Tính toán áp lực đất theo rankine và columb

TÍNH TOÁN ÁP LỰC ĐẤT

Trong đó:
γ : khối lượng riêng của đất sau tường chắn KN/m 3. nếu
thấp hơn mức nước ngầm thì đó chính là dung trọng nổi .
H: chiều sâu mặt đất đắp cần tính (m).
ϕ: góc ma sát trong của đất đắp – xác đònh theo kết quả
thí nghiệm. Nếu không có kết quả thí nghiệm có thể tham
khảo của bảng dưới.
Ka: hệ số áp lực đất chủ động; K a=tg2(450-ϕ/2). Trò số Ka có
thể thm khảo bảng hệ số áp lực đất K a.Kp trang kế tiếp. Nếu

-1-

(H-zo)/3

H/3

H

zo

Trong thi công đào đất, khi tạo mái dốc thành hố đào, gia
cường chống sụt lở cho vách thành hố đào, đào đất thi công
tường chắn đất hoặc tường tầng hầm nhà cao tầng… chúng ta
đều phải tính toán áp lực đất của thành hố đào.
Tính toán áp lực đất có hai phương pháp tính toán chủ
yếu:
Phương pháp tính toán của W.J.M Rankine.
Phương pháp tính toán của C.A. Coulomb.
Phương pháp tính của Coulomb giản đơn, phạm vi sử dụng

tương đối rộng rãi.
Phương pháp tính của Rankine cũng giản đơn, dễ ứng dụng,
nói chung người thi công lập biện pháp sử dụng tương đối
nhiều.
I. Tính toán áp lực đất theo phương pháp Rankine:
1. Tính áp lực đất
chủ động:
2c Ka
Đất
giáp
lưng
d
tường thẳng đứng, đất
trên đỉnh tường ngang
phẳng, bỏ qua lực ma
a
sát giữa đất và mặt
đứng của tường chắn,
cường độ áp lực đất
chủ động Pa được tính
b
c
như công thức dưới
γ. H.Ka
γ.
H.K
a
đây.
p
(a) Tường chắn tính á

ù
p lực đấ
t dính
(c) Á
ù
p lực đấ
t khô
ng
(b) Á
lực chủđộ
ng
Đối
với
đất
dính
không dính:
Hình 1: Biể
u đồá
p lực đấ
t.
ϕ
Pa = γHtg 2 (45 0 − ) = γHK a
2
Đối với đất dính:
ϕ
ϕ
Pa = γHtg 2 (450 − ) − 2ctg (450 − )
2
2
Pa = γHK a − 2c K a

không có thông số ϕ để tra cứu Ka và Kp thì ta có thể lấy giá
trò Ka như sau:
Đất không dính Ka=0,4-0,5
Đất dính đất sét Ka=0,5-0,6
c: lực dính kết của đất đắp (KN/m2)

Góc ma sát trong của một số loại đất.
Loại
đất

Đất
cát
bột

Đất
cát
mòn

Đất
cát
vừa

Đá
dăm

Đất
dính

ϕ0 góc
ma sát
trong

Cát
thô,
sỏi đá
cuội

150-200

200-300

250-350

300-400

400-450

100-300

Với chiều cao tường chắn là H, tổng áp lực đất chủ động
của đất Ea trên suốt chiều cao của tường được tính theo công
thức dưới đây:
- Với đất không dính:
1
ϕ
1
E a = γH 2 tg 2 (45 0 − ) = γH 2 K a
2

2
2
Ea ở tại trọng tâm của hình tam giác. Như vậy, vò trí của E a ở
cách chân tường khoảng cách H/3.
- Với đất dính:
1
ϕ
ϕ
2c 2 1
2c 2
E a = γH 2 tg 2 (45 0 − ) − 2cHtg (45 0 − ) +
= γH 2 K a − 2cH K a +
2
2
2
ϕ
2
γ
Ea của đất dính ở tại trọng tâm của tam giác abc, cách chân
H − Z0
tường chắn một khoảng
3

2c Kp

H/3

H

Trong đó:

