LUẬN văn sư PHẠM vật lý lý THUYẾT LƯỢNG tử về dẫn NHIỆT TRONG bán dẫn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM

Nguyễn Ái My

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ DẪN NHIỆT
TRONG BÁN DẪN

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Vật lý - Tin học
Khóa: 34

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Tiên

Cần Thơ, tháng 5 năm 2012


Lý thuyết lượng tử về dẫn nhiệt
trong bán dẫn
Luận văn tốt nghiệp

GVHD: TS. Nguyễn Thành Tiên
SVTH: Nguyễn Ái My


Lời Cảm Ơn!
Qua quá trình thực hiện "Luận văn tốt nghiệp" tôi cảm thấy trưởng thành
hơn trong việc nghiên cứu khoa học. Việc hoàn thành đề tài không những củng
cố kiến thức đã học mà còn cung cấp những kinh nghiệm quý báu. Để có được
những điều kiện đó chính là nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô trong bộ môn Vật
lý, khoa Sư phạm đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn.

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Tiên, người đã cho
tôi nhận đề tài: “Lý Thuyết Lượng Tử Về Dẫn Nhiệt Trong Bán Dẫn ”. Trong
suốt quá trình làm luận văn tôi đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình và sự
giúp đỡ về mặt tài liệu cũng như những ý kiến đóng góp quý báu của Thầy.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vì kiến thức còn hạn hẹp và thời gian có hạn
cùng với những khó khăn trong quá trình thu thập và tham khảo tài liệu, nên
đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp trao
đổi của quý thầy cô cùng các bạn để tôi hoàn thiện hơn trong đề tài này cũng
như những kiến thức học tập.
Cần Thơ, ngày ....... tháng ....... năm 2012
SV thực hiện,

Nguyễn Ái My


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, khi xã hội ngày càng phát triển, khoa học kỹ thuật ngày càng
hiện đại, đời sống con người càng được nâng cao, yêu cầu những thiết bị điện
tử phải càng nhỏ gọn và tinh vi hơn. Do đó, nó mang lại những thách thức
mới cho vật lý bán dẫn. Để biết được sức mạnh tối đa của một chất bán dẫn
khi vận hành ta cần phải biết hệ số dẫn nhiệt của nó. Vì vậy, dẫn nhiệt trong
các chất bán dẫn là đối tượng của nghiên cứu chuyên sâu trong suốt 50 năm
qua.
Các lý thuyết về dẫn nhiệt trong chất bán dẫn trước đây được xây dựng
khá đầy đủ và sâu sắc. Tuy nhiên, việc khám phá ra những vật liệu bán dẫn
mới như: cấu trúc lồng skutterudites, dạng mắt lưới, vật liệu nano . . . có các
cơ chế tán xạ phức tạp hơn, đã mang lại những thử thách mới cho sự hiểu biết
lý thuyết và thực nghiệm cho các vật liệu mới này.
Lý thuyết lượng tử ra đời đã đáp ứng kịp thời những vấn đề mà lý thuyết

cổ điển về dẫn nhiệt trong chất bán dẫn chưa làm được. Do đó tôi đã chọn đề
tài “ Lý thuyết lượng tử về dẫn nhiệt trong chất bán dẫn” làm đề tài cho luận
văn tốt nghiệp của mình để hiểu hơn về hiện tượng dẫn nhiệt trong chất bán
dẫn đặc biệt khi tìm hiểu các cấu trúc bán dẫn mới.

2. Mục đích của đề tài
Đề tài này nhằm tìm hiểu các hiện tượng nhiệt bên trong chất bán dẫn, các
quá trình ảnh hưởng đến sự dẫn nhiệt. Qua đó có kiến thức để nghiên cứu các
cấu trúc bán dẫn mới để phục vụ cho công nghệ hiện đại. Đề tài không chỉ
phục vụ cho việc nghiên cứu lý thuyết mà còn hỗ trợ cho việc tìm hiểu những
thí nghiệm có liên quan.


iv

3. Giới hạn của đề tài
Lý thuyết lượng tử về độ dẫn nhiệt trong bán dẫn là lĩnh vực nghiên cứu
rộng và chuyên sâu về cơ học lượng tử cho nên việc đi sâu tìm hiểu cần rất
nhiều thời gian. Bên cạnh đó, chưa có điều kiện để tiến hành đo độ dẫn nhiệt
của các vật liệu để so sánh với kết quả lý thuyết để kiểm tra lại lý thuyết. Do
đó, đề tài này chỉ dừng lại ở mức độ lý thuyết hơn là ứng dụng.


Mục lục
Lời Cảm Ơn!

ii

Phần mở đầu

iii

1 Lý
1.1
1.2
1.3

.
.
.
.
.

1
1
2
3
10
18

.
.
.
.
.
.

20
20
24

28
32
35
35

Thuyết Tính Hệ Số Dẫn Nhiệt
Giới Thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lý Thuyết Động Lực Học . . . . . . . . . . . . .
Dẫn Nhiệt Điện Tử . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Dẫn Nhiệt Bởi Dao Động Mạng (Phonon)
1.4 Tóm Lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Phương Trình Boltzmann Và Quá Trình Tán Xạ
2.1 Mô hình Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương Trình Boltzmann . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hệ Số Vận Chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Độ Dẫn Nhiệt Điện Tử . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Các quá Trình Tán Xạ . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Tán Xạ Điện Tử- Phonon . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

3 Độ Dẫn Nhiệt Trong Bán Dẫn
3.1 Giới Thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Độ Dẫn Nhiệt Điện Tử Của Chất Bán Dẫn . . . . . . . . . .
3.2.1 Hệ Số Dẫn Nhiệt Đối Với Một Mạng Đơn . . . . . .
3.2.2 Phép Tính Gần Đúng Suy Biến Và Không Suy Biến .
3.2.3 Sự Dẫn Truyền Lưỡng Cực . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Tán Xạ Phonon Trong Những Tinh Thể Khuyết Tật và Tinh
3.3.1 Tinh Thể Tinh Khiết . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Tán Xạ Phonon Bởi Các Tạp Chất . . . . . . . . . .
3.3.3 Tán Xạ Biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Dự Đoán Độ Dẫn Nhiệt Mạng Tinh Thể . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

