On luyen thi vao THPT mon toan

ÔN LUYỆN THI VÀO THPT
Chủ đề 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phần I: Các kiến thức cần nhớ.
Các hằng đẳng thức:
1) (a+b)2 = a2+2a.b+b2.



a b



2

 a  2 ab  b

CHỨA CĂN.

 a, b �0 

2) (a – b)2=a2 – 2a.b+b2



a b



2

3) a2– b2 = (a – b).(a +b)

a b 



 a, b �0 

 a  2 ab  b



a b .
3

3

a b

2



2

 a, b �0 
3

4) (a+b) = a +3a b+3ab +b .
5) (a– b)3=a3 – 3a2b+3ab2 – b3.
6) a3+ b3=(a+b).(a2 – ab+b2)
a a  b b  a 3  b3 



a  b a  ab  b





 a, b �0 

a



 a, b �0 

7) a3- b3=(a-b).(a2 + ab+b2)
a a  b b  a 3  b3 



a b

ab  b

8) (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
2
9) ( a  b  c )  a  b  c  2 ab  2 bc  2 ca

 a, b, c �0 

a2  a

10)
Phần II: Phân dạng bài tập:
Dạng1: Rút gọn biểu thức không có điều kiện.
Bài1. Tính:
a) 10. 40
b) 5. 45
12,5
9
e) 169
f) 0,5
Bài2. Rút gọn:
A= 4  2 3

10  2 10
8

a) 5  2 1  5

e)

d) 5. 125

49
81

E= 15  216  33  12 6

d)

4 3

75
3 5

g) 8 3  2 25 12  4

C= 3  5  3  5

2 8  12

18

48
b)

2 3
2 3

2 3
2 3
2 27  6

g)

2. 162

B= 13  160  53  4 90

D= 2 5  125  80  605
Bài3. Tính:

c)

c)

f)
192

2

5  27
30  162

16
1
4
3
6
3
27
75

3  5 .(3  5)
10  2

k) 2  3 ( 5  2)

Bài4. Rút gọn:
A

15  12
1

5 2
2 3

C

15  5 5  2 5

3 1
2 5 4

E  (4  15)( 10  6) 4  15

8
32
18
5
 14
9
25
49
2  3  6  8  16
D

2  32

B6

F  (5  4 2)(3  2 1  2 )(3  2 1  2 )

Dạng2: Rút gọn biểu thức có điều kiện:
Bài1. Rút gọn biểu thức:
x2  5
x 2  2 2.x  2
x2  2
a) x  5
(Với x � 5 )
b)
(với x �� 2 )
c)

9 x 2  2 x (với x<0)

2
d) x  4  16  8 x  x (với x>4)

b (b  1)
e) 3(a  3) (với a �3 )
f)
(với b<0)
Bài2. Rút gọn biểu thức:
( x y  y x )( x  y )
x y
A=

(với x>0 và y>0)
x 1 2 x
25 x


x  2 4  x (với x �0 và x �4 )
B= x  2
2

2

2

a b
a b

a  b (với a �0, b �0 và a �b )
C= a  b
Bài3. Cho biểu thức: (2 x  y )(2 x  y )
a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên.
Bài4. Cho biểu thức:
1 �� a  1
a 2�
� 1
A�

:

�

�
�
a ��
a 1 �
� a 1
� a 2
�
a) Tìm điều kiện để A xác định.
b) Rút gọn A.
Bài 5. Cho biểu thức:
�
�2 x  1
�� x3  1
x
B�
 x�
� x3  1  x  x  1 �
�: �
�
�
�
��1  x
�
a) Tìm điều kiện để B xác định.
b) Rút gọn B.
Bài 6. Cho biểu thức:
� x
x  9 ��3 x  1 1 �
C �


:

�
�3  x 9  x ��
��
�
x

3
x
x
�
��
�
a) Tìm điều kiện để C xác định.
b) Rút gọn C.


Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:
A

x2  4
2

4
x  4x  4
2

với x �2

�a a  b b a b  b a �� a  b �
B�
:
�
� a  b  a  b ��
��
�
�
�� a  b � (với a; b �0; a �b )

C

x2  x 
2x  1

1
4
với

x �

1
2

� ab  b3
ab  a 3 �2 a  2 b
D�

:
�

� a b
� a b
a

b
�
�
với

a; b �0; a �b

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
Bài 1. Cho biểu thức:

A  2 x  x2  6 x  9 .
Tính giá trị của A khi x=-5.
Bài 2. Cho biểu thức:
1
1
B

1 x 1 x .
Tính giá trị của biểu thức khi x=4.
Bài 3. Cho biểu thức:
�
� 1
�� 1
C �
 1  a �: �
 1�

� 1 a
�� 1  a 2 �.
3

Tính giá trị của biểu thức C tại a=1và a= 2  3 .
Bài 4. Cho biểu thức:
1 �� 1
1 �
� 1
D�

:

��
� x
1  x 1  x ��
1 x 1 x �
�
Tính giá trị của biểu thức tại x= 3  2 2
Bài 5. Cho biểu thức:
� x 1
1
8 x �� 3 x  2 �
E �


: 1
�
�3 x  1 1  3 x 9 x  1 ��
��

�
3
x

1
�
��
�
Tính giá trị của biểu thức tại x= 3  2 2
2
Bài 6. Cho biểu thức A= 15a  8a 15  16
a) Rút gọn A.

3
5

5
3

b) Tính giá trị của A khi a=
Dạng 4: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
2
Bài1. Cho biểu thức: A  4 x  4 x  12 x  9 .
Tính giá trị của x, biết A=-15


Bài 2. Cho biểu thức:
� a
�
a �� a

a a
B�

:

��
� a  b b  a �� a  b a  b  2 ab �
�
�
��
�
a 1

b
4 thì B=1. Tìm a;b.
Biết rằng khi
Bài3. Cho biểu thức:
�(16  x ) x 3  2 x 2  3 x �
1
C �


:
�
� x4
x 2
x 2 �
�
�x  4 x  4
Tìm x khi biết C=4.

