TAI LIEU LUYEN THI VAO THPT

PHẦN I: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (4 tiết)
1. Các bài toán rèn luyện kĩ năng tính toán cơ bản
Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức
1)
2
( 2 1)+
2)
2
( 2 1)−
3)
2
( 3 2)−
4)
2
( 3 2)−
Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai
1)
8 2 15+
2)
10 2 21−
3)
5 24+
4)
12 140−
5)
14 6 5+
6)
8 28−
7)
9 4 2+
8)

28 6 3+
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
1) x
2
− 5x + 6 2) x
2
− 7x + 6 3) x
2
+ 9x + 20 4) x
2
+ 6x + 8
5) 2x
2
+ 3x − 5 6) 3x
2
− 4x + 1 7) 4x
2
− 7x + 3 8) 5x
2
+ 12x − 17
Bài 4: Với x ≥ 0. Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử
1)
x 5 x 6− +
2)
x 3 x 2− +
3)
x 4 x 3− +
4)
x 7 x 6− +
5)

2x 3 x 1− +
Bài 5: Giải các hệ phương trình
1)
x 2y 3
2x y 1
+ =


− =

2)
3x 4y 2
2x 3y 7
− =


+ =

3)
x 7y 2
2x y 11
− = −


+ =

4)
2x 3y 10
3x 2y 2
+ =



− =

Bài 6: Tìm giá trị của x để
1) x
2
− 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất 2)
2
1
x 2x 5+ +
có giá trị lớn nhất
3)
2
2
2x 5
2x 1
+
+
có giá trị lớn nhất 4)
2
2
x 2x 1
x 4x 5
− +
+ +
có giá trị nhỏ nhất
Bài 7: Tìm các giá trị của x ∈ Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên
1) A =
6

x 1−
2) B =
14
2x 3+
3) C =
x 5
x 2
+
+
4) D =
4x 3
2x 6
+
−
Bài 8: Giải các bất phương trình
1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1) 2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)
3)
5x 2 1 2x
4 12
− −
>
4)
11 3x 5x 2
10 15
− +
<
2. Các bài toán tổng hợp
Các dạng toán:
1) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
2) Rút gọn biểu thức

3) Dạng giải phương trình, bất phương trình
4) Tìm cực trị của biểu thức
5) Xác định giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên
Bài 1: Cho biểu thức A =
1 1 1 1 1
:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − + −
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
1
A
x(1 x)
=
−
b)
2
1
x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5)
2
= − = + = − −
c) min A = 4 khi
1

x
4
=
Ôn thi vào lớp 10
Bài 2: Cho biểu thức:
2
x 1 10 5
A
x 3 x 2
x x 6
+
= − +
+ −
+ −
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2
b)
x 1
A
x 2
+
=
−
c) A > 0 ⇔ x > 2 hoặc x < −1
Bài 3: Cho biểu thức
1 1 x 2
C x 3 : x 1 :
x 1 x 1 x

+
   
= − + − −
 ÷  ÷
− −
   
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị của biểu thức C khi
x 6 20= +
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0
b)
x 2
C
x 2
−
=
+
c)
C 5 2= −
d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2}
Bài 4: Cho biểu thức:
x 2x x
B
x 1 x x
−
= −
− −
a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của B khi
x 3 8= +
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1:
B x 1= −
b)
2
x 3 8 ( 2 1) : B 2= + = + =
c) B > 0 ⇔ x > 1 (thỏa); B < 0 ⇔ x < 1 (Không có nghiệm do đk: x > 0); B = 0 ⇔ x = 1 (loại).
Bài 5: Cho biểu thức
x 1 2 x
H 1 :
x 1
x 1 x x x x 1
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
a) Rút gọn biểu thức H
b) Tính giá trị của biểu thức H khi
53
x
9 2 7
=
−
c) Tìm giá trị của x để H = 16
HD: a) x > 1:

H x 2 x 1= − −
b)
x 9 2 7 H 7= + ⇒ =
c) H = 16 ⇔ x = 26
Bài 6: Cho biểu thức
a b a b
N
ab b ab a ab
+
= + −
+ −
a) Rút gọn biểu thức N
b) Tính giá trị của N khi
a 4 2 3, b 4 2 3= + = −
c) Chứng minh rằng nếu
a a 1
b b 5
+
=
+
thì N có giá trị không đổi.
HD: a) a ≠ 0, b ≠ 0, ab > 0:
a b
N
b a
+
=
−
b)
N 3= −

c)
a a 1 a 1
b 5a
b b 5 b 5
+ −
= = ⇒ =
+ −
⇒
3
N
2
=
PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (4 tiết)
Ôn thi vào lớp 10
Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó nghỉ 20 phút
rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5
giờ 50 phút.
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0).
Ta có phương trình:
x x 1 5
5
30 25 3 6
+ + =
. Giải ra ta được: x = 75 (km)
Bài 2: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc
đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên
quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)
Ta có phương trình:
x x x

60 : 40 60 : 50 1
2 2 40
   
− + + = −
 ÷  ÷
   
. Giải ra ta được: x = 280 (km)
Bài 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính vận tốc của tàu
thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình:
80 80 1
8
x 4 x 4 3
+ =
+ −
. Giải ra ta được:
1
4
x
5
= −
(loại), x
2
= 20 (km)
Bài 4: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô
II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như
cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc.
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)
Ta có phương trình:

x x 2
20 24 3
− =
. Giải ra ta được: x = 80 (km)
Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông. Sau khi đi được 24 km ca
nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết
vận tốc của dòng nước là 4 km / h.
HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)
Ta có phương trình:
24 16
2
x 4 x 4
+ =
+ −
. Giải ra ta được x
1
= 0 (loại), x
2
= 20 (km/h)
Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe
máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần
vận tốc xe đạp.
HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình:
50 50
(1,5 1)
x 2,5x
= + +
. Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)
Bài 7: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng. Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm vụ mới

nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như
nhau)
HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x ∈ N)
Ta có phương trình:
100 100 5
x 2 x 2
− =
−
. Giải ra ta được: x
1
= −8 (loại), x
2
= 10 (thỏa mãn)
Bài 8: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc của một
miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu, biết
rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng
2
5
diện tích đáy hộp?
HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9)
Ta có phương trình:
2
2
4x (24 2x)(18 2x)
5
= − −
. Giải ra ta được: x
1
= −18 (loại), x
2

