Khoá luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Đại số Dãy khớp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LỖ THỊ THU HUYỀN

DÃY KHỚP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Đại Số

HÀ NỘI – 2014


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LỖ THỊ THU HUYỀN

DÃY KHỚP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Đại Số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
DƢƠNG THỊ LUYẾN

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN
Trong suố t quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, em
đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên. Với lòng kính trọng và biế t ơn sâu sắ c em xin được
bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán, các thầy
cô trong tổ Đại số đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian em làm
khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn cô giáo Thạc sĩ Dương Thị
Luyến đã hế t lòng giúp đơ,̃ dạy bảo, động viên và tạo mọi điề u kiện
thuận lợi cho em trong suố t quá trình chuẩn bị và hoàn thành luận văn
tố t nghiê ̣p.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên
khóa luận không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng
góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em
được hoàn thiện hơn. Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Lỗ Thị Thu Huyền


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của bản thân,
có sự hỗ trợ từ Giáo viên hướng dẫn là Thạc sĩ Dương Thị Luyến.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo những thành quả nghiên
cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và
lòng biết ơn.
Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào em xin hoàn toàn chịu
trách nhiệm trước Hội đồng.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Lỗ Thị Thu Huyền


MỤC LỤC

Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị ..................................................................... 6
1.1. Môđun............................................................................................. 6
1.2. Môđun con ...................................................................................... 11
1.3. Môđun thương ................................................................................ 17
1.4. Đồng cấu môđun ............................................................................ 20
1.5. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp ....................................................... 29
1.6. Môđun tự do ................................................................................... 31
Chƣơng 2: Dãy khớp ..................................................................................... 32
2.1. Dãy khớp ........................................................................................ 32
2.2. Dãy khớp chẻ ra.............................................................................. 37
2.3. Dãy khớp với môđun đặc biệt ........................................................ 40
2.4. Tích tenxơ và dãy khớp .................................................................. 48
2.5. Môđun các R - đồng cấu và dãy khớp ........................................... 50
Kết luận ......................................................................................................... 57
Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 58


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

MỞ ĐẦU
Toán học luôn có một vai trò đặc biệt quan trọng trong sự phát
triển của khoa học kĩ thuật. Là một ngành khoa học phát triển đặc thù về
tư duy, toán học đã mang lại cho cuộc sống chúng ta nhiều ứng dụng

thực tiễn hữu ích, làm nền tảng cho sự phát triển của các ngành khoa học
khác.
Đại số đại cương từ lâu đã nằm trong chương trình đào tạo bắt
buộc của khoa Toán học trong tất cả các trường Đại học Khoa học và
Đại học Sư phạm trong cả nước. Đối tượng chủ yếu của đại số là nhóm,
vành, trường, môđun,… Trong đó dãy khớp là một trong những khái
niệm quan trọng nhất của đại số hiện đại, có ứng dụng trong nhiều ngành
toán học và các ngành khoa học khác.
Qua quá trình học tập và nghiên cứu, em thấy dãy khớp có ứng
dụng rất rộng rãi. Trong đại số, dãy khớp và các tính chất của nó được sử
dụng nhiều khi nghiên cứu về tích Tenxo , hàm tử Hom… Trong tôpô
đại cương, giải tích hàm thì nghiên cứu dãy khớp tôpô, dãy khớp ngắn
của ánh xạ tuyến tính giữa các không gian như không gian Frechet… và
còn có ứng dụng trong nhiều ngành khác.
Vì thế em đã chọn đề tài “ Dãy khớp” với mong muốn được
nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số và bước đầu làm quen
với công tác nghiên cứu khoa học. Nghiên cứu đề tài “Dãy khớp” ngoài
củng cố và khắc sâu các kiến thức về nhóm, vành, trường, môđun…,
quan hệ chặt chẽ giữa chúng, em còn mở rộng kiến thức về dãy khớp tìm
và phát hiện ra mối liên hệ giữa kiến thức cũ và mới.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận
được chia làm hai chương.
Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị. Chương này giới thiệu một số
khái niệm cơ bản liên quan đến phần nội dung chính của khóa luận. Cụ

