......................................................................................................................... 10
Hình 1.5: ......................................................................................................................... 12
Hình1.6: . ........................................................................................................................ 16
Hình 1.7 : ............................................................................................................ 16
Hình 1.8: ......................................................................................................................... 16
Hình 1.9: ......................................................................................................................... 18
Hình 1.10 ........................................................................................................................ 21
Hình 1.10 ........................................................................................................................ 23
Hình 1.12 ........................................................................................................................ 24
Hình 1.13 ........................................................................................................................ 31
Hình 3.1: Thí nghiệm xác định chu kỳ con lắc toán học..................................... 40

Hình 3.2: Sơ đồ kết nối dây dẫn vào máy. ......................................................... 41
Hình 1.11: Thí nghiệm xác định chu kỳ con lắc có gắn bán đĩa ........................... 47
Hình 5.1: Cấu tạo máy Cobra 3 Basic-Unit ........................................................62
Bảng 1: Kết quả đối chứng của nhà cung cấp thiết bi thí nghiệm Phywe..........42
Bảng 2: Kết quả được tính toán từ thí nghiệm...................................................43
Bảng 3: Kết quả của nhà cung cấp thiết bị thí nghiệm Phywe đưa ra ...............49
Bảng 4: Kết quả từ thí nghiệm ...........................................................................49
Biểu đồ 1: Biểu diển sự phụ thuộc vào chiều dài l đối với chu kỳ T................... 44
Biểu đồ 2: Biểu diển sự phụ thuộc vào góc lệch nghiêng đối với gia tốc trọng
trường g .............................................................................................................50
`


A. PHẦN MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Vật lý là ngành khoa học thực nghiệm. Đa số các lĩnh vực vật lý đều được thiết
lập và kiểm tra bằng cách thu thập và so sánh các số liệu thực hiện. Thực nghiệm ở
phương diện các nhà khoa học đã giúp họ kiểm nghiệm và khẳng định tính đúng đắn các
định luật cơ bản cũng như bác bỏ những tư tưởng sai lầm. Còn thực nghiệm ở cương vị
sinh viên nghiên cứu sẽ giúp chúng ta hiểu rõ về bản chất các vấn đề mà khi nghiên cứu
lý thuyết chúng ta chưa phát hiện được.
Đối với sinh viên vật lý, thực hành vật lý là khâu tập dượt chuẩn bị những kỹ năng
và đức tính cần thiết ban đầu cho những người muốn đi sâu vào nghiên cứu vật lý hoặc
làm công tác nghiên cứu trong lĩnh vực khác có liên quan đến vật lý. Tiếp xúc với thí
nghiệm, đó là cơ hội cho chúng ta làm quen với cách thiết kế chế tạo dụng cụ thí nghiệm
tức là có thể chuyển đổi một mô hình thí nghiệm thực sự, nhờ thực nghiệm mà ta có thể
phát hiện những ý tưởng mới cho nội dung đang nghiên cứu hoặc một nội dung mới nào
đó.
Xu thế mới trong dạy học vật lý hiện nay là đưa thực nghiệm vào giảng dạy từ bậc

phổ thông cho đến bậc đại học. Điều đó cho thấy, mọi người ngày càng thấy rõ vai trò
của thực nghiệm trong giảng dạy vật lý.
Ngày nay, việc áp dụng công nghệ thông tin vào lĩnh vực thực nghiệm càng được
phổ biến và chú trọng. Trong lĩnh vực giáo dục, các trường phổ thông đã biết quan tâm
và đưa các thí nghiệm sử dụng máy tính vào chương trình học. Ở trường đại học tuy
không nhiều nhưng cũng có một số thí nghiệm sử dụng máy vi tính hỗ trợ cho việc đo
đạc, tính toán. Đặt biệt là các bài thí nghiệm thuộc phần cơ học đã gây ấn tượng với em
khi còn là sinh viên năm hai, đồng thời là một Giáo viên tương lai – Giáo viên của môn
khoa học có cả lý thuyết và thực nghiệm. Đề tài ” KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA CON
LẮC VỚI GIAO DIỆN COBRA 3 BASIC-UNIT ” giúp em đi sâu tìm hiểu một số thí
nghiệm có máy vi tính hỗ trợ, thuận lợi hơn cho việc công tác sau này và giúp em hiểu
biết kỹ hơn về một lĩnh vực vật lý mà mình yêu thích.
1

