LUẬN văn sư PHẠM vật lý sự dãn nở vì NHIỆT của CHẤT rắn với bộ THÍ NGHIỆM của PHYWE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGÀNH SƯ PHẠM VẬT LÝ – TIN HỌC
ĐỀ TÀI:

SỰ DÃN NỞ VÌ NHIỆT CỦA CHẤT RẮN VỚI BỘ THÍ
NGHIỆM CỦA PHYWE

Giáo viên hướng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Bá Thành

Bùi Trần Tuấn
MSSV: 1080306
Lớp: SP Vật Lý – Tin Học. K34

Tháng 5/2011


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe
MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 3

1. Lý do chọn đề tài............................................................................................................ 3
2. Giả thuyết của đề tài ....................................................................................................... 3
3. Tiến hành thực hiện ........................................................................................................ 4

NỘI DUNG................................................................................................................. 5
CHƯƠNG 1

MẠNG TINH THỂ TRONG CHẤT RẮN ................................................ 5

1.1 Các loại liên kết trong vật rắn ................................................................................... 5
1.1.1 Tinh thể ion ....................................................................................................... 6
1.1.2 Tinh thể cộng hóa trị .......................................................................................... 8
1.1.3 Tinh thể kim loại................................................................................................ 9
1.1.4 Tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử .................................................................... 9
1.1.5 Tinh thể có liên kết hiđrô ................................................................................. 10
1.2 Mạng tinh thể ......................................................................................................... 11
1.2.1 Mạng không gian ............................................................................................. 11
1.2.2 Các chỉ số Milơ................................................................................................ 13
1.2.3 Các tính chất đối xứng của mạng không gian ................................................... 14
1.2.4 Các hệ tinh thể ................................................................................................. 16
1.2.5 Cấu trúc tinh thể .............................................................................................. 18
CHƯƠNG 2

DAO ĐỘNG CỦA MẠNG TINH THỂ .................................................. 20

2.1 Lý thuyết cổ điểm về dao động điều hòa của mạng tinh thể..................................... 20
2.2 Lý thuyết lượng tử về dao động điều hòa của mạng tinh thể .................................... 22
2.2.1 Lượng tử hóa dao động mạng........................................................................... 22
2.2.2 Phônôn ............................................................................................................ 23
2.3 Sự nở vì nhiệt ......................................................................................................... 29

2.3.1 Nguyên nhân của sự dãn nở vì nhiệt ................................................................. 29
2.3.2 Một số ứng dụng của sự nở vì nhiệt ................................................................. 31

THỰC NGHIỆM ..................................................................................................... 33
I. MỤC ĐÍCH .................................................................................................................. 33
II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................................................. 33
1. Nguyên tắc ............................................................................................................... 33
2. Thiết bị thí nghiệm ................................................................................................... 35
III. HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC THỰC HÀNH ............................................................... 37
IV. KẾT QUẢ THÍ NGHIỆM .......................................................................................... 40

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 1

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

4.1 Đồng thau (chiều dài ban đầu của thanh là l = 600mm) ........................................... 40
4.2 Đồng đỏ (chiều dài ban đầu của thanh là l = 600mm).............................................. 42
4.3 Nhôm (chiều dài ban đầu của thanh là l = 600mm) ................................................. 45
4.4 Thép (chiều dài ban đầu của thanh là l = 600mm) ................................................... 47
4.5 Thủy tinh (chiều dài ban đầu của thanh là l = 600mm) ............................................ 50

KẾT LUẬN ............................................................................................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 54

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 2

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ xưa đến nay và trong tương lai, “vật liệu” đặc biệt là “vật liệu rắn” luôn gắn
liền với văn minh nhân loại. Con người đã trải qua các thời kỳ đồ đá, đồ đồng, đồ
sắt…Nền văn minh hiện đại dựa trên sự phát triển và sử dụng rất nhiều vật liệu mới có
tính đặc biệt. Hiểu biết chúng là sự cần thiết cho việc chế tạo các vật liệu mới ấy. Ta
biết rằng trong khoa học và kĩ thuật có những ý tưởng mới mà không thể thực hiện
được vì thiếu vật liệu. Chúng đòi hỏi những tính chất đặc biệt như: Chịu nhiệt độ cao,
áp suất cực lớn, điện trường và từ trường cực mạnh…
Việc sử dụng các kiến thức hiện đại của Vật Lý học lượng tử, đi sâu vào nhiều
khía cạnh: nhiệt học, điện học, quang học… ở vật rắn, tạo nên một hệ thống kiến thức
sâu sắc về mọi mặt nhằm giải thích và dự đoán mọi hiện tượng có liên quan đến môi
trường vật chất cần thiết cập nhật này với nhiều ứng dụng kĩ thuật hiện đại.
Hiện nay thì kim loại được ứng dụng rộng rãi trong đời sống hằng ngày của
chúng ta cũng như trong kĩ thuật. Nhưng sự dãn nở của chúng khi nhiệt độ thay đổi
cũng có nhiều ảnh hưởng đến đời sống và kĩ thuật. Sự dãn nở của chúng cũng gây
nhiều thiệt hại cho con người nhưng con người cũng đã lợi dụng sự dãn nở của chúng
để ứng dụng vào khoa học kĩ thuật phục vụ cho con người. Nhưng mỗi kim loại khác

nhau thì sự dãn nở của chúng cũng khác nhau, để biết rõ hơn sự dãn nở dài của các
kim loại khác nhau là khác nhau như thế nào nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “ SỰ
DÃN NỞ VÌ NHIỆT CỦA CHẤT RẮN ”
2. Giả thuyết của đề tài
Có thể nghiên cứu kĩ hơn sự nở vì nhiệt của chất rắn để có thể ứng dụng vào khoa
học kĩ thuật và chống lại tác hại của chung trong đời sống hằng ngày.
Trước hết ta cần nắm lại mạng tinh thể của vật rắn, khái niệm phôtôn, tương tác
giữa các phân tử.