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

6

Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

thể, tóm tắt các khái niệm, ký hiệu và tính chất cơ bản về môđun, đồng
cấu môđun, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, môđun tự do
Chƣơng 2 Dãy khớp. Ở phần này trình bày một số định lý, hệ quả
có tính chất quan trọng, một số nhận xét khái quát về dãy khớp, dãy
khớp ngắn, dãy khớp chẻ ra. Khi đó, đưa ra một số định lý, hệ quả về
dãy khớp của một số môđun đặc biệt, tích tenxơ và dãy khớp, môđun các
R - đồng cấu và dãy khớp

Khóa luận được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của cô giáo Thạc sĩ Dƣơng Thị
Luyến. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo
trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là cô giáo
Thạc sĩ Dƣơng Thị Luyến đã tạo điều kiện và giúp đỡ nhiệt tình, chu
đáo trong quá trình thực hiện khóa luận.
Do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi
những thiếu sót. Em mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và
các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn.
Xuân Hòa,tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Lỗ Thị Thu Huyền

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

7

Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Môđun
1.1.1. Định nghĩa
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1  0
 Một nhóm Abel cộng X được gọi là một R - môđun trái trên R nếu
tồn tại một ánh xạ
R X  X

 r , x   rx
gọi là phép nhân vô hướng sao cho các tính chất sau thỏa mãn đối
với các phần tử tùy ý r , s  R và x, y  X

 M 1 :1.x  x
 M 2  :  rs  x  r  sx 
 M 3 : r  x  y   rx  ry
 M 4  :  r  s  x  rx  sx
 Một nhóm Abel cộng X được gọi là một R - môđun phải nếu tồn
tại một ánh xạ
X R  X

 x, r   xr
gọi là phép nhân vô hướng sao cho các tính chất sau thỏa mãn đối
với các phần tử tùy ý r , s  R và x, y  X

 M 1 : x.1  x
 M 2  : x  rs    xr  s

 M 3 :  x  y  r  xr  yr
 M 4  : x  r  s   xr  xs
* Nhận xét
+ Nếu R là một vành giao hoán và đồng nhất  x  x thì khái niệm
về môđun trái và môđun phải trên R là trùng nhau

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

8


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Trong suốt khóa luận này, ta chỉ xét các R - môđun trái và gọi tắt là
các R - môđun
+ Nếu R là một trường thì một R - môđun được gọi là không gian
vectơ trên trường đó
1.1.2. Tính chất
Giả sử X là một R - môđun. x, y  X ; r , s  R ta có các tính chất sau
Tính chất 1 0 x  0
r0  0

Thật vậy +) 0x   0  0 x  0x  0x  0x  0
( Do X là nhóm nên có luật giản ước )
+) r 0  r  0  0  r 0  r 0  r 0  0
Tính chất 2  r  x  r  x   rx
Thật vậy  r  x  rx   r  r  x  0x  0
r   x   rx  r   x  x   r 0  0

Do đó  r  x  r  x   rx
Tính chất 3  r  s  x  rx  sx
r  x  y   rx  ry

Thật vậy +)  r  s  x  r   s  x  rx   s  x  rx  sx
+) r  x  y   r  x    y   rx  r   y   rx  ry
1.1.3. Ví dụ
Ví dụ 1 Không gian vectơ thực chính là môđun trên trường số thực
Ví dụ 2 Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một môđun trên vành
bất kỳ, được gọi là môđun không và ký hiệu là 0
Thật vậy
Nhóm  X ,   chỉ gồm phần tử 0 là nhóm giao hoán

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

9


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

f : R X  X

Xét

 r,0  r0  0
Là ánh xạ vì
+ f xác định khắp nơi r  R,0  X thì r 0  X

+ f đơn trị  r,0 ;  r ',0  X ta có
r  r 
r 0  r 0

 r ,0    r ',0   

Mặt khác r , s  R ta có

 M 1 :1.0  0
 M 2  :  rs .0  0  r 0  r  s0 
 M 3 : r  0  0   r 0  0  0  0  r 0  r 0
 M 4  :  r  s  .0  0  0  0  r 0  s0
Xét thấy ánh xạ thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa môđun
Vậy X là một R - môđun
Ví dụ 3 Mỗi nhóm Abel cộng X là một Z - môđun với phép nhân
vô hướng
Thật vậy x  X , n  Z
Ta đặt

x 
x 
 ... x , n  0
 
n

nx  0, n  0
  x   x  ...   x , n  0
  

 


n


Mặt khác r , s  Z ; x, y  X ta có

 M 1 :1.x  x
 M 2  :  rs  x  r  sx 
 M 3 : r  x  y   rx  ry
 M 4  :  r  s  x  rx  sx