Bài 4. Cho biểu thức:
� a 1
2a  a ��
a 1
2a  a �
D�


1
:
1


��
�
� 2a  1
�� 2a  1
�
2
a

1
2
a

1
�
��
�
a) Tìm a biết D=-1

b) Tìm a biết D=-4.
Bài 5. Cho biểu thức:
a b
a 3  b3

A= a  b a  b  ab
a) Tìm điều kiện của a,b để A xác định.
b) Rút gọn A.
c) Tìm điều kiện của a,b để A=0.
Dạng5:Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên
a
��� b �U ( a)
Chú ý: b
Bài1. Cho biểu thức:
� a 2
2  a � a 1
A�

.
�a 1 1  a  2 a �
�
�
� a .
Tìm giá trị của m để A nhận giá trị nguyên.
Bài2. Cho biểu thức:



� 3 a
� a  1 a  b

3a
1
B�
�a  ab  b  a a  b b  a  b �
�: 2a  2 ab  2b
�
�
a) Rút gọn B với a �0, b �0, a �b .



b) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
Bài 3. Cho biểu thức:
a  2 1  a 3a  3  9a
C


1 a 2  a a  a  2
Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên.
Bài 4. Cho biểu thức:
A

x 2

x 3

x  1 x  5 x  12

9 x
x 3

a) Tìm điều kiện để A xác định.
b) Rút gọn A.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Dạng 6. Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức.
Bài1. Cho biểu thức:
� x
1 �� 1
2 �
A�

:

�
�
� x  1 x  x �� x  1 x  1 �
�. Tìm x để A <0.
�
�
Bài2. Cho biểu thức:
� x
x  3 ��3 x  1 1 �
A�

:

�
�3  x 9  x ��
��

x

3
x
x�
�
��
� với x �0, x �9
a) Rút gọn A.
b) Tìm x sao cho A <-1.
Bài 3. Cho biểu thức:
1 �� a  1
a 2�
� 1
A�

:

�
�
�
a ��
a 1 �
� a 1
� a 2
�
a) Tìm điều kiện xác định của A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm a để A <0.
Dạng7. Chứng minh bất đẳng thức.

Bài1. Cho biểu thức:
�a  2
a
1 � a 1
A�


�a a  1 a  a  1 1  a �
�: 2
�
�
(với a �0, a �1 )
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng: 0  A �2 .
Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Bài1. Cho biểu thức:
2
� x 2
x  2 ��
1 x �
A�
.� �
� x 1  x  2 x 1 �
�
�
�� 2 �
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng nếu 0c) Tính giá trị lớn nhất của A.
Bài tập tổng hợp:

Bài1. Cho biểu thức:
�x 2  x 2 x  x 2( x  1) � 1

.
�
�
�x  x  1 
�
x
x

1
�x x  1
A =�
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A biết x=4.
1
c) Tính giá trị của x biết A= 3


d) Chứng minh rằng A >0.
e) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.
1
f) Tìm giá trị của x để A < 4
Bài2. Cho biểu thức:
�
� 1
�� 1
 1  x �: �
 1�

�
1 x
�� 1  x 2 �với -1P= �
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P=1.
Bài3. Cho biểu thức:
x x  1 x 1

.
x

1
x

1
A=
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
9
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x= 4
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A<1.
Bài4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 2 3  3 27  300

1 �
1
� 1

�
�:

x 1 � x x 1
�x  x





b)
Bài5. Cho biểu thức.
x2
x 1
x 1


.
x

1
x
x

1
x

x

1
P=
a) Rút gọn P.
1

b) Chứng minh P< 3 với 0 �x �1
Bài6. Cho biểu thức:
�x  x  1 x  x  1 �1  x
�
�x x  x x �
�: x  x
�
M= �
a) Rút gọn M.
b) Tìm x nguyên để M nguyên.
Bài7. Cho biểu thức:
x
1
1


.
x

4
x

2
x

2
A=
với 0 �x �4
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.

1

c) Tìm giá trị của x để A= 3


Bài8. Cho biểu thức:
n 1 n 1

n

1
n  1 với 0 �n �1
N=
a) Rút gọn biểu thức N.
b) Tìm n nguyên để N nguyên.
Chủ đề 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
Phần I. Lý thuyết
1. Định nghĩa.
2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
ax+by=c
�
�
a'x+b'y=c' (a,b,c,a’,b’,c’ khác 0)
�

ẨN.

a b c
 

a'
b' c'
+ Hệ có vô số nghiệm nếu:
a b c
 �
a'
b' c'
+ Hệ vô nghiệm nếu:
a b
�
a'
b'
+ Hệ có nghiệm duy nhất nếu:
3. Các phương pháp giải hệ
ax+by=c
�
�
a'x+b'y=c'
�
a) Phương pháp cộng đại số.
b) Phương pháp thế.
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trướ khi áp dụng các phương pháp giải hệ.
Phần II. Phân dạng bài tập.
Dạng1: Giải hệ phương trình không chứa tham số.
Bài1. Giải các hệ phương trình sau.
2x  y  7
�
17 x  4 y  2
12 x  5 y  9
�

�
�
�
�
4x  3y  4
13 x  2 y  1
120 x  30 y  34
a) �
b) �
c) �
d)

2x  y  2
�
�
5x  3 y  5  2
�






e)

�
3  x  7   4  y  5
�
4x  3y  8  0
�

�
x 2  y 3 1
�
�
5x 2  4 y 3  8
f) �

� 3.x  1  2 y  1
�
�
� 3x  2 2 y  7
�
�
�1  2 x  3. y  1
�
g)
k) � 2 x  3 3 y  2 6
Bài2. Giải các hệ phương trình.