45
. . 45
. . 46
. . 46
. . 48
. . 51
Thể Tinh Khiết 52
. . 52
. . 53
. . 55
. . 56


Danh sách bảng
3.1

Độ dẫn nhiệt của một số nguyên tố điển hình và những hợp chất bán dẫn kép ở 3


Danh sách hình vẽ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

Độ dẫn nhiệt của hai mẫu bạc với điện trở suất dư: (a) rất thấp và (b) rất cao, ch

Đường cong (κe σT )/L0 so với T /θD cho các giá trị khác nhau của ρ/A, và đối với
Sự phụ thuộc nhiệt độ của (W − WI )/T cho Ge tinh khiết. W là tổng nhiệt trở, W
Biểu đồ phonon đường cong tán sắc theo một hướng nhất định của ⃗q cho mạng đơ
Độ dẫn nhiệt bởi dao động mạng theo nhiệt độ của một mẫu CoSb3 . Các dấu chấ

2.1
2.2
2.3

Biểu đồ biểu diễn phân bố Fermi không nhiễu loạn (đường liền nét) và nhiễu loạn
′
(a) Quá trình-N điện tử - phonon k + q = k . (b) điện tử - phonon quá trình-U k
Mối quan hệ giữa Fermi và các hình cầu Debye cho các electron tự do: ∆k = qD =

3.1
3.2
3.3

Biểu diễn chiều của L được vẽ theo năng lượng Fermi giảm cho những giá trị khác
Đồ thị biểu diễn những đóng góp đến độ dẫn nhiệt từ các phần khác nhau của ph
3/2
−7/6
Giá trị của κL T được vẽ theo Tm ρ2/3 Am cho các chất bán dẫn khác nhau. 58


Chương 1
Lý Thuyết Tính Hệ Số Dẫn Nhiệt
1.1

Giới Thiệu

Năng lượng nhiệt có thể được truyền qua chất rắn thông qua các hạt mang
điện (điện tử hoặc lỗ trống), dao động mạng (các phonon), sóng điện từ, sóng
spin, hoặc kích thích khác. Trong kim loại các hạt mang điện là đối tượng
truyền nhiệt chủ yếu, trong khi trong chất cách điện dao động mạng là đối
tượngvận chuyển nhiệt chiếm ưu thế. Thông thường, độ dẫn nhiệt tổng κ có
thể được viết như là tổng của tất cả các thành phần biểu diễn cho các kích
thích khác nhau:
κ=

∑

κα

(1.1)

α

Trong lịch sử, việc đo độ dẫn nhiệt đã được sử dụng như một công cụ quan
trọng việc nghiên cứu các khuyết tật mạng tinh thể hoặc những khuyết tật
trong chất rắn. Ngoài ra, nó cũng mở ra các cơ hội nghiên cứu các hiện tượng
vật lý hấp dẫn khác, nghiên cứu độ dẫn nhiệt cũng có tầm quan trọng trong
công nghệ mới. Vật liệu có cả tính dẫn nhiệt rất cao hoặc rất thấp đều là
những vật liệu quan trọng trong công nghệ.
Các vật liệu dẫn nhiệt cao như kim cương hoặc silicon đã được nghiên cứu
rộng rãi một phần vì tiềm năng ứng dụng trong các thiết bị điện tử. Vật liệu
dẫn nhiệt thấp như skutterudites và oxit là tâm điểm của những nghiên cứu
gần đây vì chúng là vật liệu nhiệt có hiệu suất cao.
Mục đích của chương này là xem xét và giải thích các cơ chế chính và các
tính chất chi phối độ dẫn nhiệt trong chất rắn. Hơn nữa, độ dẫn nhiệt bởi các

hạt tải điện (điện tử) và dao động mạng (phonon) ở nhiệt độ thấp sẽ được đề
cập.


1.2 Lý Thuyết Động Lực Học

1.2

2

Lý Thuyết Động Lực Học

Độ dẫn nhiệt được định nghĩa là:
−
→
Q
κ = −−
→ .
∇T

(1.2)

⃗ là thông lượng nhiệt qua một đơn vị diện tích vuông góc với Q,
⃗
Trong đó Q
và T là nhiệt độ tuyệt đối. Giả sử c là nhiệt dung của mỗi hạt và n là nồng
⃗ , hạt sẽ chuyển động với vận tốc là
độ của các hạt. Khi có gradient nhiệt ∇T
⃗v thì năng lượng của nó thay đổi :
∂E

⃗
= c⃗v ∇T.
∂ t

(1.3)

Quãng đường tự do trung bình của một hạt đi được trước khi bị tán xạ là
vτ , trong đó τ là thời gian hồi phục. Dòng nhiệt trung bình qua một đơn vị
diện tích của tất cả các hạt sẽ là:
→
1
⃗ = −ncτ ⟨⃗v · ⃗v ⟩−
⃗
Q
∇T = − ncτ υ 2 ∇T.
3

(1.4)

Kết hợp các biểu thức (1.2) và (1.4), chúng ta có:
1
1
κ = ncτ v 2 = Cvl.
3
3

(1.5)

Trong đó, C = nc là nhiệt dung riêng tổng và l = vτ là quãng đường tự do
trung bình của hạt. Trong cùng một chất rắn có thể thực hiện các kích thích

khác nhau (điện tử, các phonon, photon, . . .). Phương trình (1.5) có thể được
tổng quát như sau:
κ=

1∑
Cα vα lα .
3 α

(1.6)

Biểu thức (1.6) là độ dẫn nhiệt trên tất cả các kích thích khác nhau, biểu
diễn bởi α. Nói chung, biểu thức (1.6) mô tả rất tốt tính dẫn nhiệt, và nó rất
hữu ích cho việc ước tính độ lớn. Giống như hầu hết các thông số vận chuyển
ở trạng thái không cân bằng, hệ số dẫn nhiệt không được giải quyết một cách
chính xác. Các tính toán thường được dựa trên sự kết hợp của lý thuyết nhiễu
loạn và phương trình Boltzmann, đó là cơ sở cho việc phân tích các quá trình
dẫn truyền nhiệt bởi các hạt mang điện và dao động mạng.