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

( theo tính chất của nhóm )

10


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Xét thấy ánh xạ thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa môđun
Vậy X là một Z - môđun
* Nhận xét Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết
nhóm Abel
Ví dụ 4 Cho  R, ,  - vành có đơn vị
Đặt R n   a1 , a2 ,..., an  / ai  R, i  1, n
Trang bị cho R n phép toán cộng và nhân vô hướng

 a1, a2 ,..., an   b1, b2 ,..., bn    a1  b1, a2  b2 ,..., an  bn 
r  a1 , a2 ,..., an    ra1 , ra2 ,..., ran 
r  R; ai , bi  R, i  1, n

Khi đó R n là một R - môđun
Thật vậy
+  R n ,   là nhóm Abel vì phép cộng thỏa mãn tính chất kết hợp,
giao hoán, đơn vị 0  0,0,...,0 , phần tử đối của  a1 , a2 ,..., an  là

 a1, a2 ,..., an 
f : R  Rn  Rn

+ Lại có

 r,  a , a ,..., a   r  a , a ,..., a   ra , ra ,..., ra 
1

2

n

1

2

n

1

2

n

là ánh xạ
Mặt khác

 M 1 :1 a1, a2 ,..., an    a1, a2 ,..., an 
 M 2 :  rs   a1, a2 ,..., an    rsa1, rsa2 ,..., rsan 
 r  sa1 , sa2 ,..., san   r  s  a1 , a2 ,..., an 

 M 3 : r  a1, a2 ,..., an   b1, b2 ,..., bn   r  a1  b1, a2  b2 ,..., an  bn 
  ra1  rb1 , ra2  rb2 ,..., ran  rbn   r a1 , a2 ,..., an   r b1, b2 ,..., bn 

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

11


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

 M 4  :  r  s   a1 , a2 ,..., an    r  s  a1 ,  r  s  a2 ,...,  r  s  an 
  ra1  sa1 , ra2  sa2 ,..., ran  san    ra1 , ra2 ,..., ran    sa1 , sa2 ,..., san 
 r  a1 , a2 ,..., an   s  a1 , a2 ,..., an 

Xét thấy phép nhân vô hướng thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa
môđun
Vậy R n là một R - môđun
Đặc biệt Nếu n  1 thì R là một R - môđun hay vành có đơn vị R là

một môđun trên chính nó
* Nhận xét Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết
vành
Ví dụ 5 Vành đa thức R  x  là một R - môđun
Thật vậy





Giả sử R  x   p  x  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 ai  R, i  0, n
p  x  , q  x   R  x : p  x   a0  a1x  ...  an xn
q  x   b0  b1 x  ...  bm xm

Không giảm tính tổng quát ta giả sử m  n
Trang bị cho R  x  phép toán cộng và nhân vô hướng
p  x   q  x    a0  a1 x  ...  an x n    b0  b1 x  ...  bm x m 
  a0  b0    a1  b1  x  ...   an  bn  x n  bn1 x n1  ...  bm x m
rp  x   r  a0  a1 x  ...  an x n    ra0  ra1 x  ...  ran x n 

Với 2 phép toán trên thì R  x  là một R - môđun
Ví dụ 6 Mỗi iđêan của vành R là một R - môđun
Đặc biệt Mỗi iđêan của R là một R - môđun và bản thân R cũng là
một R - môđun

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

12

Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Ví dụ 7 Cho R là vành giao hoán, M là R - môđun, X là tập bất kỳ khác