9
�2 3
� 4
�x  y  2
�2 x  1  y  1  1
�
�

3x  3 y  8
�
�
�
�
1 1
�1
�
� 3  2  13


5
x

y


4
�
�
�
a) �2
b) �x y
c) �2 x  1 y  1 6
d)
Dạng2: Giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số.
Bài1. Cho hệ phương trình.
�
3mx  (n  3) 2  6
�

� 2
(m  1) x  2ny  13
�
a) Giải hệ phương trình với m=2;n=1
b) Giải hệ phương trình với m=1;n=-3
Dạng3: Giải biện luận phương trình có chứa tham số.
VD1: Cho hệ phương trình.
mx  y  2
�
�
2 x  y  1 Giải và biện luận hệ theo m.
�

�2 1
�y  y  1
�
�
�1  2  8
�
�x y

Giải
mx  y  2
(2  m) x  3 (1)
�
�
��
�
(2)
2x  y  1

2x  y  1
�
�
+ Xét phương trình(1): (2+m)x=3
-Nếu 2  m  0 � m  2 thì phương trình(1) có dạng 0.x=3. Do phương trình này vô
nghiệm nên hệ vô nghiệm.
m 0 m 2 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất
- Nếu 2 �۹
3
6
4m
x
y  2x 1 
1 
2  m .Thay vào phương trình(2) ta có:
2m
2m
3
4m
x
y
2  m và
2m
Vậy với m �2 thì hệ có nghiệm duy nhất:
Dạng4: Tìm giá trị tham số khi biết dấu các nghiệm của hệ phương trình
VD1. Cho hệ phương trình
�x  2 y  5
�
mx  y  3 Tìm m để x<0,y <0
�

VD2. Cho hệ phương trình
�
x  my  m 2  m  1
�
�
mx  3 y  m 2  4m
�
Tìm m để x>0, y<0.
Dạng5: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình.
D.5.1: Tìm 1 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình
Phương pháp:
�x  x0
�ax  by  c (1)

�
a ' x  b ' y  c(2)
'
Cho hệ phương trình �

�
y  y0
có nghiệm �

Thay x=x0; y=y0 lần lượt vào (1) giải.
Thay x=x0; y=y0 lần lượt vào (2) giải.
(1)
(2)


3x  2 y  7

�
�
(5n  1) x  ( n  2) y  n 2  4n  3
VD1. Cho hệ phương trình: �
Tìm n để hệ có nghiệm (x;y)=(1;-2)
Giải:
Thay (x;y)=(1;-2) vào(1) ta có: 3.1-2.(-2)=7 thoả mãn.
Vậy (x;y)= (1;-2) là nghiệm của pt(1).

Thay (x;y)=(1;-2) vào(2) ta có: (5n  1)  2(n  2)  n  4n  3
n0
�
� 7n  3  n 2  4n  3 � n(n  11)  0 � �
n  11
�
Vậy n=0 hoặc n=11 thì hệ đã cho có nghiệm (x;y)=(1;-2)
1
�
5m(m  1) x  my  (1  2m) 2(1)
�
3
�
(2)
2
�
4
mx

2
y


m

3
n

6
�
VD2. Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x=1; y=3.
Giải.
1
2.5m.(m  1) � m.4m
3
ĐK để hệ có nghiệm duy nhất là
2

2
2
2
Thay x=1;y=3 vào(1) ta có: 5m  5m  m  1  4m  4m � m  1 � m  �1 (I)
m0
�
4m  6  m2  3m  6 � m(m  1)  0 � �
m  1 (II)
�
Thay x=1;y=3 vào(2) ta có:
Từ(I) và (II) ta có với m=1 thì hệ có nghiệm x=1;y=3.
D.5.2: Tìm 2 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình.
Phương pháp:

�x  x0
�ax  by  c (1)

�
�
(2)
y  y0
a
'
x

b
'
y

c
'
�
Cho hệ phương trình
có nghiệm �
�ax0  by0  c
�
a ' x  b ' y0  c '
Thay x=x0;y=y0 vào cả hệ pt ta có � 0
Sau đó giải phương trình chứa ẩn là tham số.
2mx  (n  2) y  9
�
�
(m  3) x  2ny  5
VD1.Cho hệ phương trình �

Tìm m;n để hệ có nghiệm x=3;y=-1
Giải.
Thay x=3;y=-1 vào hệ phương trình ta có:
6m  ( n  2)(1)  9
3m  2n  4
m2
�
�
�
��
��
�
3(m  3)  2n( 1)  5
12m  2n  14
n5
�
�
�
Vậy với m=2;n=5 thì hệ có nghiệm x=3;y=-1.

Dạng6: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.


Phương pháp:
(1)
�ax  by  c
�
a ' x  b ' y  c ' (2)
Cho hệ pt �

(I) có nghiệm thoã mãn px+qy=d (3)
+ Do (x;y) là nghiệm của hệ (I) và thoã mãn (3)
Suy ra (x;y) là nghiệm của (1),(2),(3)
+Kết hợp 2 phương trình đơn giản nhất.
+Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại.Giải pt chứa ẩn là tham số.
(1)
3 x  2 y  8
�
�
3mx  (m  5) y  (m  1)(m  1) (2) (I)
VD1: Cho hệ phương trình �
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoã mãn: 4x-2y=-6
Giải.
5) 6m 0 m 5 .
ĐK: 3.(m �۹

(3)

Do (x;y) là nghiệm của hệ pt(I) và thoã mãn(3) nên (x;y) là nghiệm của (1),(2),(3).
3 x  2 y  8
�
�x  2
��
�
4 x  2 y  6
�y  1
Kết hợp(1) với (3) ta có: �
2
2
Thay x=-2,y=-1 vào pt(2) ta được: 6m  (m  5)  m  1 � m  5m  4  0

m 1
�
��
m  4 (thoả mãn)
�
Vậy với m=1 hoặc m=4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x-2y=-6.
mx  y  5 (1)
�
�
2mx  3 y  6 (2) (I)
VD2:Cho hệ phương trình �
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn:
(2m-1)x+(m+1)y=m
(3)
Giải.
2.m m 0
ĐK để hệ có nghiệm duy nhất: m.3 �۹
Từ (1) � y  5  mx. Thay vào (2) ta có: 2mx  3.(5  mx)  6

� x

9
m

( m �0 )

9
m vào y=5 –mx ta có: y=5 – 9 = -4.
Thay

9
x
m và y=-4.
Vậy với m �0 hệ (I) có nghiệm
9
9
x
(2m  1).  ( m  1)( 4)  m
m ; y=-4 vào pt(3) ta được:
m
Thay
m 1
�
�� 9
9
2
�
m
� 18   4m  4  m � 5m  14m  9  0 � (m  1)(m  9)  0
� 5 (thoả mãn)
m
x


m

9
5 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoã mãn pt(3).