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

1.3

3

Dẫn Nhiệt Điện Tử

Thuyết điện tử tự do trong chất rắn xem mỗi điện tử chuyển động trong
thế năng tuần hoàn được tạo ra bởi các ion và điện tử khác mà không có sự
nhiễu loạn, và điều đó liên quan đến độ lệch do chu kỳ dao động tuần hoàn

của mạng như một sự nhiễu loạn. Vector sóng điện tử ⃗k phụ thuộc vào chu kỳ
và kích thước của tinh thể. Không gian-⃗k tách ra thành vùng Brillouin. Năng
lượng điện tử E⃗k phụ thuộc vào dạng xung lượng và là một hàm liên tục của
⃗k trong từng vùng, nhưng nó không liên tục tại biên.
Hàm phân bố f⃗k dùng để xác định phân bố của các điện tử ở trạng thái ⃗k
tại ⃗r. Ở trạng thái cân bằng, hàm phân bố f⃗k0 có dạng:
f⃗k0 =

1
)
.
E⃗k − EF
exp
+1
kB T
(

(1.7)

Với EF là hàm phân bố Fermi và kB là hằng số Boltzmann tương ứng. Theo
⃗ và gradient nhiệt ∇T
⃗ , trạng
phương trình Boltzmann, khi có điện trường E
thái dừng thể hiện sự cân bằng giữa các quá trình tán xạ, trường ngoài và
gradient nhiệt độ được mô tả :
)
( 0
f⃗k − f⃗k0
∂f⃗k0
∂f⃗k

⃗ +e
⃗ .
∇T
E
(1.8)
= −⃗v⃗k ·
τ (k)
∂T
∂E⃗k
Trong đó τ (k), ⃗v⃗k , và e lần lượt là thời gian hồi phục, vận tốc điện tử và
điện tích điện tử. Nếu tính đến sự biến thiên không gian pha của năng lượng
Fermi và biểu thức tường minh f⃗k0 , biểu thức (1.79) có thể được biểu diễn:
(
(
))
0
⃗ F
∂f⃗k0
f⃗k − f⃗k0
E⃗k − EF ∂f⃗k ⃗
∇E
⃗−
∇T + e
E
= −⃗v⃗k · −
.
(1.9)
τ (k)
T
∂E⃗k

∂E⃗k
e
⃗
⃗ ef f = E
⃗ − ∇EF . Từ phương
Tác động của điện trường lên các điện tử là E
e
⃗
trình (1.9) ta suy ra biểu thức mật độ dòng điện J và thông lượng nhiệt Q
như sau:
∫
J⃗ = e⃗v⃗k f⃗k d⃗k,
(1.10)
∫

và
⃗ =
Q

(E⃗k − EF )e⃗v⃗k f⃗k d⃗k.

(1.11)


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

4

Nếu định nghĩa tích phân tổng quát Kn là:
∫

∂f⃗k0
1
2
n
Kn = −
(⃗v⃗k ) τ (k)(E⃗k − EF )
d⃗k.
3
∂E⃗k

(1.12)

Biểu thức (1.10) và (1.11) có thể viết lại:

và

⃗ ef f − e K1 ∇T,
⃗
J⃗ = e2 K0 E
T

(1.13)

⃗ = eK1 Eef f − 1 K2 ∇T.
⃗
Q
T

(1.14)

Độ dẫn nhiệt khi J⃗ = 0:

[

⃗
Q
κe =
⃗
∇T

]
⃗
J=0

1
K12
= (K2 −
).
T
K0

(1.15)

Độ dẫn điện σ có thể được suy ra từ biểu thức (1.13):
σ = e2 K0

(1.16)

∂f⃗k0

ở bề mặt Fermi với độ rộng là kB T , Kn có thể được ước tính
∂E⃗k
bằng khai triển:
[
{
}
]
π2 2 2 ∂ 2
n σ(E⃗k )
n σ(E⃗k )
+ kB T
Kn = (E⃗k − EF )
(E⃗k − EF )
+ ···
.
e2
6
∂E 2
e2
⃗
E k=EF
(1.17)
Vì vậy:
π 2 kB2 T 2
2
σ(EF ) + O (kB T /EF ) ,
(1.18)
K2 =
2
3 e

và
K12
2
∼ O (kB T /EF ) .
(1.19)
K0
Gần đúng

Phương trình (1.15) đến (1.19) ta có định luật Wiedemann-Franz với hệ số
Lorentz L0 là:
ke
π 2 kB
L0 =
=
(1.20)
σT
3 e2
Với L0 là 2.4453 × 10−8 W − Ω/K 2 . Cho thấy tất cả các kim loại có cùng
một hệ số dẫn nhiệt điện tử, và tỷ lệ này là tỷ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối.
Hơn nữa, với sự suy biến mạnh mẽ khí điện tử, biểu thức (1.20) ứng với các cơ
chế tán xạ độc lập và các tán xạ là đàn hồi. Trong các vùng nhiệt độ thấp và


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

5

trung bình, định luật không đáp ứng đúng do tán xạ không đàn hồi của các
điện tử.
Nói chung ta cần tính toán thời gian hồi phục cho những quá trình tán xạ

