VỊ TRÍ CUA CÁC ĐIỂM CÓ N VÂN TRÙNG NHAU

Vị trí của các điểm có đúng n vân sáng trùng nhau.
Không mất tính tổng quát ta xét nửa vùng giao thoa với x  0 .
Ta đã biết vân trung tâm có màu giống màu của ánh sáng do nguồn phát ra, các vân sáng bậc khác không bị tách
thành một dải màu (quang phổ liên tục). Bề rộng của quang phổ liên tục bậc k được tính bởi:
 k  k  max  min 

D
a

Khi k tăng, các dải màu nói trên sẽ dãn ra và có thể chồng chất dần lên nhau. Vậy điểm có n vân sáng trùng nhau
phải thuộc vùng giao nhau của n quang phổ có bậc liên tiếp nhau.
Gọi k là bậc thấp nhất của các vân sáng trùng nhau và đặt  

max
min

k(λmax)

Để trong quang phổ bậc k tồn tại vùng mà các điểm trong đó có ít nhất
n vân sáng trùng nhau (vùng tô màu trên hình) ta có điều kiện cần là :

k

max D
a

  k  n  1

min D
a

 k

n  1
 1

k + n – 1 (λmin)
∆k
k(λmin)

(*)

Do k là bậc bé nhất của vùng đang xét nên ta có

k

 n

min D
a

  k  1

max D

 k

a

n  
(**)

 1

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra như sau:
1. Khi k

max D
a

 k  n

min D
a

k

Lúc này hiển nhiên ta có:  k  1

k + n (λmin)
k(λmax)

n
 1

max D
a

  k  n  1

min D

k + n – 1 (λmin)

I

a

k – 1 (λmax)

∆k

Vùng loại a được hình thành như hình 1.
Kết hợp với (*) ta có:

Vùng a

n
n  1
k
  1
 1

k(λmin)

(1)

Hình 1

Điểm M thuộc các vùng này có tọa độ được giới hạn bởi :
k

max D
a

 x M   k  n  1

min D

(a)

a

Khi dấu đẳng thức xảy ra tại đầu bên trái của biểu thức (1) thì tại vị trí biên trên của vùng loại này có n  1
vân sáng trùng nhau. Do đó ta không thể dùng đồng thời dấu đẳng thức bên trái của (1) và (a).
2. Khi k

max D
a

 k  n

min D
a

k

n
 1

Có hai khả năng sau:
* Nếu  k  n  1

k(λmax)

min D
a

  k  1

max D
a

k

n
 1
 1

k + n (λmin)

Vùng b

Vùng loại b được hình thành như hình 2.
n
n
Vậy lúc này ta có:
k
 1
 1
 1

k – 1 (λman)

(2)

Điểm M thuộc các vùng này có tọa độ được giới hạn bởi:

k

 n

min D
a

 x M   k  n  1

min D
a

k + n – 1 (λmin)

(b’)

∆k
k (λmin)
Hình 2


Tương tự như trên ta cũng không thể dùng đồng thời dấu đẳng thức bên phải của (2) và (b).
* Nếu  k  1

max D
a

  k  n  1

min D
a

k

n
 1
 1

J

Vùng loại c được hình thành như hình 3.

Vùng c

n  
n
Kết hợp với (**) ta có:
k
 1
 1
 1

(2)

k

 n

a

 x M   k  1

max D
a

k – 1 (λmax)
k + n – 1 (λmin)

∆k

Điểm M thuộc các vùng này có tọa độ được giới hạn bởi:

min D

k(λmax)
k + n (λmin)

k (λmin)
Hình 3

(c)

Tương tự như trên ta cũng không thể dùng đồng thời dấu đẳng thức bên phải của (3) và (c).
Trên cơ sở các kết quả thu được ta xét các bài toán sau:

Bài toán 1: Tìm số vùng mà mọi điểm trong đó có đúng n vân sáng trùng nhau.
Từ (1), (2) và (3) ta có trong nửa vùng giao thoa đang xét, số vùng có đúng n vân sáng trùng nhau là số giá trị
nguyên của k thỏa:

n  
n  1
(4)
k
 1
 1

* Với ánh sáng trắng ta có   2 nên điều kiện trên trở thành: n  2  k  n  1
Nghĩa là đối với ánh sáng trắng luôn có 6 vùng trong đó có đúng n bức xạ cho vân sáng trùng nhau.
Ví dụ 1. Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe S1 và S2 được chiếu bởi ánh sáng có bước
sóng nằm trong khoảng từ 0,45 µm đến 0,75 µm. Tìm số vùng trên màn mà tại mỗi điểm trong vùng đó có sự
trùng nhau của đúng 4 vân sáng
A. 5
Ta có:  