= 4 (thỏa)
Ôn thi vào lớp 10
Bài 9: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu
thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho
HD: Gọi số phải tìm là
xy
(0 < x, y ≤ 9 và x, y ∈ Z)
Ta có hệ:
6(x y) 10x y x 5
xy 25 10y x y 4
+ = + =
 
⇔
 
+ = + =
 
. Vậy số phải tìm là 54
Bài 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong
10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy
2
5
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới
đầy bể.
HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)
Ta có hệ:
80 80
1
x 120
x y
10 12 2 y 240

x y 15

+ =

=


⇔
 
=


+ =


Bài 11: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3giờ và
người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì
trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc (x > 0, y > 16)
Ta có hệ:
16 16
1
x 24
x y
3 6 1 y 48
x y 4

+ =

=



⇔
 
=


+ =


(thỏa mãn điều kiện đầu bài)
Bài 12: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau.
Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong
phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?
HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x ∈ Z, x > 0)
Ta có phương trình:
360
(x 1) 1 400
x
 
+ + =
 ÷
 
. Giải ra ta được: x
1
= 15, x
2
= 24
ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy.
PHẦN III: HÀM SỐ & ĐỒ THỊ − HỆ PHƯƠNG TRÌNH (3 tiết)

Bài 1: Cho hai đường thẳng y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau
HD: a) Hai đường thẳng cắt nhau ⇔ 2m + 1 ≠ 2 ⇔
1
m
2
≠
b) Hai đường thẳng song song với nhau ⇔
1
m
2
=
c) Không xảy ra.
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−1 ; 3) và B(0 ; 5)
HD: Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b. Vì đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Nên (a, b) là
nghiệm của hệ:
a b 3 a 2
b 5 b 5
− + = =
 
⇔
 
= =
 
Bài 3: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)
c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2

Ôn thi vào lớp 10
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). b) (a ; b) = (−2 ; 5). c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 4: Cho Parabol (P): y = 2x
2
và hai đường thẳng: (d
1
): mx − y − 2 = 0 và (d
2
): 3x + 2y − 11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d
1
) và (d
2
) khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì (d
1
) song song với (d
2
)
c) Với giá trị nào của m thì (d
1
) tiếp xúc với (P).
HD: a) Khi m = 1 thì giao của (d
1
) và (d
2
) là nghiệm của hệ:
x y 2 x 3
3x 2y 11 y 1
− = =

 
⇔
 
+ = =
 
⇒ M(3 ; 1)
b) (d
1
) song song với (d
2
) ⇔
3
m
2
= −
c) (d
1
) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x
2
− mx + 2 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ m
2
= 16 ⇔
m 4
m 4
=


= −

Bài 5: Cho đường thẳng (d) y = (m − 2)x + n (m ≠ 2). Tìm các giá trị của m, n trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(−1 ; 2) và B(3 ; −4)
b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2−
và cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng
2 2+
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d
1
): −2y + x − 3 = 0
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng(d
2
): 3x + 2y = 1
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng (d
3
): y − 2x + 3 = 0
HD: a) ĐS:
1
m n
2
= =
b) ĐS:
3 2
m 1 2 ; n
2
= − =
c) ĐS: (d) cắt (d
1
) khi m ≠ 2,5 và n tùy ý
d) ĐS: (d) song song với (d
2

) ⇔ m = 0,5 và n ≠ 0,5
e) ĐS: (d) ≡ (d
3
) ⇔ m = 4 và n = 3
Bài 6: Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:
a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5)
HD: a)
2 2
AB (5 1) (4 1) 5= − + − =
b)
2 2
AB (3 2) (5 2) 5,83= + + − ≈
Bài 7: Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d
1
): 5x + 11y = 8 (d
2
): 10x − 7y = 74 (d
3
): 4mx + (2m − 1)y = m + 2
b) 3x + 2y = 13 (d
2
): 2x + 3y = 7 (d
3
): (d
1
): y = (2m − 5)x − 5m
HD: a) ĐS: m = 0 b) m = 4,8
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a)

1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5

+ =




− =


b)
15 7
9
x y
4 9
35
x y

− =




+ =


c)

1 1 5
x y x y 8
1 1 3
x y x y 8

+ =

+ −



− = −

+ −

d)
4 5
2
2x 3y 3x y
3 5
21
3x y 2x 3y

+ =

− +



− =


+ −

HD: a) ĐS:
10
(x ; y) 2 ;
3
 
=
 ÷
 
b)
1 1
(x ; y) = ;
2 3
 
 ÷
 
c) (x ; y) = (5 ; 3) d)
7 2
(x ; y) ;
66 11
 
=
 ÷
 
PHẦN IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (3 tiết)
Bài 1: Cho phương trình: x
2
– 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x

1
= 2.
Tìm nghiệm x
2
.
HD: m = 2, x
2
= 2
Bài 2: Cho phương trình x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
= 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một
nghiệm bằng −2
Ôn thi vào lớp 10