Đề và HDC HSG Toán THPT_03

SÅÍ GIẠO DỦC-ÂO TẢO K THI CHN HC SINH GII
BTTH
QUNG TRË NÀM HC 2003 - 2004
MÄN: TOẠN
Thåìi gian lm bi: 180 phụt (Khäng kãø thåìi
gian giao âãư)
----------------------------------------------------------------------------------------------
------
Bi 1 (3 âiãøm)
Tçm giạ trë låïn nháút v giạ trë bẹ nháút ca hm säú:
2
cossin
−=
xy
2
1
+
x
Bi 2 (2 âiãøm)
Chỉïng minh báút âàóng thỉïc sau âụng våïi mi giạ trë x
> 0.
( )
xxLn
<+
1
Bi 3 (2 âiãøm)
Cho hm säú:
( )
21
3
2

3
−−+−=
xmmx
x
y
(m l tham säú)
1/ Tênh âảo hm
'y
.
2/ Tçm m âãø:
a)
'y
> 0 våïi mi
Rx
∈
.
b)
'y
< 0 våïi mi
( )
10 ;
∈
x
Bi 4 (1 âiãøm)
Cho 3 säú a , b , c dỉång v a
2
+ b
2
+ c
2

= 1
Chỉïng minh:
2
33
222222
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
.
Bi 5 (2 âiãøm)
Cho âỉåìng trn (C) v âỉåìng thàóng (d) cọ phỉång trçnh
l:
(C): x
2
+ y
2
= 1
(d): Ax + By + 1 = 0
a) Chỉïng minh ràòng nãúu âỉåìng thàóng (d) tiãúp xục våïi
âỉåìng trn (C)
thç ta cọ: A

2
+ B
2
= 1
b) Gi sỉí (d) tiãúp xục våïi (C) v M, N l hai âiãøm thüc
(C) sao cho
x
M
= − 1, y
N
= 1.
Hy tênh A , B âãø täøng cạc khong cạch tỉì M v N âãún
(d) l nh nháút.
ÂÃƯ CHÊNH
THỈÏC
______________________________
HặẽNG DN CHM ệ CHấNH THặẽC MN
TOAẽN
KYè THI HSG BTTH NM HOĩC 2003 - 2004
(Khoùa thi ngaỡy 24 thaùng 12 nm 2003)
---
Baỡi 1: (3 õióứm)
( )
2
1
2
1
1
22
+=+=

xxy
x
sinsinsinsin
ỷt sin = t ( 1 t 1)
Ta õổồỹc
( ) ( )
11
2
1
2
+=
t t-ttf
0,5
õióứm
Lỏỷp baớng bióỳn thión ta coù:
t -1 ẵ 1
f(t)
0
+
f(t)
ẵ 3/2
ắ
( )
11
2
3
=
tymax
0,75 õióứm
( )

11
4
3
=
tymin
0,75 õióứm
Baỡi 2: (2 õióứm)
Giaới: Xeùt haỡm sọỳ :
( ) ( )
xxLnxf
+=
1
Ta coù
( )
1
1
1

+
=
x
xf'
0,5 õióứm
=
0
11
11
<
+

=
+

x
x
x
x
(vỗ x > 0)
Haỡm
( )
xf
nghởch bióỳn x > 0
0,5 õióứm
( ) ( )
00 fxfx
<>
( ) ( )
0011
+<+
LnxxLn
0,5 õióứm
( )
( )
xxLn
xxLn
<+
<+
1
01
0,5 õióứm

Baỡi 3: (2 õióứm)
1/
( )
xfmmxxy
=+=
12
2
'
0,5 õióứm
2/ a)
0
>
'y
x R khi vaỡ chố khi:
1,0 õióứm





+
<<

<+=
>=
2
51
2
51
01

01
2
mmm
a
'
0,75 õióứm
Trang 2 - HDC õóử chờnh thổùc kyỡ thi HSG Toaùn BTTH (Khoùa ngaỡy 24/12/2003)
b) y < 0 vồùi moỹi x (0, 1) khi vaỡ chố khi:











032
01
01
00
m
m
f
f

)('
)('

1 m
0,75 õióứm
Baỡi 4: (1 õióứm)
Ta coù:
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
111 cc
c
bb
b
aa
a
VT

+

+

=
0,25 õióứm
Ta seợ chổùng toớ:
( )
2
33
1

2
2
2
a
aa
a


(1)
Thỏỷt vỏỷy (1)
( )
27
4
1
2
22

aa
0,25
õióứm
Bỏỳt õúng thổùc naỡy õuùng vỗ:
( ) ( )( )( )
( ) ( )
27
4
3
112
2
1
112

2
1
1
3
222
222
2
22
=






++
=
aaa
aaaaa
0,25 õióứm
Thay a bồới b vaỡ c ta cuợng coù caùc bỏỳt õúng thổùc daỷng (1).
Do vỏỷy
2
33
2
33
2
33
2
33

222
=++
cbaVT
0,25 õióứm
Baỡi 5: (2 õióứm)
a) Xeùt (C):
=+
1
22
yx
tỏm O (0, 0), baùn kờnh R = 1
Do õoù (d): Ax + By + 1 = 0 tióỳp xuùc (C)

O caùch (d) mọỹt khoaớng bũng R = 1

d [0, (d)] =
11
100
22
22
=+=
+
++
BA
BA
BA

..
1,0 õióứm
b) M, N (C) M ( 1; 0)

X
M
= 1, Y
N
=1 N (0; 1)
(d) tióỳp xuùc (C) nón A
2
+ B
2
= 1 , do õoù coù thóứ õỷt
A = cosx , B = sinx vồùi x [0, 2]
Täøng khong cạch tỉì M, N âãún (d) l:
( )
BABA
BA
BA
BA
BA
S
+−=+++−=
+
++
+
+
++−
=
211
110101
2222

...

Trang 3 - HDC âãư chênh thỉïc k thi HSG Toạn BTTH (Khọa ngy 24/12/2003)
(Vç − A + 1 ≥ 0, B + 1 ≥ 0) 0,5 âiãøm
( )
xxxSS sincos
+−==⇒
2
Xẹt hm
( )
xcxS sincos
+−=
2
( )
xxxS sincos'
+=
0
4
2
=






Π
+=
xsin







−=⇒
Π
=
+=⇒
Π
=
⇒






Π
=
Π
=
⇔
22
4
7
22
4
3
4

7
4
3
Sx
Sx
x
x

0,25 âiãøm

x
−∞ 0 3Π/4 7Π/4 2Π
+∞
S’(x)
+ 0 − 0
+
S(x)

22
+

1
1
22
−

Min S = 2
2
−
âảt âỉåüc khi

4
7
Π
=
x







−=
=
⇔
2
2
2
2
B
A
0,25 âiãøm
_______________________________
Chụ :
1/ Hc sinh cọ cạch gii khạc nãúu âụng váùn cho âiãøm täúi
âa theo âiãøm quy âënh ca bi (hồûc pháưn âọ).
2/ Âiãøm toaìn baìi âæåûc cho leí âãún 0,25 âiãøm - khäng laìm
troìn