2c
2c
Z0 =
=
ϕ
γtg (45 0 − ) γ K a
2
2. Tính áp lực bò
động:
Đất
giáp
lưng
tường chắn thẳng đứng,
đất trên đỉnh tường
γ. H.K
ngang phẳng. Bỏ qua lực
(a) Tường chắn tính áp
Đấ
t
khô
ng dính
(b)
lực bòđộ
ng
ma sát giữa đất và
Hình 2: Á
p lực đấ
t bòđộ
ng.
mặt đứng của mặt

tường. Cường độ áp lực
bò động Pp đước tính theo công thức dưới đây.
p

-2-

γ. H.Kp+2c Kp

(c) Đất dính


Đối với đất không dính:
Pp=γ Htg2(450+ϕ/2)=γ HKp.
Đối với đất dính:
1
ϕ
ϕ
Pp = γHtg 2 ( 45 0 + ) + 2ctg (45 0 + ) = γHK p + 2c K p
2
2
2
2
0
Kp là hệ số áp lực bò động. Kp=tg (45 +ϕ/2). Nếu biết ϕ ta có thể
tìm giá trò Kp bằng phương pháp tra bảng.
Các ký hiệu khác giống như các kí hiệu đã nói phần
trên.
Bảng hệ số áp lực đất Ka và Kp
ϕ

tg(450-ϕ/2)

00
20
40
50
60
100

1.000
0.966
0.933
0.916
0.900
0.869
0.839
0.810
0.781
0.767
0.754
0.727
0.700
0.675
0.649
0.637
0.625
0.601
0.577
0.554
0.532

0.521
0.510
0.488
0.466
0.445
0.424
0.414
0.404
0.384
0.364

120
140
150
160
180
200
220
240
250
260
280
300
320
340
350
360
380
400
420

440
450
460
480
500

tg2(450-ϕ/2)
(Ka)
1.000
0.933
0.870
0.840
0.811
0.756
0.704
0.656
0.610
0.589
0.568
0.528
0.490
0.455
0.422
0.406
0.390
0.361
0.333
0.307
0.283
0.271

0.260
0.238
0.217
0.198
0.180
0.172
0.163
0.147
0.132

tg(450-ϕ/2)
1.000
1.036
1.072
1.091
1.111
1.150
1.192
1.235
1.280
1.303
1.327
1.376
1.428
1.483
1.540
1.570
1.600
1.664
1.732

1.804
1.881
1.921
1.963
2.050
2.145
2.246
2.356
2.414
2.475
2.605
2.747

tg2(450-ϕ/2)
(Kp)
1.000
1.072
1.150
1.190
1.233
1.323
1.420
1.525
1.638
1.698
1.761
1.894
2.040
2.198
2.371

2.464
2.561
2.770
3.000
3.255
3.537
3.690
3.852
4.204
4.599
5.045
5.550
5.828
6.126
6.786
7.549

Tổng áp lực đất bò động Ep suốt trên chiều cao H của
tường chắn được tính theo các công thức dưới đây.
- Với đất không dính:
-3-


1
ϕ
1
E p = γH 2 tg 2 ( 45 0 + ) = γH 2 K p
2
2
2

Vò trí của Ep ở tại trọng tâm của tam giác tức là cách chân
tường một khoảng cách H/3 tính từ dưới lên.
Với loại đất dính:
1
ϕ
ϕ
E p = γH 2 tg 2 ( 45 0 + ) + 2cHtg (45 0 + ) = γHK p + 2cH K p
2
2
2
Vò trí của Ep là tại trọng tâm hình thang, cách chân tường tính từ
dưới lên một khoảng cách là:
H γH K p + 6c
×
3 γH K p + 4c
-

H

H = q/

γ

1070

H = 4800

z o = 1,59

Ví dụ tính toán:

Tường chắn đất cao 4,8m lưng tường thẳng đứng, trơn nhẵn,
đất trên đầu tường bằng phẳng. Đất đắp có dung trọng 18
KN/m3. Tìm áp lực đất chủ động và điểm tác dụng áp lực của
nó. Vẽ biểu đồ phân bố áp lực chủ động.
Bài giải:
Biết ϕ=200, tra bảng ta có Ka=0,49; Do đó
cường độ áp lực của đất tại chân tường
sẽ là:
Pa = 18 × 4,8 × 0,49 − 2 × 10 × 0,49 = 28KN / m 2
p lực đất chủ động sẽ là:
1
2 × 10 2
2
E a = × 18 × 4,8 × 0,49 − 2 × 10 × 4,8 × 0,49 +
2
18
Ea=45,5 KN/m
E a = 45,5 KN / m
Chiều sâu giới hạn Z0 là:
2
2 × 10
28,3 KN/m
Z0 =
= 1,59m
18 × 0,49
Điểm tác dụng của Ea cách chân tường
γ. H.Ka
một đoạn chiều cao là:
H − Z 0 4,8 − 1,59
=

= 1,07m
q
3
3
A
Phân bố áp lực chủ động được thể hiện
D
như biểu đồ bên cạnh.
3. Tính áp lực đất trong các trường hợp
đặc biệt:
a. Tính áp lực đất khi trên mặt đất
đỉnh tường chắn có tải trọng phân
bố đều:
B
C
Phía trên mặt đất sau tường chắn có
tải trọng phân bố đều q thì tải trọng q được
γ. ( h+H).Ka
quy đổi ra trọng lượng đất tương đương.Lớp
Hình 3: Sơ đồtính áp lực đất
q
tường chắn khi cótảitrọng phân
đất dày tương đương quy đổi h đó là: h =
γ
bốđều q ởtrên tường chắn

-4-


γ là dung trọng đất đắp sau tường chắn.

