1/7
Nhóm Toán THCS
Toán học là đam mê
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
QUẬN HAI BÀ TRƯNG
Môn: TOÁN 9 (Thời gian: 90 phút)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Năm học 2017-2018
Ngày kiểm tra: 18/ 4/ 2018
Câu I: (2 điểm)
Cho hai biểu thức A
và B
x
1
x
3
2 x
x
x
x
3
1. Tính giá trị của A khi x
2. Rút gọn biểu thức P
3
3x 3
x 9
x
0, x
9
25
B: A
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu II: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai người cùng làm chung một công việc trong 4 giờ 48 phút thì xong. Thời gian người thứ nhất
làm một mình xong công việc nhiều hơn thời gian để người thứ hai làm một mình xong công
việc là 4 giờ. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu hoàn thành công việc?
Câu III: (2 điểm)
Trên mặt phẳng Oxy cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y x m 3 .
1. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m 1.
2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
3. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) sao cho
y1 y2 3( x1 x2 ).
Bài IV: ( 3,5 điểm)
Cho (O) đường kính AB 2R , xy là tiếp tuyến với (O) tại B,CD là một đường bất kỳ
AC CB . Goi giao điểm của AC, AD với xy theo thứ tự là M, N.
1. Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp.
2. Chứng minh AC.AM AD.AN
3. Goi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm của MN. Chứng minh
rằng tứ giác AOIH là hình bình hành. Khi đường kính CD quay quanh điểm O thì điểm I di động
trên đường nào?
Nhóm Toán THCS:
/>
2/7
Nhóm Toán THCS
Toán học là đam mê
4. Khi góc AHB bằng 60o . Tính diện tích xung quanh của hình tạo thành khi hình bình hành
AHIO quay quanh cạnh AH theo R.
Cho x 0;y 0 vµ x y 1
Câu V: (0,5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
x
y
y 1 x 1
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: (2 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x
25
Thay x 25 (TM) vào biểu thức A :
A
25 1
25 3
6
3
2
2) Rút gọn biểu thức P
B
B: A
2 x
x
x
x
3
2 x
x
3
x
3
B
B
B
P
x
2x
6 x
x
3
9
3 x
9
x
3
3x
3
x
3x
3
1
9
B:A
x
3
P
x
3
P
P
x
x
3 x 3
x 9
3x 3
x 9
1
9
x
x 9
3
x
:
1
.
x
1
x
3
x
3
x
1
3
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Nhóm Toán THCS:
/>
3/7
Nhóm Toán THCS
x
0 x
x
3
Toán học là đam mê
§KX§
3
3
x
3
Dấu bằng xảy ra khi
x
Vậy GTNN của P là
P
1
0
x
1 khi x
1
0 (TM § K )
0
Câu II: (2 điểm)
Đổi 4 giờ 48 phút
24
giờ
5
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ, đk x
24
5
Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x 4 (giờ)
Mỗi giờ người thứ nhất làm được
1
1
(cv), người thứ hai làm được
(cv).
x4
x
Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong
1:
24
giờ nên mỗi giờ cả hai người làm được
5
24 5
(cv).
5 24
Do đó ta có phương trình:
1
1
5
x4 x 5
5x2 68x 96 0
x x 4 24
x( x 4) 24
Có ' 342 5.96 676
' 26 x
34 26
34 26 8
12 (TMĐK).
(loại) và x
5
5
5
Vậy người thứ nhất làm xong công việc một mình trong 12 giờ, người thứ hai làm xong công việc
một mình trong 8 giờ.
Câu III: (2 điểm)
1. Khi m 1 thì (d): y x 2 .
x 1
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x 2 x 2
x 2
Vậy (d) giao (P) tại A(1;1), B(2; 4).
2. Số giao điểm của (d) và (P) là số nghiệm của phương trình: x2 x m 3 x2 x m 3 0
Nhóm Toán THCS:
/>
4/7
Nhóm Toán THCS
Toán học là đam mê
13
.
4
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì 0 13 4m 0 m
3. Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) thì m
13
.
4
Theo Viet ta có x1 x2 1; x1.x2 m 3
Ta có :
y1 x12 , y2 x22
y1 y2 3( x1 x2 )
x12 x22 3( x1 x2 )
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 3( x1 x2 )
Do đó: 1 2(m 3) 3 m 2(TMDK )
Vậy để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) sao cho y1 y2 3( x1 x2 ) thì
m2.
Câu IV: (3,5 điểm)
1.
M
H
I
C
A
K
B
O
D
N
+) Xét (O) có: AB, CD là đường kính BC AD; AC BD (1)
Có CMN là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn CMN
ADC
1
1
AB CB DB (2)
2
2
1
AC (3)
2
Nhóm Toán THCS:
/>
5/7
Nhóm Toán THCS
Toán học là đam mê
Từ (1), (2), (3) CMN ADC (4)
Mà ADC CDN 1800 ( hai góc kề bù).(5)
Từ (4),(5) CMN CDN 180o
Vậy tứ giác MCDN nội tiếp đường tròn.
2.
Xét ACD và ANM có
A chung
CMN ADC (cmt)
ACD ∽ ANM
AC AD
AC. AM AD. AN
AN AM
3.
+) Ta có AHM cân tại H CMH CAH
ACD CAB ( hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau: AD BC ).
mà CMH CAB 900
CAH ACD 900
Xét ACK có CAH ACD 900 AKC 900 CK AH
Xét tứ giác AOIH có HI / / AO MN và OI / / AH CD
Suy ra AOIH là hình bình hành.
+) Có H là trung điểm của MN và M, N thuộc xy cố định H di động trên đường thẳng xy (6)
Vì AOIH là hình bình hành AO IH mà AO không đổi IH không đổi. (7)
Suy ra điểm I di động trên đường thẳng song song với đường thẳng xy.
Nhóm Toán THCS:
/>
6/7
Nhóm Toán THCS
Toán học là đam mê
4.
x
30°
N
I
P
Q
A
H
+) Khi hình bình hành AHIO quay một vòng quanh cạnh AH thì cạnh AO và HI vạch nên 2 hình
nón bằng nhau có đường sinh AO HI R
Cạnh OI vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình tròn
+) Xét
AOP có OAP 30 , OPA 90
sin 30
OP OP
OA
x
OP R.sin 30
+) Xét
R
(đvđd)
2
ABH vuông tại A có: tan 60
AH
AB
AH
AB
2R 2R 3
(đvđd)
tan 60
3
3
+) Ta có: S xq tru 2 .OP. AH
R 2R 3
S xq tru 2 . .
2
3
S xq tru
2 R 2 3
(đvdt)
3
Nhóm Toán THCS:
/>
7/7
Nhóm Toán THCS
Toán học là đam mê
Câu V: (0,5 điểm)
Ta có :
A
x
y
x 2 x y2 y
y 1 x 1 xy x y 1
x y 2 2xy x y
xy 2
2 2xy
6
2
xy 2
xy 2
Do xy 0 xy 2 2
6
6
3 2
1
xy 2
xy 2
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi:
x 0; y 1
xy 0
x 1; y 0
x 0; y 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A 1 tại
.
x 1; y 0
Nhóm Toán THCS:
/>