Vậy với m=1 hoặc

Dạng 7: Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm nguyên.
Chú ý:

a
��� m �U (a )
m
+)
( a, m��)
a
b
��
��
� m �U (a, b)
m
m
+)
và
(m  2) x  2 y  5 (1)
�
�
(2)
mx  y  1
VD1:Cho hệ phương trình �

Tìm m �� để hệ có nghiệm nguyên.
Giải.
Từ (2) ta có: y = mx – 1. Thay vào(1) ta được: (m+2).x +2.(mx – 1) = 5.
7
2
� 3mx  2 x  7 � x(3m  2)  7 � x 

m �
3m  2
3)
(
7
4m  2
�y
.m  1 � y 
3m  2
3m  2 (3)
Thay vào y = mx – 1
7
x ���
��� 3m  2 �U (7)   �
1; �
7
3m  2
Để
+) 3m  2  7 � m  3

Thay m = -3 vào (3), ta có y = 2 (thoã mãn).

5
3 (loại)
+)
1
3m  2  1 � m  
3 (loại)
+)
+) 3m  2  1 � m  1

Thay m = -1 vào (3) ta có y = 6 (thoã mãn).
3m  2  7 � m 

Kết luận: m �� để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1.
(m  3) x  y  2 (1)
�
�
(2)
mx  2 y  8
VD2: Cho hệ phương trình �
Tìm m ��để hệ có nghiệm nguyên.
Giải.
Từ (1) ta có y = 2 – (m – 3).x � y  2  mx  3x

Thay vào (2) ta có: mx +2.(2 – mx +3x) = 8 � mx  6 x  4 � x(6  m)  4
4
�x
6  m ( m �6 )
24  6m

y
6  m ( m �6 ) (3)
Thay vào y  2  mx  3x ta có:
4
x ���
��� 6  m �U (4)   �
1; �
2; �
4
6


m
Để


+) 6 – m = 1 � m  5 thay vào (3) ta có y = -6 (thoã mãn)
+) 6 – m = -1 � m  7 thay vào (3) ta có y = 18 (thoã mãn)
+) 6 – m = 2 � m  4 thay vào (3) ta có y = 0
(thoã mãn)
+) 6 – m = -2 � m  8 thay vào (3) ta có y = 17 (thoã mãn)
+) 6 – m = 4 � m  2 thay vào(3) ta có y = 3
(thoã mãn)
+) 6 – m = -4 � m  10 thay vào (3) ta có y = 9 (thoã mãn)
m � 2; 4;5; 7;8;10
Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì
Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất.
�
mx  y  m 2
�
(1)
�
2 x  my  m 2  2m  2 (2)
VD1: Cho hệ phương trình �
a) CMR hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Tìm m để biểu thức x2 +3y + 4 nhận giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Giải.
2
2
a) Do m �0 với mọi m nên m2 + 2>0 với mọi m. Hay m  2 �0 với mọi m.

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2. (3)
2
3
2
Thế vào (2) ta được: 2x + m(mx – m2) = m2 +2m +2 � 2 x  m x  m  m  2m  2

� 2 x  m2 x  m3  m 2  2m  2 � x(2  m 2 )  (m  1)(m 2  2) � x  m  1 (do m 2  2 �0 )
2
Thay vào (3) � y  m(m  1)  m  m � y  m . Thay x = m+1 và y = m vào
5
25 � 5
�
(m  1) 2  3m  4  m 2  5m  5  �m 2  2. .m  �
2
4 �4
�
x2 +3y +4 ta được :
2

5
� 5� 5
 �m  � �
4 Do
� 2� 4

2

� 5�
5

5
min x 2  3 y  4  
m
�m  ��0
� 2 � .Vậy
4 khi
2
�
3mx  y  6m 2  m  2 (1)
�
�
(2)
5 x  my  m 2  12m
VD2: Cho hệ phương trình �
Tìm m để biểu thức A = 2y2 + x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó.
Giải.
Từ (1) ta có: y = 3mx – 6m2 +m +2. Thay vào (2) ta có: 5x + m(3mx – 6m2 +m +2) = m2
2
3
2
2
+12m � x(5  3m )  6m  10m  2m(5  3m ) � x  m  1 ( 5  3m �0 với mọi m)
Thay x = 2m vào y = 3mx – 6m2 + m + 2 ta được y = m +2.
2
2
2
Thay x =2m; y = m+2 vào A ta được: A  2(m  2)  (2m)  2( m  4m  4)





A  2(m 2  4m  4  8)  2(m 2  4m  4)  16  2(m  2) 2  16 �16. Do 2(m  2) 2 �0 với mọi
m. Vậy MaxA = 16 khi m = 2.
Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào tham số.
(1)
(2)


2mx  3 y  5
�
�
 x  3my  4
VD1: Cho hệ phương trình �
a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Giải.
a) Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu: 2m. 3m – 3.(-1) = 6m2 +3 >0 với mọi m.
2
Vậy 6m  3 �0 với mọi m nên hệ luôn có nghiệm duy nhất.
5  3y
m
2
2
2 x thay vào (2) ta có: 2 x  8 x  15 y  9 y  0.
b) Rút m từ (1) ta được
Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
(m  1) x  y  m
�
�

VD2: Cho hệ phương trình �x  (m  1) y  2
Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
�
5 x  ay  a 2  12a
�
�
3ax  y  6a 2  a  2
VD3: Cho hệ phương trình �
Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào a.
BÀI TẬP TỔNG HỢP.
2x  3 y  7
�
�
3mx  ( m  3) y  m 2  6m  3
Bài1. Cho hệ phương trình: �
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) = (2;1)
Bài2. Giải hệ phương trình:
� 2 1 1
  2
�
�m  1 n
�
� 1  2 1  1
�
n
�m  1
(m  1) x  2ny  2
�
�
3mx  ( n  2) y  9

Bài 3. Cho hệ phương trình: �
a) Giải hệ phương trình với m =1; n = -3
b) Tìm m ; n để hệ có nghiệm x = 3; y = -1.
3 x  2 y  8
�
�
mx  (3m  1) y  m 2  1
Bài 4. Cho hệ phương trình: �
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: 4x – 2y = -6.
�x  my  3
�
2 x  3my  5
Bài5. Cho hệ phương trình: �
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoã mãn: (m2 – 1)x – 10my = 4m + 5.
(m  2) x  y  3
�
�
mx  3 y  7
Bài 6. Cho hệ phương trình: �


a) Giải hệ phương trình với m = -1.
b) Tìm m để x >0, y>0.
mx  my  m
�
�
mx  y  2m
Bài7. Cho hệ phương trình: �
Tìm m để nghiệm của hệ thoã mãn: x >0, y >0.
(m  1) x  2 y  5