1


Mặt khác có rất nhiều sinh viên được đánh giá là học khá tốt lý thuyết ở trường
nắm vững các nguyên lí, định luật trong sách vỡ nhưng việc vận dung kiến thức mà mình
có được vào thực hành để giải quyết các vấn đề thực nghiệm gặp nhiều khó khăn.
Do đó, khi quyết định chọn đề tài ” KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC VỚI
GIAO DIỆN COBRA 3 BASIC-UNIT “ là một cơ hội tốt để em có thể tự đánh giá khả
thực hành của mình bằng cách sử kiến thức đã biết đi vào tìm hiểu một vấn đề thực
nghiệm.
Một lý do khác nữa là đề tài luận văn này còn khá mới lạ; vừa mang tính vật lý
vừa đòi hỏi người thực hiện phải có sự hiểu biết nhất định về tin học. Đây là những lĩnh
vực dược đông đảo sinh viên quan tâm và tìm hiểu.
II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Vì là một đề tài thực nghiệm nên phương pháp chủ yếu là sử dụng máy vi tính và
các dụng cụ thiết bị để tiến hành thí nghiệm. Đo đạc, khảo sát dao động của con lắc. Các

số liệu thu nhận được từ “giao diện Cobra 3 Basic Unit” truyền qua máy vi tính xử lý và
hiển thị kết quả. Mặc dù, thí nghiệm có máy tính hổ trợ thì việc tiến hành thí nghiệm sẽ
đơn giản và nhẹ nhàng hơn nhưng cần đòi hỏi người làm thí nghiệm phải có kiến thức về
việc sử dụng máy vi tính và nhất là phải sử dụng thành thạo chương trình Measurement
Phương pháp nghiên cứu các tài liệu khảo sát cũng là 1 trong những phương pháp quan
trọng và chủ yếu.
Như vậy, việc tiến hành cẩn thận các thí nghiệm tổng hợp, xử lý số liệu. Phân tích
các tài liệu đã thu thập được nhờ vào sự hướng dẫn và giúp đỡ của Thầy cùng với những
suy nghĩ của bản thân là phương pháp để em hoàn thành đề tài luân văn này.
III. PHẠM VI THỰC HIỆN:
Phòng thí nghiệm Cơ-Nhiệt, bộ môn Vật Lý, Khoa Sư Phạm, Trường Đại Học
Cần Thơ.
IV. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG
Khi đề tài này được hoàn thành sẽ làm tài liệu để các khóa học sau tham khảo để
thực hiện thí nghiệm. Vì nó là một trong các bài thí nghiệm cơ nhiệt mà sinh viên ngành
vật lý được học.
2

2


V. KẾT CẤU LUẬN VĂN
CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC:
Định nghĩa dao động, giới thiệu khái quát về các loại dao động: dao động điều
hòa, dao động tắt dần và dao động cưỡng bức.v.v, cách thiết lập chu kỳ tương ứng của
từng loại dao động. Các loại con lắc liên quan đến thí nghiệm.
CHƯƠNG 2: HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH MEASUREMENT ĐIỀU
KHIỂN THIẾT BỊ GIAO TIẾP COBRA 3 BASIC UNIT ĐỂ KHẢO SÁT DAO ĐỘNG
CỦA CON LẮC: Giới thiệu chức năng và ứng dụng phần mềm “measurement” để hổ trợ
tiến hành thí nghiệm.

CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT CHU KỲ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC TOÁN HỌC VỚI
GIAO

TIẾP

COBRA

3

BASIC-UNIT

SỬ

DỤNG

CHƯƠNG

TRÌNH

MEASUREMENT.
CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT CHU KỲ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC GẮN BÁN ĐĨA
VỚI GIAO TIẾP COBRA 3 BASIC-UNIT SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH
MEASUREMENT

3

3


B. PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC

A. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
I. QUÁ TRÌNH TUẦN HOÀN
- Trong thiên nhiên, cũng như trong khoa học, kỹ thuật và trong đời sống hằng
ngày, chúng ta thường gặp những quá trình gọi là tuần hoàn, thí dụ như: chuyển động của
Mặt Trăng quanh Quả Đất, chuyển động của con lắc đồng hồ, nhịp đập của tim, v.v…đối
với những quá trình ấy, sự biến thiên của một số đại lượng nào đó (vận tốc, gia tốc, áp
suất…) được lặp lại giống hệt như cũ sau một khoảng thời gian xác định gọi là chu kỳ.
Nếu f(t) là một đại lượng tuần hoàn biến thiên theo thời gian t với chu kỳ bằng T, thì đối
với mỗi giá trị bắt kỳ của t, ta luôn luôn có hệ thức: f (t + T ) = f (t )
- Thí dụ: Sự biến thiên áp suất của không khí tại một thời điểm ở gần một dây đàn
đang rung. Sau mỗi chu kỳ T, phương, chiều, cường độ của áp suất cũng như tốc độ biến
thiên của nó, trở lại những trị cũ.
- Thông thường, chúng ta hay gặp những quá trình gần giống như quá trình tuần
hoàn, thí dụ như chuyển động con lắc của một quả nặng treo bặng một sợi dây. Những
quá trình đó không phải là tuàn hoàn, vì chúng tắt dần theo thời gian và không có một lúc
nào chúng được lặp lại như cũ. Ta gọi chúng bằng một tên chung là dao động. Như vậy
dao động tuần hoàn là một trường hợp riêng của dao động nói chung.
- Đối với mỗi dao động tuần hoàn, chúng ta xác định được chu kỳ T là khoảng
thời gian giữa hai dao động liên tiếp nhau, và tần số f =