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 3

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

3. Tiến hành thực hiện
Bước 1: Nhận đề tài.
Bước 2: Nghiên cứu lý thuyết.
Bước 3: Tiến hành đo đạt bằng thực nghiệm.
Bước 4: Thực hiện viết đề cương.
Bước 5. Viết bài luận, chỉnh sửa, hoàn thiện bài viết.
Bước 6: Viết báo cáo.
Bước 7: Báo cáo luận văn.

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 4

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1 MẠNG TINH THỂ TRONG CHẤT RẮN
1.1 Các loại liên kết trong vật rắn
Ở các vật rắn kết tinh, các nguyên tử hoặc phân tử xếp đặt một cách có trật tự,
tuần hoàn trong không gian. Các vật rắn có tính chất khác nhau, chính là vì trong mỗi
loại, sự phân bố của các êlêctrôn và hạt nhân của các nguyên tử có những đặc điểm
riêng.
Do đó để khảo sát tinh thể vật rắn, ta phải nghiên cứu một hệ gồm số rất lớn các
nguyên tử và êlêctrôn. Chẳng hạn, với tinh thể chỉ gồm một loại nguyên tử, thì với N
nguyên tử, ta phải xét một hệ N hạt nhân và NZ êlêctrôn, trong đó Z là số thứ tự của
êlêctrôn trong bảng tuần hoàn Menđêlêép. Việc xét hệ bao gồm N hạt nhân và NZ
êlêctrôn là rất phức tạp và không cần thiết, vì rằng các êlêctrôn lấp đầy ở những lớp
sâu (chẳng hạn các lớp K, L…), chúng liên kết chặt chẽ với các hạt nhân của nguyên
tử và tạo thành các lõi nguyên tử. Trong tinh thể, sự phân bố của những êlêctrôn này
không khác mấy so với ở các nguyên tử tự do. Chỉ những êlêctrôn hóa trị là những
êlêctrôn ở lớp ngoài, mới bị phân bố khác nhiều so với ở các nguyên tử cô lập. Những
êlêctrôn này thường là êlêctrôn s, p và d. Như vậy, ta có thể coi như mạng tinh thể
được tạo thành từ các lõi nguyên tử mang điện dương, nằm ở các nút mạng và các
êlêctrôn hóa trị, mà sự phân bố của chúng phụ thuộc liên kết trong tinh thể. Bài toán
bây giờ được rút về xét một hệ gồm N lõi nguyên tử và n.N êlêctrôn hóa trị, trong đó n

là hóa trị của nguyên tố tạo thành tinh thể.
Trong mục này, ta sẽ tìm hiểu nguyên nhân giữ cho các lõi nguyên tử và các
êlêctrôn hóa trị nằm cân bằng trong tinh thể, đó là các liên kết trong tinh thể. Tính chất
của một vật rắn phụ thuộc nhiều vào bản chất của liên kết.
Có thể nói ngay rằng liên kết trong tinh thể hầu như hoàn toàn được bảo đảm bởi
lực tương tác tĩnh điện giữa các êlêctrôn mang điện âm và các hạt nhân nguyên tử
mang điện dương. Trong từng trường hợp, lực này được thể hiện dưới các dạng khác
nhau, chẳng hạn lực tương tác trao đổi, lực Van đe Vanxơ, liên kết đồng hóa trị, liên
kết ion, liên kết kim loại… Căn cứ vào các dạng liên kết, người ta phân loại vật rắn

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 5

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

thành các loại: tinh thể ion, tinh thể đồng hóa trị, tinh thể kim loại, tinh thể phân tử,
tinh thể có liên kết hiđrô.
1.1.1 Tinh thể ion
a) Tinh thể ion được tạo thành bởi các ion dương và âm nằm xen kẽ với nhau.
Bản chất của liên kết ion là lực tương tác tĩnh điện giữa các ion mang điện trái dấu.
Ví dụ: Tinh thể muối của các kim loại kiềm hoặc kiềm thổ với halogien là tinh
thể ion, chẳng hạn tinh thể muối ăn (NaCl), liti florua (LiF), cêsi clorua (CsCl)…
chúng được tạo thành từ các ion dương kim loại (Na+, Li+, Cs+…) và các ion âm
halogien (Cl-, F-). Những ion này hình thành từ các nguyên tử trung hòa khi một

êlêctrôn chuyển từ nguyên tử kim loại sang nguyên tử halogien. Thí dụ cấu tạo các lớp
êlêctrôn của nguyên tử Liti là 1s22s của Flo là 1s22s22p6 còn cấu tạo của các ion tương
ứng trong tinh thể là: Li+: 1s2, F-: 1s22s22p 6. Có thể nhận xét thấy rằng các ion này có
lớp vỏ êlêctrôn ngoài cùng đặc trưng cho các nguyên tử khí trơ, vì chứa đầy êlêctrôn
(He: 1s2; Ar: 1s22s22p6). Giống như ở các nguyên tử khí trơ, sự phân bố điện tích trong
các ion có tính đối xứng cầu.
Tuy vậy trong tinh thể sự đối xứng này có
bị biến dạng đôi chút ở chỗ các nguyên tử lân
cận kề sát vào nhau.
Dùng hình ảnh về các nguyên tử và các
êlêctrôn hóa trị là cực đại ở xung quanh ion âm
(thí dụ ion F-) và gần như bằng không ở xung
quanh ion dương (Hình 1.1).