�
�
mx  y  1
Bài8. Cho hệ phương trình: �
a) Giải hệ phương trình với m = 2.
b) Tìm m �� để hệ có nghiệm nguyên.
(m  3) x  y  2
�
�
mx  2 y  5
Bài 9. Cho hệ phương trình: �
Tìm m �� để hệ có nghiệm nguyên.
�
3mx  y  6m 2  m  2
�
�
5 x  my  m 2  12m
�
Bài10. Cho hệ phương trình:
Tìm m để biểu thức: A= 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó.
Chủ đề 3:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC
Phần I: Lý thuyết.
I.
Định nghĩa.
II.
Phân loại.
1. Phương trình khuyết b và c.
2
2. Phương trình khuyết c: ax  bx  0( a �0)

HAI MỘT ẨN.

Phương pháp giải.

x0
�
ax  bx  0(a �0) � x(ax  b)  0 � �
b
�
x
a
�
2
3. Phương trình khuyết b: ax  c  0( a, c �0)
Phương pháp giải.
c
ax 2  c  0(a, c �0) � x 2  
a
c
 0
+) Nếu a
thì phương trình vô nghiệm.
c
c
c
 0
x1   ; x2   
a
a

+) Nếu a
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
2
4. Phương trình bậc hai đầy đủ: ax  bx  c  0( a, b, c �0)
Phương pháp giải.
  b 2  4ac
+)   0 thì phương trình vô nghiệm.
2


+)   0 thì phương trình có nghiệm kép:

x1  x2 

b
2a

x1 

b  
b  
; x2 
2a
2a

+)   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Phần II. Phân dạng bài tập.
Dạng 1: Giải phương trình khi biết giá trị của tham số.
2
Bài 1. Giải phương trình: x  5 x  6  0 .

2
Bài 2. Giải phương trình: 3 x  12 x  6 3  0

2
Bài 3. Giải phương trình: x  2( 3  1) x  2 3  0
Dạng 2: Tìm giá trị tham số khi biết số nghiệm của phương trình.
2
- Đặt điều kiện ax  bx  c  0( a �0)

- Tính  (  ')

- Để phương trình vô nghiệm thì   0(  '  0)
- Để phương trình có nghiệm kép thì   0(  '  0)

- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì   0( '  0)
Tổng quát: Để chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
0
�
�
a �0
Cách 2: Chứng minh �

Cách 1: Chứng minh a.c <0.
2
2
Bài 1. Cho phương trình: x  (2m  3) x  m  2m  1  0

a) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
2

Bài 2. Cho phương trình: ( m  3) x  2(m  5) x  m  1  0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Giải.
3 
0
m
3
Điều kiện: m �۹
2
Xét  '  (m  5)  (m  3)(m  1)  6m  22
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

 '  0 � 6m  22  0 � m  



11
3

11
 m �3
3

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi
2
Bài 3. Cho phương trình: x  2( m  3) x  2m  6  0
Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Giải.
2
2

Xét  '  (m  3)  (2m  6)  m  4m  3

m1  1
�
 '  0 � m 2  4m  3  0 � �
m2  3
�
Để phương trình có nghiệm kép thì

Vậy phương trình có nghiệm kép khi m = -1 hoặc m = -3.


2
Bài 4. Cho phương trình: (2m  10) x  (3m  15) x  m  1  0
Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Giải.
(1) � 2( m  5) x 2  3(m  5) x  m  1  0
5) 0
m 5
Điều kiện: 2(m �۹

(1)

2
2
Xét   3 (m  5)  4.2.( m  5)( m  1)  ( m  5)( m  53)
Để phương trình có nghiệm kép thì   0 � (m  5)( m  53)  0 � m  53

(vì m �5 )
Vậy phương trìng có nghiệm kép khi m = 53.

Dạng 3: Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
2
2
Bài 1. Cho phương trình: 7 x  (3m  1) x  m  1  0
CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Giải.
Ta có: a.c = 5.(-m2 – 1) = - 5(m2 +1) < 0 với mọi m.
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
2
Bài 2. Cho phương trình: x  2( m  3) x  2m  4  0

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Giải.
2
2
2
Ta có:  '  (m  3)  (2m  4)  m  4m  4  9  ( m  2)  9  0 với mọi m.
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
2
2
Bài 3. Cho phương trình: ( m  m  3) x  2( m  3) x  5  0
CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Giải.
1
11
a  m 2  m  3  (m  ) 2  �0
2
4
Ta có: Hệ số
với mọi m.

1
69
 '  (m  3) 2  5( m2  m  3)  m2  6m  9  5m 2  5m  15  6m2  m  24  6(m  ) 2   0
2
2

với mọi m.
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
2
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax  bx  c  0.
Tổng quát:
+) Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx+c = 0.
x

c
b

- Nếu b �0 thì phương trình có nghiệm
- Nếu b = 0 và c �0 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
+) Với a �0 thì phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt số:
  b 2  4ac (hay  '  b '2  ac )
- Nếu   0( '  0) thì phương trình vô nghiệm.


x1  x2 

- Nếu   0( '  0) thì phương trình có nghiệm kép
- Nếu   0( '  0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 

b
2a

b   b '  '
b   b '  '

x2 

2a
a
2a
a
và

2
Bài 1. Giải và biện luận phương trình: (m  2) x  2( m  1) x  m  0
Giải.
2
Bài 2. Giải và biện luận phương trình: ( m  3) x  2mx  m  6  0

Giải.
Dạng 5: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.
Tổng quát:
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x0 vào 2 phương trình ta được
hệ với ẩn là các tham số.
Giải hệ tìm tham số m.
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?
2
2

Bài 1. Cho hai phương trình: x  x  m  0 và x  mx  1  0
a) Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung.
b) Xác định m để hai phương trình trên tương đương.
BÀI TẬP TỔNG HỢP.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
2
2
a) 3 x  7 x  2  0
b) (5  2) x  10 x  5  2  0
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
5 x 2  12 x  m  3  0
2
2
(
m

1)
x
 mx  5  0
Bài 3. Xác định m để phương trình sau vô nghiệm.