Khi tính toán, ta xem A’B là lưng tường chắn và tính như
trường hợp không có tải trọng trên mặt đất đỉnh tường.
Ví dụ như tính cho trường hợp đất không dính thì cường độ
áp lực đất tại điểm A là:
ϕ
PaA = γhtg 2 (45 0 − ) = γhK a
2

H = 5500

h = 632

Cường độ áp lực đất tại điểm B là:
ϕ
PaB = γ ( H + h)tg 2 (45 0 − ) = γ ( H + h) K a
2
p lực chủ động của đất được thể hiện bằng biểu đồ ABCD
H
ϕ
H
E a = (h + ) Hγtg 2 (45 0 − ) = (h + ) HγK a
2
2
2
Điểm tác dụng của áp lực chủ động lên tường chắn chính
là trọng tâm của hình thang ABCD, cách chân tường một đoạn
là:
H 3h + H
×
3 2h + H

Ví dụ tính toán:
Tường chắn đất cao 5,5m, lưng tường thẳng đứng trơn nhẵn;
tại mặt trên đất đỉnh tường có tải trọng phân bố đều
q=12KN/m2.Dung trọng đất đắp sau tường γ =19KN/m3; góc ma sát
trong ϕ=340; lực dính c=0. hãy tìm áp lực chủ động E a và điểm
tác dụng của nó.
A'
Bài giải:
Đem tải trọng phân bố đều q chuyển
đổi ra chiều dày lớp đất tương đương h
h=12/19=0,632m
Cường độ áp lực đất ở đỉnh tường
q=12 KN/m
A
chắn:
34
PaA = 19 × 0,632tg 2 ( 45 0 − ) = 3,4 KN / m 2
3,4 KN/m
2
Cường độ áp lực đất tại chân tường
E =99,94 KN/m
chắn:
34
PaB = 19(0,632 + 5,5)tg 2 (45 0 − ) = 32,94 KN / m 2
B
2
Tổng áp lực chủ động Ea:
32,94 KN/m
A' E
e

(3,4 + 32,94) × 5,5
Hình 4: Biểu đồphân bốáp lực
Ea =
= 99,94 KN / m
đấtchủđộnqg khi cóphụ tải
2
trên mặtđấtđỉnh tường chắn
γ. h.K
Vò trí điểm tác dụng của Ea cách chân
A β a d
tường chắn một khoảng cách theo chiều
cao là:
5,5 3 × 0,632 + 5,5
×
= 2,0m
3
2
α
h'

h = q/

γ

2000

0

H

a

b
B

-5-

c

Hình 5: Biểu đồtính toán áp lực
đất khi mặttường chắn nghiêng
vàcótảitrọng trên đỉnh tường.


b. Tính áp lực đất khi trên mặt đất đỉnh tường có tải
trọng phân bố đều q và mặt đứng lưng tường chắn là
mặt nghiêng.
Tải trọng phân bố đều được quy đổi ra lớp đất tương đương
có chiều dày h:
q
h=
γ
Giả thiết mặt đất đắp và cạnh AB lưng tường kéo dài
gặp nhau ở A’. Khi tính toán, ta xem A’B như cạnh của lưng tường
và tính toán áp lực đất như trường hợp trên mặt đất không có
tải trọng. chiều cao tường tính toán lúc này là H+h’.
Xét tam giác A’AE ta có thể tìm ra h’:
cos β cos α
h' = h
cos(α − β )

Với trường hợp đất không dính, cường độ áp lực của đất tại
điểm A mặt đất đỉnh tường chắn là:
ϕ
PaA = γh' tg 2 (45 0 − ) = γh' K a
2
Cường độ áp lực đất tại điểm B (chân tường):
ϕ
PaB = γ ( H + h' )tg 2 ( 45 0 − ) = γ ( H + h' ) K a
2
Tổng áp lực chủ động là:
H
ϕ
H
E a = (h'+ ) Hγtg 2 (45 0 − ) = (h'+ ) HγK a
2
2
2
Vò trí điểm tác dụng của lực E a là trọng tâm của hình thang
abcd.
Ví dụ tính toán:
Tường chắn cao 5,5m, lưng tường giáp mặt đất nhẵn,
nghiêng một góc α=100. Mặt đất trên đỉnh tường đắp dốc với
góc β=300. Tải trọng phân bố đều q=12 KN/m2. Dung trọng đất
đắp ở lưng tường γ =19KN/m2, góc ma sát trong của đất ϕ=340; lực
dính c=0. hãy tìm Ea (áp lực chủ động của tường chắn) và điểm
tác dụng của Ea.
Bài giải:
Quy đổi tải trọng phân bố đều: h=12/19=0,632m
Căn cứ vào h và các góc α, β, ta tính h’:
cos 30 0 cos10 0