điện tử khác nhau và sử dụng biểu thức (1.15) và (1.16) để xác định hệ số dẫn
nhiệt và dẫn điện của điện tử. Trong một khoảng nhiệt độ rộng, tán xạ của
các điện tử bởi các phonon là một yếu tố quan trọng để xác định hệ số dẫn
điện và dẫn nhiệt điện tử. Điện trở do các loại tán xạ gây ra được gọi là điện
trở lý tưởng. Điện trở suất và nhiệt trở suất điện tử lý tưởng có thể được biểu
diễn bởi:
( )5 ( )
θD
1
T
ρi =
=A
J5
,
(1.21)
σi
θ
T
và
1
A
Wi =
=
κi
L0 T

}
( )5 ( ) {
( )2 ( )2
T

θD
3 kF
θD
1 J7 (θD /T )
J5
− 2
1+ 2
.
θ
T
π
qD
T
2π J5 (θD /T )
(1.22)

Tương tự:

(
Jn

θD
T

)

∫

θD /T

=
0

xn ex
dx
(ex − 1)2

(1.23)

′

6
3π qD
(G )2
A= 2 ∗ 2
.
4e (m ) nc kB θD kF2 vF2

(1.24)

Với θD là nhiệt độ Debye của các phonon, kF là số sóng điện tử trên bề mặt
′
Fermi, qD số sóng phonon Debye, là hằng số Planck, G là hằng số biểu diễn
cho độ mạnh của tương tác điện tử-phonon, m∗ là khối lượng hiệu dụng của
điện tử, nc là số hạt trên đơn vị thể tích, và vF là vận tốc của điện tử ở bề
mặt Fermi. Ở nhiệt độ cao (T >> TD ) thì:
AT
,
4θD

(1.25)

A
ρi
=
.
4θD L0
L0 T

(1.26)

ρi =
và
Wi =

Wi là một hằng số. Ở nhiệt độ thấp (T << TD )
ρi = 124.4A(
và
A
Wi = 124.4
L0 T

(

T
θD

)3

T 5

),
θD
3
π2

(

kF
qD

(1.27)
)2
∝ T 2.

(1.28)


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

6

Ngoài sự tương tác điện tử-phonon, tương tác điện tử-khuyết tật cũng đóng
góp vào điện trở suất và nhiệt trở suất điện tử. Một cách gần đúng có thể viết
điện trở suất ρ và nhiệt trở suất điện tử We là (Định luật của Matthiessen):
ρ=

1
= ρ0 + ρi
σ

(1.29)

và

1
= W0 + Wi .
(1.30)
κ
Trong đó, ρ0 và W0 lần lượt là điện trở suất và nhiệt trở suất điện tử, do
tán xạ điện tử từ các tạp chất và khuyết tật, và ρ0 độc lập với nhiệt độ. Nếu
giả sử rằng tất cả các khuyết tật tán xạ điện tử là đàn hồi, ρ0 và W0 liên hệ
với nhau qua định luật Wiedemann - Franz:
We =

W0 = ρ0 /L0 T ∝ 1/T.

(1.31)

Ở nhiệt độ rất thấp, khi W0 tăng và Wi giảm khi nhiệt độ giảm:
κe ≈

1
L0
=
T.
W0
ρ0

(1.32)

Thế biểu thức (1.27) vào (1.31), ta có:
( )5 ( )
T
ρ0
θD
+
J5
κe /σT
A
θD
T
{[
] ( )
=
(
)
(
)
(
)
( )}
5
2
2
L0
T
θD
θD
ρ0
3 kF

θD
1
+
1+ 2
J5
− 2 J7
A
θD
π
qD
T
T
2π
T
(1.33)
Độ lớn của T /θD được thể hiện trong hình (2.2) cho các giá trị khác nhau
√
ρ0
của , và cho kim loại hóa trị 1 ((kF /qD )2 = 3 2/2). Hình (2.2) cho thấy định
A
luật Wiedemann-Franz được thỏa mãn ở nhiệt độ rất cao và rất thấp, ngoại
trừ đối với kim loại rất tinh khiết, nhưng κe /σT thấp hơn L0 ở nhiệt độ trung
bình.
Chúng ta sẽ tập trung vào khí điện tử suy biến (như trong các kim loại).
Trong chất bán dẫn, vùng cấm EG (khoảng cách giữa đỉnh vùng hóa trị và đáy
của vùng dẫn) và mức Fermi nằm trong vùng cấm, phân bố điện tử không thể
suy biến. Ngoài ra, có thể tồn tại các hạt tích điện dương, "lỗ trống", cũng có
thể đóng góp vào vận chuyển. Trong trường hợp này, hàm phân bố cho điện
tử và lỗ trống có thể được viết:
]

[
Ee + EF0
0
fe ≈ exp −
,
(1.34)
kB T


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

7

Hình 1.1: Độ dẫn nhiệt của hai mẫu bạc với điện trở suất dư: (a) rất thấp và (b) rất
cao, cho thấy ảnh hưởng quan trọng của điện trở suất dư vào độ dẫn nhiệt ở nhiệt độ
thấp. Mẫu (a) thu được bằng cách ủ mẫu (b)
.

và

[
]
h
E
+
E
h
F
fh0 ≈ exp −
.

kB T

(1.35)

Trong đó fe0 và fh0 là hàm phân bố của các điện tử và lỗ trốngở trạng thái
cân bằng, Ee và E h là năng lượng của điện tử và lỗ trống, EFe và EFh là khoảng
cách của mức Fermi so với đáy của vùng dẫn và so với đỉnh vùng hóa trị, tương
ứng. Sử dụng tích phân tổng quát đã định nghĩa trong (1.12), độ dẫn nhiệt
điện tử có thể được viết tương tự như những công thức trong biểu thức (1.15)
và (1.16):
{
}
′
2
′
1
(K1 + K1 )
κe =
(K2 + K2 ) −
,
(1.36)
′
T
K0 + K0
và

′

σ = K0 + K0 .