Bài 4. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau vô nghiệm
b 2 x 2  (b 2  c 2  a 2 ) x  c 2  0
Bài 5. Xác định m để phương trình sau có đúng một nghiệm.
(m  2) x 2  2( m  1) x  m  0
2
2
Bài 6. Cho phương trình: (5m  1) x  (31m  13) x  6  0
CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
2

Bài 7. Cho phương trình: x  2(m  4) x  6m  1  0
CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 8. Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.
x 2  mx  2  0 và x 2  2 x  m  0
Chủ đề 4:

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
VÀ LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Toán chuyển động.


- Ba đại lượng S, v, t.

S
S
;v 
v
t
- Quan hệ:
- Chú ý: Vxuôi = Vthực + Vnước ; Vngược = Vthực + Vnước.
Bài 1. Hai người đi trên hai con đường vuông góc với nhau và xuất phát cùng một lúc từ
cùng một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km. Tìm vận tốc và quãng đường biết rằng
nếu hai người đó cùng xuất phát từ một điểm và đi ngược chiều nhau thì mỗi giờ họ
cách nhau 7km.
Bài 2. Một người dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu
người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB giảm đi 1giờ
Nếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB tăng 2giờ so
với dự định. Hỏi người đó đi với vận tốc và thời gian dự định bao nhiêu?
Giải.

Gọi vận tốc mà người đó dự định đi là x (km/h) (x >0)
Gọi thời gian mà người đó dự định đi là y (h) (y >0)
Quãng đường AB là xy
Khi tăng vận tốc 10km/h thì vận tốc lúc đó là: x +10 (km/h). Và thời gian giảm đi 1giờ
nên thời gian đi hết quãng đường là: y – 1 (h)
Khi giảm vận tốc đi 10km/h thì vận tốc lúc đó là : x – 10 (km/h). Và thời gian tăng thêm
2giờ nên thời gian đi hết quãng đường là y + 2 (h)
Do quãng đường AB không đổi nên ta có hệ phương trình:
�( x  10)( y  1)  xy
� x  10 y  10 �x  30(tm)
��
��
�
�( x  10)( y  2)  xy �2 x  10 y  20 �y  4(tm)
Vậy vận tốc người đó dự định đi là 30km/h, thời gian dự định đi là 4giờ.
Bài3. Hai bến sông A và B cách nhau 240km. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến địa
điểm C nằm chính giữa hai bến A và B, cùng lúc đó một ca nô ngược dòng từ B đến C.
Ca nô từ A đến C trước ca nô từ B đến C 1giờ. Tìm vận tốc của dòng nước, biết vận tốc
thực của hai ca nô bằng nhau và bằng 27km/h.
Dạng 2: Lập số.
ab  10a  b . Điều kiện: 0  a �9;0 �b �9 , a, b ��
abc  100a  10b  c . Điều kiện: 0  a �9;0 �b, c �9 , a, b, c ��
S  v.t; t 

Bài 1. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu viết chữ số 1 vào giữa hai chữ số
ta được số mới có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 280. Nếu đổi chỗ hai chữ số đã cho ta
được số mới lớn hơn số đó 18 đơn vị.
Giải.
Gọi số cần tìm là: ab  10a  b . Điều kiện: 0  a �9;0 �b �9 , a, b ��.
Do khi thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 280 đơn vị

nên ta có: a1b  ab  280 � 100a  10  b  10a  b  280 � a  3 (1)
Do khi đổi chỗ hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên ta có:
ba  ab  18 � 10b  a  10a  b  18 � b  a  2
(2)
Từ (1) và (2) ta có a = 3; b = 5.
Vậy số cần tìm là 35.


Bài2. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng
chục 4 đơn vị. Nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thương là 3 và
dư 7.
Giải.
Gọi số cần tìm là: ab  10a  b . Điều kiện 0  a �9;0 �b �9 , a, b ��
Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 nên ta có: b – a = 4. (1)
Khi đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thươnglà 3 và dư 7 nên ta có:
ab  3( a  b)  7 � 10a  b  3a  3b  7 � 7 a  2b  7 (2)
�b  a  4
�a  3
��
�
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: �7 a  2b  7 �b  7
Vậy số cần tìm là 37.
Dạng 3: Toán làm chung làm riêng.
+) Qui ước: Cả công việc là 1 đơn vị.
+) Tìm trong một đơn vị thời gian đối tượng tham gia bài toán thực hiện được bao nhiêu
phần công việc.
Phần công việc bằng 1/thời gian.
Bài 1. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 8giờ thì xong. Nếu người thứ nhất
làm trong 6giờ sau đó dừng lại và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn
thành công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong việc?

Giải.
C1:
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình thì xong việc là: x (giờ) (x >0)
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình thì xong công việc là y (giờ) (y >0)
1
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được: x (công việc)
1
Trong 1 giờ người thứ hai làm được: y (công việc)

1
1
1
1


y
8 (1)
Trong 1 giờ cả hai người làm được 8 (công việc) nên ta có: x
6
Trong 6 giờ người thứ nhất làm được: x (công việc)
9
Trong 9 giờ người thứ hai làm được: y (công việc)
6
9

1
x
y
Theo bài ra ta có phương trình:
(2)

1
1
1
�


�
x
y
8
�
�
1
6
9
1
�

1
b

a
�
x
y
y
�
x
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Đặt

;
,ta được:


� 1
1
a
�
�
ab 
�
�
24 � �x  24
8 ��
�
�
1
�y  12
�
�
6a  9b  1
b
�
� 12
Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là 24 giờ.
người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là 12 giờ.
C2:
Gọi số phần công việc người thứ nhất làm trong một giờ là: x (x >0)
Và số phần công việc người thứ hai làm trong một giờ là y (y >0)
Do hai người làm chung trong 8 giờ thì xong việc nên ta có:

1
x  y  � 8x  8 y  1
8
(1)
Do người thứ nhất làm trong 6 giờ và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ thì xong công

việc nên ta có phương trình: 6 x  9 y  1

(2)

� 1
x
8x  8 y  1 �
�
� 24
��
�
6
x

9
y

1
�
�y  1
� 12
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc là 24 giờ.
người thứ hai hoàn thành công việc là 12 giờ.

