Nội dung SGK ĐS 11 (NC) chương 5 ĐẠO HÀM

Nội dung sách giáo khoa Đai số và giải tích 11 NC
Chương 5 : ĐẠO HÀM
Hãy copy những nội dung cần thiết vào đúng chổ trong giáo án của bạn.
Chúc các bạn có một bộ giáo án của riêng mình
1. Ví dụ mở đầu
Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và
nghiên cứu chuyển động của viên bi.
Trong Vật lí 10 ta đã biết : Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng,chiều dương hướng
xuống đất,gốc O là vị trí ban đầu của viên bi (tại thời điểm t-0) và bỏ qua sức cản của
không khí thì phương trình chuyển động của viên bi là:
(g là gia tốc rơi tự do, )
Giả sử tại thời điểm ,viên bi ở vị trí có tọa độ ; tại thời điểm
, viên bi ở vị trí M có tọa độ .Khi đó,trong khoảng thời gian từ
đến ,quãng đường viên bi đi được là .
Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là : (1)
Nếu càng nhỏ thì tỉ số (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi
tại thời điểm .
Từ đó,người ta xem giới hạn của tí số khi dần đến là vận tốc tức thời tại
thời điểm của viên bi,kí hiệu là .
Nói cách khác
Nhiều vấn đề của toan học, vật lí, hóa hoc, sinh học,... dẫn đến bài toán tìm giới hạn:
,
trong đó là hàm số nào đó.
Trong toán học, người ta gọi giới hạn đo, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số
tại điểm .
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số xác định trên khoảng và điểm thuộc khoảng đó.
ĐỊNH NGHĨA
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x dần đến được gọi là đạo
hàm của hàm số đã cho tại điểm ,kí hiệu là hoặc ,nghĩa là :

.
Trong định nghĩa trên, nếu đặt và thì ta có:
(2)
CHÚ Ý
1) Số được gọi là số gia của biến số tại điểm ;số
được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia tại điểm
.
2) Số không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
3) và là những kí hiệu,không nên nhầm lẫn rằng : là tích của với x,
là tích của với y.
Tính số gia của hàm số ứng với số gia của biến số tại điểm
b) Quy tắc tính đạo hàm của hàm theo định nghĩa
Ta có quy tắc tính đạo hàm của hàm số theo định nghĩa như sau :
Quy tắc
Muốn tính đạo hàm của hàm số f tại điểm theo định nghĩa,ta thực hiện hai bước sau:
* Bước 1 . Tính theo công thức .trong đó là số gia
của biến số tại
* Bước 2 . Tìm giới hạn .
Trong quy tắc trên và đối với mỗi hàm số được xét sau đây, ta luôn hiểu là số gia của
hàm số ứng với số gia đã cho của biến số tại điểm đang xét.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
Giải
Đặt ,ta thực hiện quy tắc trên như sau:
* Tính :
* Tìm giới hạn: . Vậy .
Nhận xét
Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì nó liên tục tại điểm
Thật vậy,giả sử hàm số f có đạo hàm ,tức là
Ta có .
Do đó .Điều này chứng tỏ .

Từ đó suy ra rằng hàm số f liên tục tại điểm
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số có đồ thị (C),một điểm cố định thuộc C có hoàng độ .
Với mỗi điểm M thuộc (C) khác ,ta kí hiệu là hoành độ của nó và là hệ số
góc của cát tuyến .
Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn .
Khi đó ta coi đường thẳng đi qua và có hệ số góc là vị trí giới hạn của cát
tuyến khi M di chuyển dọc theo (C) dần đến .
Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm , còn goi là tiếp điểm.
Bây giờ giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm .
Chú ý rằng tại mỗi vị trí của M trên (C), ta luôn có
Vì hàm số f có đạo hàm tại điểm nên
.
Từ đó ta có thể phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau :
Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại điểm .
GHI NHỚ
Nếu hàm só có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
có phương trình là
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
Giải
Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số tại
* Tính :
.
* Tính giới hạn : . Vậy .
Ngoài ra,ta có nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
,hay
Dựa vào kết quả của ví dụ 1,hãy viết phương trình tiếp tuyến của dồ thị hàm số
tại điểm
4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Xét sự chuyển động của một chất điểm.Giả sử quãng đường s đi được của nó là một hàm
số của thời gian t ( còn gọi là phương trình chuyển động của chất điểm).
Tương tự như ví dụ mở đầu,khi càng nhỏ (khác 0) thì tỉ số
càng phản ánh chính xác độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm .
Người ta gọi giới hạn hữu hạn
(nếu có) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm .
Từ đó, ta có thể phát biểu ý nghĩa cơ học của đạo hàm như sau :
Vận tốc tức thời tại thời điểm (hay vận tốc tại ) của một chuyển động có
phương trình bằng đạo hàm của hàm số tại điểm ,tức là
.
Chăng hạn,trong ví dụ mở đầu ta có: .
Do đó
Vậy vật tốc của viên bi tại t_0 là
Hình 1.189
H3.Một chất điểm chuyển động có phương tình (t tính bằng giây, s tính bằng
mét).Vận tốc của chất điểm tại thời điểm (giây) bằng :
(A) 2m/s ; (B) 3 m/s ; (C) 4 m/s; (D) 5m/s.
Chọn kết quả đúng trong các kết quả trên.
5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
a) Khái niệm
Cho hàm số f xác định trên tập J,trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng
nào đó.Ta có định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng
ĐỊNH NGHĨA
1) Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc J.
2) Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số xác định bởi gọi là đạo
hàm của hàm số f.
Đạo hàm của hàm số cũng được kí hiệu bởi
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng .
Giải
Với mọi x thuộc khoảng ta có :

* ;
*
Vậy hàm số có đạo hàm trên khoảng và
a)Chứng minh rằng hàm số hằng có đạo hàm trên R.Tìm đạo hàm đó.
b)Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm trên R.Tìm đạo hàm đó.
b) Đạo hàm của một số hàm thường gặp
Ta có định lí sau :
ĐỊNH LÍ
a) Hàm số hằng có đạo hàm trên R và
b) Hàm số có đạo hàm trên R và ;
c) Hàm số có đạo hàm trên R và ;
d) Hàm số có đạo hàm trên khoảng và
Chứng minh
Sau đây ta chứng minh hai kết luận c và d.
c) Với mỗi x thuộc R ta tính đạo hàm của hàm số tại điểm x theo định nghĩa :
* Tính : Áp dụng công thức Niu -tơn đối với ,ta có
.
* Tìm giới hạn (chú ý rằng ):
Vậy hàm số đã cho có đạo hàm trên R và
d) Với mỗi x thuộc khoảng ta có :
*
* .
Vậy hàm số có đạo hàm trên khoảng và
CHÚ Ý
Hàm số xác định tại x=0,tuy nhiên người ta chứng minh được rằng nó không có
đạo hàm tại điểm x=0.
Ví dụ 4
a) Tìm đạo hàm của hàm số
b) Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm
Giải

a) Với ,ta có (với mọi ).
b) Với ,ta có (với mọi .
Do đó
Cho hàm số .Tính và (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:
a)
b) .
Nói chung,việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp.Bài này sẽ cung cấp cho
chúng ta những quy tắc tính đạo hàm,nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp
sẽ được quy về tính đạo hàm của những hàm số đơn giản hơn.
Để tiện cho việc diễn đạt,kể từ bài này,ta sẽ sử dụng kí hiệu J để chỉ tập con của R gồm
một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng.
1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số
ĐỊNH LÍ 1