(1.37)


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

8

Hình 1.2: Đường cong (κe σT )/L0 so với T /θD cho các giá trị khác nhau của ρ/A, và
đối với các kim loại
√ đơn trị. Các tính toán dựa trên phương trình (1.33) bằng cách sử
dụng (kD /qD )2 = 3 2/2 đối với kim loại hoá trị 1.
′

Trong đó Kn và Kn là tích phân của điện tử và lỗ trống, và các hàm phân
bố cho các tích phân được biểu diễn trong những biểu thức (1.34) và (1.35).
Nói chung, tỷ số κe /σT là khá phức tạp để tính toán. Để đơn giản, ta giả sử
rằng vùng năng lượng có dạng parabol và năng lượng phụ thuộc vào thời gian
hồi phục của hạt tải điện tương tự như:
τe,h (E) ∝ E α

(1.38)

Trong đó anpha là một hằng số, và chỉ số dưới e và h là các điện tử và lỗ
trống.
]
)2
( )2 [ (
) (
5
ne ηe nh ηh

κe
kB
EG
=
+ α + 5 + 2α +
.
(1.39)
σT
e
2
kB T
(ne ηe + nh ηh )2
Trong đó, n và µ nồng độ vận chuyển và độ linh động. Số hạng đầu tiên
trong biểu thức (1.39) là hệ số Lorentz cho phân bố Fermi không suy biến.


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

Khi tán xạ phonon chiếm ưu thế, α = −1/2; và nếu ne = nh , thì phương trình
(1.39) có thể được viết:
]
( )2 [
(
)
kB
E
µe /µh
κe = σT
2+ 4+
.

(1.40)
e
kB T (1 + µe /µh )2
Số hạng thứ hai trong (1.39) hoặc (1.40) được gọi là hệ số khuếch tán lưỡng

Hình 1.3: Sự phụ thuộc nhiệt độ của (W − WI )/T cho Ge tinh khiết. W là tổng nhiệt
trở, W là nhiệt trở do tạp. Đường đứt nét là lý thuyết ngoại suy của nhiệt trở gây ra
bởi tương tác phonon-phonon.

cực. Đây là loại năng lượng vận chuyển bởi các điện tử và các lỗ trống là do
việc tạo ra các cặp điện tử-lỗ trống.
Sự khuếch tán lưỡng cực có đóng góp đáng kể đến sự dẫn nhiệt điện tử khi
nồng độ hạt tải và độ linh động điện tử và lỗ trống tương đương nhau. Điều
này đúng cho các trường hợp các chất bán dẫn thuần. Trong trường hợp của
chất bán dẫn pha tạp chỉ có hạt tải điện có độ linh động cao đóng vai trò quan
trọng, các hạt tải điện có độ linh động thấp sẽ không đủ nhanh dể theo cùng

9


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

10

với các hạt tải có linh động cao cho tái tổ hợp vào cuối kì lạnh, do đó sự đóng
góp lưỡng cực sẽ không đáng kể. Điều khác thường, các chất như InSb, Ge,
Si, và Bi có độ dẫn nhiệt lớn ở nhiệt độ cao có thể được giải thích bằng hiện
tượng khuếch tán lưỡng cực này.
Lý thuyết ngoại suy (đường đứt nét hình (2.3)) biểu diễn cho T và T2 nhiệt
trở suất do tương tác phonon-phonon. Trước đây, là do quá trình umklapp

ba-phonon, và sau này là do quá trình bốn-phonon. Độ lệch từ đường đứt nét
ở nhiệt độ cao là do điện trở nhiệt. Cho thấy rằng sự đóng góp vào độ dẫn
nhiệt tổng từ hệ số hạng thứ nhất của phương trình (1.40) là ít hơn 10% điểm
nóng chảy. Phần lớn độ lệch giữa (W − WI )/T và đường đứt nét ở nhiệt độ
cao là do khuếch tán lưỡng cực .
1.3.1

Dẫn Nhiệt Bởi Dao Động Mạng (Phonon)

Dẫn nhiệt bởi dao động mạng là cơ chế chi phối trong phi kim, nhưng nó
không phải là duy nhất. Thậm chí trong một số chất bán dẫn và hợp kim, nó
chiếm ưu thế trong một khoảng nhiệt độ rộng. Trong chất rắn, các nguyên tử
dao động quanh vị trí cân bằng của chúng (nút mạng tinh thể). Dao động của
các nguyên tử không phải là độc lập với nhau, chúng sẽ mạnh hơn khi liên kết
với các nguyên tử lân cận.
Những dao động mạng tinh thể có thể được đặc trưng bởi các dao động
riêng hoặc sóng đứng. Các lượng tử của trường dao động tinh thể được gọi là
các ′′ phonon′′ . Năng lượng nhiệt được xem như lan truyền bằng bó sóng bao
gồm các kiểu khác nhau, hoặc các phonon. Trong chất rắn, đường cong tán
sắc phonon cho mạng đơn nguyên tử và có hai nguyên tử được thể hiện trong
hình (1.4). Đường cong tán sắc bao gồm nhánh âm và nhánh quang. Ở nhánh
âm có tần số thấp, các nguyên tử trong cùng ô đơn vị chuyển động cùng pha,
trong khi nhánh quang có tần số cao, nguyên tử trong cùng ô đơn vị chuyển
động ngược pha nhau.
Thông thường, phonon quang chính bản thân chúng là không ảnh hưởng
trực tiếp đến sự vận chuyển năng lượng nhiệt vì vận tốc nhóm (∂ω⃗q/q∂) của
chúng nhỏ, nhưng chúng có ảnh hưởng đến độ dẫn nhiệt do tương tác với
phonon âm. Hàm phân bố phonon, biểu diễn cho số phonon trung bình với
vector sóng ⃗q, là N⃗q. Trong trạng thái cân bằng, hàm phân bố phonon có thể
được viết:

