Tính giãn nở của các G - Khung đối ngẫu

1 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TẠ VĂN MẠNH

TÍNH GIÃN NỞ
CỦA CÁC G - KHUNG ĐỐI NGẪU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


2 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TẠ VĂN MẠNH

TÍNH GIÃN NỞ
CỦA CÁC G - KHUNG ĐỐI NGẪU

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN QUỲNH NGA

Hà Nội - 2017

kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


3 of 128.

Lời cảm ơn
Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành tới TS. Nguyễn Quỳnh Nga, người
đã tận tình truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn
này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã luôn cổ vũ, động viên tôi
trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng xin cám ơn các anh chị học viên
lớp K19 Toán Giải tích và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Hà Nội, tháng 8 năm 2017
Tác giả

Tạ Văn Mạnh

i
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


4 of 128.

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực
và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 8 năm 2017
Tác giả

Tạ Văn Mạnh

ii
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


5 of 128.

Mục lục
Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Các ký hiệu

1

Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert . . . . .

5

1.2

Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao . . . . . . . . . .

8

1.3

Tổng trực tiếp của các không gian Hilbert . . . . . . . . . .

9

2 Tính giãn nở của các khung đối ngẫu
2.1

11

Khái niệm và một số tính chất cơ bản của khung và cơ sở
Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Tính chất bù nhau và rời nhau của các khung . . . . . . . . 22

2.3

Tính giãn nở của các khung đối ngẫu . . . . . . . . . . . . 25

3 Tính giãn nở của các g – khung đối ngẫu
3.1

31

Khái niệm và một số tính chất cơ bản của g – khung và g –
cơ sở Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2

Tính chất bù nhau và rời nhau của các g – khung . . . . . . 40

3.3

Tính giãn nở của các g – khung đối ngẫu . . . . . . . . . . 46

Kết luận

56

iii
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag

6 of 128.

Tài liệu tham khảo

57

iv
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


7 of 128.

Các ký hiệu

N

tập các số tự nhiên

Z

tập các số nguyên

R

tập các số thực

C

tập các số phức

I

tập đếm được như N, Z, Z2 , N ∪ N, . . .

H, K

các không gian Hilbert khả ly

., .

H

f

tích vô hướng của H
chuẩn của vecto f

B (H, K)

tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K

B (H)

tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào H

l2 (I)

không gian các dãy số thực hoặc phức sao cho
chuỗi bình phương các modul hội tụ.

F

khung trong không gian Hilbert H

F

khung đối ngẫu chính tắc của F

TF

toán tử tổng hợp của khung F

TF∗

toán tử liên hợp của TF (toán tử phân tích)

SF

toán tử khung của khung F

Λ

g - khung của H đối với {Hi }i∈I
(gọi tắt là g - khung của H).

TΛ

toán tử tổng hợp của g - khung Λ

TΛ∗

toán tử liên hợp của TΛ
(toán tử phân tích của g - khung Λ).

1
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


8 of 128.

SΛ

toán tử g - khung của g - khung Λ

span(E)

bao tuyến tính của tập E

Range(T )

miền giá trị của toán tử T

2
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


9 of 128.

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài

Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi R. J. Duffin và A. C. Schaeffer
[7]. Tuy nhiên cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của
khung cho đến khi bài báo của I. Daubechies, A. Grossman và Y. Meyer
[6] ra đời vào năm 1986. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu,
hình ảnh, lý thuyết mật mã, nén dữ liệu,. . .
Gần đây có một số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được
đưa ra như khung của các không gian con [4] (Frame of subspaces), khung
nghiêng [6] (Oblique frame),.... Tất cả các khái niệm này đều đã được
chứng minh là hữu ích trong nhiều ứng dụng. Các khái niệm này đều có
thể xem như các trường hợp đặc biệt của g - khung (được đưa ra bởi W.
Sun [12] năm 2006) và nhiều tính chất cơ bản của khung vẫn còn đúng cho
g - khung, ví dụ như tính giãn nở của khung đối ngẫu thành cơ sở Riesz
đối ngẫu.
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về tính giãn nở của các g - khung
đối ngẫu trong không gian Hilbert, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình
của cô giáo, TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã chọn “ Tính giãn nở của các
g - khung đối ngẫu " làm đề tài luận văn tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về tính giãn nở của các g khung đối ngẫu, một số tính chất cơ bản của g - khung và g - cơ sở Riesz,
tính chất bù nhau và rời nhau của các g - khung trong không gian Hilbert.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về tính giãn nở của các g - khung đối ngẫu trong không gian