Ký hiệu A   f : X  M f là ánh xạ}
Trên A xác định phép toán cộng
f , g  A ta có f  g : X  M sao cho

x  X

 f  g  x   f  x   g  x 

Khi đó  A,   là nhóm Abel với phần tử đơn vị là ánh xạ
:X M
x0

Tích vô hướng của f  A với r  R xác định như sau
R A  A

 r , f   rf
trong đó rf : X  M
x   rf  x   rf  x 

Khi đó A là R - môđun
1.2. Môđun con
1.2.1. Định nghĩa
Cho X là một R - môđun, A  X , A gọi là R - môđun con của

môđun X nếu A cũng là một R - môđun với hai phép toán cảm sinh
1.2.2. Điều kiện tương đương
Cho X là một R - môđun, A  X . Khi đó các điều kiện sau tương
đương
i.

A là R - môđun con của X

ii.

r  R; x, y  A thì x  y  A và rx  A

iii.

r , s  R; x, y  A thì rx  sy  A

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

13


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Chứng minh
i  ii)

A là R - môđun con của X nên theo định nghĩa ta có
x, y  A thì x  y  A

r  R, x  A thì rx  A

ii  iii) Ta có r , s  R; x, y  A thì rx, sy  A
Do đó rx  sy  A
iii  i) + Đặt r  1 R; s  1 R thì x, y  A
Ta có 1.x   1 y  A hay x  y  A
Do đó A là nhóm con của X
Mặt khác  X ,   là nhóm Abel nên  A,   là nhóm Abel
+ Đặt s  0  R thì r  R; x, y  A ta có
rx  0. y  A do đó rx  A

Ta xét ánh xạ
R A  A

 r , x   rx
Do các điều kiện trong định nghĩa R - môđun thỏa mãn trong
X nên cũng được thỏa mãn trong A . Vậy A là một R - môđun con của
X

1.2.3. Ví dụ
Ví dụ 1
Một R - môđun X bao giờ cũng có ít nhất 2 môđun con là X và tập
hợp chỉ gồm vectơ không 0
Môđun con 0 được gọi là môđun không và cũng còn được ký hiệu
là 0

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

14

Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Ví dụ 2
Mọi nhóm Abel cộng X là R - môđun thì các môđun con của X
chính là các nhóm con của X vì nếu A là nhóm con của X thì
r  R, x  A ta có rx  A

Ví dụ 3
Mọi vành có đơn vị R là R - môđun thì các iđêan trái của R là các
môđun con của R
Thật vậy
Giả sử N là iđêan trái của R . Khi đó N là vành con của R
Suy ra  N ,   là nhóm con giao hoán của R và r  R, x  N thì
rx  N

Vậy N là môđun con của R
Ví dụ 4 Cho X là R - môđun, x  X và K là iđêan hai phía của R .
Khi đó tập hợp kx  rx : r  K là môđun con của X
Thật vậy
s, t  K  s  t  K và r  K

Ta có sx  tx   s  t  x  Kx
r  sx    rs  x  Kx

Vậy Kx  rx : r  K là môđun con của X
Ví dụ 5 Nếu R là một trường thì mỗi R - môđun con của một R không gian vectơ là một R - không gian vectơ

Ví dụ 6 Cho R là một vành giao hoán. Khi đó vành đa thức R  x, y  là
một R - môđun nhận R  x  làm một R - môđun của nó
Ví dụ 7 Cho A, B là các môđun con của môđun X . Khi đó A  B là
môđun con của môđun X

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

15


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Thật vậy
+  a1  b1  ,  a2  b2   A  B ta có

 a1  b1    a2  b2    a1  a2   b1  b2   A  B
+  a  b  A  B, r  R ta có
r  a  b   ra  rb  A  B

Vậy A  B ổn định trong môđun X hay A  B là môđun con của X
1.2.4. Tính chất
1.2.4.1. Giao của một họ tùy ý các môđun con của môđun X là một
môđun con của X
Chứng minh
Giả sử  Ai i  I  là một họ các môđun con của X trên R
Đặt A   Ai
iI