1
N⃗q0 =
.
(1.41)
exp( ω⃗q/kB T ) − 1
Phương trình Boltzmann giả sử rằng các quá trình tán xạ có xu hướng khôi


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

11

Hình 1.4: Biểu đồ phonon đường cong tán sắc theo một hướng nhất định của ⃗q cho
mạng đơn nguyên tử (a) và (b) mạng đa nguyên tử. Các hằng số mạng tinh thể được
ký hiệu là a0 .

phục lại phân bố phonon N⃗q trở lai trạng thái cân bằng N⃗q0 , độ lệch của phân
bố từ trạng thái cân bằng sẽ là:
N⃗q − N⃗q0
∂N⃗q0
⃗
= −(v⃗g ∇T )
.
τ⃗q
∂T

(1.42)

Trong đó v⃗g là vận tốc nhóm phonon và τ⃗q là thời gian hồi phục tán xạ
phonon. Thông lượng nhiệt do một trạng thái phonon là ⃗q bằng tích của năng

lượng phonon với vận tốc nhóm ⃗q = ω⃗q⃗vg . Do đó, thông lượng nhiệt được tạo
bởi tất cả các trạng thái phonon có thể được viết như:
∑
⃗
Q=
N⃗q ω⃗qv⃗g .
(1.43)
⃗
q

Thế biểu thức (1.42) vào (1.43) ta được:
⃗ = Σ⃗q ω⃗qv⃗g 2 ⟨cos2 θ⟩τq
Q

0
∂N⃗q0
1
q ⃗
2 ∂N⃗
⃗
∇T = − Σ⃗q ω⃗qv⃗g τq
∇T.
∂T
3
∂T

(1.44)

⃗ ; độ dẫn nhiệt của mạng tinh thể là:
Trong đó θ là góc giữa v⃗g v ∇T

0
⃗
Q
1
q ⃗
2 ∂N⃗
κL = −
= Σ⃗q ω⃗qv⃗g τq
∇T
⃗
3
∂T
∇T

(1.45)


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

12

Cần phải viết lại phương trình (1.45) tường minh hơn để nhận kết quả có
ý nghĩa vật lý. Thuyết Debye giả sử rằng: vận tốc trung bình của phonon là v
(gần bằng với vận tốc của âm thanh trong chất rắn) được sử dụng để thay thế
vg , ω⃗q = v.g cho tất cả các nhánh phonon, và tất cả phonon xem như phân
cực. Tổng trong phương trình (1.45) có thể được thay thế bằng tích phân:
∫
∂N⃗q0
1
2

κL =
ωvg τq
f (q)d⃗q.
(1.46)
3
∂T
Trong đó f (q)d⃗q = (3q 2 /2π 2 )dq, và vì vậy f (ω)dω = 3ω 2 /2π 2 v 3 . Biểu thức
(1.41) và (1.45) dẫn đến:
∫ ωD
1
( ω/kB T 2 )exp( ω/kB T )
κL = 2
ω 3 τq (ω)
dω.
(1.47)
2
2π v 0
[exp( ω/kB T ) − 1]
Trong đó ωD là tần số Debye và:
∫

ωD

3N =

f (ω)dω,

(1.48)

0

là tổng tất cả các kiểu dao động. Nếu đặt x = ω/kB T xác định nhiệt độ
Dybye θ = ω/kB , phương trình (1.47) trở thành:
kB kB
κL = 2 ( )3 T 3
2π v

∫

θD /T

0

x4 ex 2
τ (x)( x
) dx.
e −1

(1.49)

Trong gần đúng Debye, đạo hàm nhiệt dung riêng của mạng tinh thể là:
C(x)dx =

3kB kB 3 3 x4 ex
( )T x
dx.
2π 2 v 3
(e − 1)2

(1.50)

Nếu ta định nghĩa quãng đường tự do trung bình của các phonon là l(x) =
vτq (x), thì độ dẫn nhiệt bởi dao động mạng tinh thể có thể viết là:
1
κL =
3

∫

θD /T

1
v τq (x)C(x)dx =
3

∫

2

0

θD /T

C(x)vl(x)dx.

(1.51)

0

Phương trình (1.49) là gần đúng Debye cho độ dẫn nhiệt bởi dao đông

mạng. Nếu ta có thể tính toán thời gian hồi phục τi (x) cho các quá trình tán
xạ phonon khác nhau trong chất rắn, ta có:
∑
τq−1 (x) =
τi−1 (x).
(1.52)
i


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

13

Phương trình (1.49) cho ta độ dẫn nhiệt bởi dao động mạng. Nó thích hợp
để phân tích và dự đoán nhiều dữ liệu thí nghiệm đặc biệt khi nồng độ các
khuyết tật mạng tinh thể chiếm ưu thế trong chất rắn. Đôi khi, ngay cả trong
trường hợp của tinh thể tinh khiết, bởi vì sự tồn tại số lượng đáng kể của các
tạp, độ dẫn nhiệt của mạng có thể được biểu diễn bằng thống kê gần đúng
Debye.
Quá trình tán xạ phonon trong gần đúng Debye được gọi là quá trình
umklapp hoặc quá trình-U. Tổng động lượng tinh thể không được bảo toàn
cho quá trình-U. Bởi vì quá trình này có xu hướng phục hồi phân bố phonon
không cân bằng đến cân bằng được mô tả bởi phương trình (1.42).
Tuy nhiên, không có điện trở khác và quá trình bảo toàn tổng động lượng
tinh thể không góp phần vào điện trở nhiệt nhưng vẫn có thể có ảnh hưởng
đến độ dẫn nhiệt bởi dao động mạng của chất rắn. Các quá trình này được
gọi là quá trình bình thường hoặc quá trình-N. Mặc dù quá trình-N không
góp phần vào trực tiếp điên trở nhiệt, nhưng chúng có ảnh hưởng lớn đến vận
chuyển năng lượng giữa các pha phonon khác nhau, do đó ngăn được độ lệch
lớn từ phân bố cân bằng.