h' = 0.632 ×
= 0,574 (m)
cos(10 0 − 30 0 )
Cường độ áp lực đất trên mặt đất đỉnh tường là:
34
PaA = 19 × 0,574tg 2 (45 0 − ) = 3,08KN / m 2
2
Cường độ áp lực đất ở chân tường là:
34
PaB = 19(0,574 + 5,5)tg 2 (45 0 − ) = 32,63KN / m 2
2
Tổng áp lực chủ động:
-6-


a

E =1/2(3,08+32,63)x5,5=98,2KN/m
a

Điểm tác dụng của áp lực chủ động E là:
5,5 2 × 3,08 + 32,63
×
≈ 2m
3
23,08 + 32,63
c. Tính áp lực đất trường hợp khi trên mặt đất đỉnh
tường có tải trọng phân bố cục bộ:
Có hai trường hợp phân bố tải trọng.
* Trường hợp 1: Cách đỉnh tường một đoạn l có tải trọng phân

bố đều liên tục q (KN/m2) tác dụng (như hình a thể hiện). Tính
toán áp lực chủ động, điểm tải trọng tác dụng bắt đầu từ O
ϕ
0
kéo xuống đến C (OC tạo với đường ngang một góc ( 45 + ). Từ
2
C trở lên đỉnh tường xem như không chòu tác dụng của tải
trọng, áp lực chủ động vùng này chỉ đơn thuần do đất sau lưng
tường (từ đỉnh đến điểm C) gây ra.
Biểu đồ phân bố áp lực đất được thể hiện như hình (a):
Aba. Từ điểm C trở xuống, ta xét thêm tác dụng của tải trọng
trên mặt đất đỉnh tường chắn. p lực chủ động do tải trọng
này gây ra được thể hiện ở hình (a) là acde.
Tổng áp lực chủ động tác dụng lên đỉnh tường chính là
diện tích của ABcde. Phương pháp tính toán cũng như các ví dụ
trước.
* Trường hợp 2:
l
l
l
q
KN/m2
q KN/m2
Cách đỉnh tường
o
o
B
B
o'
một đoạn l bắt

45 +ϕ/2
45 +ϕ/2
đầu có tải trọng
c
e
c
d
phân bố đều tác
C
C
dụng lên mặt đất
với chiều dài tải
f
D
d
trọng l1 (như hình b).
Tính toán lực chủ
a e
a g
động, điểm tải
A
A
trọng trên mặt
(b)
(a)
Cá
ch mộ
t đoạn l bắ
t đầ
u có

Cá
ch mộ
t đoạn l cómộ
t đoạn
đất bắt đầu tác
tả
i trọng phâ
n bốđề
u tá
c
tả
i trọng phâ
n bốđề
u l tá
c
dụng từ C đến D
dụng trê
n mặ
t đấ
t đỉ
nh tườ
ng.
dụng lê
n mặ
t đấ
t đỉ
nh tườ
ng.
(từ O và O’ ta kẻ
Hình 6: Tính á

p lực đấ
t khi cótả
i trọng ởđỉ
nh tườ
ng.
hai đường xiên tạo
với OO’ một góc
(450+ϕ/2) và sẽ gặp AB ở hai điểm C và D). từ C trở lên xem như
không có tải trọng trên mặt đất tác dụng xuống tường chắn
và từ D đến A cũng không có tải trọng trên mặt đất tác dụng
xuống tường chắn.
Diện tích hình ABcefda chính là tổng áp lực chủ động tác dụng
lên lưng tường chắn.
d. Tính toán áp lực đất tường chắn có nhiều lớp:
8

1

45 +ϕ/2

1

-7-


h' 1

Trường hợp sau lưng tường chắn đắp bằng nhiều lớp đất
khác nhau thì khi tính áp lực đất, trước hết ta tính áp lực đất lớp
1.

