HSG toán 7 huyện than uyên 2017 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THAN UYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (4,0 điểm)
�
3 �193 33 ��
11 �1931 9 �
�2
�7
A�
.
 ��
: �

.
 �
� 
�
�
193
386
17
34

1931
3862
25
2 �.
�
�
�
�
�
��
a) Thực hiện phép tính:

B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.

b) Rút gọn :
Câu 2 (4,0 điểm).

12a  15b 20c  12a 15b  20c


7
9
11
a) Tìm a, b, c biết
và a + b + c = 48.

b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5.
Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có
một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
Câu 3 (4,5 điểm).

| x  2017 | 2018
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = | x  2017 | 2019 .
3 8 15
n2 1
   ...  2
n
b) Chứng tỏ rằng S = 4 9 16
không là số tự nhiên với mọi n  N, n > 2.

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
Câu 4 (5,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần
lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN.
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5 (2,5 điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.
y0  2
a) Tính tỉ số x0  4 .

b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC

------------------------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm – SBD: ……………


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THAN UYÊN

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn thi: TOÁN
(Đáp án gồm có 04 trang)

Câu 1. (4,0 điểm)
�
3 �193 33 ��
11 �1931 9 �
�2
�7
A�
.
 ��
: �

.
 �
� 
�
�
193
386
17
34
1931

3862
25
2 �.
�
�
�
�
�
��
a) Thực hiện phép tính:

b) Rút gọn :

a

B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)49 + (-5)50.

�
3 �193 33 � 2 193 3 193 33
�2
2
3 33
.
 �
.

.

 
� 

�
�
193 386 �17 34 �= 193 17 386 17 34 = 17 34 34 = 1
�
�
�
11 �1931 9 �
�7
7 1931 11 1931 9
7 11 9

.
 �
.

.



�
�
�
1931
3862
25
2
�
�
�= 1931 25 3862 25 2 = 25 50 2 = 5
�

1
A= 1: 5= 5

(-5)B =
(-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 + (-5)2018.
B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.
2018
b Do đó: (-5)B – B = (-6)B = (-5) - 1
(5) 2018  1 1  52018
4
4
Vậy B =
=
Câu 2 (4,0 điểm).

0,75
0,75
0,5
0,5
0,75
0,75

12a  15b 20c  12a 15b  20c


7
9
11
a) Tìm a, b, c biết
và a + b + c = 48.

b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5.
Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có
một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
a Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12a  15b 20c  12a 15b  20c 12a  15b  20c  12a  15b  20c



7
9
11
27
=0

12a  15b
�
 0 �1 2a  15b �
�
7
a
b
c
 
�� 12a  15b  20c


20c  12a
1
1

1
 0 � 20c  12a �
�
9
� 12 15 20
và a + b + c = 48
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a
b
c
a bc
48



1
1
1
1 1 1
1
 
12 15 20 12 15 20 = 5 = 24
a
b
c
 240 � a  20
 240 � b  16
 240 � c  12
1
1

1
12
15
20
Vậy a = 20; b = 16; c = 12.

0,25

0,5

0,5

0,5
0,25


Gọi tổng số đất đã phân chia cho các đội là x (m3) ĐK: x > 0.
Số đất dự định chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a, b, c (m3) ĐK: a,b,c > 0.
a b c a bc x
7x
6x
5x
  

�a
; b 
; c 
18
18
18

18
18
Ta có: 7 6 5
(1)
3
Số đất sau đó chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a’, b’, c’ (m ) ĐK: a’,b’,c’ > 0.
a ' b ' c ' a ' b ' c ' x
6x
5x
4x
b
  

� a' 
; b '  ; c ' 
15
15
15
15
15 (2)
Ta có: 6 5 4
So sánh (1) và (2) ta có: a < a’; b = b’ ; c > c’ nên đội I nhận nhiều hơn lúc đầu.
7x 6x
x

�
4
� x  360
90
Vì a – a’ = 6 hay 18 15 = 6

Vậy tổng số đất đã phân chia cho các đội là 360m3 đất.
Câu 3 (4,5 điểm).