Ta có
+ A   vì 0  Ai , i  I nên 0   Ai  A
iI

+ r  R; x, y  A thì x, y  Ai do A  Ai
Mà Ai là R - môđun con của X nên suy ra x  y  Ai và rx  Ai
Do đó x  y  A và rx  A
Vậy A là R - môđun con của X
* Chú ý Hợp của một họ bất kỳ các môđun con của môđun X nói
chung không là một môđun con của X
1.2.4.2. Nếu X là R - môđun,  Ai iI là các môđun con của X thỏa
mãn i, j  I tồn tại k  I sao cho ta có Ai  Ak và A j  Ak thì hợp

A

i

là một môđun con của X

iI

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

16


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Thật vậy
Đặt A   Ai
iI

Ta có
+ A   vì 0  Ai , i  I nên 0   Ai  A
iI

+ x, y  A thì tồn tại các chỉ số i, j  I sao cho ta có x  Ai ; y  Aj
Theo giả thiết tồn tại chỉ số k  I sao cho Ai  Ak và A j  Ak
Vậy Ak chứa cả x lẫn y , do đó r , s  R; x, y  A ta có
rx  sy  Ak  A

Vậy A là một môđun con của X
1.2.4.3. Cho X là R - môđun, S  X thì giao của tất cả các môđun con
của X chứa S ( đó là môđun con bé nhất của X chứa S ) gọi là
môđun con của X sinh bởi tập S . Ký hiệu S
+ Nếu S  X thì S là tập sinh của X
+ Nếu S hữu hạn thì X là một môđun hữu hạn sinh
+ Nếu X  x thì X là môđun xyclic và x là một phần tử sinh của
X

+ Nếu X   ta có X    0
+ Nếu S là môđun con của X thì S  S


n



+ Nếu S   thì S   ri xi ri  R, xi  S , i  0, n, n  N 
 i 0



1.2.5. Tổng của một họ môđun con
1.2.5.1. Định nghĩa

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

17


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Giả sử X là một R - môđun,  Ai iI là một họ môđun con của X .

 A là môđun con tổng của họ các

Ta gọi môđun con sinh bởi tập

i

iI

môđun con  Ai iI và ký hiệu là  Ai . Như vậy
iI

 Ai 

iI

A

i

iI

*  Ai là môđun con bé nhất của X chứa tất cả các môđun con Ai
iI

n

* Nếu I  1;2;...; n thì thay cho ký hiệu  Ai ta viết  Ai hay
iI

i 1

A1  A2  ...  An

+ Nếu A1  A2 thì A1  A2  A1  A2  A1  A1
+ Nếu A là một môđun con của X thì
A 0  A0  A  A
A X  A X  X  X
X X  X X  X X

1.2.5.2. Định lý

A

i

iI

là tập hợp tất cả các tổng

 x , trong đó  x 
iI

i

i iI

là một họ với

giá trị hữu hạn những phần tử của X sao cho xi  Ai , i  I
Thật vậy
Các phần tử của

A
iI

i

là những tổ hợp tuyến tính của những phần

tử
của

A

i

iI

Trong một tổ hợp tuyến tính

 x như thế, nếu đặt cạnh nhau tất
xA

x

cả hạng tử  x x sao cho x thuộc cùng một Ai , tổng này là một phần tử

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

18


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

của Ai , vì Ai là một môđun con. Như vậy, tổ hợp tuyến tính

 x là
xA

x

một tổng hữu hạn những phần tử xi sao cho xi  Ai

N

Vậy ta có

i

i



  xi xi  Ai 
 I


+ Nếu I  1;2;...; n thì ta có
n

 N  x  x
i

i 1

1

2

 ...  xn , xi  Ni 

n

n

n

i 1

i 1

i 1

+ x   Ai thì x   xi   xi
trong đó không nhất thiết xi  xi, i  1, n tức là biểu diễn các
phần tử của

A
iI

i

dưới dạng

x
iI

i

không phải là duy nhất

1.3. Môđun thƣơng
1.3.1. Xây dựng môđun thương
Cho X là một R - môđun và A là môđun con của X
Xét X A   x  A x  X 
Trên X A trang bị 2 phép toán cộng và nhân vô hướng
Phép cộng  x  A   y  A   x  y   A
Phép nhân r  x  A  rx  A
x, y  X ; r  R