Biểu đồ áp lực đất lớp 1
chính là tam giác abc.
Khi ta tính áp lực đất do
lớp 2 gây ra, ta đem đất lớp 1
a
quy đổi ra lớp 2 với chiều cao
tương ứng để tính lớp 1 là h’1.
γ . h .K a1 Lớp 1
γ
h'1 = h1 1
ϕ γ
γ2
b
dc
Sau đó lấy chiều cao
Lớp 2
(h’1+h2) làm chiều cao tính toán
ϕ γ
của tường chắn và ta tiếp tục
f
tính toán như đối với trường
e
hợp đất đắp đồng chất. Tính
γ .( h' +h ).Ka2
toán tầng nào thì nên dùng
các thông số của tầng ấy
Hình 7: Biểu đồáp lực đất
sau tường cónhiều lớp.
(góc ma sát trong, lực chính)
nhưng điều này chỉ thực hiện

khi ta tính lớp đất thứ 2 – như hình bdef.
1

h2

h1

1

2

1

1

1

2

2

2

Ví dụ như hình vẽ có hai lớp đất này, nếu là đất không dính,
áp lực chủ động của đất sẽ là:
ϕ
ϕ
1
1
E a = γ 1 h12 tg 2 (45 0 − 1 ) + (γ 2 h'1 +γ 2 h'1 +γ 2 h2 )h2 tg 2 (45 0 − 2 )

2
2
2
2
ϕ
ϕ
1
1
E a = γ 1 h12 tg 2 (45 0 − 1 ) + γ 2 h2 (2h'1 + h2 )tg 2 (45 0 − 2 )
2
2
2
2
1
1
E a = γ 1 h12 K a 1 + γ 2 h2 (h2 + 2h'1 ) K a 2
2
2
Ví dụ tính toán:
Tường chắn cao 4,7m, lưng tường thẳng đứng, trơn nhẵn, đất
trên đỉnh tường phẳng, đất đắp sau đỉnh tường gồm 2 lớp.
Chiều dày và tính cơ lý của đất được thể hiện như hình vẽ.
Hãy tìm áp lực chủ động Ea, vẽ biểu đồ phân bố áp lực đất.
Bài giải:
a
Cường độ áp lực đất lớp
1:
Lớp 1: γ =17 KN/m
ϕ1
32

2
0
2
0
ϕ =32 C =0
Pa1 = γ 1 h1tg ( 45 − ) = 17 × 2,2tg ( 45 − )
2
2
11,49 KN/m
b
6,17 KN/m
= 11,49 KN / m 2
Lớp 2: γ =19 KN/m
Cường độ áp lực đất lớp
ϕ =16 ;
2:
C =10 KN/m
c
1

2

2500

H =4700

2200

1

1

2

2

33,14 KN/m

-8-

Hình 8: Biể
u đồáp lực đất đắp theo lớp.


Quy đổi chiều dày lớp 1:
h'1 = h1

γ1
17
= 2,2 = 1,97 m
γ2
19

Cường độ áp lực đất trên lớp đất 2 và trên mặt, gồm hai loại
Pa'2 và Pa2 :
ϕ
ϕ
Pa'2 = γ 1 h1' tg 2 (45 0 − 2 ) − 2c 2 tg (45 0 − 2 )
2
2

ϕ
ϕ
Pa'2 = γ 1 h1tg 2 (45 0 − 2 ) − 2c 2 tg (45 0 − 2 )
2
2
16
16
Pa'2 = 17 × 2,2tg 2 (45 − ) − 2 × 10tg (45 − )
2
2
'
2
Pa2 = 21,24 − 15,07 = 6,17 KN / m

ϕ2
ϕ
) − 2c 2 tg ( 45 0 − 2 )
2
2
ϕ
ϕ
Pa2 = (γ 1 h1 + γ 2 h2 )tg 2 (45 0 − 2 ) − 2c 2 tg (45 0 − 2 )
2
2
16
16
Pa2 = (17 × 2,2 + 19 × 2,5)tg 2 (45 − ) − 2 × 10tg (45 − )
2
2
2

2
Pa2 = 48,21 − 15,07 KN / m = 33,14 KN / m
Pa2 = γ 2 .(h1' + h2 )tg 2 ( 45 0 −

a

p

lực

chủ

động

E

là:

2

a

h2

H

h1

E =1/2x11,49x2,2+1/2(6,16+33,14)x2,5=61,76 KN/m
e. Tính toán áp lực đất khi có nước ngầm:

Khi dưới lớp đất đắp sau tường có nước ngầm thì áp lực
hông tác dụng lên mặt đứng của tường bao gồm áp lực đất
và áp lực nước. Khi tính toán ta giả thiết rằng góc ma sát trong
của đất ϕ và góc ma sát giữa tường và đất δ ở trên mức
nước ngầm và dưới mức nước ngầm là như nhau. Nếu lưng
tường trơn nhẵn và không thoát nước được thì góc ma sát ở
lưng tường δ=0. Dung trọng đất trên
a
mức nước ngầm là dung trọng đất
thiên nhiên. Dung trọng đất dưới mức
γ . h1.Ka
nước ngầm là dung trọng nổi.
c
b
Ví dụ như laọi đất không dính,
diện tích abdec chính là áp lực của
đất trên mực nước ngầm gây ra.
Diện tích cef chính là áp lực của đất
dưới nước ngầm gây ra còn cfg chính
g
là áp lực do nước ngầm gây ra.
e
f
d
Tổng áp lực tác dụng lên lưng
γ . h2
tường chính là diện tích abdefgca. Như
γ . h1.Ka γ '. h2.Ka
vậy, tổng áp lực chủ động là:
Hình 9: Tính toán áp lực đất

cómức nước ngầm.
w

-9-


H

/3

H

γh1
h22
E a = (h1 + 2h2 )
K a + (γ '+γ w ) K a
2
2
Trong đó:
h1 và h2 là khoảng cách từ mực nước ngầm lên đến đỉnh
tường và từ mực nước ngầm đến chân tường.
γ ’: Dung trọng nổi: γ ’=γ -1
γ w: Trọng lượng riêng của nước.
γ và Ka: như các phần trước.
Ví dụ tính toán:
Tường chắn đất cao 6m: Đất đắp sau tường là đất không
dính. Mặt đất đỉnh tường phẳng. Dung trọng đất thiên nhiên
γ =18KN/m3. Góc ma sát trong ϕ=300, cách mặt đất đỉnh tường 2m
có nước ngầm. Dung trọng đất đắp bão hòa γ sat=19KN/m3. Hãy
tìm tổng áp lực chủ động tác dụng lên tường (áp lực đất và

áp lực nước) và vò trí điểm tác dụng của áp lực chủ động.
Bài giải:
Ta có h1=2m và h2=6-2=4m; γ w=10KN/m3; γ ’=19-10=9 KN/m3.
Góc ma sát trong của đất không đổi. Hệ số áp lực đất chủ
động Ka trên mức nước ngầm đều giống nhau: Ka=tg2(45030/2)=0,333
Theo công thức tính tổng áp lực chủ động tác dụng lên tường:
γh
h2
E a = (h1 + 2h2 ) 1 K a + (γ '+γ w ) 2 K a
2
2
Ta có:
18 × 2
42
E a = (2 + 2 × 4)
× 0,333 + (9 + 10) × 0,333 = 110,56 KN / m 2
2
2
Nếu gọi y là khoảng cách từ tổng áp lực chủ động đến chân
tường thì ta có:
18 × 2 2 × 0,333
2 18 × 2 × 4 2 × 0,333
4 2 × 0,333 4
110,56 y =
(4 + ) +
+ (9 + 10)
×
2
3
2

2
3
y = 1,98m
f. Tính áp lực đất trên mặt
nghiêng của tường chắn:
B C
Mặt tường nghiêng có hai dạng:
lưng nghiêng ra ngoài và lưng nghiêng
ngả vào trong. Người ta thường dùng
G
Ea
theo phương pháp tính gần đúng dưới để
tính toán.
* Lưng tường nghiêng ra ngoài:
E1
Gióng đường thẳng đứng từ A,
gặp đường ngang trên cùng ở C. Ta xem
AC như lưng tường trơn nhẵn, ta có áp lực
đất trên mặt AC là.
A
1
ϕ
1 2
2
0
Hình 10: Áp lực đất tác dụng lên mặt
E1 = γH tg (45 − ) = γH K a
2
2
2

nghiêng (ra ngoài).
Các ký hiệu vẫn như các vò trí
trước.
- 10 -


H

H

H /3

Trọng lượng của khối đất ABC (G):
G=Diện tích ∆ABCxγ
p lực chủ động tác động lên lưng tường chắn Ea:
Vectơ Ea = Vectơ E1+VectơG (như
C B
hình vẽ).
Điểm tác dụng của Ea: Tính từ dưới
chân lên một khoảng H/3.
* Lưng tường nghiêng ngả
vào trong:
Ta gióng đường thẳng đứng từ A
E1
lên gặp đường nằm ngang ở C. Ta xem
AC như lưng tường trơn nhẵn và áp lực
Ea
đất tác dụng lên mặt AC là:
G
1

