Đề thi học kì 2 môn toán 9 quận hoàn kiếm hà nội năm học 2017 2018 có đáp án

1/8

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẬN HOÀN KIẾM
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ II TOÁN 9
NĂM HỌC 2017-2018
Thời gian làm bài 90 phút
ĐỀ SỐ 1
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: A 

 a
a 1
1   1
2 
và B  


 : 

a 1
 a 1 a  a   a  1 a 1 

a) Tính giá trị của biểu thức A khi a  2
b) Rút gọn biểu thức B.
c) So sánh

B
với 2

A

d) Tìm GTNN của biểu thức

B( A  2)
A

Bài II: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
12
giờ thì xong. Nếu mỗi người làm
5
một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi
nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?

Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong

Bài III (2,0 điểm).
1

3x  y  5  0

1) Giải hệ phương trình 
x  2  4  0

y

2)Cho parabol (P): y   x 2 và đường thẳng (d) : y  (3  m) x  2  2m
a)Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b)Gọi y A ; yB lần lượt là tung độ hai điểm A và B. Tìm m để y A . yB  16 .
Bài IV: (3,5 điểm). Cho đường tròn  O  , đường kính AB  2 R , dây CD vuông góc với AB tại

điểm H . Điểm M di động trên đoạn thẳng CD , tia AM cắt  O  tại N. Chứng minh:
1)
2)

Tứ giác MNBH nội tiếp.
MC.MD  MA.MN và tích AM . AN không đổi.

Nhóm Toán THCS:
/>

2/8

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

3)
AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN .
4)
Khi M di động trên đoạn CD , trọng tâm G của tam giác CAN chạy trên một đường
tròn xác định.
Bài 5: (0,5 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
P a  2b  3c  c 2a  3b  a  2b  3c

Nhóm Toán THCS:
/>

3/8

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

HDG:
Bài 1:
a) ĐKXD: a  1

2 1
 3 2 2 .
2 1

Với a  2 (TMĐK).Thay vào A có: A 
b)Với a  0, a  1 ta có:
 a
1   1
2 
B  


 : 

 a 1 a  a   a  1 a 1 

B


B
B





a. a



a 1


a

a 1



a 1

:
a





1



a 1

 
:
a 
 



1( a  1)



a  1 ( a  1)







a  1 ( a  1) 

2



a 1



a  1 ( a  1)

a 1
1
a 1
:

a
a 1
a

c)
Xét

B
 a 1 a 1 
2 
:
2
A
 a a 1 
a  1  2 a ( a  1) 2
 a 1 a  1 

.

2




a
a
 a a 1 

Ta có ( a  1)2  0 với mọi a  0, a  1

a  0 với mọi a  0, a  1
Vậy

B
B
( a  1) 2
 0 hay  2  0   2
A
A
a

d)
B
a  1  a 1
1
 3a  1
. A  2 
.
 2 
3 a
A
a 1  a 1 
a

a

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương 3 a và

1
1
1
ta có: 3 a 
 2 3 a.
2 3
a
a
a

Nhóm Toán THCS:
/>

4/8

Nhóm Toán THCS
Dấu “=” xảy ra  3 a 

Vậy GTNN của

Toán học là đam mê
1
1
 3a  1  a  (t/m)
3
a

B
1
. A  2  2 3  a 
A
3

Bài 2:
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ) ĐK: x 

12
5

Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x  2 (giờ).
Mỗi giờ người thứ nhất làm được

1
1
(cv), người thứ hai làm được
(cv).
x2
x

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong
=

12
12
giờ nên mỗi giờ cả hai người làm được 1:
5

5

5
(cv).
12

Do đó ta có phương trình
x2 x 5
1
1
5
 5 x 2  14 x  24  0




x( x  2) 12
x x  2 12

 x

6
(loại) hoặc x  4 (TMĐK).
5

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm một mình xong
công việc trong 6 giờ.
Bài 3:
1. ĐKXĐ: y  0 . Đặt

1
 a  a  0
y

Ta có hệ phương trình:
 x  2
3 x  a  5  0
6 x  2a  10  0
7 x  14  0
 x  2





a  1TMÐK 
 x  2a  4  0
 x  2a  4  0
 x  2a  4  0
 2a  x  4
 x  2
 x  2

 1

 y  1TMÐK 
 y 1


Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y    2;1

Nhóm Toán THCS:
/>

5/8

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

2/
a/ Hoành độ giao điểm của d và P là nghiệm của phương trình

 x 2  3  mx  2  2m  x 2  3  mx  2  2m  0
  3  m   4.1.2  2m   9  6m  m 2  8  8m
2

 m 2  2m  1  m  1

2

Để d cắt P tại hai điểm phân biệt thì   0  m  1  0  m  1
Vậy ….
b/ y A . y B  16   x12 . x 22   x1 .x 2   16
2

 x1  x 2  m  3
Theo Vi-et ta có: 
 x1 .x 2  2  2m
Ta có: 2  2m   16  4  8m  4m 2  16  4m 2  8m  12  0

2

m  3tm

m  1l 
Vậy m  3 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 4:

C
N
I
1

M
A

2

P
B

H

D
a)

Nhóm Toán THCS:
/>

6/8

Nhóm Toán THCS
AB (giả thiết) nên MHB 900

Vì CH

Mà ANB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
MHB MNB 1800
Suy ra tứ giác MNBH nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 1800 )

b)
Xét MCA và MND

M 2 (đối đỉnh)

Có: M 1

CAM MDN (góc nội tiếp chắn cung CN )
MCA
MND (g.g)
MC MA
MN MD
MC.MD MA.MN
* Xét AMH và ABN Có
A chung
H

900

N

AMH
ABN (g.g)
AM AH
AB AN
AM . AN AH . AB const
c)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp MCN .

CB   I   P
Xét ( I ) có : CPM

CNM .(1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM)

Xét (O) : CBA CNM .(2) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CA
Từ (1) và (2)
Mà :

CPM

CBA BAM
CPM

CBA

900

BCD 900

CMB 900

CP là đường kính.
C ; I ; P là 3 điểm thẳng hàng.

Hay C ; I ; B thẳng hàng.
Mà :
CB CA

CI

CA

Nhóm Toán THCS:
/>
Toán học là đam mê


7/8

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

Hay CA là tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại C.
d)

C
N
G

K

M
E
A

O

H

B

D
Gọi K là trung điểm của AC  K cố định
Từ G là trọng tâm CAN dựng đường thẳng song song với ON cắt OK tại E
Khi đó

KE KG EG


KO KN ON

Do G là trọng tâm CAN 


NG 2
KG 1
 

NK 3
KN 3

KE EG EG 1



KO ON
R
3

Do I, O cố định  E cố định
Lại có EG 

R
không đổi
3



1 
3 

Nên trọng tâm G của CAN chuyển động trên đường tròn  E; R  không đổi



Bài 5: Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

Nhóm Toán THCS:
/>

8/8

Nhóm Toán THCS

Toán học là đam mê

a  2b  3c  2
2
b  2c  3a  2
(b  2c  3a).2 
2
c  2a  3b  2
(c 2a  3b).2 
2

(a  2b  3c).2 

6(a  b  c)  6
2
6.1  6
 a  2b  3c  c 2a  3b  a  2b  3c 
: 2
2
 P3 2

 2.





a  2b  3c  c 2a  3b  a  2b  3c 





Dấu“ = ” xảy ra
abc

1
3

Vậy giá trị lớn nhất của P là: 3 2  a  b  c 

1
3

Nhóm Toán THCS:
/>