B. 10

C. 4

D. 8

5
n  
n  1
 8,5 
k

 4,5 .
3
 1
 1

Tồn tại 4 giá trị nguyên của k. Vậy có 8 vùng cần tìm.
Ví dụ 2. Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng hai khe S1 và S2 được chiếu bởi ánh sáng có bước sóng
nằm trong khoảng từ 0,4 µm đến 0,5 µm. Tìm số vùng trên màn mà tại mỗi điểm trong vùng đó có sự trùng
nhau của đúng 4 vân sáng
A. 20
Ta có:  

B. 10

C. 22

D. 11

5
n  
n  1
 21 
k
 11 .
4
 1
 1

Tồn tại 10 giá trị nguyên của k. Vậy có 20 vùng cần tìm.
Bài toán 2: Tìm điểm gần vân trung tâm nhất có đúng n bức xạ trùng nhau.

Từ chứng mih trên ta có giá trị nguyên nhỏ nhất của k thỏa (1) cho ta vùng gần vân trung tâm nhất nên điểm
cần tìm chính là điểm I thuộc vùng loại a và ứng với giá trị nguyên nhỏ nhất của k.
Vậy : x I 

 k min

 n  1

min D
a

(5) với k min 

n  1
  1

Ví dụ 1 (trích đề thi 2017). Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe là 1
mm, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn quan sát là 2 m. Chiếu vào hai khe ánh sáng trắng có
bước sóng từ 380 nm đến 760 nm. Trên màn, M là vị trí gần vân trung tâm nhất có đúng 5 bức xạ cho vân sáng.
Khoảng cách từ M đến vân trung tâm có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?


A. 6,7 mm.

B. 6,3 mm.

C. 5,5 mm.

D. 5,9 mm.

5  1
 4  k min  4
 1

Ta có điều kiện để có 5 vân sáng trùng nhau: k 
Tại điểm M cần tìm ta có: x M  x I   4  5  1

min D
a

 6,08 mm

Ví dụ 2. Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe S1 và S2 được chiếu bởi ánh sáng có bước
sóng biến thiên liên tục từ 0,45 µm đến 0,75 µm. Biết D = 2m, a = 2mm. Khoảng cách ngắn nhất từ vân trung
tâm đến vị trí có đúng 4 bức xạ cho vân sáng trùng nhau có giá trị nào sau đây?
A. 1,6 mm

B. 3,2 mm

Tương tự bài trên ta có điều kiện: k 

C. 1,8 mm

D. 3,6 mm

3
 4,5  k min  5
 1

Điểm cần tìm có tọa độ: x I   5  4  1

min D
a

8

min D
a

 3,6 mm

Bài toán 3: Tìm vị trí của điểm xa vân trung tâm nhất mà tại đó có n vân sáng trùng nhau.
Vùng mà mọi điểm trong đó có đúng n vân sáng trùng nhau và xa vân trung tâm nhất chính là vùng ứng
với giá trị nguyên lớn nhất của k thỏa (c)
Do tại J tồn tại n  1 vân sáng nên điểm M cần tìm có tọa độ :
xM  xJ 

 k max

 n

min D
a

n  
  1

(6) với k max 

Ví dụ 1. Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng có bước sóng biến

thiên liên tục từ 405 nm đến 690 nm. Gọi M là điểm xa vân trung tâm nhất mà ở đó có đúng 4 vân sáng ứng với
4 bức xạ đơn sắc trùng nhau. Biết D = 1 m; a = 1 mm. Khoảng cách từ M đến vân trung tâm có giá trị gần nhất
với giá trị nào sau đây?
A. 3,9 mm.
Ta có: k max 

B. 4,5 mnm.

C. 4,9 mm

D. 5,5 mm.

n  
 8,1  k max  8
 1

Vậy điểm M có tọa độ thỏa: x M  8  4 

min D
a

 4,86 mm

Ví dụ 2. Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe S1 và S2 được chiếu bởi ánh sáng có bước
sóng nằm trong khoảng từ 0,4 µm đến 0,5 µm. Gọi M là điểm xa vân trung tâm nhất mà ở đó có đúng 4 vân
sáng ứng với 4 bức xạ đơn sắc trùng nhau. Biết D = 1 m; a = 1 mm. Khoảng cách từ M đến vân trung tâm có
giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 10,0 mm.