3
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


10 of 128.

Hilbert.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung và
cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, tính chất bù nhau và rời nhau của
các khung, tính giãn nở của các khung đối ngẫu. Khái niệm và các ví dụ
về g - khung và g - cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử g - khung
và g - khung đối ngẫu, tính chất bù nhau và rời nhau của các g - khung,
tính giãn nở của các g - khung đối ngẫu.

4.2. Phạm vi nghiên cứu
Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tính giãn
nở của các g - khung trong không gian Hilbert.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề. Thu
thập tài liệu các bài báo về g - khung trong không gian Hilbert. Tổng hợp,
phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.

6. Đóng góp của luận văn
Trình bày tổng quan về tính giãn nở của các g - khung đối ngẫu trong
không gian Hilbert.

4
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


11 of 128.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này dành để trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản
của giải tích hàm sẽ được sử dụng ở các chương sau. Nội dung của chương
này được trích dẫn từ các tài liệu [5], [10].

1.1

Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian
Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Cho H, K là các không gian Hilbert, T : H → K là
toán tử tuyến tính. Khi đó, ta nói T là toán tử tuyến tính liên tục từ H
vào K khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0 sao cho

T x ≤ c x , ∀x ∈ H.

(1.1)

Ký hiệu B(H, K) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ
H vào K. Khi H = K thì B(H, K) được ký hiệu đơn giản là B(H).
Chuẩn của T ∈ B(H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
mãn (1.1). Nói một cách tương đương,

T = sup { T x : x ∈ H, x ≤ 1}
= sup { T x : x ∈ H, x = 1} .

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử H, L, K là các không gian Hilbert. Nếu T ∈ B(H, K)
thì tồn tại duy nhất một toán tử T ∗ ∈ B(K, H) sao cho

5
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


12 of 128.

T ∗ x, y = x, T y , (x ∈ K, y ∈ H).
Hơn nữa,
(1) (aS + bT )∗ = a
¯ S ∗ + ¯b T ∗ .
(2) (RS)∗ = S ∗ R∗ .
(3) (T ∗ )∗ = T.
(4) I ∗ = I.
(5) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 , trong
đó S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) và a, b ∈ C.
Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.1.2 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T .
Mệnh đề 1.1.3 Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K, L). Khi đó
(1) T x ≤ T

x , ∀x ∈ H.

(2) ST ≤ S

T .

(3) T = T ∗ .
(4) T ∗ T = T

2

.

Cho T ∈ B(H, K), trong đó H, K là các không gian Hilbert. Ta ký hiệu
Ker T = {x ∈ H : T x = 0} ,
Range T = y ∈ K : y = T x với x ∈ H .

Mệnh đề 1.1.4 Giả sử T ∈ B(H). Khi đó
H = Ker(T ) ⊕ Range(T ∗ ) = Ker(T ∗ ) ⊕ Range(T ).
Định nghĩa 1.1.5 Cho T, K ∈ B(H). Ta nói
(1) T là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T.

6
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


13 of 128.

