3 chuyên đề QUAN HỆ VUÔNG góc Lớp 11 , Ôn Thi Đại Học

DẠNG 1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – BÀI TẬP MẪU

• Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
a   P 
Viết dạng mệnh đề: d // P   
d //a
• Tính chất giao tuyến song song:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b
song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt
phẳng phải song song với a và b.
Viết dạng mệnh đề:
 a   P  ;b   Q  ;  P    Q   
a // b


 // a // b

• Tính chất để dựng thiết diện song song:
Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một
mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆
phải song song với a.
a// P 

Viết dạng mệnh đề: a   Q 

  // a

P  Q  


• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng
(P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm
trong (P). Viết dạng mệnh đề: d  P

a   P 

  

d  a
+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc
với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong (P).
+ Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d1; d2 cùng
vuông góc với (P) thì d1 // d2.
+ Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P1); (P2) cùng vuông
góc với đường thẳng d thì (P1) // (P2).
+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một
đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường
thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong
(P).


a //  P 
 d  a
Viết dạng mệnh đề: 



d  P

a   P



+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông
góc xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P)
vuông góc với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’.

Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC cân tại A. Gọi
H là trực tâm tam giác ABC.
a) Chưng minh rằng BH  SAC  và CH   SAB  .
b) Gọi K là trực tâm tam giác SBC chứng minh rằng: SC  HBK  và HK  SBC  .
Lời giải:
a) Do H là trực tâm tam giác ABC nên ta có: BH  AC
Mặt khác BH  SA nên suy ra BH  SAC  .
Tương tự ta có:

CH  AB
 CH  SAB .

CH

SA


b) Ta có : K là trực tâm tam giác SBC nên BK  SC
Mặt khác BH  SAC   BH  SC do vậy SC  BHK  .
 AM  BC
Ta có M là trung điểm của BC thì 
SA  BC

 BC   SAM 

. Khi đó K là trực tâm tam giác SBC nên K
BC  SM
thuộc đường cao SM suy ra BC  HK .
Mặt khác do SC  BHK   SC  HK do vậy
HK  SBC  dpcm.

Câu 2: [ĐVH]. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, tam giác ABC là tam giác đều và hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng: AC   SBD  , AB  SHC  .
b) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên SD chứng minh rằng SC   AMC  .


a) Do ABCD là hình thoi nên ta có: AC  BD .
Mặt khác ABC là tam giác đều nên H thuộc đoạn
BD do vậy SH  AC từ đó suy ra AC   SBD .
Do H là trọng tâm cũng là trực tâm tam giác đều
ABC nên CH  AB lại có AB  SH suy ra
AB  SHC  .
b) Do AC   SBD  AC  SD , mặt khác ta có:
AM  SD từ đó suy ra SD   ACM  dpcm .

Câu 3: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AC, gọi E là điểm thuộc cạnh AB sao cho
AB  4 AE và F là hình chiếu vuông góc của H trên A’E. Chứng minh rằng:
a) AB   A ' HE  .
b) HF   A ' ABB ' .
Lời giải:
a) Gọi M là trung điểm của AB ta có CM  AB

(do tam giác ABC đều).
Khi đó E là trung điểm của AM do vậy HE là
đường trung bình của tam giác ACM nên
HE / /CM  HE  AB lại có A ' H  AB nên suy
ra AB   A ' HE   dpcm  .
b) Do AB   A ' HE   AB  HF mặt khác
HF  A ' E do vậy HF   A ' ABB '  dpcm .

Câu 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SB  SD .
a) Chứng minh rằng AC  SBD .
b) Kẻ AK  SB  K  SB  . Chứng minh rằng SB   AKC  .
Lời giải:


a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Tam giác SBD có SB  SD
 SBD cân tại S  SO  BD
Mà AC  BD  AC  SBD
b) Ta có AC  SBD  AC  SB
Mà SB  AK  SB   AKC 









Câu 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M

là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng BC  SAM  .
b) Kẻ AH  SM  H  SM  . Chứng minh rằng AH  SBC  .
c) Gọi  P

 là mặt phẳng chứa AH và vuông góc với SAC  cắt SC tại K. Chứng minh rằng SC   P  .
Lời giải:

BC  AM
a) Ta có 
 BC  SAM 
BC

SA

b) Vì BC  SAM   BC  AH
Mà AH  SM  AH  SBC 
c) Ta có SAC    P   AK
 AK là hình chiếu của AH lên SAC 
Mà AH vuông góc với SC








 là hình chữ nhật và AB  2 AD . Tam giác SAB nằm
Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AD , M là hình chiếu của S nằm trên

1
AB thỏa mãn AM  AB .

4

a) Chứng minh rằng AC  SDM .