Bài 2.
Trong một bể nước có một vòi chảy ra và một vòi chảy vào. Nếu mở cùng hai vòi thì
sau 6 giờ sẽ đầy bể. Hỏi vòi chảy vào chảy trong bao lâu thì đầy bể. Biết rằng thời gian
vòi chảy vào chảy đầy bể ít hơn vòi chảy ra hết bể nước đầy là 8 giờ và vận tốc chảy
của các vòi không đổi.
Dạng 4. Toán diện tích.
Bài 1.
Một hình chữ nhật nếu ta tăng chiều dài và chiều rộng lên 4m thì diện tích sẽ tăng thêm
88m2. Nếu ta giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích sẽ tăng
thêm 18m2. Tìm kích thước hình chữ nhật.
Giải.
Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là x (m) (x >0)
Và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là y (m) (y >0)
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x.y (m2)
Do khi tăng chiều dài, chiều rộng thêm 4m thì diện tích tăng 88m2 nên ta có pt:
( x  4)( y  4)  xy  88 � x  y  18 (1)
Do khi giảm chiều dài 2m và tăng chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 18m2 nên ta có
pt: ( x  2)( y  3)  xy  18 � 3 x  2 y  24 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
�x  y  18
�x  10
��
�
3x  2 y  24 �y  8
�
Vậy chiều dài ban đầu của HCN là 10m, chiều rộng ban đầu của HCN là 8m.


Bài 2.
Hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm được 900 sản phẩm. Sang tháng 2 do sự thay đổi nhân

sự nên số sản phẩm của tổ I bằng 90% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ I, số sản phẩm của
tổ II bằng 120% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ II. Vì tổng số sản phẩm trong tháng 2 của
cả hai tổ là 960 sản phẩm. Hỏi trong tháng 1 mổi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Giải.
Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng 1 là x (sản phẩm) ( x  0, x ��)
số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng 1 là y (sản phẩm) ( y  0, y ��)
Do cả hai tổ sản xuất trong tháng 1 được 900 sản phẩm nên ta có:
x  y  900 (1)
Trong tháng 2 tổ I sản xuất được: 0,90.x (sản phẩm)
Trong tháng 2 tổ II sản xuất được: 1, 20.y (sản phẩm)
Do tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm nên ta có:
0,90.x  1, 20. y  960 � 9 x  12 y  9600 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
�x  y  900
�x  400(tm)
�
�
�
9 x  12  9600 �y  500(tm)
�
Vậy trong tháng 1 tổ I sản xuất được 400 sản phẩm, tổ II sản xuất được 500 sản phẩm.
Dạng 5: Toán mang yếu tố Vật lí.
Bài 1.
Hai điện trở mắc song song với nhau biết rằng điện trở thứ nhất lớn hơn điện trở thứ hai
6Ω và điện trở tương đương của đoạn mạch là 4Ω. Tính độ lớn của hai điện trở.
Giải.
Gọi độ lớn của điện trở 1 là R1 = x
(Ω, x >6)
Độ lớn của điện trở thứ 2 là R2 = x – 6 (Ω)
Ta có điện trở tương đương của đoạn mạch Rtđ = 4Ω.

1
1 1
1 1
1
�
  �  
� x( x  6)  4( x  6)  4 x.
Rtd R1 R2
4 x x 6

� x 2  6 x  4 x  24  4 x  0 � x 2  14 x  24  0
 '  7 2  24  25 �  '  25  5
x1  7  5  12(tm); x2  7  5  2 (loại)
Vậy độ lớn của điện trở thứ nhất là 12Ω, độ lớn của điện trở thứ 2 là 6Ω.
Dạng 6: Toán năng suất kế hoạch.
+) Gồm 3 đại lượng: Tsp; Ns, t.
t

Tsp
Tsp
Ns 
Ns ,
t .

+) Quan hệ: Tsp = Ns.t;
Bài 1.
Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản xuất 1200sp trong một thời gian nhất định.
Nhưng trong thực tế sau khi làm xong 12 giờ với năng suất dự định thì tổ công nhân cải
tiến kỹ thuật tăng năng suất lên 5sp trong 1 giờ. Vì vậy họ đã hoàn thành số sản phẩm

đó trước thời hạn là 6 giờ. Hỏi mỗi giờ tổ công nhân dự định làm được bao nhiêu sản
phẩm?
Dạng 7: Toán có quan hệ hình học.
Bài1.
Cho tam giác vuông ABC, đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với
nhau theo tỉ lệ 4:3. Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết một cạnh góc vuông của tam
giác có độ dài là 14cm.
Bài2.
Cho biết một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là 24cm và cạnh huyền
là 50cm. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông?
Dạng 8: Toán phần trăm.
Bài1.
Trong một kho giấy có 1500 tấn giấy loại I và loại II. Sau đó người ta bổ sung vào kho
thêm 255 tấn giấy cả hai loại, trong đó giấy loại I bằng 15% lượng giấy loại I trong kho,
giấy loại II bằng 20% lượng giấy loại II trong kho. Hỏi ban đầu lượng giấy loại I và loại
II trong kho là bao nhiêu?
Dạng 9: Toán quan hệ giữa hai số.
Bài1.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng hai số đó chia cho 3 được cùng một thương và số dư lần
lượt là 1 và 2 và tổng bình phương của chúng là 221.
Bài 2.
Trong chiến dịch Điện Biên Phủ một tiểu đội công binh nhận nhiệm vụ đào 60m giao
thông hào. Nhưng đến khi nhận nhiệm vụ 2 chiến sĩ trong tiểu đội đã bị hy sinh. Vì vậy
bình quân mỗi chiến sỹ phải đào thêm 1m giao thông hào nữa mới hoàn thành công
việc. Hỏi tiểu đội công binh có bao nhiêu người?
Bài tập tổng hợp.
Bài1.
Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh. Anh Quang góp vốn 15triệu đồng,
anh Hùng góp 13triệu đồng. Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia tỉ lệ

với vốn đã góp. Hãy tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng?
HD: Gọi số lãi anh Quang là x (triệu đồng, x >0).
Gọi số lãi anh Hùng là y (triệu đồng, y >0)
�x  y  7
�x  3, 75
�
�x
y ��

�y  3, 25
�
15
13
�
Lập được hệ:
Bài 2.
Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không
có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế. Hỏi lớp học có bao nhiêu ghế và bao
nhiêu học sinh?
*