Mô hình Callaway giả sử rằng quá trình-N có xu hướng khôi phục lại trạng
thái phân bố phonon không cân bằng, để sự dịch chuyển hàm phân bố phonon
có dạng:
N⃗q(⃗λ) =

exp( ω/kB T )
1
⃗q · ⃗λ
]
= N⃗q0 +
2 . (1.53)
k
T
⃗
B
[exp(
ω/k
T
)
−
1]
B
exp ( ω −⃗q λ)/kB T − 1
[

Trong đó, λ là hằng số vector (theo hướng của gradient nhiệt độ) xác định
các bất đẳng hướng của các phân bố phonon và tổng momen động lượng
phonon. Nếu thời gian hồi phục cho quá trình-N là τN , biểu thức (1.42) có thể
được viết lại:
N⃗q − N⃗q0 N⃗q − N⃗q(⃗λ)

∂N⃗q0
⃗
+
= −(⃗v ∇T )
.
(1.54)
τq
τN
∂T
Nếu xác định τc thời gian hồi phục được kết hợp bằng:
τc−1 = τq−1 + τN−1 ,

(1.55)

n1 = N⃗q − N⃗q0 .

(1.56)

và định nghĩa


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

14

Phương trình Boltzmann [phương trình (1.54)] có thể viết:
−
+

ω

⃗ ) exp( ω/kB T )
(⃗
v
.
∇T
2
kB T 2
[exp( ω/kB T ) − 1]

⃗q.⃗λ
exp( ω/kB T )
n1
= 0.
2 −
τN kB T [exp( ω/kB T ) − 1]
τc

Với n1 là:
n1 = −αq

ω
⃗ ) exp( ω/kB T ) .
(⃗
v
∇T
2
kB T 2
[exp( ω/kB T ) − 1]

(1.57)

(1.58)

Thế biểu thức (1.57) có thể giản lược:
ωαq ⃗
⃗q⃗λ
ω ⃗
⃗v ∇T +
=
⃗v⃗v ∇T.
τc T
τN
T

(1.59)

Trong đó ⃗λ theo hướng của gradient nhiệt, nó thuận tiện để xác định một
biến số β với cùng độ lớn như thời gian hồi phục:
⃗λ = − βv 2 ∇T.
⃗
T

(1.60)

Vì vậy ⃗q = ⃗v ω/v 2 , biểu thức (1.59) có thể đơn giản hơn:
αq = τc (1 + β/τN ).

(1.61)

Từ biểu thức (1.58) nó được đơn giản, cho thấy rằng độ dẫn nhiệt mạng

tinh thể dược biểu diễn:
∫
kB kB 3 3 θD /T
x4 ex 2
αq (x)( x
kL = 2 ( ) T
) dx
2π v
e −1
0
∫
kB kB 3 3 θD /T
β
x4 ex 2
= 2 ( )T
τ (x)(1 +
)( x
) dx.
(1.62)
2π v
τN (x) e − 1
0
Bây giờ cần phải xác định β. Bởi vì tổng động lượng tinh thể bảo toàn cho
quá trình-N, tỉ số độ lệch động lượng phonon bằng không. Vì vậy:
∫

⃗

N⃗qλ − N⃗q
⃗qd⃗q = 0.

τN

Thế biểu thức (1.53) và (1.58) vào biểu thức (1.63), chúng ta có:
[
]
∫
⃗λ
ω
exp( ω/kB T )
⃗
q
⃗q
⃗ )+
α
(⃗
v
∇T
d⃗q = 0.
q
2
k B T ) τN
[exp( ω/kB T )] kB T 2

(1.63)

(1.64)


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

15

Biểu thức (1.64) có thể đơn giản hơn khi sử dụng biểu thức (1.60) và (1.61):
∫
exp( ω/kB T )
ω
⃗ )(αq − β) ⃗v ω d⃗q = 0.
(⃗
v
∇T
(1.65)
2
τN v 2
[exp( ω/kB T )] kB T 2
Thế biểu thức (1.63) vào (1.65), ta có thể tính β:
/ ∫ θD /T
∫ θD /T
τc x4 ex
x4 ex
τc
β=
dx
dx
τN (ex − 1)2
τN τq (ex − 1)2
0
0

(1.66)

Vì vậy hệ số dẫn nhiệt có thể viết:
κL = κ1 + κ2 ,
kB
κ1 = 2
2π v

(

kB

)3

∫
T

3
0

θD /T

x4 ex
dx
τc x
(e − 1)2

∫ θ /T τc x4 ex
dx)2
( 0D
x
2

kB kB
τN (e − 1)
κ2 = 2 ( )3 T 3
∫ θD /T τc
2π v
x4 ex
dx
0
τN τq (ex − 1)2

(1.67)

Khi mức độ tạp chất là đáng kể và tất cả các phonon tương tác mạnh bởi
các quy luật điện trở (quá trình thuần trở) trong chất rắn, khi đó τN >> τq và
τc ≈ τq . Trong trường hợp κ1 >> κ2 và κL được cho bởi phương trình (1.67),
tương tự như phương trình (1.49) khi không có quá trình-N. Ở trạng thái
ngược lại, trong quá trình-N chỉ có tán xạ của phonon, chúng ta có τN << τq
và τc ≈ τN . Mẫu số của τ2 gần bằng 0, dẫn đến độ dẫn nhiệt mạng là vô hạn
như mong đợi bởi vì quá trình-N không làm gia tăng điện trở nhiệt.
Bây giờ chúng ta đã có công thức dẫn nhiệt mạng, vấn đề là tính toán thời
gian hồi phục. Đối với tán xạ phonon-phonon bình thường thời gian hồi phục
sẽ là:
τN−1 = Bω a T b
(1.68)
Đây là công thức chung được đề xuất bởi phù hợp nhất với dữ liệu độ dẫn
nhiệt thực nghiệm, B là một hằng số độc lập của ω và T, (a,b) = (1,3) đã
được đề xuất cho LiF và kim cương, và (a,b) = (1,4) và (2,3) được sử dụng
cho một số nhóm IV và bán dẫn III-V. Peierls đề nghị biểu thức:
τU−1 ∝ T n exp(θD /mT ).