 AK vuông góc với SC  SC  P

b) Kéo dài DM

cắt BC tại I . Hạ CH  SI H  SI . Lấy điểm K trên cạnh SC sao cho SK 

Chứng minh rằng BK   AHC 




Lời giải:

3

SC .
4



. .
.
1 . .
MD  MA  AD   DC  AD
4
AC  AD
. 
. DC
. .
 1 . . 

a) Ta có









 MD.AC    DC  AD  AD  DC
 4
. .
1 . . 1
  DC.AD  DC 2  AD2  AD.DC
4
4

1
2
 0  .  2a   a 2  0  0  DM  AC
4
Mà AC  SM  AC  SDM 

















SK 3
  BK / /SI  BK  CH 1
b) Ta có IB  IM  BM  3 , mà
IC ID DC 4
SC 4
Vì AC  SDM   AC  SI  BK  AC 2 . Từ 1 và 2  BK   AHC 

Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA  (ABCD).

Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng rằng CD  (SAD), BD  (SAC).
b) Chứng minh rằng SC  (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK).
c) Chứng minh rằng HK  (SAC), từ đó suy ra HK  AI.
Lời giải:

a) Ta có CD  AD và CD  SA (do SA  (ABCD) có chứa CD).
 CD (SAD).
Tương tự, BD  AC (do ABCD là hình vuông) và BD  SA (do SA  (ABCD) có chứa BD)  BD
(SAC).
b) Theo a, CD (SAD)  CD AK , (1).
Lại có AK  SD, (2).


Từ (1) và (2) ta được AK (SCD)
Mà SC  (SCD)  AK SC, (*)
Chứng minh tương tự ta cũng được AK SC, (**).
SC  ( AHK )

Từ (*) và (**) ta được SC  (AHK). Do 





SC  AI

 AI  ( AHK )

 

.
AI //( AHK )



Do A  (AHK) nên không thể xảy ra AI // (AHK), khi đó AI  (AHK), hay điểm I thuộc (AHK).
c) Ta nhận thấy BD  (SAC), nên để chứng minh HK  (SAC) ta sẽ tìm cách chứng minh BD // HK.
Thật vây, do các tam giác SAB và SAD bằng nhau nên các đường cao AH và AK bằng nhau. Khi đó,

∆SAH = ∆SAK  SH = SK 

Mà AI  (SAC)  HK  AI.

SH
SB



SK

 HK // BD  HK  (SAC)

SD

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC 
a 2 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.
a) Chứng minh rằng SH  (ABCD).
b) Chứng minh rằng AC  SK và CK  SD.
Lời giải:

a) ∆ABC đều nên SH  AB, (1).
 SB  BD  a
Ta có SB = BC = a, đồng thời 

 SC 2  SB 2  BC 2  SB  BC
SC  a 2

Mà BC  AB  BC  (SAB)  BC  SH, (2).
Từ (1) và (2) ta có SH  (ABCD).
b) Theo a, SH  (ABCD)  SH  AC.
Do HK là đường trung bình của ABD nên HK // BD, mà BD  AC  HK  AC.
Từ đó ta được, AC  (SHK), hay AC  SK.
CK  DH

Lại có 

CK  SH

 CK  (SHD) , hay CK  SD

Câu 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD
là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH  AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM  SA. Tính AM theo a.
Lời giải:


a) Ta có: SI 

a 3 ; IJ  AD  a; SJ  1 CD  a
2
2
2

Do vậy tam giác SIJ vuông tại đỉnh S



IJ  CD
Lại có: 
 CD  SIJ 
SI

CD



SI  CD
 SI  SCD tương tự chứng minh
Khi đó: 
SI  SJ
trên ta cũng có SJ  (SAB).
b) Dựng SH  IJ lại có SH  CD  SH   ABCD



 SH  AC



BM  SA
SI 2 3a
a
 ; HJ 
c) Do 
 BM  AH . Ta có : HI 
IJ
4
4
SH  BM
. .
.
.
.
.
. .







. .