Hình 1.1

b) Để cho các nguyên tử nằm cân bằng bên trong tinh thể, bên cạnh lực liên kết
(có tác dụng hút các nguyên tử), phải có lực đẩy giữa chúng. Có nhiều nguyên nhân
gây nên lực đẩy giữa các nguyên tử.
Các ion trong tinh thể có cấu tạo lớp vỏ êlêctrôn giống như ở các nguyên tử khí
trơ, vì vậy lực đẩy giữa chúng giống như lực đẩy giữa các nguyên tử khí trơ. Với các
nguyên tử này, có thể coi là sự phân bố điện tích của êlêctrôn bên trong nguyên tử bị
giới hạn trong một quả cầu cứng. Do sự giới hạn về không gian, theo nguyên lí bất
định Haizenbec (Heisenberg) động năng của êlêctrôn tăng lên. Sự tăng năng lượng khi

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 6

SVTH: Bùi Trần Tuấn

Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

quả cầu bị nén ứng với lực đẩy và có tác dụng chống lại sự nén. Chính sự giới hạn điện
tích êlêctrôn trong quả cầu cứng là một thành phần của lực đẩy giữa các nguyên tử
trong tinh thể.
Đóng góp quan trọng hơn vào lực đẩy là do sự phủ nhau của các đám mây
êlêctrôn của hai nguyên tử đặt gần nhau.
Khoảng cách giữa các nguyên tử càng giảm, các đám mây êlêctrôn càng phủ
nhau nhiều và năng lượng tĩnh điện của hệ biến đổi đi. Ở những khoảng cách đủ nhỏ,
năng lượng tương tác do sự phủ của các đám mây êlêctrôn gây nên là năng lượng đẩy.
Đối với các nguyên tử có lớp vỏ êlêctrôn đầy, thì năng lượng tương tác luôn là
năng lượng đẩy với mọi khoảng cách (trong khoảng từ 0,5 A0 đến 5 A0) mà chủ yếu là
do tác dụng của nguyên lí Paoli (Pauly). Nói một cách đơn giản, theo nguyên lí này,
hai êlêctrôn không thể cùng có tất cả các số lượng tử giống nhau. Như vậy hai êlêctrôn
không thể ở cùng một trạng thái lượng tử. Khi các đám mây êlêctrôn của hai nguyên tử
A và B phủ nhau, thì êlêctrôn của nguyên tử B có xu hướng chiếm một phần các trạng
thái trong nguyên tử A đã bị các êlêctrôn của nguyên tử này chiếm , và ngược lại. Vì
rằng nguyên lí Paoli không cho phép nhiều êlêctrôn chiếm cùng một trạng thái, nên hai
đám mây êlêctrôn chỉ có thể phủ nhau nếu các êlêctrôn chuyển một phần lên các trạng
thái lượng tử còn trống có mức năng lượng cao hơn. Kết quả là sự phủ nhau của các
đám mây êlectrôn làm tăng năng lượng toàn phần của hệ, hay nói cách khác nó làm
xuất hiện lực đẩy.
Dựa vào các kết quả thực nghiệm, người ta thấy có thể mô tả thế năng đẩy giữa
các nguyên tử khí trơ bằng biểu thức:
U=

B
R 12

(1-1)

trong đó B là một hằng số dương, còn R là khoảng cách giữa các hạt nhân nguyên
tử.
Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng biểu thức thực nghiệm khác cho lực đẩy
dưới dạng hàm mũ:


U = A. e

GVHD: Nguyễn Bá Thành

R


Trang 7

(1-2)

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

trong đó A là một hằng số dương, còn  là một đại lượng đặc trưng cho kích

thước của khu vực có tương tác.
c) Các tinh thể ion dẫn điện kém ở nhiệt độ thấp và dẫn điện tốt ở nhiệt độ cao
hơn. Các hạt tải điện trong trường hợp đó là các ion.
Tinh thể ion hấp thụ mạnh các bức xạ trong dải hồng ngoại.
1.1.2 Tinh thể cộng hóa trị
a) Liên kết cộng hóa trị được tạo thành bởi các cặp êlêctrôn có spin đối song. Đó
là loại liên kết mạnh mặc dù là liên kết giữa các nguyên tử trung hoà.
Ví dụ: Tinh thể kim cương (gồm các nguyên tử
cacbon), và các tinh thể Ge, Si có cấu trúc giống kim
cương là thí dụ về tinh thể cộng hóa trị. Trong các tinh
thể này, mỗi nguyên tử này nằm ở tâm một tứ diện
được tạo thành từ bốn nguyên tử gần nó nhất (Hình
1.2). Giữa hai lõi nguyên tử cạnh nhau, có một mối liên

kết cộng hóa trị kết
Hai êlêctrôn này có spin đối song. Chúng định
xứ chủ yếu trong khoảng không gian giữa hai lõi

Hình 1.2 Cộng hóa trị do hai
êlêctrôn từ hai nguyên tử tạo
thành

nguyên tử. Vì vậy, liên kết cộng hóa trị có tính phương hướng rõ, khác với liên kết ion
trong đó êlêctrôn hóa trị chủ yếu định xứ quanh các ion.
Theo nguyên lí Paoli như đã nói ở trên, các nguyên tử có lớp vỏ êlêctrôn đầy thì
đẩy nhau. Nguyên tử C, Ge, Si còn thiếu 4 êlêctrôn mới tạo thành lớp vỏ đầy, nên
nguyên tử của các nguyên tố này lại có thể hút nhau do sự phủ của các lớp vỏ êlêctrôn.
Thí dụ đơn giản nhất về liên kết cộng hóa trị là liên kết giữa hai nguyên tử hiđrô
trong phân tử H2. Tùy theo sự định hướng spin của hai êlêctrôn trong hai nguyên tử,
mà lực liên kết giữa hai nguyên tử này có độ lớn khác nhau.

Nếu hai êlêctrôn có spin đối song, hai nguyên tử liên kết rất mạnh, tạo thành phân
tử hiđrô bền vững. Nếu hai êlêctrôn có spin đối song song theo nguyên lí Paoli, khi có
sự phủ nhau của các đám mây êlêctrôn, giữa hai nguyên tử xuất hiện lực đẩy.