(2) T là unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I.
(3) T là toán tử dương nếu T x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H. Ký hiệu T ≥ 0.
(4) T ≥ K nếu T − K ≥ 0.
Chú ý rằng với mỗi T ∈ B(H) thì T ∗ T x, x = T x, T x ≥ 0, ∀x ∈ H.
Do đó T ∗ T là toán tử dương.
Mệnh đề 1.1.6 Giả sử T, S ∈ B(H). Khi đó các điều kiện sau là tương
đương
(1) T là toán tử dương.
(2) T = S 2 trong đó S là toán tử dương.
Toán tử S trong (2) là duy nhất và được gọi là căn bậc 2 của T , ký
1

hiệu T 2 .
Mệnh đề 1.1.7 Cho T ∈ B (H, K). Khi đó T là toàn ánh khi và chỉ khi
tồn tại c > 0 sao cho

T ∗ f ≥ c f , ∀f ∈ K.
Định lý 1.1.8 Cho T ∈ B (H) và I − T < 1. Khi đó T khả nghịch.
Mệnh đề 1.1.9 Giả sử T ∈ B(H). Khi đó
(1) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu T x, x là thực với mọi x ∈ H. Đặc
biệt, toán tử dương là tự liên hợp.
(2) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H.

7
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


14 of 128.

1.2

Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao

Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng, có thể định nghĩa khái
niệm trực giao của hai vectơ, của một vectơ với một tập hay của hai tập
hợp như sau:
Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một không gian Hilbert, u, v ∈ H và M, N
là các tập con của H. Ta nói
(1) u trực giao với v nếu u, v = 0.
(2) u trực giao với M nếu u, x = 0 với mọi x ∈ M.
(3) M trực giao với N nếu x, y = 0 với mọi x ∈ M, y ∈ N.

Ký hiệu M ⊥ là tập hợp tất cả các vectơ trong H và trực giao với M .
Mệnh đề 1.2.2 Cho M là một không gian con đóng của một không gian
Hilbert H. Bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách
duy nhất dưới dạng x = y + z với y ∈ M và z ∈ M ⊥ , trong đó y là phần
tử của M gần x nhất, tức là x − y ≤ x − u với mọi u ∈ M.

M ⊥ được gọi là phần bù trực giao của M trong H. Ta viết H =
M ⊕ M ⊥.
Phương trình P (y + z) = y, (y ∈ M, z ∈ M ⊥ ) xác định một toán tử
tuyến tính P : H → M . Khi đó P được gọi là phép chiếu trực giao từ
H lên M . Chú ý rằng I − P là phép chiếu trực giao từ H lên M ⊥ và

(I − P )(y + z) = z, (y ∈ M, z ∈ M ⊥ ).
Do y, z = 0 khi y ∈ M và z ∈ M ⊥ , ta có

P (y + z)

2

= y

2

≤ y

2

+ z

2

= y+z

2

⇒ P (y + z) ≤ y + z .
Do đó P bị chặn với P ≤ 1. Lại có

P (y + z), y + z = y, y + z = y

2

≥0

8
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


15 of 128.

nên P cũng là toán tử dương (do đó P là tự liên hợp). Do P y = y với mọi

y ∈ M, P = 1 trừ trường hợp M = {0} và P = 0.
Chú ý rằng P 2 = P và M = {P x : x ∈ H} = {y ∈ H : P y = y} và

M ⊥ = {z ∈ H : P z = 0} .
Ngược lại, giả sử P ∈ B(H) và P 2 = P = P ∗ . Khi đó P là phép chiếu
trực giao từ H lên M = {P x : x ∈ H}.
Như vậy có một quan hệ 1 − 1 giữa các không gian con đóng M của
một không gian Hilbert H và các phép chiếu trực giao trên H.