Đặt CM  x ta có: BM .AH  0  BC  CM . AI  IH  BC.IH  CM .AI  0


3a2

4



ax
2

0x

3a

 AM 
 a 5
AD2  DM 2
2
2

Câu 10: Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy
2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC.
a) Chứng minh rằng CC  (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của BCD.
Lời giải:
BM  MA
 BM  CMD  BM  CC ' .
a) Ta có: 
BM  CD
Do vậy CC '  BMD  CC '  BD
b) Dễ thấy BK  CD . Lại có

HK  AB

 HK  BD .

HK

CD

Mặt khác CC '  BD  BD  CK
Do vậy K là trực tâm tam giác BCD.


Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD, có SA  (ABCD) và BC= a, đáy ABCD là hình thang vuông có
đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD.
a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C.
b) Kẻ SN vuông CD tại N. Chứng minh rằng CD  (SAN).
Lời giải:
a) Ta có: ABCM là hình vuông cạnh a do
1
vậy CM  a  AD  ACD vuông tại
2
C.
Lại có:

CD  AC
 CD  SC hay tam

CD  SA

giác SCD vuông tại C.
b) Kẻ SN  CD  N  C  CD 
(SAN).

SAB và SAC  cùng vuông góc với đáy. Gọi D và E lần
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG
VUÔNG GÓC
Câu 1: Cho khối chóp tam giác
S.ABC. có đáy ABC là tam giác
vuông tại C , hai mặt phẳng

lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SCvà SB.
Chứng minh rằng:
a) SAC   SBC  .
b)  SAB    ADE 

Lời giải:
 SAB    ABC 
a) Do 
 SA   ABC   SA  BC .
 SAC    ABC 
Lại có: AC  BC suy ra BC  SAC   SAC   SBC .
b)
Do
do vậy
suy ra

BC  SAC   BC  AD , lại có AD  SC
AD  SBC   AD  SB , mặt khác SB  AE nên
SB   ADE  do vậy  SAB    ADE   dpcm .

Câu 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hình chiếu vuông góc của

đỉnh S xuống mặt phẳng đáy  ABCD là trọng tâm tam giác ABD. Gọi E là hình chiếu của điểm B trên
cạnh SA. Chứng minh rằng:
a) SAC    SBD  .
b) SAC   BDE 
Lời giải


a) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD  AC .
Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường
chéo AC khi đó BD  SH do vậy BD  SAC 
Suy ra SAC    SBD  .
b) Ta có: BD  SAC   SA  BD
Lại có BE  SA  SA  BDE 
Do vậy SAC   BDE  dpcm .

Câu 3: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, gọi M là trung điểm của AB, hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy  ABC  là trung điểm của CM và N là hình chiếu vuông
góc của M trên A’C. Chứng minh rằng:
a)  A ' ABB '   A ' MC  .
b)  A ' ACC '   A ' NB .
Lời giải
a) Ta có M là trung điểm của AB nên ta có:
CM  AB , lại có AB  A ' H  AB   A ' MC 
Do vậy  A ' ABB '   A ' MC .
b) Do vậy AB   A ' MC   AB  A 'C .
Lại
có:

A 'C  MN  A 'C   ANB

Do vậy  A ' ACC '   A ' NB dpcm











Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng  SAD   SAB  , SBC    SAB .
b) Gọi I là trung điểm của SB . Chứng minh rằng  ACI   SBC  .
c) Xác định J trên cạnh SA sao cho  BJD    SAD .
Lời giải :


a) Gọi H là trung điễm của AB  SH  AB
 SAB    ABCD 
Ta có 
 SH   ABCD
 SH  AB
 AD  AB
 AD  SAB
Ta có 
AD  SH
mà AD  SAD  SAD  SAB

BC  AB
Ta có 
 BC  SAB 
BC  SH

mà BC  SBC   SBC   SAB

1
BC  SAB  BC  AI 2
Từ 1,  2  AI  SBC 
mà AI   ACI    ACI   SBC 
c) Ta có AD  SAB  AD  BJ
 Để  BJD  SAD  thì BJ  SA  J
b) SAB đều  AI  SB

Câu 5: Cho hình chóp

là trung điễm của SA

a6
ˆ
S.A BCD có đáy là hình thoi cạnh a , B
AC  600 , SA 
và vuông

góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh rằng:
a)  SDB  SDC  .
b) SBC    SAD  .