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 8

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

Phần năng lượng tương tác giữa các êlêctrôn có giá trị phụ thuộc vào sự định
hướng tương đối của spin như vừa xét gọi là năng lượng trao đổi. Lực tương tác ứng
với nó là lực tương tác trao đổi.
b) Các tinh thể cộng hóa trị có độ cứng cao và dẫn điện kém ở nhiệt độ thấp.
c) Nếu coi tinh thể cộng hóa trị và tinh thể ion là các trường hợp giới hạn, thì
giữa chúng còn có hàng loạt tinh thể trong đó liên kết có tính chất trung gian.
Bảng sau đây cho ta một số trường hợp điển hình. Từ đó, ta thấy NaCl có thể coi
là tinh thể ion (mức độ ion 0,94), SiC và GaAs có tính cộng hóa trị rõ (mức độ ion
0,18 và 0,32).
Các nguyên tử có vỏ êlêctrôn gần giống với vỏ đầy (như Na, Cl) có xu hướng tạo
thành liên kết ion. Các nguyên tử nhóm III, IV và V của bảng tuần hoàn có xu hướng
tạo thành liên kết cộng hoá trị (như In, C, Ge, Si, As).
Sự phân bố không gian của êlêctrôn hóa trị phụ thuộc mức độ ion của liên kết.
Chẳng hạn, ở tinh thể InSb, mật độ êlêctrôn ở gần nguyên tử Sb lớn hơn ở gần nguyên
tử In. Còn ở tinh thể ZnS, êlêctrôn hóa trị chủ yếu tập trung quanh nguyên tử S.

1.1.3 Tinh thể kim loại
Trong tinh thể kim loại, êlêctrôn hóa trị không định xứ ở các nguyên tử mà phân
bố trong tinh thể và là chung cho cả tinh thể (êlêctrôn bị “ tập thể hóa”). Những
êlêctrôn này có thể chuyển động tự do trong tinh thể nên được gọi là êlêctrôntự do.
Mật độ êlêctrôn tự do tương đối lớn, cùng bậc với mật độ nguyên tử (cỡ 10-22 cm-3), vì
trung bình mỗi nguyên tử đóng góp một vài êlêctrôn tự do cho tinh thể. Chúng tạo
thành đám mây (hay khí) êlêctrôn trong tinh thể. Chính sự tương tác giữa các đám mây
êlêctrôn mang điện âm với các ion dương được sắp xếp đều đặn tạo nên lực liên kết
các nguyên tử thành tinh thể.
Lực này thắng lực đẩy tĩnh điện giữa các ion dương, nên tinh thể là bền vững.
1.1.4 Tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử
a) Tinh thể khí trơ được cấu tạo từ các nguyên tử khí trơ. Những nguyên tử này
có lớp êlêctrôn ngoài cùng hoàn toàn đầy. ở nguyên tử tự do, phân bố êlêctrôncó dạng
đối xứng cầu. Trong tinh thể, sự phân bố êlêctrôn không có thay đổi lớn. Lực liên kết

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 9

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

trong tinh thể khí trơ là lực Van đe Vanxơ. Đó là loại lực tương tác giữa các nguyên tử
trung hòa và tác dụng ở khoảng cách lớn.
Bản chất của lực Van đe Vanxơ chỉ có thể hiểu được một cách sơ lược sự xuất
hiện của nó. Nếu vị trí trung bình của hạt nhân nguyên tử luôn trùng với tâm của đám

mây êlêctrôn hình cầu bao quanh hạt nhân, thì không thể có tương tác giữa các nguyên
tử trung hòa. Đó là vì ở bên ngoài nguyên tử, điện thế tĩnh điện gây bới các đám mây
êlêctrôn hoàn toàn bù trừ điện thế gây bởi hạt nhân. Như vậy, không có sự liên kết
giữa các nguyên tử khí trơ và không có được trạng thái rắn của khí trơ. Tuy nhiên,
trong thực tế có tồn tại các tinh thể khí trơ. Sở dĩ như vậy là vì các êlêctrôn luôn
chuyển động tương đối đối với hạt nhân, ngay cả khi chúng ở trạng thái năng lượng
thấp nhất. Kết quả là vị trí tức thời của tâm đám mây êlêctrôn có thể không trùng với
hạt nhân nguyên tử. Khi đó mômen lưỡng cực của nguyên tử trở nên khác không.
Mômen lưỡng cực tức thời này gây ra điện trường ở tâm nguyên tử gần nó, làm cho
nguyên tử này bị phân cực, tức là trở nên có mômen lưỡng cực. Kết quả là xuất hiện
lực tương tác giữa các mômen lưỡng cực của các nguyên tử. Lực này là lực hút và có
giá trị nhỏ. Nó đóng vai trò lực liên kết các nguyên tử trong tinh thể khí trơ.
Lực Van đe Vanxơ cũng là lực liên kết chủ yếu trong các tinh thể phân tử, tức là
các tinh thể mà ở các nút mạng có các phân tử trung hòa. Hiđrô, Clo, CO2 và nhiều
chất hữu cơ, khi hóa rắn tạo thành tinh thể phân tử.
b) Tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử có nhiệt độ nóng chảy thấp và dễ bị nén.
1.1.5 Tinh thể có liên kết hiđrô
Nguyên tử hiđrô trung hòa có một êlêctrôn. Trong một số trường hợp, nguyên tử
hiđrô có thể có liên kết bằng một lực hút đáng kể với hai nguyên tử khác, tạo thành
liên kết hiđrô giữa chúng. Có thể hình dung sự hình thành phân tử nhờ liên kết hiđrô
như sau: êlêctrôn của nguyên tử hiđrô liên kết với một nguyên tử, còn lại proton thì
liên kết với nguyên tử thứ hai. Kết quả là nguyên tử hiđrô liên kết với hai nguyên tử,
mặc dù êlêctrôn của nó chỉ có thể tham gia vào một liên kết cộng hóa trị.
Liên kết hiđrô là dạng tương tác quan trọng nhất giữa các phân tử H2O. Cùng với
lực hút tĩnh điện giữa các mômen lưỡng cực, nó gây nên những tính chất kì lạ, đặc biệt
của nước và nước đá. Liên kết hiđrô đóng vai trò quan trọng trong các hợp chất có