1
là tần số dao động trong đơn
T

vị thời gian.
- Đơn vị đo tần số là Hec (Hz),1Hz=1s-1
Nếu dao động được truyền đi từ điểm này sang điểm khác, từ hạt này sang hạt khác của
môi trường, thì tập hợp các dao động của tất cả các hạt gọi là một quá trình sóng. Trong

các dao động thường gặp trong thiên nhiên, thì dao động điều hòa là quan trọng nhất.
4


II. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
1.2.1.Chúng ta xét thí dụ sau đây:
Một hòn bi có khối lượng m có thể chuyển động không ma sát trên một mặt phẳng
nằm ngang. Nó được gắn vào một lò xo khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo là
một điểm cố định.
Khi lò xo ở vị trí cân bằng, hòn bi đứng tại O, trọng lượng của nó đươc cân bằng bởi
phản lực của mặt phẳng, và tổng hợp lực tác dụng lên nó bằng 0. Ta chọn O làm gốc tọa
độ. Khi ta nén lò xo lại và đưa hòn bi tới vị trí x, tổng hợp lực tác dụng lên hòn bi đúng
bằng lực đàn hồi F của lò xo. Ta biết rằng F = − kx (k là hệ số cứng của lò xo), do đó ta
có thể viết phương trình của định luật II NiuTơn dưới dạng như sau ( ta dùng ký hiệu x&
và &
x&để chỉ đạo hàm bậc nhất và bậc hai của x đối với thời gian: x&=

dx
d 2x
&
&
; x = 2 ).
dt
dt

m&
x&= − kx

Hay m&
x&+ kx = 0

⇒&
x&+

Đặt

k
x=0
m

(1.1)

k
= ω 2 , ta viết được phương trình trên thành: &
x&+ ω 2 x = 0
m

Nghiệm của phương trình là: x = A cos(ω t + ϕ )
x = A sin (ω t + ϕ )

Hoặc

(1.2)
(1.3)
(1.4)

- Trong đó t là thời gian, và A, ω , ϕ là những hằng số. Tọa độ x của hòn bi gọi là
li độ chuyển động.
- Sau đây chúng ta sẽ xét ý nghĩa vật lý của các hắng số A, ω , ϕ
Giả sử hòn bi chuyển động theo qui luật. Biết li dộ của hòn bi x = A cos(ω t + ϕ ) , ta có thể
tính ra vận tốc và gia tốc của nó

v = x&=

dx
= − Aω sin(ω t + ϕ )
dt

a=&
x&=

dv
2
= − Aω cos(ω t + ϕ )
dt

- Như vậy li độ, vận tốc và gia tốc điều được biểu diển bằng những phương trình
dạng sin và cosin.
5


- Một dao động có các đại lượng đặt trưng (li độ, vận tốc, gia tốc, áp suất…) biến
thiên theo một quy luật dạng sin hoặc cosin được gọi là dao động điều hòa. Phương trình
của dao động điều hòa có dạng x = A cos(ω t + ϕ ) trong đó A, ω , ϕ là những hằng số.
- Lượng (ω t + ϕ ) xác định li độ, vận tốc và gia tốc tại mỗi thời điểm t bất kỳ, tức
là xác định trạng thái dao động tại thời điểm đó. Ta gọi đó là pha của dao động điều hòa.
- Lượng ϕ xác định li độ, vận tốc và gia tốc tại thời điểm ban đầu t=0, nên được
gọi là pha ban đầu.
Vì sin(ω t + ϕ ) = sin(ω t + 2π + ϕ ) = sin[ω (t +
Và cos(ω t + φ ) = cos(ω t + 2π + φ ) = cos[ω (t +
gian T =

2π

ω

2π

ω
2π

ω

) + ϕ]
) + φ ] nên cứ sau một khoảng thời

thì li độ, vận tốc và gia tốc lại lập lại giá trị như cũ. Ta gọi T =

của dao dộng điều hòa. Lượng ω =

2π

ω

là chu kỳ

2π
= 2π f bằng 2π lần dao động trong đơn vị thời
T

gian, gọi là tần số vòng của dao động điều hoà. Đối với trường hợp cụ thể đang xét,
ω=

k
. Đơn vị đo ω là radian trên giây. Nếu ta đo ω đúng bằng đơn vị vòng trên giây
m

thì ω =

2π rad 1 vòng
=
, số đo ω đúng bằng số đo f, vì thế mà ω được gọi là tần số
T s
T s