ϕ
1
E1 = γH 2 tg (45 0 − ) = γH 2 K a
2
2
2
A
G=(Diện tích∆ABC)x γ↑
Hình 11: Tính toán áp lực đấtcho tường
Trong đó:
chắn nghiêng vào trong.
γ là dung trọng của đất (không
liên quan gì đến dung trọng của khối
tường chắn).
p lực chủ động Ea tác dụng lên tường chắn chính là tổng
hợp của hai vectơ E1 và G.
Điểm tác dụng ở tại
O-ϕ
điểm cách chân tường chắn
A
một khoảng H/3.
β
α
Với tường chắn kiểu
a
G
treo, phương pháp tính toán áp
E
ϕ
lực chủ động cũng như trường

c
G
hợp tính cho tường chắn có
δ
E
ϕ
Ο −ϕ
R
lưng nghiêng.
E
R
Ο
II. Tính áp lực đất theo
b
phương pháp Coulomb:
B
γ. H.K
1. Tính áp lực chủ động:
(a) Các lực tác dụng lên
(b) Tam giác lực
(c) Phân bốáp lực
Như hình vẽ: lưng tường
∆ ABC
chủđộng
nghiêng. Đất trên đỉnh tường
Hình 12: Biể
u đồá
p lực đất theo phương pháp Coulomb.
dốc. Giữa lưng tường và đất
có lực ma sát. Giả thiết đất đắp sau tường là đất không dính

và mặt trượt phá hoại của đất BC là một mặt phẳng.
Khối đất hình nêm ABC có mặt trượt xuống ở vào trạng
thái cân bằng cực hạn chủ động thì áp lực chủ động E a có thể
tính theo công thức:
1 2
cos 2 (ϕ − α )
1
E a = γH
= γH 2 K a
2
2
2

sin(ϕ + δ ) sin(ϕ − β ) 
cos 2 α cos(α + δ ) 1 +

cos(α + δ ) cos(α − β ) 

Trong đó:
γ : Dung trong đất sau lưng tường chắn KN/m3.
H: Chiều cao tường chắn.
ϕ: Góc ma sát trong của đất.
a

a

- 11 -


α: Góc nghiêng lưng tường (nghiêng ra lấy dấu +; nghiêng

ngả vào lấy dấu -).
β: Góc nghiêng của mặt đất trên đỉnh tường.
δ: Góc ma sát giữa vật liệu đắp và lưng tường. Dựa vào
mức độ thô nhám và điều kiện thoát nước để xác đònh.
Lưng tường trơn phẳng, thoát nước kém:
δ=(01/3)ϕ
Lưng tường nhám, thoát nước tốt:
δ=
(1/3÷ 1/2)ϕ
Lưng tường rất thô nhám, thoát nước tốt:
δ=(1/2-2/3)ϕ
Lưng tường và đất đắp không thể trơn trượt thì:
δ=(2/3-1)ϕ
Ka: Hệ số áp lực chủ động Coulomb.
cos 2 (ϕ − α )
1
Ka =
= γH 2 K a
2
2

sin(ϕ + δ ) sin(ϕ − β ) 
cos 2 α cos(α + δ ) 1 +

cos(α + δ ) cos(α − β ) 

Nếu β=0 mà biết ϕ, α, δ thì có thể tra bảng để tìm Ka. Khi
α=0, đất trượt trên lưng tường (δ=0); β=0 thì công thức tính áp lực
chủ động Ea nói trên sẽ trở thành:
1

ϕ
E a = γH 2 tg 2 (45 0 − )
2
2
Như vậy, trong điều kiện như đã nói trên thì công thức của
Rankine giống công thức của Coulomb.
Nếu muốn tìm cường độ áp lực chủ động P a tại một điểm
cách đỉnh tường chắn là z thì ta có công thức tính Pa như sau:
dE
d 1
Pa = a =
( γ .z 2 K a ) = γ .zK a
dz
dz 2
Từ công thức trên, ta nhận thấy cường độ áp lực chủ
động theo chiều cao của tường chắn được thể hiện phân bố
theo hình tam giác (hình (c)). Điểm tác dụng của áp lực chủ động
cách chân tường một khoảng H/3.
Ví dụ tính toán:
Tường chắn cao 4m, lưng tường nghiêng ra ngoài α=100, β=0.
Dung trọng đất đắp γ =18KN/m2, ϕ=30, c=0, góc ma sát giữa đất
và tường δ=2/3ϕ=200. Hãy tìm áp lực chủ động E a và điểm tác
dụng.
Bài giải:
Ta có δ=200; α=100; ϕ=300, tra bảng Ka (của Coulumb) ta có
Ka=0,377.
Theo công thức tính Ea:
1
1
E a = γH 2 K a = × 18 × 4 2 × 0,377 = 54,3KN / m

2
2
Điểm tác dụng của áp lực đất chủ động:
H/3=1/3x4=1,33m (cách chân tường tính từ dưới lên:
1,33m).

