Các đồng dư tối thiểu trong các nửa nhóm

ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGÔ THỊ TỐ UYÊN

CÁC ĐỒNG DƢ TỐI TIỂU
TRONG CÁC NỬA NHÓM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN HUY HƢNG

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Nghiên cứu khoa học vừa là niềm say mê của bản thân, vừa là
nhiệm vụ của người sinh viên đang ngồi trên ghế nhà trường. Đặc biệt là
đối với sinh viên cuối khóa thì đây là một cơ hội tốt để vận dụng những
kiến thức và kĩ năng đã lĩnh hội vào thực tế nghiên cứu nhằm mở rộng
kiến thức của bản thân.
Nhận thấy tầm quan trọng đó, em đã tiến hành nghiên cứu với đề
tài: “Các đồng dư tối tiểu trong các nửa nhóm”.
Trong quá trình thực hiện khóa luận, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của
bản thân, em còn được sự động viên, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
thầy giáo - Th.S Nguyễn Huy Hưng và những ý kiến đóng góp quý báu
của các thầy cô giáo trong tổ Đại số cũng như các thầy cô giáo trong
khoa Toán đã góp phần làm cho khóa luận của em được hoàn thiện hơn.

Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất
đến các thầy cô trong tổ Đại số, đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Huy Hưng
đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Ngô Thị Tố Uyên


LỜI CAM ĐOAN
Đề tài nghiên cứu này được thực hiện từ tháng 10 năm 2013 đến
tháng 4 năm 2014, tại trường ĐHSP Hà Nội 2, phường Xuân Hòa - Phúc
Yên – Vĩnh Phúc.
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả riêng của
bản thân, không trùng với bất cứ một kết quả nào của các tác giả khác.

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2014
Ngƣời thực hiện khóa luận

Ngô Thị Tố Uyên


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
MỞ ĐẦU
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................... 3
1.1.1. Nửa nhóm .............................................................................. 3
1.1.2. Nửa nhóm giao hoán.............................................................. 3
1.1.3. Nửa nhóm con ....................................................................... 4
1.1.4. Phần tử lũy đẳng, phần tử chính quy ...................................... 4
1.1.5. Đồng cấu của các nửa nhóm .................................................. 4
1.1.6. Quan hệ nhị phân ................................................................... 4
1.1.7. Nửa nhóm thương Rees ......................................................... 9
1.1.8. Dàn các đồng dư .................................................................... 9
1.1.9. Nhóm con chuẩn tắc .............................................................. 10
1.2. Cấu trúc của nửa nhóm .................................................................. 10
1.2.1. Quan hệ Green ....................................................................... 10
1.2.2. Cấu trúc D- lớp ...................................................................... 11
1.2.3. Nhóm Schutzenberger ........................................................... 12
1.3. Nửa nhóm tự do ............................................................................. 12


1.4. Nửa nhóm tuần hoàn ..................................................................... 12
1.5. Đồng dư tối tiểu và sự phân loại .................................................... 14
1.5.1. Một số kí hiệu ........................................................................ 14
1.5.2. Định nghĩa đồng dư tối tiểu ................................................... 15
1.5.3. Phân loại đồng dư tối tiểu trong nửa nhóm ............................ 15
CHƢƠNG 2. NỬA NHÓM GREEN
2.1. Định nghĩa nửa nhóm Green .......................................................... 18
2.2. Tính chất của nửa nhóm Green ...................................................... 18
2.3. Nửa nhóm tựa tuần hoàn và các điều kiện tương đương ................ 20
2.4. Tính chất các lớp của nửa nhóm Green và nửa nhóm tựa tuần
hoàn ............... .................................................................................... 21
2.5. Ví dụ về nửa nhóm Green .............................................................. 21
CHƢƠNG 3. PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC NỬA NHÓM

3.1. Định nghĩa phép biến đổi các nửa nhóm và các khái niệm liên
quan ............... .................................................................................... 23
3.2. Tính chất đặc trưng của các phép biến đổi nửa nhóm trong nửa
nhóm Green..... .................................................................................... 24
CHƢƠNG 4. CÁC LOẠI ĐỒNG DƢ TỐI TIỂU
4.1. Các đồng dư tối tiểu loại 1 ............................................................. 26
4.1.1. Tính chất của 1- đồng dư tối tiểu ........................................... 26
4.1.2. Điều kiện tương đương để   x, y  là 1- đồng dư tối tiểu ....... 27
4.2. Các đồng dư tối tiểu loại 2 ............................................................. 29
4.2.1. Tính chất của 2- đồng dư tối tiểu ........................................... 29