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 10

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

chứa hiđrô cùng với các nguyên tố á kim như F, O, N, C, Cl và S. Nó gây nên sự kết
hợp các phân tử, sự pôlime hóa, nó tồn tại và đóng vai trò quan trọng trong các tinh thể
hữu cơ, các chất anbumin và các cơ thể sống.
1.2 Mạng tinh thể
1.2.1 Mạng không gian
Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn
trong không gian tạo thành mạng tinh thể.
Ta bắt đầu bằng việc khảo sát tinh thể lí tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các
nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lý tưởng phải hoàn toàn đồng
nhất, nghĩa là ở mọi nơi, nó đều chứa những nguyên tử như nhau, được phân bố như
nhau.
Tinh thể lý tưởng phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn
làm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử
khác.
Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy
luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp. Ở các tinh thể đơn
giản như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiều
nguyên tử. Ở các tinh thể phức tạp, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử.
Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong
không gian. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử. Nhóm nguyên
tử đó gọi là gốc.
Tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân bố trong mạng không

gian.
Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ a 1 , a 2 , a 3 gọi là ba vectơ tịnh tiến
cơ sở. Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tuỳ ý có bán kính vectơ
r , ta thấy nó giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ r ' :

r ' = r + n1 a1 + n 2 a 2 + n 3 a 3

(1-3)

trong đó n1, n2, n3 là các số nguyên tuỳ ý.

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 11

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

Tập hợp các điểm có bán kính vectơ r ' (sau này gọi là điểm r ' ) xác định theo (13) với các giá trị khác nhau của n1, n 2, n3 lập thành mạng không gian. Các điểm đó gọi
là nút của mạng không gian.
Ba vectơ cơ sở a 1 , a 2 , a 3 (có khi kí hiệu là a , b , c ) cũng đồng thời xác định
các trục của hệ tọa độ trong tinh thể. Nói chung, đó là hệ tọa độ không vuông góc.
Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp.

Hình 1.3
Sự lựa chọn ba vectơ cơ sở, và do đó lựa chọn ô sơ cấp không phải là duy nhất.

Hình 1.3 cho ta thấy một vài ví dụ về cách chọn mạng hai chiều.
Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho nó có
dạng đối xứng trung tâm. Ô như vậy gọi là ô Vicnơ-Daixơ (Wignet-Seitz)
Các vectơ cơ sở và ô sơ cấp trong những ô này được giới hạn bởi các mặt phẳng
trung trực của các đoạn thẳng nối nút mạng đang cột với các nút mạng lân cận. Dễ
dàng thấy rằng theo các cách xây dựng khác nhau, ô sơ cấp có thể tích không đổi trên
Hình 1.4 là ô Vicnơ-Daixơ trong mạng hai chiều.

Hình 1.4

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 12

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

1.2.2 Các chỉ số Milơ
Trong mạng không gian, đường thẳng đi qua vô số các nút mạng được gọi là
đường thẳng mạng. Có thể chứng minh được rằng nếu một đường thẳng đi qua hai nút
mạng, thì nó là đường thẳng mạng.
Mặt phẳng có chứa vô số nút mạng gọi là mặt phẳng mạng. Mặt phẳng chứa ba
nút mạng là mặt phẳng mạng.
Để xác định đường thẳng mạng và mặt phẳng mạng, ta sử dụng hệ tọa độ xyz có
các trục tọa độ dựa trên ba vectơ cơ sở a1 , a2 , a3 . Gốc O của hệ tọa độ đặt ở một nút
mạng.

Một mặt phẳng mạng cắt các trục tại các nút có tọa độ ( n1 , a1 , 0, 0), (0, n2 , a2 , 0),
(0, 0, n3 a3 ) (h.1.5) để kí hiệu mặt phẳng này, ta dựng các chỉ số Milơ được xác định
như sau:

Hình 1.5
Viết tọa độ của các giao điểm của mặt phẳng mạng với các trục tọa độ theo đơn
vị a1 , a2 , a3 tức là n1 , n3 , n3 .
Lấy nghịch đảo của chúng
1 1 1
, ,
n1 n 2 n3

Tìm bộ ba số nguyên h, k, l có trị số nhỏ nhất sao cho
h:k:l=

1
1
1
:
:
n1 n2 n3

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 13

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

Bộ ba số h, k, l được đặt trong dấu ngoặc (h k l) và được gọi là chỉ số Milơ của
mặt phẳng mạng. Trên Hình 1.5, ta có n1 = 3, n2 = 4, n3 = 2, do đó:
h:k:l=

1 1 1
4
3
6
: : =
:
:
=4:3:6
3 4 2 12 12 12

Vậy chỉ số Milơ của mặt phẳng đó là (4 3 6).
1.2.3 Các tính chất đối xứng của mạng không gian
Đặc điểm cơ bản của mạng không gian là tính chất đối xứng của nó. Điều này thể
hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi, hay nói cách khác, mạng lại
trùng với chính nó khi ta thực hiện một số phép biến đổi.
Đối xứng tịnh tiến. Vectơ tịnh tiến
Mạng không gian có tính đối xứng tịnh tiến. Thật vậy, ta hãy thực hiện một phép
biến đổi toàn bộ mạng không gian đi một vectơ R , gọi là vectơ tịnh tiến:
R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3

(1-4)

Sau phép dịch chuyển này, một nút mạng nào đó đến chiếm vị trí của một nút

mạng khác. Toàn bộ mạng không có gì thay đổi.
Hai nút mạng bất kì được nối với nhau bằng vectơ tịnh tiến (1-4), trong đó Chú ý
rằng n1 , n3 , n3 là những số nguyên. Nếu ta lấy điểm gốc ở một nút mạng, thì R là
vectơ vị trí của các nút mạng, gọi là vectơ mạng.
Phép quay đối xứng
Mạng không gian có tính đối xứng với phép quay quanh một số trục xác định. Để
minh họa điều này, ta hãy xét mạng vuông hai chiều (Hình 1.7). Có thể coi nó như
hình chiếu của mạng không gian trên mặt phẳng, nghĩa là phía trên và phía dưới của
mặt phẳng hình vẽ, ta có những mạng vuông giống hệt như vậy. Khi ta quay mạng một
góc


1
(hay
vòng tròn) quanh trục vuông góc với mặt phẳng, đi qua một nút
2
4

mạng(hoặc một trong các điểm có đánh dấu X trên Hình 1.6).