vòng. Trong những trường hợp không sợ lầm lẫn giữa ω và f, người ta cũng gọi tắt ω là
tần số.
- Lượng A là giá trị cực đại của li độ ứng với sin(ωt + ϕ ) = 1 được gọi là biên độ
của dao động điều hoà. Như vậy li độ biến thiên từ -A đến +A.
Chú ý rằng trị của pha ban đầu ϕ ,cũng như dạng của phương trình dao động điều
hoà, phụ thuộc cách chọn các điều kiện ban đầu. Thí dụ, nếu ta chọn thời điểm ban đầu
t=0 là lúc vật qua vị trí cân bằng (x=0), thì phương trình dao động là x = A sin ωt . Nếu ta
chọn thời điểm bắt đầu t=0 là lúc vật có li độ cực đại (x=A) thì phương trình dao động là
x = A cos ωt . Trong cả hai thí dụ trên, pha ban đầu là ϕ = 0 , nếu α là một góc bất kỳ, ta

luôn luôn có x = A sin(ω t + α ) , cho nên nếu một dao động được biểu diễn bằng

6


π

x = A sin(ω t + α ) có thể được biểu diễn bằng x = Acos(ω t + α − ) . Vấn đề ở đây là đổi
2

các điều kiện ban đầu để đổi pha ban đầu α thành α ' = α −

π
2

- Pha và pha ban đầu được đo bằng đơn vị góc (radian). Tần số vòng cũng được
đo bằng radian trên giây, nhưng chúng chỉ là những đại lượng trung gian để xác định li
độ, vận tốc và gia tốc của dao động điều hoà.
- Hai dao động có pha bằng nhau hoặc lệch nhau một góc 2π hay bội số chẵn của
2π gọi là dao động cùng pha. Hai dao động có pha khác nhau gọi là dao động lệch pha.

Hai dao động có độ lệch pha π hay bội số lẻ của π gọi là dao động ngược pha.
1.2.2. Các bài toán về dao động điều hòa:
Bài toán 1: Một điểm P chuyển động trên một vòng tròn bán kính R với vận tốc
góc không đổi ω , theo chiều mũi tên trên hình. Ta chọn điểm C làm gốc toạ độ trên vòng
tròn, và chọn chiều dương là chiều của mũi tên trên hình vẽ (ngược chiều kim đồng hồ).
- Tại thời điểm ban đầu t=0, điểm P ở

P

vị trí P0 xác định bằng góc ϕ . Tại thời điểm

(+
)

ωt

t bất kỳ, vị trí của P được xác định bằng góc

P0

(ωt + ϕ ) . Ta chiếu chuyển động của P xuống

ϕ

C’

0

P’

C

một đường kính đi qua C, và chọn gốc toạ

x

độ trên đường kính đó là tâm O của vòng
tròn. Tại thời điểm t bất kỳ, vết chiếu của P
là P’, ta đặt x = OP ' .

Hình 1.1.

Ta có x = R cos(ωt + ϕ )
- Vậy chuyển động của điểm P’ trên đường kính C’C là một dao động điều hoà, có
biên độ bằng R, tần số vòng bằng ω và pha ban đầu bằng ϕ . Riêng đối với trường hợp
này, pha ban đầu ϕ chính bằng góc xác định vị trí ban đầu của điểm P, tần số vòng ω là

vận tốc góc của điểm P, chu kỳ T =

2π

xác định thời gian để điểm P quay được một

ω

7


vòng, tần số f =

ω
xác định số vòng mà điểm P quay được trong một đơn vị thời gian,
2π

và pha (ωt + ϕ ) là góc xác định vị trí của điểm P tại thời điểm bất kỳ t.
- Chú ý rằng, nếu chiếu chuyển động của điểm P xuống một đường kính thẳng góc
với CC’ thì dao động của hình chiếu P’ sẽ có dạng: x = R sin(ωt + ϕ ) .
Bài toán 2: bài toán về con lắc lò xo. Một vật nặng có khối lượng m được treo
dưới một lò xo đàn hồi có hệ số cứng k và khối lượng không đáng kể. Ở vị trí cân bằng,
lực đàn hồi F0 của lò xo cân bằng với trọng lượng P của vật. Gọi ∆l là độ giãn của lò xo
khi vật ở vị trí cân bằng, chọn O làm gốc toạ độ và chiều dương là từ trên xuống dưới. ta
viết được: F0 = −k ∆l và P = − F0 = k ∆l
- Chúng ta kéo vật nặng về phía dưới một đoạn OO ' = x . Độ giãn của lò xo lúc này
bằng ∆l + x , và lực đàn hồi bằng : F = −k (∆l + x)
Tổng hợp lực tác dụng lên vật lúc này là:
P + F = k ∆l − k (∆l + x) = − kx

- Theo định luật II Niuton, ta viết được phương trình chuyển động của vật nặng:
mx = − kx

