020 đề HSG toán 7 huyện than uyên 2017 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THAN UYÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2017-2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
 2
3  193 33   7
11  1931 9 
A  

  : 

 
.
.
 193 386  17 34   1931 3862  25 2 

b) Rút gọn : B   5   5   5   5  ......   5   5 .
Câu 2. (4,0 điểm)
12a  15b 20c  12a 15b  20c
a) Tìm a, b, c biết
và a  b  c  48


7
9

11
b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I , II , III tỉ lệ với 7;6;5.
Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ 6;5;4. Như
vậy có một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 . Tính tổng số đất đã
phân chia cho các đội.
Câu 3. (4,5 điểm)
x  2017  2018
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C 
x  2017  2019
0

b) Chứng tỏ rằng S 

1

2

3

2016

2017

3 8 15
n2  1
   .....  2 không là số tự nhiên với mọi
4 9 16
n

n ,n  2

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho x  xy  y  0
Câu 4. (5,5 điểm) Cho tam giác cân ABC, AB  AC . Trên cạnh BC lấy điểm D,
trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD  CE. Các đường thẳng vuông góc với
BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M , N . Chứng minh rằng:
a) DM  EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi
D thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5. (2,0 điểm)
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ
thị của hàm số y  f ( x)  ax
y 2
a) Tính tỉ số 0
x0  4
b) Giả sử x0  5. Tính diện tích
tam giác OBC.
O


ĐÁP ÁN
Câu 1.
 2
3  193 33 
2 193
3 193 33 2
2 33
a ) 

 
.


.

  
1
.
193
386
17
34
193
17
386
17
34
17
34
34




 7
11  1931 9 
7 1931 11 1931 9 7 11 9
 1931  3862  . 25  2   1931. 25  3862 . 25  2  25  50  2  5



1

 A  1: 5 
5
b)  5 B   5   5   5   ......   5 
1

2

3

2016

B   5   5   5   5  ......   5 
0

1

2

Do đó:  5 B  B  6 B   5

3

2018

  5 

2016

2017

  5 

  5 

2018

2017

1  52018
1 B 
6

Câu 2.
a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12a  15b 20c  12a 15b  20c 12a  15b  20c  12a  15b  20c



0
7
9
11
27
12a  15b

 0  12a  15b 
a
b
c


7
  12a  15b  20c  1  1  1
20c  12a
 0  20c  12a 
12 15 20

9
Và a  b  c  48
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a
b
c
abc
48




 24
1
1
1
1 1
1
1
 
12 15 60 12 15 20 5
 a  20, b  16, c  12
b) Gọi tổng số đất đã phân chia cho các đội là x  m3  , DK : x  0
Số đất dự định chia cho 3 đội I , II , III lần lượt là a, b, c  m3  , DK : a, b, c  0

Ta có

a b c abc x
7x
6x
5x
  
  a  ;b  ; c 
(1)
7 6 5
18
18
18
18
18

Số đất sau đó chia cho 3 đội I , II , III lần lượt là a ', b ', c '  m3  . ĐK: a ', b ', c '  0
a ' b ' c ' a ' b ' c ' x
6x
5x
4x
  
  a '  ; b '  ; c '  (2)
6 5 4
15
15
15
15
15
So sánh (1) và (2) ta có: a  a ', b  b ', c  c ' nên đội I nhận nhiều hơn lúc đầu

Ta có


7 x 6x
x

6
 4  x  360
18 15
90
Vậy tổng số đất đã phân chia cho các đội là 360m3 đất.
Câu 3.

Vì a  a '  6 hay

a)C 

x  2017  2018  x  2017  2019   1
1

1
x  2017  2019
x  2017  2019
x  2017  2019

Biểu thức C đạt giá tri nhỏ nhất khi x  2017  2019 có giá trị nhỏ nhất
Mà x  2017  0 nên x  2017  2019  2019
Dấu "  " xảy ra khi x  2017  C 

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là

2018
2019

2018
khi x  2017
2019

3 8 15
n 2  1 22  1 32  1 42  1
n2  1
b) S     ......  2  2  2  2  .....  2
4 9 16
n
2
3
4
n
1
1
1
1
1 
1 1 1
 1  2  1  2  1  2  .....  1  2  1  1  1  ....  1   2  2  2  .....  2 
2
3
4
n

n 
2 3 4
 S  n  1 (1)

Nhận xét:



1
1 1
1 1
1
1
1

;

;

;......;

22 1.2 32 2.3 42 3.4
n2  n  1.n

1 1 1
1
1
1
1
1

1



.....





.......


1

1
22 32 42
n2 1.2 2.3 3.4
n
 n  1 n

1
1
1 1 1
1 1 1
   2  2  2  ......  2   1   n  1   2  2  2  ......  2    n  1  1  n  2
n 
n 
2 3 4
2 3 4

 S  n  2(2)
Từ (1) và (2) suy ra n  2  S  n  1 hay S không là số nguyên
c) Ta có:


x  xy  y  0
 x 1  y   y  0
 1  y   x 1  y   1
 1  x 1  y   1  1.1  1.  1
1-x
1-y
X
y
Vậy  x; y    0;0 ;  2;2 

1
1
0
0

-1
-1
2
2

Câu 4.

A
M

C
B

H

D

I

O

E

N

a) MDB  NEC  g.c.g   DM  EN (cặp cạnh tương ứng)
 MB  NC (cặp cạnh tương ứng)

b) Ta có:

MDI vuông tại D: DMI  MID  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
NEI vuông tại E: ENI  NIE  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI  ENI


 MDI  NEI ( g.c.g )  IM  IN (cặp cạnh tương ứng)

Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
c) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.

AHB  AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)  HAB  HAC (cặp góc tương ứng)
Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I

OAB  OAC (c.g.c)  OBA  OCA (cặp góc tương ứng) (1)
 OC  OB (cặp cạnh tương ứng)
OIM  OIN (c.g.c)  OM  ON (cặp cạnh tương ứng )
OBM  OCN (c.c.c)  OBM  OCN (cặp góc tương ứng ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra OCA  OCN  900 , do đó OC  AC
Vậy điểm O cố định
Câu 5.
a) Điểm A thuộc đồ thị hàm số y  ax nên tọa độ  2;1 của A phải thỏa mãn hàm
số y  ax

1
1
Do đó, 1  a.2  a  . Vậy hàm số được cho bởi công thức y  x
2
2
Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ lệ thuận
với nhau
y 1 2 y 2
(tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
 0   0
x0 2 4 x0  4
Vậy

y0  2 1

x0  4 2

b) Nếu x0  5 thì y0 

1
5
x0   2,5
2
2

1
Diện tích tam giác OBC là: Áp dụng công thức S  a.h ta có
2
1
SOBC  .5.2,5  6,25
2