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

| x  2017 | 2018
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = | x  2017 | 2019 .
3 8 15
n2 1
   ...  2
n
b) Chứng tỏ rằng S = 4 9 16
không là số nguyên với mọi n  Z, n > 2.

c) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
| x  2017 | 2018
C = | x  2017 | 2019 =

a

b

 x  2017  2019  1
| x  2017 | 2019

=

1

1
| x  2017 | 2019

0,5

Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x  2017 | 2019 có giá trị nhỏ nhất

0,25

Mà | x  2017 | ≥ 0 nên | x  2017 | 2019 ≥ 2019.

0,25

2018
Dấu “=” xảy ra khi x = 2017 � C = 2019 .
2018
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2019 khi x = 2017.

0,25

3 8 15
n2  1
22  1 32  1 42  1
n2  1
   ...  2




...

2
n
32
42
n2
S = 4 9 16
= 2
1
1
1
1
1  2  1  2  1  2  ...  1  2
2
3
4
n
=
1 �
�1 1 1
(1  1  1  ...  1)  � 2  2  2  ...  2 �
n �
�2 3 4
=

0,25

0,25

1 �
�1 1 1
(n  1)  � 2  2  2  ...  2 �
n �
�2 3 4
=

� S < n – 1 (1)

1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
Nhận xét: 2 < 1.2 ; 3 < 2.3 ; 4 < 3.4 ; …; n < (n  1).n
1
1 1 1
1
1
1

1
1
 2  2  ...  2
2
� 2 3 4
n < 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n  1).n = 1– n < 1.

0,25
0,25


1 �
1�
�1 1 1
�1 1 1
 � 2  2  2  ...  2 �
(n  1)  � 2  2  2  ...  2 �
n �>-1 �
n �> (n–1)–1= n – 2.
�2 3 4
� �2 3 4

c

� S > n – 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n – 2 < S < n – 1 hay S không là số nguyên.
Ta có:
x - 2xy + y = 0.
� x(1 – y) + y = 0
� (1 – y) + x(1 – y) = 1

� (1 + x)(1 – y) = 1
Ta có: 1 = 1.1 = (-1).(-1)
Ta có bảng:
1+x
1
-1
1–y
1
-1
x
0
-2
y
0
2

0,25
0,25
0,25

0,5

0,25

0,5

abccjh

Vậy (x;y) {(0;0);(-2;2)}
0,25

Câu 4 (5,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần
lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN.
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC.
GT ∆ABC
AB = AC
BD = CE
MD  BC; NE  BC
BC � MN = {I}
0,25
KL a) DM = EN
Vẽ
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
hình
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm
;
cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Ghi
GTKL
0,5

a
b

∆MDB = ∆NEC (g.c.g)
� DM = EN (cặp cạnh tương ứng)

� MB = NC (cặp cạnh tương ứng)
Ta có:

0,75
0,25
0,5


0
�
�
∆MDI vuông tại D: DMI  MID  90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
0
�
�
∆NEI vuông tại E: ENI  NIE  90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
�
�
�
� = ENI
Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI
∆MDI = ∆NEI (g.c.g)
� IM = IN (cặp cạnh tương ứng)
Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.
∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền.cạnh góc vuông)
�  HAC
�
� HAB
(cặp góc tương ứng)

Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I.
∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
�  OCA
�
� OBA
(cặp góc tương ứng) (1)
�
OC = OB (cặp cạnh tương ứng)
c
∆OIM = ∆OIN (c.g.c)
� OM = ON (cặp cạnh tương ứng)
∆OBM = ∆OCN (c.c.c)
�
�
� OBM
 OCN
(cặp góc tương ứng) (2)
�
�
Từ (1) và (2) suy ra OCA  OCN =900, do đó OC  AC.
Vậy điểm O cố định.
Câu 5 (2,5 điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.

0,75
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

y0  2
a) Tính tỉ số x0  4 .

b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC

a

Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) của A phải thỏa mãn hàm
số y = ax.
1
1
Do đó, 1 = a.2 � a = 2 . Vậy hàm số được cho bởi công thức y = 2 x.
Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ
lệ thuận với nhau.
y0 1 2 y0  2
  
x
2 4 x0  4 (theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
0
Suy ra
y0  2
1
x


4
Vậy 0
= 2.

b

1
5
Nếu x0 = 5 thì y0 = 2 x0 = 2 = 2,5.
Diện tích tam giác OBC là:
1
Áp dụng công thức S = 2 (a.h) ta có:

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,75


1
SOBC = 2 . 5. 2,5 = 6,25.
*Lưu ý. Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
/>_________________Hết__________________
(Cán bộ chấm thi:………………………..)