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 14

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

Hình 1.6
thì mạng lại trùng với chính nó. Trục quay như vậy gọi là trục quay bậc 4, và
mạng đang xét đối xứng với phép quay quanh trục bậc 4.
Mạng không gian chỉ có thể có trục quay bậc n = 2, 3, 4 và 6. Khi quay mạng một
góc  

2
mạng lại trùng với chính nó. Không tồn tại các mạng có trục quay bậc 5,
n

bậc 7 hoặc cao hơn.
Đối xứng nghịch đảo
Mạng không gian có tính đối xứng nghịch đảo.
Phép nghịch đảo là phép biến đổi, trong đó vectơ vị trí đổi dấu: r biến thành  r .
Như vậy, mạng không gian có tâm đối xứng. Tất nhiên, mạng vuông trên Hình 1.9 bất
biến với phép nghịch đảo và có tâm đối xứng.
Mạng không gian có thể có tính đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt
phẳng. Phép nghịch đảo chính là gồm một phép quay góc  và phản xạ qua mặt phẳng
vuông góc với trục quay và đi qua tâm đối xứng (Hình 1.7). Ở đây O là tâm đối xứng,
m là mặt phẳng phản xạ, C là trục quay góc  .
Các phép biến đổi đối xứng vừa nói ở trên, gồm các phép quay, phản xạ và
nghịch đảo có thể cùng tồn tại ở một mạng không gian. Tuy nhiên thực tế, mỗi mạng
không gian chỉ đối xứng với một số trong các phép biến đổi đó.

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 15

SVTH: Bùi Trần Tuấn

Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

Hình 1.7
1.2.4 Các hệ tinh thể
Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian, người ta chia
Chúng ra thành 7 hệ, ứng với 7 loại ô sơ cấp khác nhau, đó là các hệ: tam tà, đơn tà,
thoi, tứ giác, tam giác, lục giác và lập phương. Mỗi hệ được đặc trưng bởi quan hệ
giữa các vectơ cơ sở a1 , a2 , a3 và các góc , ,  giữa các vectơ đó, như được vẽ trên
Hình 1.8

Hình 1.8
Đặc điểm của 7 hệ tinh thể.
a) Hệ tam tà: các vectơ cơ sở a1 , a2 , a3 có độ dài khác nhau, các góc , , 
khác nhau. Hệ chỉ đối xứng với phép nghịch đảo.
b) Hệ đơn tà: a1  a2  a3 ;     900 ,   900 . Hệ có một trục quay bậc hai
(song song với a2 ) và mặt phẳng phản xạ vuông góc với trục này.

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 16

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

c) Hệ thoi: a1  a2  a3 ;       900 . ô sơ cấp có dạng hình hộp chữ nhật. Hệ
có 3 trục quay bậc 2 vuông góc với nhauvà 3 mặt phẳng phản xạ vuông góc với các
trục quay.
d) Hệ tứ giác: a1  a2  a3 ;       900 , ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ
đứng, đáy vuông. Hai phương a1 và a2 tương đương nhau. Phương của a3 phân biệt
với hai phương trên có khi gọi là phương c .
Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương c , bốn trục bậc 2 vuông góc với trục bậc
4 và 5 mặt phẳng phản xạ.
đ) Hệ tam giác (hay hệ lăng trụ thoi): a1  a2  a3 ,       1200 ,  900 . Hệ
có một trục quay bậc 3, 3 trục bậc 2, cắt nhau dưới góc 600 và 3 mặt phẳng phản xạ
nằm giữa các trục bậc 2.
e) Hệ lục giác: ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy là hình thoi, có góc 600 . Tuy
nhiên, để nhấn mạnh đến tính đối xứng thuộc hệ lục giác, người ta thường gộp thêm
vào hai ô sơ cấp nữa, đặt lệch nhau 1200 , để có ô dưới dạng lăng trụ đứng, đáy lục
giác, có nút mạng ở tâm hai đáy. Ô này có a1  a2  a3 ( a3 gọi là c);     900 ,
  1200 .

Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau góc 300 , một mặt phẳng
phản xạ vuông góc với trục bậc 6 và sáu mặt phẳng chứa trục bậc 6 và một trục bậc 2
f) Hệ lập phương: a1  a2  a3 ,       900 . Ô sơ cấp là hình lập phương. Hệ
có ba trục quay bậc 4 qua tâm của các mặt đối diện, bốn trục quay bậc 3 trựng với các
đường chéo chính của hình lập phương, sáu trục quay bậc 2 qua điểm giữa của các
cạnh đối diện, sáu mặt phẳng phản xạ đi qua các cạnh đối diện, ba mặt phẳng phản xạ
chứa trục bậc 4 và song song với các mặt hình hộp và một số yếu tố đối xứng khác
nữa..
Với một mạng không gian nhất định, có thể có nhiều cách lựa chọn hệ trục tọa
độ, cũng tức là lựa chọn ô sơ cấp. Bao giờ người ta cũng chọn ô sơ cấp sao cho nó có
tính đối xứng cao nhất có thể có được. ô sơ cấp như vậy không nhất thiết chỉ chứa nút

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 17

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

mạng ở các đỉnh của nó, mà có thể ở bên trong thể tích (ô tâm khối) hoặc ở các mặt
bên (ô tâm mặt), và như vậy không nhất thiết mỗi ô chỉ chứa một nút mạng.