Phương trình này giống như phương trình trên. Ta có thể kết luận được rằng vật nặng sẽ
dao động điều hoà với tần số vòng ω =

k
2π
m
và chu kỳ T =
= 2π
, vật nặng như vậy
ω
m
k

được gọi là con lắc lò xo.
- Chu kỳ dao động của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc khối lượng m của vật nặng và
hệ số cứng k của lò xo, không phụ thuộc trọng lượng P của vật nặng. Chu kỳ đó sẽ không
thay đổi nếu ta di chuyển con lắc lò xo đến một nơi bất kỳ trên Trái Đất, hoặc đặt nó trên
một con tàu vũ trụ ở cách xa trọng trường của Trái Đất.
- Người ta có thể so sánh khối lượng m1, m2 của hai vật khác nhau, bằng cách treo
lần lượt hai vật vào lò xo, và đo các chu kỳ T1, T2 tương ứng. Từ công thức của chu kỳ T,
m1 T12
ta rút ra hệ thức:
=
m2 T22

- Người ta dùng con lắc lò xo để đo hệ số cứng của một lò xo. Nếu biết m và đo
được T của con lắc lò xo, thì hệ số cứng của lò xo bằng: k =

8

4π 2 m
T2


Bài toán 3: về con lắc toán học. Con lắc toán học là một hệ gồm một vật nặng có
kích thước không đáng kể treo ở đầu một sợi dây không biến dạng có khối lượng không
đáng kể.
Ở vị trí cân bằng, sức căng của dây cân bằng với
trọng lượng P của vật. Tổng hợp lực tác dụng lên vật
nặng bằng 0.
θ

- Khi ta kéo lệch con lắc ra khỏi vị trí cân

l

bằng, thành phần pháp tuyến Pn của trọng lượng cân

M
O

bằng với sức căng của dây, tổng hợp lực tác dụng lên
Pt
P

Hình 1.2

vật chính là thành phần tiếp tuyến Pt của trọng lượng

Pn

P.

P

- Gọi l là chiều dài của dây, m là khối lượng
của vật nặng, s là độ dời của vật nặng khi ta lấy điểm

O làm gốc. Nếu góc lệch θ nhỏ, thì: sin θ ≈ θ =
- Và: Pt = − P sin θ = −mg sin θ ≈ −mg

s
l

s
(lực Pt âm vì nó luôn hướng về O, tức là
l

ngược chiều với độ dời s). Ta viết được phương trình cơ bản của con lắc dưới dạng:
m&
s&= Pt
m&
s&= −

mg
s
l

(1.5)

- Phương trình này có dạng giống như phương trình (1.1) ở đây

mg
giữ vai trò
l

của k. Ta có thể kết luận rằng dao động nhỏ của con lắc toán học ( góc θ nhỏ) là một dao
g
l

động điều hòa có tần số vòng bằng: ω =
Và chu kỳ bằng: T =

2π

ω

= 2π

l
g

(1.6)
(1.7)

- Khi góc lệch của con lắc nhỏ hơn 100, các công thức trên chính xác tới 0,2%. Ta
có thể nói rằng chu kỳ của con lắc toán học không phụ thuộc vào khối lượng và biên độ
dao động của nó.

9


- Chu kỳ của con lắc toán học phụ thuộc vào giá trị trọng trường ở từng nơi trên
Trái Đất. Vì thế người ta có thể dùng con lắc toán học để đo giá trị của g.
Bài toán 4: Con lắc vật lý. Chúng ta xét một vật nặng bất kỳ dao động tự do xung
quanh một trục nằm ngang O thẳng góc với hình vẽ. Một vật như vậy được gọi là con lắc
vật lý.
Gọi a là khoảng cách từ khối tâm đến trục

O

θ

L

quay O, giả sử góc lệch θ là rất nhỏ. Momen

a

lực

C

P

tác

dụng

lên

con

a’

lắc M = − Pa sin θ ⇒ M ≈= mgaθ (M có giá trị

O’

âm vì nó luôn hướng theo chiều làm giảm góc
lệch θ ). Nếu gọi I là momen quán tính của

Hình 1.3: Con lắc vật lý

con lắc đối với trục quay O, ta viết được

phương trình cơ bản của con lắc (vật quay quanh trục O) dưới dạng:
&= −mgaθ
Iθ&

(1.8)

Phương trình này có dạng giống như (1.1) ,ở đây I giữ vai trò của m và mga giữ
vai trò của k. Ta có thể kết luận được rằng dao động nhỏ của con lắc vật lý là một dao
động điều hòa có tần số vòng bằng: ω =
Và chu kỳ bằng: T = 2π

mga
I

(1.9)

I
.
mga

(1.10)

Ta thấy rằng nếu một con lắc toán học có độ dài bằng L =
của nó bằng chu kỳ của con lắc vật lý ta đang xét. Vì vậy L =
của con lắc vật lý và có thể viết thành T = 2π

I
thì chu kỳ dao động
ma

I
gọi là độ dài rút gọn
ma

L
.
g

(1.11)

Chú ý rằng độ dài rút gọn L ứng với trục quay O. Nếu đổi trục quay khác, ta sẽ có
giá trị khác của độ dài rút gọn, và nói chung ứng với mỗi trục quay Oi ta có một độ dài
rút gọn Li =