HD:Gọi số ghế là x ( x �� ). Gọi số học sinh là y ( y �� )
�3x  6  y
�x  10
��
�
4( x  1)  y �y  36
Lập được hệ: �
Bài3.
*

Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm 3
người thì thời gian kéo dài 6 ngày. Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày. Hỏi
theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết khả năng lao động
của mọi thợ đều như nhau?
*

HD:Gọi số thợ cần thiết là x (người, x �� ). Gọi thời gian cần thiết là y(ngày, y �� )
�( x  3)( y  6)  xy �x  8
��
�
(
x

2)(
y

2)

xy
�y  10
Lập được hệ: �
Bài4.
Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất
cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3ha lúa
giống mới thu hoạch được ít hơn 4ha lúa giống cũ 1tấn.
HD: Gọi năng suất trên 1ha của giống lúa mới là x (tấn, x >0)
Gọi năng suất trên 1ha của lúa giống cũ là y (tấn, y >0)
�60 x  40 y  460 �x  5

��
�
4
y

3
x

1
�
�y  4
Lập được hệ:
Bài 5.
Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600 km. Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng
đi Hà Nội. Sau đó 10 phút một máy bay phản lực từ Hà Nội đi Đà Nẵng với vận tốc lớn
hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300km/h, nó đến Đà Nẵng trước khi máy bay kia
đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi máy bay?
HD: Gọi vận tốc của máy bay cánh quạt là x (km/h, x >0)
Khi đó vận tốc của máy bay phản lực là x + 300 (km/h)
600 1 1
600
  
� x  600
6 6 x  300
Lập được phương trình: x
Bài 6.
Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngược dòng 28km hết một thời gian bằng thời
gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ
yên lặng biết rằng vận tốc của nước chảy là 3km/h.
HD: Gọi vận tốc của xuồng máy khi đi trong hồ yên lặng là x (km/h, x >3)

Khi đó vận tốc của xuồng máy khi xuôi dòng là : x+3 (km/h)
Vận tốc của xuồng máy khi ngược dòng là: x – 3 (km/h)
30
28 119


� x  17.
Lập được phương trình: x  3 x  3 2 x
*

Chủ đề 5:
HÀM SỐ.
Phần I: Lí thuyết.
I) Các kiến thức về hàm số.
1) Khái niệm về hàm số(khái niệm chung)
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho ứng với mỗi giá trị của x ta
luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x
được gọi là biến số.
Ví dụ: y = 2x; y = -3x+5; y = x2; ……..
Chú ý:


Khi đại lượng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là hàm
hằng.
Ví dụ: Các hàm hằng: y = 2; y = -4; y = 7; …..
2) Một số hàm số quen thuộc:
a) Hàm số cho bởi bảng.
b) Hàm số cho bởi công thức.
- Hàm hằng là hàm có công thức: y = m (trong đó x là biến, m��)
- Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng công thức: y = ax + b

Trong đó x là biến, a, b  �, a 0. , a là hệ số góc, b là tung độ gốc.
Chú ý: Nếu b = 0 thì hàm số bậc nhất có dạng y = ax ( a �0 )
- Hàm số bậc hai: Là hàm số có công thức: y = ax2 +bx +c
Trong đó x là biến, a, b, c  �, a 0.
Chú ý:
Nếu c = 0 thì hàm số bậc hai có dạng y = ax2 + bx ( a �0 )
Nếu b = 0, c = 0 thì hàm số bậc hai có dạng: y = ax2 ( a �0 )
3) Khái niệm hàm đồng biến và hàm nghịch biến.

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x ��.
a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) cũng tăng lên thì hàm số
y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến.
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) giảm đi thì hàm số
y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến.
4) Dấu hiệu nhận biết hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến.
a) Đối với hàm số bậc nhất y = ax+b ( a �0 )
- Nếu a>0 thì hàm số y = ax +b luôn đồng biến trên �.
- Nếu a <0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên �.
b) Đối với hàm số bậc hai một ẩn y = ax2 ( a �0 ) có thể nhận biết đồng biến và nghịch
biến theo dấu hiệu sau:
- Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x >0, nghịch biến khi x <0.
- Nếu a <0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
5) Khái niệm về đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x;
f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị hàm số.
a) Hàm hằng:
Đồ thị của hàm hằng y = m (trong đó x là Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó y là
biến, m ��) là một đường thẳng luôn
biến, m��) là một đường thẳng luôn

song song với trục Ox.
song song với trục Oy.
y
y
y=m
y=m
m
O

x

O

m

x


b) Đồ thị hàm số y = ax ( a �0 ) là một đường thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) luôn đi
qua gốc toạ độ.
(I)
x>0,y>0

y

(II)
x<0,y>0

y=ax(a>0)

(II)
x<0,y>0

y=ax(a<0)

x

O
(III)
x<0,y<0

(I)
x>0,y>0

y

x

O

(IV)
x>0,y<0

(III)
x<0,y<0

(IV)
x>0,y<0

c) Đồ thị hàm số y = ax + b ( a, b �0 ) là một đường thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm)

b
( ; 0)
cắt trục tung tại (0;b) và cắt trục hoành tại a .

(II)
x<0,y>0

(I)
x>0,y>0

y

(II)
x<0,y>0

y

y=ax+b(a>0)
O

y=ax+b(a<0)

(IV)
x>0,y<0

x

O

x

(III)
x<0,y<0

(I)
x>0,y>0

(III)
x<0,y<0

(IV)
x>0,y<0

d) Đồ thị hàm số y = ax2 ( a �0 ) là một đường cong Parabol có đỉnh O(0;0)
- Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a >0.
- Đồ thị ở phía dưới trục hoành nếu a <0.
a <0
y
a >0
y
y = ax2
O

x

x

O
y = ax2

II) Vị trí tương đối của hai đường thẳng(đồ thị hàm số bậc nhất).
Hai đường thẳng y = ax +b ( a �0 ) và y = a’x +b’ ( a ' �0 )
+) Trùng nhau nếu a = a’, b = b’.
+) Song song với nhau nếu a = a’, b �b ' .
+) Cắt nhau nếu a �a ' .
+) Vuông góc với nhau nếu a.a’ = -1.