Hình 1.9
Với cách lựa chọn ô sơ cấp như vậy, trong 7 hệ tinh thể có tất cả 14 loại ô. Chúng
tạo thành 14 mạng Brave (Bravais). Các ô mạng được vẽ trên Hình 1.9.
1.2.5 Cấu trúc tinh thể
Bây giờ ta chuyển từ mạng không gian là mô hình mô tả là mô hình toán học trừu
tượng, sang cấu trúc tinh thể. Ta có được cấu trúc thực của tinh thể nếu ta đặt nguyên
tử hoặc nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hoặc gần mỗi nút mạng. Chẳng hạn, có thể
đặt các nguyên tử sao cho ở trạng thái cân bằng, hạt nhân của chúng nằm ở các nút
mạng không gian. Còn trong tinh thể hiđrô (ở thể rắn), tại mỗi nút mạng là một phân
tử H 2 . Trong các tinh thể phân tử, ở mỗi nút mạng là một phân tử có chứa hàng chục,
có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy gọi là gốc. Do
đó có thể viết một cách tượng trưng: mạng không gian + gốc = cấu trúc tinh thể. Và lí
do đó, cấu trúc tinh thể có thể có những yếu tố đối xứng mà mạng không gian không
có, đó là các trục xoắn ốc, và mặt phẳng trượt.

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 18

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

Nếu kết hợp đồng thời phép quay thông thường với phép tịnh tiến song song với
trục quay, thì ta được trục xoắc ốc. Trên Hình 1.9 là trục xoắn ốc bậc 4, với bước tịnh
tiến là

1
khoảng cách a giữa hai nút mạng (còn gọi là hằng số mạng a).
4

Mặt phẳng trượt xuất hiện từ sự kết hợp đồng thời phép phản xạ gương và gộp
song song với mặt phẳng phản xạ. Để bảo toàn tính đối xứng tịnh tiến, bước tịnh tiến
chỉ có thể là một nửa hằng số mạng (Hình 1.11).

Hình 1.10

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Hình 1.11

Trang 19

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

CHƯƠNG 2 DAO ĐỘNG CỦA MẠNG TINH THỂ
2.1 Lý thuyết cổ điểm về dao động điều hòa của mạng tinh thể
Trong tinh thể, các nguyên tử, phân tử không nằm cố định ở các nút mạng hoặc ở
các vị trí xác định, mà luôn thực hiện các dao động nhỏ quang các vị trí cân bằng. Ta
hãy xét tinh thể gồm N ô sơ cấp, mỗi ô sơ cấp có một nguyên tử khối lượng M. Năng
lượng dao động của tất cả các nguyên tử trong mạng tinh thể là:
E=K+U
Với

K

(2-1)

1 N 2
M  rn
2 n1


là động năng của các nguyên tử dao động, rn là độ lệch của nguyên tử khỏi nút
 

thứ n ứng với vectơ mạng R n , rn là vận tốc của nguyên tử ở nút R n . Còn:

  
U  U ( l1 , l 2 ,...l N )

(2-2)

Hình 2.1
Thế năng của hệ được tạo nên do tương tác (đẩy và hút) giữa các nguyên tử trong

tinh thể. Thế năng U là hàm của toạ độ từng nguyên tử ở từng thời điểm. Vectơ l n là
vectơ vị trí của nguyên tử thứ n: (Hình 2.1)




l n  R n  rn

(2-3)

Do đó



 


U  U (R1  r1 , R2  r2 ,...,R N  rN )

(2-4)



rn là độ dịch chuyển nhỏ quanh vị trí cân bằng R n , nên ta có thể phân tích U

thành chuỗi Taylo (Taylor) theo rn .

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 20

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

Biểu thức thế năng của các nguyên tử, phân tử trong tinh thể?
Trong hệ toạ độ Đêcac (Descartes), ta có:
N 3 
U
U  U 0    
n1  1  l n


1 N N 3 3   2 U 
 rn     
rn rm
2 n1 m11 1  l n l m 
0

(2-5)


rn có hình chiếu trên các trục là rn ;  = 1,2,3 ứng với x,y,z. Trong (2-5),
 

U  U (R1 , R 2 ,...R N ) là giá trị thế năng khi mọi hạt đều ở vị trí cân bằng (tức là nằm ở

các nút mạng, và mọi rn = 0) Chỉ số 0 kí hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng. Ta giới
hạn khai triển ở số hạng bậc 2, tức là xét ở phép gần đúng điều hoà.
Khi mọi nguyên tử đều nằm ở vị trí cân bằng, thế năng của hệ là cực tiểu. Do đó
các đạo hàm hạng nhất của thế năng U ở vị trí cân bằng bằng không:

U
0
l n

Nếu ta lấy gốc thế năng là giá trị U0, thì có thể bỏ qua số hạng không đổi đó. Biểu
thức (2-5) trở thành:
N 3 
U
U   
n1  1 l n


1 N N 3 3   2 U 
 rn    
rn rm
2 n1 m11 1  l n l m 

0

(2-6)

Thế năng, theo (2-6), chỉ chứa số hạng bậc hai theo độ dời, đó là các số hạng điều
hoà.
Biết hàm thế năng U, có thể xác định được lực tác dụng. Thành phần  của lực
tác dụng lên nguyên tử thứ m là:
Fm

N 3 
U
 2 U 


  
r

 n
rm
n1  1  l n l m 

(2-7)


Lực này phụ thuộc vào độ dịch chuyển rn của nguyên tử khác vào các hệ số có

  2U 
 . Hệ số này đặc trưng cho lực tương tác giữa hai nguyên tử thứ n và
dạng 

 l l 
n

m


0
thứ m. Nó không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của từng nguyên tử mà vào khoảng cách


giữa hai hạt khi chúng cùng ở vị trí cân bằng, tức là vào R n  Rm .Ta có thể viết:

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 21

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe



  2U 

  U  ( R n  R m )
 l l 
 n m  0

(2-8)