Ii
L
và một chu kỳ Ti = 2π i ta có thể viết: I = I 0 + ma 2
mai
g

10

(1.12)


Trong đó I0 là momen quán tính của con lắc đối với trục quay đi qua khối tâm C
và song song với trục cũ.
- Trên đường thẳng OC, ta lấy đoạn OO’=L và cho con lắc dao động O cũ. Đối
với trục O ta viết được: L =
như thế: L' =

I
I
= 0 + a và đối với trục O’ ta cũng viết được tương tự
ma ma

I0
+ a ' trong đó L’ là độ dài rút gọn của con lắc đối với trục O’ và a’ là
ma '

khoảng cách từ O’ tới C.
- Vì a' = L − a =

I0
I ma
nên L' = 0
+ L − a = L . Vậy khi con lắc dao động quanh
ma
m I0

trục O’, độ dài rút gọn của nó vẫn bằng L, do đó chu kỳ của nó vẫn bằng T như khi nó
dao động quanh trục O.
- Người ta áp dụng tính chất này để xác định gia tốc trọng g và sự biến thiên của
nó tại các vị trí khác nhau trên Trái Đất. Trong thực nghiệm, người ta dùng con lắc thuận
nghịch gồm hai quả nặng M1 và M2 di động được và hai trục dao động O1 và O2 cũng di
động được dọc theo một thanh dài. Bằng cách thay đổi vị trí tương đối của hai quả nặng
và của hai trục quay, ta xác định vị trí thích hợp để cho dao động quanh cả hai trục đều
có chu kỳ bằng T. Khi đó, khoảng cách giữa hai trục đúng bằng L, ta rút ra:
g = 4π 2

L
T2

(1.13)

- Nếu đo được L và T một cách chính xác, có thể tính được g một cách chinh xác.
1.2.3. Năng lượng của dao động điều hòa.
- Qua các bài toán trên, ta thấy rằng dao động điều hòa được gây ra bởi những lực
tỷ lệ với độ dời của vật dao động và hướng về phía vị trí cân bằng của vật. lực đó gọi là
lực hồi phục. Trong các phương trình (1.1,1.4), các lực F = − kx và P + F = − kx là những
lực đàn hồi do sự biến dạng của lò xo gây ra. Trong các phương trình (1.5,1.8), lực
Pt = −

mg
s và lực có momen bằng M = − mgaθ là những lực có tính chất giống như lực
l

đàn hồi của lò xo (tức là độ dời và hướng về vị trí cân bằng), nhưng do các nguyên nhân
khác gây ra, nên gọi lực chuẩn đàn hồi.
- Chúng ta hãy xét xem công của lực hồi phục được tiêu dùng trong dao động điều
hòa như thế nào?
11


- Khi lực phục hồi F = − kx tác dụng vào vật để đưa vật tới li độ x, nó sinh ra một
công bằng

kx 2
1
. Công đó tiêu dùng để tạo ra thế năng của vật tại li độ x: U = kx 2 . Nếu
2
2

lực hồi phục đưa vật tới li độ cực đại x = A rồi ngừng tác dụng, nó đã cung cấp cho vật
1
2

một năng lượng bằng: E = U Max = kA2 .

(1.14)

- Giả sử vật đang dao động tới vị trí xác định bằng li độ x. Thế năng của nó lúc đó
1

2

bằng: U = kx 2 .
1
2

- Vận tốc của nó lúc đó bằng v = x&, và động năng của nó bằng: T = mx&2
- Nếu phương trình dao động có dạng x = A cos(ω t + ϕ ) và chú ý rằng k = ω 2 m ,
1
2

1
2

1
2

thì: U = kA2 sin 2 (ωt + ϕ ) T = mA2ω 2 cos 2 (ωt + ϕ ) = kA2 cos 2 (ωt + ϕ )
1
2

và U + T = kA2 = E
Vậy tại mỗi vị trí bất kỳ của dao động, năng lượng toàn phần của vật dao động là không
1
2

đổi và đúng bằng năng lượng E = kA2 mà lực phục hồi đã cung cấp cho vật. Điều đó
phù hợp với định luật bảo toàn năng lượng.
- Khi vật dao động qua vị trí cân bằng thì U = 0 và T = TMax = E . Khi vật dao động
tới li độ cực đại, thì T = 0 và U = U Max = E . Như vậy trong một chu kỳ dao động, năng

lượng toàn phần hai lần chuyển hóa hoàn toàn thành động năng và hai lần chuyển hóa
hoàn toàn thành thế năng. Vì thế người ta nói rằng năng lượng cũng dao động với chu kỳ
T '=

