HSG toán 7 huyện hậu lộc 2017 2018

PHÒNG GD&ĐT

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 7
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi: 26/3/2018
(Thời gian làm bài: 120 phút)

ĐỀ HSG TOÁN 7

Bài 1. (4,0 điểm).
13
19  23
2
8
. ( 0,5 ) .3 +  − 1 ÷:1
15
 15 60  24
b) So sánh: 1620 và 2100

a) Tính: A = 1
Bài 2. (3,0 điểm).

1
1
a) Tìm x biết: 2 x − 7 + = 1
2

2
b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 .3n + 4.3n = 13.35
−1

Bài 3. (4,5 điểm).

2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =
c+d d +a a+b b+c

a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

x
y
z
t
+
+
+
với x, y, z, t là các số
x+ y+ z x+ y+t y+ z +t x+ z +t
tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10 < 1025 .

b) Cho biểu thức M =

Bài 4. (6,5 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường
thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
·
·
a) BAM
và BH = AI.
= ACM
b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc  = 90 0. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia
phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh
BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
Bài 5. (2,0 điểm).
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và −1 ≤ x ≤ 1 , −1 ≤ y ≤ 1 ,
−1 ≤ z ≤ 1 . Chứng minh rằng đa thức x 2 + y 4 + z 6 có giá trị không lớn hơn 2.
-----Hết----Họ và tên thí sinh: …………………………….. Số báo danh: ..............
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.


HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Bài 1.

Nội dung
7 47 47
:

5 60 24
7 2
= −
5 5

+ Biến đổi: A = −
a) 2,0 đ

=1
+ Biến đổi: 1620 = 24.20 = 280
b) 2,0 đ + Có 280 < 2100 vì (1 < 2 ; 80 < 100)
Vậy 1620 < 2100
Bài 2.
1
1
= 1 => 2 x − 7 = 1
2
2
a) 2,0 đ => 2 x − 7 = 1 hoặc 2 x − 7 = −1

+ Ta có 2 x − 7 +

=> x = 4 hoặc x = 3
Vậy x = 4 hoặc x = 3 .
+ Biến đổi được 3n.(3−1 + 4) = 13.35
n
6
b) 1,0 đ => 3 = 3
=> n = 6
KL: Vậy n = 6

Bài 3.

2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
a
b
c
d
2a + b + c + d
a + 2b + c + d
a + b + 2c + d
a + b + c + 2d
−1 =
−1 =
−1 =
−1
a
b
c
d
a +b+c+d a +b+c+d a +b+c+d a +b+c+d
=
=
=
a
b
c
d

≠
+ Nếu a + b + c + d 0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4

Điểm
4,0 đ
1,0
0,50
0,50
0,5
1,0
0,5
3,0 đ
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
4,5 đ

+ Biến đổi:

a)
(2,5 đ)

+ Nếu a + b + c + d = 0
thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)
=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4

+ KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d ≠ 0
Q = - 4 khi a + b + c + d = 0

0,5
0,25
0,25
1,0
0,25
0,25


+ Ta có:

x
x
<
x+ y+z x+ y
y
y
<
x+ y +t x+ y

0,1

z
z
<
y+ z+t z+t

b)

(2,0 đ)

t
t
<
x+ z +t z +t

⇒M < (

x
y
z
t
+
)+(
+
)
x+y x+y
z+t z+t

0,25

=> M < 2

0,5
0,25

+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025

Bài 4.
0,25

1.a/
2,75 đ

1.b/
2,0 đ

·
* Chứng minh: BAM
= ·ACM
+ Chứng minh được: ∆ABM = ∆ACM (c-c-c)
·
·
+ Lập luận được: BAM
= CAM
= 450
+ Tính ra được ·ACM = 450
·
=> BAM
= ·ACM

* Chứng minh: BH = AI.
·
·
+ Chỉ ra: BAH
)
= ·ACI (cùng phụ DAC
+ Chứng minh được ∆AIC = ∆BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)

=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)
b) Tam giác MHI vuông cân.
+ Chứng minh được AM ⊥ BC
+ Chứng minh được AM = MC
·
·
+ Chứng minh được HAM
= ICM
+ Chứng minh được ∆HAM = ∆ICM (c-g-c)
=> HM = MI
·
·
·
·
+ Do ∆HAM = ∆ICM => HMA
=> HMB
(do
= IMC
= IMA

0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,75
0,25

(*)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


·AMB = ·AMC = 900
·
+ Lập luận được: HMI
= 900

0,25
(**)

Từ (*) và (**) => ∆MHI vuông cân
A

0,25
2)
1,5đ

B

E

H

D

C

+ Chứng minh được :

·AEC = ·ABC + BAE
·
·
·
·
·
·
·
·
= HAD
+ DAC
+ BAE
= EAH
+ HAD
+ DAC
= EAC
·
·
(Vì Bµ và HAC
cùng phụ với BAH
)

Bài 5.
2,0 đ

Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE
+ Tương tự chứng minh được AB = BD
+ Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC
+) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y ≥ 0
=> z = - x - y ≤ 0
2
4
6
+) Vì −1 ≤ x ≤ 1 , −1 ≤ y ≤ 1 , −1 ≤ z ≤ 1 = > x + y + z ≤ x + y + z
=> x 2 + y 4 + z 6 ≤ x + y − z
=> x 2 + y 4 + z 6 ≤ −2 z
+) −1 ≤ z ≤ 1 và z ≤ 0 => x 2 + y 4 + z 6 ≤ 2
KL: Vậy x 2 + y 4 + z 6 ≤ 2

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
/>
0,25
(*)
(**)

0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25