Khi đó X A là một R - môđun gọi là môđun thương của môđun X
theo môđun con A
Thật vậy
Ta có A là R - môđun con của X nên theo định nghĩa ta có  A;  
là nhóm con của  X ;  

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

19


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Mặt khác  X ;   là nhóm Abel nên mọi nhóm con đều là nhóm
chuẩn tắc của X , tức A là nhóm con chuẩn tắc của X . Do đó ta có

 X A;   là nhóm thương của nhóm X theo nhóm con chuẩn tắc A

Do  X ;   là nhóm Abel nên  X A ;   là nhóm Abel
f : R X

Xét

A

X

là ánh xạ vì

A

 r, x  A  rx  A
+ f xác định khắp nơi r  R, x  A  X A thì rx  X và suy ra
rx  A  X

A

+ f đơn trị   r , x  A ,  r , x  A  X A , ta có
r  r 
 x  A  x  A

 r , x  A   r , x  A  

r  r 
r  r 
r  r 




 x  x  A
rx  rx  A
r  x  x   A
r  r 
r  r '


rx  A  rx  A
rx  A  rx  A

Mặt khác r , s  R; x  A, y  A  X A ta có

 M 1 :1 x  A  1x  A  x  A
 M 2  :  rs  x  A   rs  x  A  r  sx   A
 r  sx   A  r  s  x  A

 M 3 : r  x  A   y  A  r  x  y   A  r  x  y   A
  rx  ry   A   rx  A   ry  A  r  x  A  r  y  A

 M 4 :  r  s  x  A   r  s  x  A   rx  sx   A
  rx  A   sx  A  r  x  A  s  x  A

Xét thấy ánh xạ thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa môđun

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

20

Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Vậy X A là một R - môđun
* Định nghĩa Cho A là một môđun con của một R - môđun X . Khi
đó R - môđun X A như xây dựng ở trên được gọi là môđun thương của
X theo A . Phần tử x  A của X A thường được ký hiệu là x và được

gọi là ảnh của x
trong X A
* Nhận xét rx  s y  rx  sy

r , s  R; x, y  X

Nếu P là một môđun con của X chứa A thì R - môđun thương
P

A

là một môđun con của X A

1.3.2. Ví dụ
Ví dụ 1 X là R - môđun thì 0 và X là các môđun con của X
Suy ra, tồn tại các môđun thương
X
X

Ví dụ 2

0
X





 x  0 x  X   x x  X   X

  x  X x  X    X 

 X ,   là một nhóm Abel xem như một Z - môđun thì với mọi

A là môđun con của X đều tồn tại X A là môđun thương

Ví dụ 3 Mọi vành có đơn vị R là R - môđun, I là iđêan của R thì I
là môđun con của R . Khi đó, tồn tại môđun thương
R   x  I : x  R
I

Với phép cộng và phép nhân vô hướng xác định như sau

x  I   y  I   x  y  I
r  x  I   rx  I

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

21

Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Ví dụ 4 Nếu R là trường thì một môđun trên R là các không gian
vectơ, các môđun con của nó là các không gian vectơ con. Do đó, môđun
thương là các không gian vectơ thương
1.4. Đồng cấu môđun
1.4.1. Định nghĩa
Cho X và Y là hai R - môđun. Một ánh xạ f : X  Y được gọi là
đồng cấu môđun hay còn gọi là R - đồng cấu một ánh xạ tuyến tính nếu
nó thỏa mãn hai điều kiện sau đối với x, y  X và r  R
f  x  y   f  x   f  y  (1)
f  rx   rf  x  (2)

Dễ thấy hai điều kiện (1) và (2) tương đương với điều kiện sau
f  rx  sy   rf  x   sf  y 

với x, y  X và r , s  R
- Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu f là
đơn ánh, toàn ánh hay song ánh
- Nếu f  X   0 thì f được gọi là đồng cấu không và thường viết là


- Ký hiệu
Kerf  f 1  0

hạt nhân ( hạch ) của f

Im f  f  M 

Co ker f  N
Coimf  M

ảnh của f
Im f

Kerf

đối hạch của f
đối ảnh của f

- Một đồng cấu từ X vào X gọi là một tự đồng cấu của X
- Hai môđun X và Y đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một ánh xạ đẳng
cấu f : X  Y . Ký hiệu là M  N