T
2

nếu ta gọi sự dao động của năng lượng trong trường hợp này là sự chuyển hóa

của nó thành động năng và thế năng.
Cho tới nay, chúng ta xét dao động điều hòa về mặt động lực học,tức là xét tính
chất tác dụng lực lên vật rồi từ đó tìm ra phương trình chuyển động của vật.
- Chúng ta cũng có thể xét một dao động điều hòa về mặt năng lượng, và coi dao
động điều hòa của một vật giống như chuyển động của một hạt trong hố thế. Đường thế
1
2

năng ở đây là một đường parabol U = kx 2 , và năng lượng toàn phần của hạt là
12


E=

1 2
kA . Như vậy hạt sẽ động trong khoảng từ x1 = − A đến x2 = + A và động năng của nó
2

bằng:
T = E −U =

1
1
k ( A2 − x 2 ) tại vị trí x = ± A , thì U = U Max = kA2 và T = 0 . Tại vị trí x = 0 (vị
2
2
1
2

trí cân bằng), thì U = 0 và T = TMax = kA2 Ta lại tìm thấy những kết quả mà ta mới rút ra
ỏ trên.
1.2.4. Tổng hợp các dao động điều hòa.
- Trong thực tế, nhiều khi có những vật tham gia đồng thời vào hai hoặc nhiều dao
động điều hòa khác nhau. Thí dụ: chúng ta gắn một quạt máy trên trần một toa tàu đang
chuyển động. Cánh quạt dao động điều hòa với điểm treo đó, cùng với toàn thể toa tàu
đặt trên các lò xo của hệ thống bánh xe, lại dao động điều hòa đối với các trục của bánh
xe. Do đó, cánh quạt tham gia đồng thời vào cả hai dao động và chuyển động của cánh
quạt sẽ là tổng hợp của hai dao động điều hòa nói trên.
- Muốn tổng hợp hai dao động điều hòa, chúng ta có thể cộng trực tiếp các
phương trình của chúng. Nhưng có những trường hợp các phép tính với những phương
trình lượng giác sẽ dài dòng và phức tạp, nên chúng ta có thể sử dụng những phương
pháp khác nhau và đơn giản hơn.
1.2.4.1.Những phương pháp biểu diễn dao động tuần hoàn.
Ngoài cách biểu diễn dao động tuần hoàn bằng những phương trình lượng giác dạng sin
và cosin, chúng ta có thể dùng hai phương pháp khác: phương pháp hình học và phương
pháp số phức.
a) Phương pháp hình học: Phương pháp này áp dụng một tính chất đã được
nghiên cứu : khi một điểm P chuyển động
trên một đường tròn, thì chuyển động của
vết chiếu P’ của nó trên một đường kính là

A
ωt

A

một dao động điều hòa.
Trên một trục chọn làm trục x , ta lấy điểm

ϕ
0

x = A cos(ωt + ϕ )

O bất kỳ làm gốc. Từ điểm O, ta đặt một
x

vectơ A tạo với Ox một góc ϕ bằng pha ban

Hình 1.4
13


đầu, và có độ dài tỉ lệ với biên độ A. T gọi nó là vectơ biên độ. Cho vectơ biên độ quay
quanh O theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) với vận tốc góc bằng ω .
Vết chiếu của điểm đầu mút của vectơ biên độ trên trục x sẽ dao động điều hòa
quanh điểm O theo phương trình x = A cos(ω t + ϕ ).
Chính vì lý do đó mà pha của dao động cũng có khi được gọi là góc pha, và ω
được gọi là tần số vòng.
b) Phương pháp số phức: Trong lý thuyết về số phức, người ta biết rằng một số
phức a có thẻ được biểu diển dưới dạng: a = Aeiϕ = A(cos ϕ + i sin ϕ ) = A cos ϕ + iA sin ϕ

Trong đó A cos ϕ là phần thực và iA sin ϕ là phần ảo
Khi ta cộng hai số phúc với nhau thì phần thực của chúng cộng với nhau và phần
ảo của chúng cộng với nhau.
- Một dao động điều hòa dạng x = A cos(ω t + ϕ ) có thể được biểu diễn bằng phần
thực của số phức: a = Aei (ωt +ϕ ) hoặc a = Ae −i (ωt +ϕ )
- Hay cũng có thể viết là:
a = A exp i (ωt + ϕ ) hoặc a = A exp{−i (ωt + ϕ )} nếu hai dao động điều hòa được biểu diễn

bằng những phần thực của hai số phức a và b, và nếu số phức c là tổng của a và b, thì
phần thực c cũng được biểu diễn tổng hợp của hai dao động nói trên.
Số a = Ae −iϕ là liên hợp phức của a. Ta có: a.a = Aeiϕ . Ae −iϕ = A2
- Vậy nếu a hoặc a biểu diển một dao động điều hòa thì tích a.a sẽ biểu diễn bình
phương biên độ dao động đó.
- Phương pháp hình học và phương pháp số phức giúp chúng ta tổng hợp những
dao động điều hòa một cách đơn giản. Chú ý rằng nếu ta có một dao động dạng sin, thì
có thể dùng cách đổi pha ban đầu để đổi phương trình thành dạng cosin và áp dụng hai
phương pháp trên.
1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Xét một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số nhưng
có biên độ và pha ban đầu khác nhau:
x1 = A1 cos(ω t + ϕ1 )