Mệnh đề 1.2.3 Cho M và N là các không gian con đóng của không gian
Hilbert H. Gọi P và Q là các phép chiếu trực giao từ H lên M và N tương
ứng. Khi đó

P − Q = max sup Q⊥ g , sup P ⊥ h
g∈M, g =1

1.3

.

h∈N, h =1

Tổng trực tiếp của các không gian Hilbert

Khi H1 , . . . , Hk là các không gian Hilbert và K là tập tất cả các bộ

{x1 , . . . , xk } với xi ∈ Hi (i = 1, . . . , k), ta có một cấu trúc không gian
Hilbert trên K, trong đó các toán tử đại số, tích vô hướng và chuẩn được
định nghĩa bởi

a {x1 , . . . , xk } + b {y1 , . . . , yk } = {ax1 + by1 , . . . , axk + byk } ,
{x1 , . . . , xk } , {y1 , . . . , yk } = x1 , y1 + · · · + xk , yk ,
{x1 , . . . , xk } =

x1

2

+ · · · + xk

2

1
2

.

Không gian Hilbert K được gọi là tổng trực tiếp của H1 , . . . , Hk và
được ký hiệu bởi H1 ⊕ · · · ⊕ Hk hoặc

k

⊕Hi .

i=1

Với mỗi i = 1, . . . , k , tập Hi bao gồm những bộ k có các thành phần
bằng không ngoại trừ vị trí thứ i, là một không gian con đóng của H1 ⊕

· · ·⊕Hk . Ánh xạ Ui : Hi → Hi , định nghĩa bởi Ui x = {0, . . . , 0, x, 0, . . . , 0}

9
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


16 of 128.

(với x ở vị trí thứ i) là một đẳng cấu từ Hi vào Hi . Các không gian con
H1 , . . . , Hk trực giao với nhau từng đôi một và

k
i=1

Hi = K, trong đó

ký hiệu là không gian con đóng nhỏ nhất chứa mỗi Hi .

k
i=1

Hi

Giả sử rằng H1 , . . . , Hk là các không gian con trực giao với nhau từng
k

đôi một của không gian Hilbert H và

Hi = H. Khi đó, các cặp phép

i=1

chiếu trực giao tương ứng P1 , . . . , Pk có tổng I . Toán tử tuyến tính U : H →
K, được định nghĩa bởi U x = {P1 x, . . . , Pk x}, ánh xạ Hi lên Hi (i =

1, . . . , k) và H lên K (= H1 ⊕ · · · ⊕ Hk ), và là một unita do
k

Ux

2

=

2

k

Pi x

2

=

i=1

Pi x

= x

2

(x ∈ H).

i=1

Nghịch đảo của nó U −1 mang {x1 , . . . , xk } của K vào x1 + · · · + xk . Nhờ
đẳng cấu này, ta xem H như một tổng trực tiếp "trong" của H1 , . . . , Hk
và K như tổng trực tiếp "ngoài"; thỉnh thoảng, ta đồng nhất H với K và
Hi với Hi .

Nếu Hi , Ki là các không gian Hilbert và Ti ∈ B(Hi , Ki ) (i = 1, . . . , k),
đẳng thức T {x1 , . . . , xk } = {T1 x1 , . . . , Tk xk } (x1 ∈ H1 , . . . , xk ∈ Hk ) định
nghĩa một toán tử tuyến tính T từ H1 ⊕ · · · ⊕ Hk vào K1 ⊕ · · · ⊕ Kk , được
k

⊕Ti của T1 , . . . , Tk .

gọi là tổng trực tiếp
i=1

Ta có thể kiểm tra được rằng:
k

⊕Ti = sup { Ti : i = 1, . . . , k} ,

1)
i=1
k

k

k

⊕ (aSi + bTi ) = a

2)
i=1

k
i=1

⊕Si
i=1

⊕Ti ,
i=1

k

k

⊕Ri

3)

⊕Si + b
i=1

⊕Ri Si ,

=
i=1

trong đó Si , Ti ∈ B(Hi , Ki ), Ri ∈ B(Ki , Li ) và a, b ∈ C.

10
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


17 of 128.

Chương 2
Tính giãn nở của các khung đối
ngẫu
Trong chương 2 chúng ta sẽ nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert và các tính chất cơ bản của chúng. Hơn nữa chúng ta
sẽ đi sâu vào nghiên cứu tính chất bù nhau và rời nhau của các khung,
tính giãn nở của các khung đối ngẫu. Nội dung của chương này được trích
dẫn từ các tài liệu [3], [5], [9].