Biểu thức của định luật II Niutơn (Newton) cho nguyên tử thứ m theo (2-7) và (28) là các phương trình có dạng:
N 3


Mrm  Fm   U  ( R n  R m ).rn

(2-9)

n1  1

Để biết được chuyển động của mọi nguyên tử, ta cần phải giải một hệ các phương
trình vi phân liên hệ với nhau (dạng 2-9) có số phương trình rất lớn (3N phương trình)
2.2 Lý thuyết lượng tử về dao động điều hòa của mạng tinh thể
2.2.1 Lượng tử hóa dao động mạng
Trong cơ học cổ điển, phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa là:
mx   kx

(2-10)

hoặc nếu ta đặt

k
 2 , thì phương trình trở thành:
m

x  2x  0

(2-11)

Năng lượng toàn phần của dao động tử là tổng của động năng và thế năng :

EKU 

mx2 kx 2

2
2

(2-12)

Ta có thể biểu diễn nó qua tọa độ x và xung lượng p, và được hàm Hamintơn của
dao động tử:

H

p2 m2 2

x
2m
2

(2-13)

Trong cơ học lượng tử, việc xét chuyển động của dao động tử được thực hiện
bằng cách chuyển các biến số tọa độ và xung lượng thành các toán tử tương ứng xˆ và
pˆ , khi đó toán tử năng lượng toàn phần hay toán tử Hamintơn của dao động tử điều

hòa (lượng tử) là :
pˆ 2 m 2 2
Hˆ 

xˆ
2m
2

GVHD: Nguyễn Bá Thành

(2-14)

Trang 22

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe

Giải phương trình Srôđingơ ứng với toán tử Hamintơn này, ta tìm được biểu thức
cho năng lượng của dao động tử:
1

E n    n  
2


(2-15)

Trong đó n = 0, 1, 2, 3… Lưu ý rằng theo cơ học lượng tử, giá trị nhỏ nhất của
năng lượng dao động tử là

1
 , ứng với n = 0 và được gọi là năng lượng dao động
2

bậc không. Ở mục trên đã nói rằng có thể biểu diễn năng lượng dao động của các


nguyên tử trong tinh thể thông qua các tọa độ chuẩn Bs (q) . Tọa độ chuẩn Bs (q) mô tả

dao động của dao động tử điều hòa với tần số s q , với (2-11), ta thấy có thể xét bài
toán với tọa độ chuẩn theo quan niệm cơ học lượng tử như đã làm với tọa độ x. Ta thu
được năng lượng của mỗi dao động tử điều hòa lượng tử là:


1
Es q  s q nqs  
2


(2-16)

với nqs = 0,1,2,3,…
Năng lượng của cả tinh thể là tổng năng lượng của các dao động tử điều hòa,
được xác định bởi:



E   Es q

q

(2-17)


s

2.2.2 Phônôn
Việc nghiên cứu các tính chất của tinh thể gặp khó khăn vì phải xác định chuyển
động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau. Vì vậy cần thiết phải
áp dụng các phương pháp gần đúng. Một trong các phương pháp đó là phương pháp
chuẩn hạt.
Theo phương pháp này, ta coi trạng thái kích thích của tinh thể như là trạng thái
của một khối khí lý tưởng gồm các kích thích sơ cấp không tương tác nhau. Các kích
thích đó mô tả chuyển động tập thể của các nguyên tử chứ không phải là chuyển động
của từng nguyên tử riêng lẻ. Các kích thích sơ cấp chuyển động trong thể tích của tinh
thể như là các chuẩn hạt có năng lượng và xung lượng xác định. Năng lượng của trạng
thái kích thích của vật rắn là tổng năng lượng của các chuẩn hạt.

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 23

SVTH: Bùi Trần Tuấn


Luận văn tốt nghiệp

Sự dãn nở vì nhiệt của chất rắn với bộ thí nghiệm của phywe


E   εp.np

(2-18)


p



với np là số chuẩn hạt có xung lượng p và năng lượng p .
Các tính chất của chuẩn hạt
Khác với các hạt thông thường, chuẩn hạt không tồn tại ngoài các vật thể. Sự tồn
tại của chúng có quan hệ chặt chẽ với một cấu trúc xác định của vật thể vĩ mô. Khi cấu
trúc đó bị mất đi (chẳng hạn như khi có chuyển pha), thì chuẩn hạt tương ứng cũng
mất đi.
Ta hãy nêu một số tính chất của chuẩn hạt trong vật thể. Năng lượng của khí
chuẩn hạt được xác định bởi:

E   εf ε, T Zε dε

(2-19)

trong đó f , T  là hàm phân bố, cho ta biết số lượng trung bình của các chuẩn
hạt ở trạng thái có năng lương  và nhiệt độ T,

1
Z  là mật độ trạng thái. Đại lượng

V

Z  d xác định số trạng thái trong hệ ở khoảng năng lượng từ  đến  + d.



- Vận tốc của chuẩn hạt là: v  gradp p

(2-20)



- Mật độ dòng chuẩn hạt là: j   np gradp p

(2-21)


p


- Xung lượng toàn phần của khí chuẩn hạt là: P   np

p

(2-22)

Chuẩn hạt cũng mang theo năng lượng. Mật độ dòng năng lượng mà các chuẩn
hạt chuyển tải được xác định bởi:



 
U   np pgradpp

(2-23)


p

Giả thiết rằng chuẩn hạt không tương tác với nhau chỉ là gần đúng. Ở các phép
gần đúng bậc cao hơn, có thể có tương tác giữa các chuẩn hạt, nghĩa là khí chuẩn hạt
không còn là khí lý tưởng nữa. Khi đó trạng thái của chuẩn hạt chỉ là chuẩn dừng. Nếu
thời gian sống của chuẩn hạt là  thì độ bất định về năng lượng của chuẩn hạt:

GVHD: Nguyễn Bá Thành

Trang 24

SVTH: Bùi Trần Tuấn