(1.15)

x2 = A2 cos(ω t + ϕ 2 )

(1.16)
14

- Chuyển động của vật sẽ là sự tổng hợp của hai dao động trên:
x = x1 + x2 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 )

Chúng ta dùng phương pháp hình học để tổng hợp hai dao động trên.
- Tại thời điểm ban đầu t = 0 ,
hai vectơ có biên độ A1 và A2 tạo với
trục Ox những góc ϕ1 và ϕ 2 . Cả hai
vectơ biên độ cùng quay với vận tốc
góc ω như nhau, vì thế tại thời điểm t
bất kỳ, góc giữa chúng là không đổi

Hình 1.5

và luôn luôn bằng ϕ 2 − ϕ1

- Do đó vectơ tổng hợp của chúng là vectơ A cũng quay với vận tốc góc bằng ω .
- Vì tổng các hình chiếu của hai vectơ lên một trục bằng hình chiếu của vectơ tổng
lên trục đó, nên dao động tổng hợp x có thể được biểu diễn bằng vectơ biên độ A là tổng
hình học của hai vectơ biên độ A1 và A2 : A = A1 + A2
Vậy x = x1 + x2 = A cos(ωt + ϕ )

(1.17)

- Chúng ta cần xác định trị của A và ϕ
- Theo hình vẽ ta có:
A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
tan ϕ =

(1.18)

BC A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
=
OB A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2

- Tóm lại, A, ω , ϕ là những hằng số, và tổng hợp của hai dao động điều hòa cũng
là một dao động điều hòa cùng tần số và cùng phương.
Biên độ của dao động tổng hợp phụ thuộc vào độ lệch pha ( ϕ 2 − ϕ1 ) của các dao động
thành phần.
- Nếu các dao động thành phần x1 và x2 cùng pha (ϕ 2 − ϕ1 = 0) thì A = A1 + A2 . Nếu
chúng là ngược pha (ϕ 2 − ϕ1 = π ) thì A = A2 − A1 . Nếu độ lệch pha là bất kỳ thì

15


A1 + A2 ≥ A ≥ A2 − A1 . Như vậy biên độ của dao động tổng hợp cực đại khi các dao động

thành phần là cùng pha,và cực tiểu khi các dao động thành phần là ngược pha.
2. Tổng hợp hai dao động diều hòa cùng phương nhưng khác tần số.
Giả sử hai dao động điều hòa cùng phương nhưng có các tần số khác nhau ω1 và
ω2 . Xét trên giản đồ ta thấy rằng các vectơ biên độ A1 và A2 quay với các vận tốc góc

khác nhau, cho nên góc của chúng cũng thay đổi theo thời gian, hình bình hành của
chúng tạo thành cũng thay đổi theo thời gian. Do đó vectơ biên độ A sẽ có độ lớn và vận
tốc góc thay đổi theo thời gian, và dao động tổng hợp không phải là một dao động điều
hòa, vì A và ω không phải là hằng số.
- Chúng ta hãy xét trường hợp riêng nhưng thường gặp (trong âm học, vô tuyến
điện,…); sự tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng biên độ, nhưng có tần số
khác nhau.
- Giả sử hai dao động thành phần là:

x1 = A0 cos(ω1t + ϕ0 )

(1.19)

x2 = A0 cos(ω2t + ϕ0 )

(1.20)

với ω1 − ω2 là rất nhỏ. Trong trường hợp này tổng hợp do động bằng phương pháp lượng
giác là đơn giản nhất. Dao động tổng hợp có thể viết:
a = a1 + a2 = A0{cos(ω1t + ϕ0 ) + cos(ω2t + ϕ0 )}

- Chú ý hệ thức lượng giác cos x + sin y = 2 cos
Ta có

a = 2 A0 cos

ω1 − ω2
2

t cos(

ω1 + ω2
2

Vì ω1 − ω2 rất nhỏ nên thừa số A = 2 A0 cos

x− y
x+ y
cos

2
2

t + ϕ0 )

ω1 − ω2
2

(1.21)
t biến thiên rất chậm và có thể xem nó là

biên độ của dao động tổng hợp a. Thừa số thứ hai có thể viết thành:
cos(ωt + ϕ ) = cos(

ω1 + ω2
2

t + ϕ0 )

- Nó cho thấy dao động tổng hợp có tần số không đổi ω =

ω1 + ω2
2

và cùng pha ban

đầu ϕ = ϕ0 với các dao động thành phần. Như vậy dao động tổng hợp có thể coi gần như
là một dao động điều hòa.
Hiện tượng biến thiên chậm của biên độ theo thời gian gọi là hiện tượng phách.
16