2





Lời giải :

a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Kẻ OH  SD, AE  SD
BC  AD
Ta có 
 BC  SAD  BC  SD
BC

SA

Mà SD  OH  SD  BHC   BH  SD 1
Trong tam giác vuông SAD ta có
6
a .a
3
2S
SA.AD
AE  SAD 
 2
a
SD
3a2  2
SA2  AD2
 3a

2
1
a 1
 OH  AE   BC  BHC vuông ở H
2
2 2
 BH  CH 2
Từ 1, 2  BH  SCD  SBD  SCD
BC  AD
 BC   SAD  SBC    SAD 
b) Ta có 
BC

SA

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của AB .
a) Chứng minh rằng SCM    SAB  .
b) Chứng minh rằng SAC   SDM  .

 ˆA  Dˆ  90 , AB  AD  2CD  .
0


c) Gọi AD giao BC tại E . Tìm K trên SE sao cho  AKC    SEB .
Lời giải :
a) Ta có CM / / AD  CM  AB
CM  AB
Ta có : 
 CM  SAB

CM  SA
Mà CM  SCM   SCM   SAB 
b) AMCD là hình vuông  DM  AC
DM  AC
Ta có : 
 DM  SAC 
DM  SA

Mà DM  SDM   SDM   SAC  







Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC.

a) Chứng minh (SBC)  (SAC).

b) Chứng minh (ABI)  (SBC).
Lời giải:

a) Kẻ SH  AC  SH   ABC   SH  BC . Kết hợp BC  AC  BC  SAC   SBC   SAC  .
b) Theo câu a, BC  SAC , AI  SAC   BC  AI .
Tam giác SAC đều, AI là trung tuyến nên AI  SC  AI  SBC    ABI   SBC  .
Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt
a
3a

là hai điểm trên BC và DC sao cho MB  ; DN 
. Chứng minh rằng (SAM)  (SMN).
2
4
Lời giải:


Ta có
2

2

2

2

AM  AB  BM  a 

a2

5a2


4 24
 3a  25a2
2
2
2
2
AN  AD  DN  a    

2 4  2 16 2
a


 a  5a
MN 2  MC 2  NC 2       
16
2 4
Dẫn đến AN 2  AM 2  MN 2  AM  MN . Mà SA   ABCD  SA  MN .
Kết hợp thu được MN  SAM   SMN   SAM  .
Câu 9: Cho chóp S.ABCD có đáy là thang vuông tại A,D, có AB  2a , AD  DC  a, SAB và

SAD cùng vuông góc với đáy, SA  a. Gọi E là trung điểm SA, M là điểm thuộc AD sao cho AM  x.
(α) là mặt phẳng qua EM và vuông góc với (SAB).
a) Chứng minh SA   ABCD
b) Xác định (α)
Lời giải:
a) Ta có :  SAB    SAD  SA



 SAB    ABCD 
Mặt khác: 
 SA   ABCD
 SAD    ABCD
 AD  AB
b) Do 
 AD   SAB 
AD


SA

Điểm M thuộc AD do vậy MA  SAB .
Khi đó: EMA  SAB
Hay    EMA








Câu 10: Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh SA vuông góc với đáy. (α) là mặt phẳng qua
A và vuông góc với SC.   SC  I.
a) Xác định K  SO   
b) Chứng minh  SBD  SAC 
c) Chứng minh BD "  
d) Xác định giao tuyến d của (SBD) và   . Tìm thiết diện chóp và   .
Lời giải:
Dựng AI  SC , AI cắt SO tại K, từ K kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SB va SD lần lượt tại M và N.
Ta có: MN / / BD  MN  AC
Mặt khác MN / / BD  SA  MN  SAC   MN  SC .
Lại có: AI  SC   AMIN   SC .
a) Điểm K  AI  SO .
BD  AC
 BD  SAC   SAC    SBD
b) Do 
BD


SA

c) Do BD / /MN  BD / /  
d)  SBD  ∩    MN và thiết diện là tứ giác AMIN.




DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Câu 1: Cho khối chóp tam giác S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại C , hai mặt phẳng
SAB và SAC  cùng vuông góc với đáy. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các
cạnh SCvà SB. Chứng minh rằng:
c) SAC   SBC  .
d)  SAB    ADE 
Lời giải:

 SAB    ABC 
c) Do 
 SA   ABC   SA  BC .
 SAC    ABC 
Lại có: AC  BC suy ra BC  SAC   SAC   SBC .
d)
Do
do vậy
suy ra

BC  SAC   BC  AD , lại có AD  SC
AD  SBC   AD  SB , mặt khác SB  AE nên
SB   ADE  do vậy  SAB    ADE   dpcm .