(1.69)


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

16

Biểu thức trên là biểu thức của tán xạ umklapp phonon-phonon với các hằng
số n và m bậc nhất. Dựa trên các mô hình Liebfried và Schl¨omann, Slack et al
và hằng số Gr¨
uneisen γ và M khối lượng nguyên tử trung bình trong tinh thể:
τU−1

γ2
≈
ω 2 T 2 exp(−θ/3T ).
2
M v θD

(1.70)

Các giá trị thực nghiệm n và m cũng được sử dụng, tất cả đều được căn
cứ dựa trên sự lặp lại phù hợp với dữ liệu thực nghiệm. Ở nhiệt độ đủ cao
κL ∝ 1/T nếu tán xạ umklapp phonon-phonon là quá trình chiếm ưu thế.
Klemens là người đầu tiên tính toán tỷ lệ hồi phục cho tán xạ phonon-khuyết
tật điểm, kích thước của các khuyết tật nhỏ hơn nhiều hơn bước sóng phonon.
Hệ số tán xạ khuyết tật điểm-phonon:
∑ ( m − m i )2
V
ω4

fi
.
(1.71)
τP−1D =
4πv 3
m
i
Trong đó V là thể tích mỗi nguyên tử, mi là khối lượng của một nguyên tử,
fi là thành phần của nguyên tử với khối lượng mi và m là khối lượng trung
bình của tất cả các các nguyên tử. Phương trình (1.71) được cho bởi Abeles
do trường biến dạng.
Hệ số tán xạ biên phonon độc lập với tần số phonon và nhiệt độ có thể
được viết:
τB−1 = v/d.
Trong đó d là kích thước cho mẫu đơn tinh thể hoặc kích thước hạt mẫu đa
tinh thể. Tán xạ phonon-khuyết tật. Thời gian hồi phục là:
−1
τCore
∝ ND

r4 3
ω ,
v2

(1.72)

và

2
γ 2 BD

ω
.
(1.73)
2π
Trong đó ND là số đường bị đứt gãy trên một đơn vị diện tích, r là bán kính
lõi, và BD là vectơ Burgers của lỗ khuyết tật. Pohl đưa ra hệ số hồi phục của
tán xạ phonon cộng hưởng không có từ trường:
−1
τStr
∝ ND

−1
τres

Cω 2
= 2
.
(ω − ω02 )2

(1.74)

Trong đó C là hằng số với nồng độ của các khuyết tật cộng hưởng và ω0 là
tần số cộng hưởng. Công thức này phù hợp ở nhiệt độ thấp. Nó cũng phù hợp


1.3 Dẫn Nhiệt Điện Tử

17

với dữ liệu thực nghiệm cho dạng mắt lưới và skutterudites. Theo Ziman, thời

gian hồi phục cho sự tán xạ của các phonon bởi các điệnt tử trong trạng thái
dẫn được cho bởi:
(
)
2
∗ 3
ε
(m
)
v
k
T
B
−1
τEP
×
C =
1 ∗ 2
4π 4
m
v
2
{

[(
)
1 + exp 21 m∗ v 2 − EF /kB T +
ω
[(
)

− ln
kB T
1 + exp 21 m∗ v 2 − EF /kB T +

]}
ω 2 /8m∗ v 2 kB T + ω/2kb T
] (1.75)
2 ω 2 /8m∗ v 2 k T − ω/2k T
B
b
2

Trong đó ε là hằng số tương tác điện tử-phonon hoặc điện thế biến thiên
và d là mật độ khối lượng. Thời gian hồi phục tán xạ của các phonon bởi
các electron trong một trạng thái liên kết bền, được đưa ra bởi Griffin và
Carruthers là:
−1
τEP
B =

Gω 4
[ω 2 − (4 △ /

1
2
)2 ]

[1 + r02 ω 2 /4v 2 ]

8.

(1.76)

Trong đó G là một hằng số có chứa các tán xạ trung tâm, ∆ là sự thay đổi
hóa học liên quan đến tách các trạng thái điện tử, và r0 là bán kính trung
bình của trạng thái địa phương. Cho thấy rằng những công thức tương tác
điện tử-phonon được dựa trên nguyên lý đoạn nhiệt và lý thuyết nhiễu loạn.
Theo Ziman, lý thuyết chỉ có giá trị nếu quãng đường tự do trung bình của
điện tử Le thỏa các điều kiện:
1 < qLe .
(1.77)
Khi vector sóng phonon q = 2π/λp , điều này có nghĩa rằng bước sóng của
một phonon λp không được lớn hơn quãng đường tự do trung bình của các
điện tử tán xạ. Mô hình đầu tiên được phát triển bởi Pippard để giải thích sự
suy giảm âm trong các kim loại, tuy nhiên, áp dụng trên toàn bộ phạm vi của
qLe . Thời gian hồi phục Pippard:
−1
τEP
=

và

4nm∗ vF Le ω 2
15dv 2

khi qLe << 1,

(1.78)

πnm∗ vF ω

(1.79)
=
khi qLe >> 1
6dv
Trong đó n là nồng độ điện tử và vF là vận tốc Fermi. Đã có một số trường
hợp lý thuyết của Pippard đã được áp dụng cho dẫn nhiệt mạng.
Thông thường sử dụng mô hình Callaway [ phương trình (1.67), (1.68), và
(1.69)] để giải thích dữ liệu thực nghiệm về ảnh hưởng của các tạp khi bắt đầu
−1
τEP