2.1

Khái niệm và một số tính chất cơ bản của khung
và cơ sở Riesz

Cho H là một không gian Hilbert khả ly và I là tập chỉ số đếm được.
Định nghĩa 2.1.1 Dãy {fi }i∈I trong H được gọi là dãy Bessel nếu

| f, fi |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H.

∃ B > 0:
i∈I

B được gọi là cận Bessel của {fi }i∈I .
Định nghĩa 2.1.2 Một dãy {fi }i∈I trong H được gọi là một khung nếu
tồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho

A f

2

| f, fi |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H.

≤

(2.1)

i∈I

11
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


18 of 128.

Các số A, B được gọi là các cận của khung. Chúng không là duy nhất.
Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng của tất cả các cận trên của khung
và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng của tất cả các cận dưới của
khung.
Khung {fi }i∈I được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval
nếu A = B = 1.
Ví dụ 2.1.3 Lấy H = R2 , I = {1, 2, 3} , e1 = (1, 0) , e2 =

√
3
1
,−
.
e3 =
2

2
Với x = (x1 , x2 ) ∈ R2 bất kì, ta có
2

| x, ei | =
i∈I

x21

+

√
1
3
x1 +
x2
2
2

2

+

√
1 3
,
,
2 2

√

1
3
x1 −
x2
2
2

2

3 2
x1 + x22
2
3
= x 2.
2

=

Vậy {e1 , e2 , e3 } là khung chặt với cận khung là

3
.
2

Ví dụ 2.1.4 Giả sử {ei }∞
i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó ta có
các khẳng định sau:
(1) {ei }∞
i=1 là khung Parseval. Điều này suy ra từ tính chất của cơ sở trực
chuẩn, f

2

∞

=

| f, ei |2 với mọi f ∈ H.

i=1

(2) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ei }∞
i=1 hai lần ta thu được
∞
{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , . . . }. Khi đó {fk }k=1 là khung chặt với cận

khung A = 2.
∞

2

∞

| f, fk | = 2

Thật vậy, ta có
k=1

| f, ek |2 = 2 f 2 , ∀f ∈ H.

k=1

Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , . . . } khi đó

12
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


19 of 128.

{fk }∞
k=1 là khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có
∞

∞
2

| f, ek |2

2

| f, fk | = | f, e1 | +
k=1

k=1

∞

∞

| f, ek |2

2

| f, ek | +

≤

k=1

k=1
∞

| f, ek |2

=2
k=1

= 2 f 2.
Mặt khác | f, e1 |2 +

∞

| f, ek |2 ≥

k=1

Do đó

∞

| f, ek |2 = f 2 .

k=1
∞

f

2

| f, fk |2 ≤ 2 f 2 , ∀f ∈ H.

≤
k=1

Vì vậy {fk }∞
k=1 là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận
khung trên là 2.
Mệnh đề 2.1.5 Cho một dãy {fj }m
j=1 trong không gian Hilbert H. Khi đó
m
{fj }m
j=1 là một khung cho span {fj }j=1 .

Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng
m

không. Ta thấy ngay điều kiện khung trên là thỏa mãn với B =

fj 2 .

j=1

Ký hiệu V :=

span {fj }m
j=1 .

Khi đó V cùng với tích vô hướng trên H là

một không gian Hilbert hữu hạn chiều. Xét ánh xạ liên tục
m

| f, fj |2 .

Φ : V → R, Φ (f ) :=
j=1

Mặt cầu đơn vị trong V là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ V với g = 1
sao cho
m

| g, fj |2 = inf

A :=
j=1





m



j=1



2
| f, fj | : f ∈ V, f = 1 .


13
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


20 of 128.

Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy f ∈ V, f = 0, ta có
m

m
2

| f, fj | =
j=1

j=1

f
, fj
f

2

f

2

≥ A f 2.

Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 2.1.6 Dãy {fi }i∈I được gọi là đầy đủ trong H nếu span {fi }i∈I

= H.
Bổ đề 2.1.7 Nếu {fi }i∈I là một khung của H thì {fi }i∈I là một dãy đầy
đủ trong H.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g = 0 thuộc H
sao cho g ⊥ span {fi }i∈I . Khi đó g, fi = 0, ∀i ∈ I. Khi đó

| g, fi |2 =
i∈I

0. Mặt khác, do {fi }i∈I là một khung nên tồn tại 0 < A < +∞ sao cho
A f

2

| f, fi |2 , ∀f ∈ H. Cho f = g ta được A g

≤
i∈I

2

| g, fi |2 =

≤
i∈I

0. Do g = 0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên chứng tỏ span {fi }i∈I = H.
Định lý sau cho ta đặc trưng một dãy Bessel thông qua một toán tử
tuyến tính bị chặn.
Định lý 2.1.8 Giả sử F = {fi }i∈I là một dãy trong H. Khi đó {fi }i∈I là
một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi

TF : {ci }i∈I →

ci fi
i∈I

là toán tử hoàn toàn xác định, bị chặn từ l2 (I) vào H và TF ≤

√

B.

Từ định lý trên ta suy ra hệ quả sau.

Hệ quả 2.1.9 Nếu {fi }i∈I là một dãy trong H và

{ci }i∈I ∈ l2 (I) thì {fi }i∈I là một dãy Bessel.

ci fi hội tụ với mọi
i∈I

gi trong không gian Banach X được gọi là

Định nghĩa 2.1.10 Chuỗi
i∈I

gσ(i) hội tụ tới cùng một phần tử với mọi

hội tụ không điều kiện nếu
i∈I

hoán vị σ.

14
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


21 of 128.

Hệ quả 2.1.11 Nếu {fi }i∈I là một dãy Bessel trong H thì
không điều kiện với mọi {ci }i∈I ∈ l2 (I) .

ci fi hội tụ
i∈I

Do một khung F = {fi }i∈I là một dãy Bessel nên toán tử

TF : l2 (I) → H, TF {ci }i∈I =

ci fi
i∈I

bị chặn theo Định lý 2.1.8. TF thường được gọi là toán tử tổng hợp của
khung F .
Gọi TF∗ : H → l2 (I) là toán tử liên hợp của TF và {ei }i∈I là cơ sở trực
chuẩn chính tắc của l2 (I) (tức là hệ bao gồm các vecto ei bằng 1 ở vị trí
thứ i và bằng 0 ở tất cả các vị trí còn lại).
Ta chú ý rằng theo định nghĩa thì TF (ei ) = fi với mọi i ∈ I.
Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi i ta có

TF∗ f, ei = f, TF ei = f, fi .
Từ đó TF∗ f = { f, fi }i∈I . Toán tử TF∗ thường được gọi là toán tử phân
tích.
Định lý sau cho phép ta đặc trưng một khung thông qua toán tử tổng
hợp và toán tử phân tích của nó.
Định lý 2.1.12 Cho F = {fi }i∈I là một dãy trong không gian Hilbert H.
Khi đó các điều sau là tương đương
(1) F là một khung của H.
(2) Toán tử tổng hợp TF là bị chặn từ l2 (I) lên H.
(3) Toán tử phân tích TF∗ là bị chặn, đơn ánh với miền giá trị đóng.
Hợp thành của toán tử TF và TF∗ được gọi là toán tử khung

SF : H → H, SF f = TF TF∗ f =

f, fi fi .
i∈I

15
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


22 of 128.