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

22


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

* Nhận xét
+) Cho R - đồng cấu f : X  Y
Khi đó f là đồng cấu khi và chỉ khi Kerf  X
f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f  Y
f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  0 X 

+) Nếu f là đồng cấu nhóm cộng Abel từ nhóm cộng Abel X
đến nhóm cộng Abel Y thì f là R - đồng cấu từ môđun X tới môđun Y
Vì vậy ta có x, y  X
f  0  0
f x   f  x
f  x  y  f  x  f  y

+) Nếu f là R - đồng cấu từ môđun X tới môđun Y thì
n  1; x1 , x2 ,..., xn  X ;r1 , r2 ,..., rn  R . Ta có

 n
 n
f   ri xi    ri f  xi (1)
 i 1
 i 1

Thật vậy
+ Với n  1 thì ta có f  rx   rf  x 
Vậy 1 đúng với n  1
+ Giả sử 1 đúng với n  k ta có
 k
 k
f   ri xi    ri f  xi 
 i1
 i1

Ta phải chứng minh 1 đúng với n  k  1 . Tức là chứng minh
 k 1
 k 1
f   ri xi    ri f  xi 

 i1
 i1

Thật vậy

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

23


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

 k

 k 1


f   ri xi   f   ri f  xi    rk 1 xk 1 
 i 1


 i 1

k
k


 f   ri xi   f  rk 1 xk 1    ri f  xi   rk 1 f  xk 1 

i 1
 i 1

k 1

  ri f  xi 
i 1

1.4.2. Ví dụ
Ví dụ 1
+ Ánh xạ đồng nhất 1X của R - môđun X
1X : X  X

là một R - tự đẳng cấu của X

x  1X  x   x

+ Ánh xạ 0 từ R - môđun X tới R - môđun Y
0: X Y

là một R - đồng cấu

x  0 x  0

Ví dụ 2 Cho A  X . Khi đó ánh xạ nhúng f : A  X là đồng cấu
a a

Thật vậy a1 , a2  A; r1 , r2  R thì
f  r1a1  r2a2   r1a1  r2a2  r1 f a1   r2 f a2 

Khi A  X ta có ánh xạ đồng nhất 1X là đồng cấu, ta gọi nó là đồng
cấu đồng nhất
Ví dụ 3 Cho A  X và môđun thương X A . Ánh xạ f : X  X A mà
x  X : f  x   x  A là một R - đồng cấu

Thật vậy x1 , x2  X và r1 , r2  R thì
f  r1 x1  r2 x2    r1 x1  r2 x2   A
 r1  x1  A   r2  x2  A   r1 f  x1   r2 f  x2 

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

24


Khoá luận tốt nghiệp

GVHD: Ths. Dương Thị Luyến

Ví dụ 4 Ánh xạ 0 : X  Y biến tất cả các phần tử x  X thành 0  Y ,
hiển nhiên là đồng cấu. Ta gọi đó là đồng cấu tầm thường, đồng cấu
không
Ví dụ 5 Ta có R  x  là một R - môđun. Xét tương ứng
 : R  x  R  x

 f  x  f  x
Xét thấy  là một ánh xạ
Mặt khác r, s  R; f  x  , g  x   R  x thì
rf  x  , sg  x   R  x  do đó rf  x   sg  x   R  x

Ta có

  rf  x   sg  x     rf  x   sg  x 
  rf  x     sg  x    rf   x   sg   x 
 r  f  x    s  g  x  

Vậy  là R - tự đồng cấu
1.4.3. Tính chất
1.4.3.1. Tính chất 1
Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu. Hơn nữa, tích của hai đơn
cấu
( toàn cấu, đẳng cấu ) là một đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu )
Chứng minh
Cho f : X  Y và g : Y  Z là các đồng cấu
Khi đó x1 , x2  X và r1 , r2  R ta có
gf  r1x1  r2 x2   g r1 f  x1   r2 f  x2 

 r1gf  x1   r2 gf  x2 

Vậy gf là đồng cấu

Lỗ Thị Thu Huyền - K36A - Toán

25