B. 9,7 mnm.

C. 9,4 mm

Tương tự bài toán trên ta có: k max 

n  
 21  k max  20
 1

Vậy điểm M có tọa độ thỏa: x M 

 20

 4

min D
a

 9,6 mm

D. 8,7 mm.


Bài toán 4: Tìm điểm M mà tại đó có n vân sáng trùng nhau trong đó có vân sáng của bức xạ với bước sóng λ0
cho trước.
+ Nếu điểm M thuộc vùng loại a ta có điều kiện: k
Suy ra phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa : k

max D

 m

a

0 D
a

k



 n  1

min D
a

max

 m   k  n  1 min
0
0

Trong vùng loại a ta phải lưu ý vị trí biên trên khi dấu đẳng thức xảy ra trong các biểu thức (1)
+ Nếu điểm M thuộc vùng loại b ta có điều kiện:  k  n 
Suy ra phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa :  k  n 

min D

0 D
a



k

 n  1

min D
a

min

 m   k  n  1 min
0
0

+ Nếu điểm M thuộc vùng loại c ta có điều kiện:  k  n 
Suy ra phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa :  k  n 

a

 m

min D
a

 m

0 D
a



k

 1

max D
a


min
 m   k  1 max
0
0

Ví dụ 1. Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng có bước sóng biến
thiên liên tục từ 405 nm đến 690 nm. Gọi M là điểm gần vân trung tâm nhất mà ở đó có đúng 4 vân sáng ứng
với 4 bức xạ đơn sắc trùng nhau. Biết một trong 4 bức xạ này màu lam ứng với bước sóng 525 nm. Bước sóng
ngắn nhất của 4 bức xạ nói trên
A. 405 nm

B. 408 nm

Tồn tại 1 giá trị nguyên k = 5 thỏa: 5,68 

C. 411 nm

D. 416 nm

4
3
 k 
 4,26
 1
 1

Vậy chỉ tồn tại một vùng loại a.
Nếu bức xạ đang xét cho vân sáng thuộc vùng này thì phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa:
5

max

 m   5  4  1 min
0
0

 6,6  n  6,2 . Vô nghiệm.

Tồn tại 1 giá trị nguyên k = 6 thỏa: 6,68 

n
n
 1  k 
 5, 68
 1
 1

Vậy chỉ tồn tại một vùng loại b
Nếu bức xạ đang xét cho vân sáng thuộc vùng này thì phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa:

6

 4

min

 m   6  4  1 min  7,7  m  6,94  m  7
0
0

Bước sóng nhỏ nhất lúc này được tính bởi: 9  70    408 nm
Ví dụ 2. Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng có bước sóng biến
thiên liên tục từ 405 nm đến 690 nm. Gọi M là điểm xa vân trung tâm nhất mà ở đó có đúng 4 vân sáng ứng
với 4 bức xạ đơn sắc trùng nhau. Biết một trong 4 bức xạ này màu lam ứng với bước sóng 525 nm. Bước sóng
dài nhất của 4 bức xạ nói trên
A. 690 nm
Ta có: 8,1 

B. 660 nm
n  
n
 k 
 1  6,68
 1
 1

C. 630 nm

D. 600 nm

Tồn tại hai vùng loại c ứng với các giá trị k = 7 và k = 8.
Nếu bức xạ đang xét cho vân sáng thuộc vùng k = 8 thì phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa:

8

 4

min D
a

 m

0 D
a

 8  1

Tương tự với k = 7 ta có :  7  4 

max D
a

 9,3  12


min
 n  7 max  9,2 vô nghiệm
0

0


min
 m   7  1 max  8,5  m  7,3  m  8
0
0

Bước sóng dài nhất lúc này được tính bởi: 7  80    600 nm
Ví dụ 3. Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng có bước sóng biến
thiên liên tục từ 392 nm đến 711 nm. Gọi M là điểm trên màn mà ở đó có đúng 4 vân sáng của 4 bức xạ đơn sắc
trùng nhau. Biết một trong 4 bức xạ này có bước sóng 582 nm. Bước sóng ngắn nhất và dài nhất của 4 bức xạ
nói trên là bao nhiêu?
Tồn tại 1 giá trị nguyên k = 4 thỏa: 4,9 

n
n  1
 k 
 3,7
 1
 1

Điều kiện để bức xạ màu lam đang xét cho vân sáng thuộc vùng này
4

max

 m   4  4  1 min
0
0

 6,57  m  6,17 . Vô nghiệm.

Tồn tại 1 giá trị nguyên k = 5 thỏa: 5,9 

n
n
 1  k 
 4,9
 1
 1

Điều kiện để bức xạ màu lam đang xét cho vân sáng thuộc vùng này là:

5

 4

min

 m   5  4  1 min  6,1  m  5,39  m  6
0
0

Bước sóng ngắn nhất được tính bởi: 60  81  1  436,5 nm
Bước sóng dài nhất được tính bởi: 60  52  2  698,4 nm
Tồn tại 2 giá trị nguyên của k thỏa: 7,1 
Với k = 6 ta có: 10

Với k = 7 ta có:

7

n  
n
 k 
 1  5,9 .
 1
 1


min
 m  5 max  6,7  m  6,1 Vô nghiệm
0
0
 4


min
 m  6 max  7,4  m  7,3 . Vô nghiệm
0
0