Mệnh đề sau đây cho ta các tính chất của toán tử khung SF và mối liên
hệ giữa các cận của khung đối ngẫu chính tắc và các cận của khung ban
đầu cũng như mối liên hệ giữa toán tử khung của khung đối ngẫu chính
tắc với toán tử khung của khung ban đầu.
Mệnh đề 2.1.13 Giả sử F = {fi }i∈I là một khung với toán tử khung SF
và các cận khung A, B . Khi đó ta có khẳng định sau.
(1) SF tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương;
(2)

SF−1 fi

i∈I

là khung với các cận B −1 , A−1 , nếu A, B là các cận tối ưu

của {fi }i∈I thì các cận B −1 , A−1 là tối ưu của
khung của SF−1 fi
Khung SF−1 fi

i∈I

i∈I

SF−1 fi

là SF−1 .

i∈I

. Toán tử

được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của {fi }i∈I .

Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan
trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {fi }i∈I là một khung của H thì mọi phần
tử trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các phần
tử khung. Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.
Định lý 2.1.14 Giả sử F = {fi }i∈I là một khung với toán tử khung là

SF . Khi đó
f, fi SF−1 fi , ∀f ∈ H,

f, SF−1 fi fi =

f=

i∈I

i∈I

các chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H.

Chứng minh. Giả sử f ∈ H. Sử dụng các tính chất của toán tử khung
trong Mệnh đề 2.1.13 ta có

f = SF SF−1 f =

SF−1 f, fi fi =
i∈I

Do {fi }i∈I là một dãy Bessel và

B SF−1

2

f

2

f, SF−1 fi fi , ∀f ∈ H.
i∈I

i∈I

f, SF−1 fi

< ∞, theo Hệ quả 2.1.11 chuỗi
i∈I

2

=

i∈I
−1
f, SF fi

SF−1 f, fi

2

≤

fi hội tụ không

16
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


23 of 128.

điều kiện.
Mặt khác f = SF−1 SF f = SF−1
Do

SF−1 fi i∈I

f, fi fi

=

i∈I

i∈I

f, fi SF−1 fi .

là một khung do đó cũng là dãy Bessel và { f, fi } ∈ l2 (I)

nên theo Hệ quả 2.1.11 chuỗi
i∈I

f, fi SF−1 fi hội tụ không điều kiện.

Định nghĩa 2.1.15 Hai khung {fi }i∈I và {gi }i∈I của không gian Hilbert
H được gọi là đối ngẫu nhau nếu với mọi f ∈ H ta có

f=

f, gi fi .

(2.2)

i∈I

Từ Định lý 2.1.14 ta suy ra {fi }i∈I và SF−1 fi

i∈I

là đối ngẫu nhau.

Bổ đề 2.1.16 Giả sử {fi }i∈I và {gi }i∈I là hai dãy Bessel trong H. Khi đó
các điều kiện sau là tương đương

f, gi fi , ∀f ∈ H.

(1) f =
i∈I

f, fi gi , ∀f ∈ H.

(2) f =
i∈I

Trong trường hợp các điều kiện tương đương trên được thỏa mãn, {fi }i∈I
và {gi }i∈I là các khung đối ngẫu nhau của H.
Chứng minh. Điều kiện (1) tương đương với TF TG∗ = I , trong đó TF , TG
ký hiệu là các toán tử tổng hợp của F = {fi }i∈I và G = {gi }i∈I . Điều
kiện (2) tương đương với TG TF∗ = I . Hiển nhiên TF TG∗ = I tương đương
với TG TF∗ = I . Bây giờ giả sử các điều kiện (1), (2) được thỏa mãn.
Ta cần kiểm tra {fi }i∈I , {gi }i∈I là các khung. Do f = TF TG∗ (f ) ≤
√
TF TG∗ (f ) ≤ B TG∗ (f ) , trong đó B là cận Bessel của dãy {fi }i∈I ,
1
theo Định lý 2.1.8 nên TG∗ (f ) ≥ √
f . Theo Mệnh đề 1.1.7, TG là
B
toàn ánh. Từ đó theo Định lý 2.1.12 suy ra {gi }i∈I là khung của H. Tương
tự {fi }i∈I là khung của H. Theo định nghĩa, {fi }i∈I , {gi }i∈I là các khung
đối ngẫu nhau của H.