- 12 -


Bảng hệ số Ka áp lực đất chủ động β =0 (Theo Coulomb)
δ

α
00

50

100

150

200

250

ϕ

00
100
200

-100
-200
00
100
200
-100
-200
00
100
200
-100
-200
00
100
200
-100
-200
00
100
200
-100
-200
00
100
200
-100
-200

150

200

250

300

350

400

450

500

0.589
0.652
0.736
0.540
0.497
0.556
0.622
0.709
0.503
0.457
0.533
0.603
0.695
0.477
0.427
0.518

0.592
0.690
0.458
0.405

0.490
0.560
0.648
0.433
0.380
0.465
0.536
0.627
0.406
0.352
0.447
0.520
0.615
0.385
0.330
0.434
0.511
0.611
0.371
0.314

0.406
0.478
0.569
0.344

0.287
0.387
0.460
0.553
0.334
0.267
0.373
0.448
0.543
0.309
0.252
0.363
0.441
0.540
0.298
0.240
0.357
0.438
0.543
0.291
0.231

0.333
0.407
0.498
0.270
0.212
0.319
0.393
0.485

0.256
0.199
0.309
0.326
0.419
0.191
0.137
0.301
0.378
0.476
0.237
0.180
0.297
0.377
0.497
0.232
0.174
0.296
0.379
0.488
0.228
0.170

0.271
0.343
0.434
0.209
0.153
0.260
0.333

0.424
0.199
0.144
0.253
0.326
0.419
0.191
0.137
0.248
0.323
0.419
0.186
0.132
0.245
0.322
0.422
0.182
0.128
0.245
0.325
0.430
0.180
0.125

0.217
0.288
0.375
0.158
0.106
0.210

0.280
0.368
0.151
0.101
0.204
0.275
0.365
0.146
0.096
0.201
0.273
0.366
0.142
0.093
0.199
0.273
0.370
0.140
0.090
0.199
0.276
0.377
0.139
0.089

0.172
0.238
0.322
0.117
0.070

0.166
0.233
0.318
0.112
0.067
0.163
0.230
0.316
0.109
0.064
0.160
0.228
0.317
0.106
0.062
0.160
0.229
0.321
0.105
0.061
0.160
0.232
0.329
0.104
0.060

0.132
0.194
0.274
0.083

0.043
0.129
0.191
0.271
0.080
0.041
0.127
0.189
0.271
0.078
0.039
0.125
0.189
0.273
0.076
0.038
0.125
0.190
0.277
0.076
0.038
0.126
0.193
0.284
0.075
0.037

2. Tính áp lực bò động:
Với những điều kiện giống như trên, khi tường chắn chòu
áp lực của ngoại lực, chuyển lên đất đắp khiến cho lớp đất

đắp sau tường bò phá nứt theo mặt BC, khối đất ABC trượt lên
trên ở trạng thái cân bằng cực hạn (như hình bên). Trọng lượng
bản thân G của khối đất ABC, phản lực R và tác dụng của E sẽ
cân bằng. p lực đất bò
C
động là.
A
z

β

G

Ep

Ep

δ

R

R

ϕ
Ο

(a)

ϕ+Ο

G

(b)

B

γ.H.Kp

(c)

Hình 13:

- 13 -

H

H

α

Tính toá
n á
p lực bòđộ
ng.

(a)
(b)

Tam giá
c lực

(c)

Phâ
n bốá
p lực bòđộ
ng

Biể
u đồlực tá
c dụng củ
a khô
í ABC.


Trong đó Kp là hệ số áp lực bò động Coulomb:
cos 2 (ϕ − α )
Kp =
2

sin(ϕ + δ ) sin(ϕ + β ) 
2
cos α cos(α + δ ) 1 +

cos(α − δ ) cos(α − β ) 


Nếu α=0; δ=0 (trơn nhẵn); β=0 thì Ep sẽ là:
1
ϕ

E p = γH 2 tg 2 ( 45 0 + )
2
2
Như vậy, trong trường hợp này, công thức Coulomb và công
thức Rakine tương đồng như nhau.
Cường độ áp lực bò động có thể tính theo công thức sau:
dE p
d 1
Pp =
= ( γZ 2 K p ) = γZK p
dz
dz 2
Biều đồ phân bố cường độ áp lực bò động được thể hiện
như hình (c).
Vò trí điểm tác dụng của áp lực bò động tại lưng tường, cách
chân tường một khoảng H/3.

- 14 -