Câu 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S xuống mặt phẳng đáy  ABCD là trọng tâm tam giác ABD. Gọi E là hình chiếu của điểm B trên
cạnh SA. Chứng minh rằng:
c) SAC    SBD  .
d) SAC   BDE 
Lời giải


c) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD  AC .
Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường
chéo AC khi đó BD  SH do vậy BD  SAC 
Suy ra SAC    SBD  .
d) Ta có: BD  SAC   SA  BD
Lại có BE  SA  SA  BDE 
Do vậy SAC   BDE  dpcm .

Câu 3: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, gọi M là trung điểm của AB, hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy  ABC  là trung điểm của CM và N là hình chiếu vuông
góc của M trên A’C. Chứng minh rằng:
c)  A ' ABB '   A ' MC  .
d)  A ' ACC '   A ' NB .
Lời giải
c) Ta có M là trung điểm của AB nên ta có:
CM  AB , lại có AB  A ' H  AB   A ' MC 
Do vậy  A ' ABB '   A ' MC .
d) Do vậy AB   A ' MC   AB  A 'C .
Lại
có:

A 'C  MN  A 'C   ANB

Do vậy  A ' ACC '   A ' NB dpcm











Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy.
d) Chứng minh rằng  SAD   SAB  , SBC    SAB .
e) Gọi I là trung điểm của SB . Chứng minh rằng  ACI   SBC  .
f) Xác định J trên cạnh SA sao cho  BJD    SAD .
Lời giải :


d) Gọi H là trung điễm của AB  SH  AB
 SAB    ABCD 
Ta có 
 SH   ABCD
 SH  AB
 AD  AB
 AD  SAB
Ta có 

AD  SH
mà AD  SAD  SAD  SAB
BC  AB
Ta có 
 BC  SAB 
BC  SH

mà BC  SBC   SBC   SAB

1
BC  SAB  BC  AI 2
Từ 1,  2  AI  SBC 
mà AI   ACI    ACI   SBC 
f) Ta có AD  SAB  AD  BJ
 Để  BJD  SAD  thì BJ  SA  J
e) SAB đều  AI  SB

Câu 5: Cho hình chóp

là trung điễm của SA

a6
ˆ
S.B BCD có đáy là hình thoi cạnh a , B
AC  600 , SA 
và vuông

góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh rằng:
a)  SDB  SDC  .
b) SBC    SAD  .

2





Lời giải :

c) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Kẻ OH  SD, AE  SD
BC  AD
Ta có 
 BC  SAD  BC  SD
BC

SA

Mà SD  OH  SD  BHC   BH  SD 1
Trong tam giác vuông SAD ta có
6
a .a
3
2S
SA.AD
AE  SAD 
 2
a
SD
3a2  2

SA2  AD2
 3a
2
1
a 1
 OH  AE   BC  BHC vuông ở H
2
2 2
 BH  CH 2
Từ 1, 2  BH  SCD  SBD  SCD
BC  AD
 BC   SAD  SBC    SAD 
d) Ta có 
BC

SA

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của AB .
d) Chứng minh rằng SCM    SAB  .
e) Chứng minh rằng SAC   SDM  .

 ˆA  Dˆ  90 , AB  AD  2CD  .
0


f) Gọi AD giao BC tại E . Tìm K trên SE sao cho  AKC    SEB .
Lời giải :
c) Ta có CM / / AD  CM  AB
CM  AB

Ta có : 
 CM  SAB
CM  SA
Mà CM  SCM   SCM   SAB 
d) AMCD là hình vuông  DM  AC
DM  AC
Ta có : 
 DM  SAC 
DM  SA

Mà DM  SDM   SDM   SAC  







Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC.

c) Chứng minh (SBC)  (SAC).

d) Chứng minh (ABI)  (SBC).
Lời giải:

c) Kẻ SH  AC  SH   ABC   SH  BC . Kết hợp BC  AC  BC  SAC   SBC   SAC  .
d) Theo câu a, BC  SAC , AI  SAC   BC  AI .
Tam giác SAC đều, AI là trung tuyến nên AI  SC  AI  SBC    ABI   SBC  .
Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt

a
3a
là hai điểm trên BC và DC sao cho MB  ; DN 
. Chứng minh rằng (SAM)  (SMN).
2
4
Lời giải:


Ta có
2

2

2

2

AM  AB  BM  a 

a2

5a2


4 24
 3a  25a2
2
2
2

2
AN  AD  DN  a    
2 4  2 16 2
a


 a  5a
MN 2  MC 2  NC 2       
16
2 4
Dẫn đến AN 2  AM 2  MN 2  AM  MN . Mà SA   ABCD  SA  MN .
Kết hợp thu được MN  SAM   SMN   SAM  .
Câu 9: Cho chóp S.ABCD có đáy là thang vuông tại A,D, có AB  2a , AD  DC  a, SAB và

SAD cùng vuông góc với đáy, SA  a. Gọi E là trung điểm SA, M là điểm thuộc AD sao cho AM  x.
(α) là mặt phẳng qua EM và vuông góc với (SAB).
c) Chứng minh SA   ABCD
d) Xác định (α)
Lời giải:
c) Ta có :  SAB    SAD  SA



 SAB    ABCD 
Mặt khác: 
 SA   ABCD
 SAD    ABCD
 AD  AB
d) Do 
 AD   SAB 

AD

SA

Điểm M thuộc AD do vậy MA  SAB .
Khi đó: EMA  SAB
Hay    EMA








Câu 10: Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh SA vuông góc với đáy. (α) là mặt phẳng qua
A và vuông góc với SC.   SC  I.
e) Xác định K  SO   
f) Chứng minh  SBD  SAC 
g) Chứng minh BD "  
h) Xác định giao tuyến d của (SBD) và   . Tìm thiết diện chóp và   .
Lời giải:
Dựng AI  SC , AI cắt SO tại K, từ K kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SB va SD lần lượt tại M và N.
Ta có: MN / / BD  MN  AC
Mặt khác MN / / BD  SA  MN  SAC   MN  SC .
Lại có: AI  SC   AMIN   SC .
e) Điểm K  AI  SO .
BD  AC
 BD  SAC   SAC    SBD

f) Do 
BD

SA

g) Do BD / /MN  BD / /  
h)  SBD  ∩    MN và thiết diện là tứ giác AMIN.




DẠNG 3. TỔNG HỢP VỀ CHỨNG MINH VUÔNG GÓC- BÀI TẬP
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là tam giác
vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB).
b) Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ. Chứng minh SH  AC và tính độ dài SH.
c) Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM  SA. Tính AM theo a.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA  đáy và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB =
a, BC = 2a. Ngoài ra SC  BD.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Tính theo a độ dài đoạn AD.
c) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với 0  x  a . Tính độ dài đường cao DE của tam giác
BDM theo a và x. Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ nhất.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA  đáy và SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a,
ˆ
B
AC  300 . Gọi M là một điểm di đọng trên cạnh AC, H là hình chiếu của S trên BM.
a) Chứng minh AH  BM.
b) Đặt AM = x, với 0  x 

3. Tính khoảng cách từ S tới BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này là lớn

nhất, nhỏ nhất.
Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. cạnh bên AA’ = a và vuông góc với
đáy.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI  BC’.
b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh AM  BC’.
c) Gọi K là một điểm trên đoạn A’B’ sao cho KB’ = a/4 và J là trung điểm của B’C’.
Chứng minh AM  (MKJ).
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = SB =

2a 3

.
3

a) Kẻ SH  (ABC). Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Tính đọ dài SH theo a.
c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC  (SAI).
d) Gọi  là góc giữa SA và SH. Tính .
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có ABD là tam giác đều, BCD là tam giác
ˆ
cân tại C có B
CD  1200 . SA đáy.
a) Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC  (AHK).
b) Gọi C’ là giao điểm của SC với (AHK). Tính diện tích tứ giác AHC’K khi AB = SA = a.
Câu 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ CK 
BD.
a) Chứng minh C’K  BD.
b) Chứng minh (C’BD)  (C’CK).

c) Kẻ CH  C’K. Chứng minh CH  (C’BD).


Câu 8: Cho tam giác đều ABC. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S. Gọi D là
trung điểm của BC.
a) Chứng minh (SAD)  (SBC).
b) Kẻ CI  AB, CK  SB. Chứng minh SB  (ICK).
c) Kẻ BM  AC, MN  SC. Chứng minh SC  BN.
d) Chứng minh (CIK)  (SBC) và (MBN)  (SBC).
e) MB cắt CI tại G, CK cắt BN tại H. Chứng minh GH (SBC).
f) Chứng minh 6 điểm B, C, I, K, M, N cách đều D.