17
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


24 of 128.

Mệnh đề 2.1.17 Cho {fi }i∈I là một khung trong H với toán tử khung SF .
Khi đó

−1

SF 2 fi

là khung Parseval của H.

i∈I

Chứng minh. Với mọi f ∈ H ta có
−1

−1

−1

−1

f = SF 2 SF SF 2 f = SF 2

SF 2 f, fi fi
i∈I

−1

−1

SF 2 f, fi SF 2 fi

=
i∈I

−1

=

−1

f, SF 2 fi SF 2 fi .
i∈I

Lấy tích vô hướng của cả 2 vế với f ta có

f

2

−1

−1

f, SF 2 fi SF 2 fi , f

= f, f =
i∈I

−1

f, SF 2 fi

=

−1

SF 2 fi , f

i∈I
− 12
f, SF fi

=

2

.

i∈I
−1

Từ đó SF 2 fi

i∈I

là khung Parseval của H.

Bổ đề 2.1.18 Một dãy F = {fi }i∈I trong H là một khung của H với các
cận A, B khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn.
(1) {fi }i∈I là đầy đủ trong H;
(2) Toán tử tổng hợp TF hoàn toàn xác định trên l2 (I) và

|ci |2 ≤ TF {ci }i∈I

A
i∈I

2

|ci |2 , ∀{ci }i∈I ∈ (Ker TF )⊥

≤B
i∈I

trong đó Ker TF ký hiệu là hạt nhân của TF .
Định nghĩa 2.1.19 Dãy F = {fi }i∈I được gọi là một cơ sở Riesz trong
H nếu span {fi }i∈I = H và tồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho

18
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag


25 of 128.

với mỗi dãy số hữu hạn {ci }i∈I (tức là dãy số mà chỉ có một số hữu hạn

các thành phần khác không) ta có
2
2

|ci | ≤

A
i∈I

ci fi

|ci |2

≤B

i∈I

(2.3)

i∈I

Theo [5] thì nếu (2.3) đúng với mọi dãy số hữu hạn {ci }i∈I thì nó cũng
đúng với mọi dãy số {ci }i∈I ∈ l2 (I) .
Các số A, B được gọi là cận dưới và trên tương ứng của cơ sở Riesz

{fi }i∈I .
Định lý 2.1.20 Một cơ sở Riesz {fi }i∈I của H là một khung của H và
các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung. Cơ sở Riesz đối ngẫu là

SF−1 fi

i∈I

.

Mệnh đề 2.1.21 Dãy {fi }i∈I là cơ sở Riesz khi và chỉ khi {fi } là một

ci fi = 0 với ci ∈ l2 (I) thì ci = 0 với mọi i ∈ I.

khung và nếu
i∈I

Mệnh đề 2.1.22 Mỗi cơ sở Riesz là ảnh của một cơ sở trực chuẩn dưới
một toán tử khả nghịch bị chặn. Mỗi khung là ảnh của một khung Parseval
dưới một toán tử khả nghịch bị chặn T với cận trên và cận dưới của khung
tương ứng là T

2

và T −1 2 .

Bổ đề 2.1.23 Cho H là không gian Hilbert và K là không gian con đóng
của H. Gọi P là phép chiếu trực giao từ H lên K và {ei }i∈I là một cơ sở
trực chuẩn của H. Khi đó {P ei }i∈I là một khung Parseval của K.
Chứng minh. Gọi f là một phần tử thuộc K bất kỳ. Khi đó P f = f .
Ta có

| f, P ei |2 =
i∈I

| P f, ei |2 =
i∈I

| f, ei |2 = f 2 .
i∈I

Do đó {P ei }i∈I là một khung Parseval của K.
Bằng cách chứng minh tương tự, thậm chí ta còn có thể nhận được kết
quả tổng quát hơn sau.

19
kho tai lieu -123doc-doc-luan an - luan an tien si -luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Pag