4.2.2. Điều kiện tương đương để   x, y  là 2- đồng dư tối tiểu ....... 31
4.3. Các đồng dư tối tiểu loại 3 ............................................................. 34
4.3.1. Tính chất của 3- đồng dư tối tiểu ........................................... 34
4.3.2. Điều kiện tương đương để   x, y  là 3- đồng dư tối tiểu ....... 37
4.4. Các đồng dư tối tiểu loại 4 ............................................................. 38
4.5. Các đồng dư tối tiểu loại 5 ............................................................. 40
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết nửa nhóm và đặc biệt là lý thuyết đồng dư là kiến thức
khá trừu tượng với đa số sinh viên khoa Toán. Tuy nhiên, các đồng dư là
công cụ cơ bản để nghiên cứu các cấu trúc thuộc về đại số. Chẳng hạn, các
tính chất thuộc về lý thuyết dàn của dàn đồng dư cho ta một ý tưởng tốt về
thông tin trên cấu trúc các hạng tử. Lý thuyết về cấu trúc của các đối tượng
thuộc đại số cũng dựa trên các đồng dư. Lý thuyết về cấu trúc của các nửa

nhóm được phát triển dựa vào ý nghĩa của các đồng dư nửa nhóm.
Lý thuyết cấu trúc của các nửa nhóm được dựa trên khái niệm về
cấu trúc đồng dư. Thực tế này dẫn tới nghiên cứu chi tiết về các đồng dư
nửa nhóm.
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết đồng
dư của các nửa nhóm đặc biệt là các đồng dư tối tiểu trong các nửa nhóm
nên em đã chọn đề tài: “Các đồng dư tối tiểu trong các nửa nhóm” làm
khóa luận tốt nghiệp cho mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đặc trưng, phân loại các đồng dư tối tiểu của các nửa
nhóm.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
- Nửa nhóm Green.
- Phép biến đổi các nửa nhóm.
- Các đồng dư tối tiểu trong các nửa nhóm.
4. Phạm vi nghiên cứu
Các đồng dư tối tiểu trong và đồng dư tối tiểu ngoài trên nửa
nhóm Green.

1


5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Các khái niệm cơ bản có liên quan.
- Các nửa nhóm Green.
- Phép biến đổi các nửa nhóm.
- Phân loại và nghiên cứu tính chất của các đồng dư tối tiểu.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: các tài liệu lý thuyết nửa nhóm đại cương, tài
liệu dịch, luận văn.

7. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu và mục lục, khóa luận gồm có 4 chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Nửa nhóm Green
Chương 3. Phép biến đổi các nửa nhóm
Chương 4. Các loại đồng dư tối tiểu
Kết luận
Do thời gian đầu tư cho đề tài còn chưa nhiều, kiến thức còn hạn
chế lại do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu đề tài khoa học nên
em không thể tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận được
sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo và các bạn.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo và các
bạn, đặc biệt là thầy giáo hướng dẫn - Th.S Nguyễn Huy Hưng đã tạo
điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận này.

2


CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Nửa nhóm
Cho S   và  là một phép toán hai ngôi trong S nghĩa là có ánh
xạ  : S  S  S ,( x, y)

x  y . Ta nói ( S , ) là một nửa nhóm nếu phép

toán  có tính chất kết hợp, nghĩa là x, y, z  S ,  x  y   z  x   y  z  .
Ví dụ:



, ở đó m, n  , m  n  min m, n , là một nửa nhóm.

Cho

 S ,  là một nửa nhóm.

Phần tử e  S được gọi là phần tử đơn vị trái nếu x  S ta có

e x  x.
Phần tử e  S được gọi là phần tử đơn vị phải nếu x  S ta có

xe  x.
Ta đặt S 1 là nửa nhóm thu được từ S bằng cách thêm vào phần tử
đơn vị nếu S không chứa đơn vị, trái lại S 1  S .
Phần tử a  S được gọi là phần tử không trái nếu x  S , ax  a ;
Phần tử a  S được gọi là phần tử không phải nếu x  S , xa  a ;
Phần tử vừa là phần tử không trái, vừa là phần tử không phải gọi
là phần tử không.
1.1.2 Nửa nhóm giao hoán
Một nửa nhóm S là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán  có tính
chất giao hoán nghĩa là x, y  S , x  y  y  x .

3


1.1.3 Nửa nhóm con
Cho ( S , ) là một nửa nhóm, A  S , A   . Ta nói A là một nửa
nhóm con của S nếu nó đóng kín với phép toán trong S, nghĩa là

x, y  A, x  y  A .
Ví dụ:



,  là nửa nhóm con của



,  .

1.1.4 Phần tử lũy đẳng, phần tử chính quy.
Cho S là một nửa nhóm. Một phần tử a  S được gọi là phần tử
lũy đẳng nếu a 2  a .
Kí hiệu ES  a  S : a 2  a là tập các phần tử lũy đẳng của nửa
nhóm S.
Cho S là một nửa nhóm. Phần tử x  S được gọi là phần tử chính
quy khi và chỉ khi y  S : xyx  x .
1.1.5 Đồng cấu của các nửa nhóm
Cho ( S , ) và  P,  là các nửa nhóm. Ánh xạ  : S  P gọi là một
đồng cấu của các nửa nhóm nếu x, y  S ,  x  y     x     y  .
Cho  : S  P là một đồng cấu của các nửa nhóm. Ta nói:
i)  là một đơn cấu nếu  là đơn ánh ;
ii)  là một toàn cấu nếu  là toàn ánh ;
iii)  là một đẳng cấu nếu  là song ánh ;
iv)  là một tự đồng cấu nếu S  P ;
v)  là một tự đẳng cấu nếu  là một đẳng cấu và S  P .
1.1.6 Quan hệ nhị phân
Một quan hệ  giữa tập X và tập Y là một tập con của X  Y .
Nếu x  X , y Y sao cho  x, y    thì ta viết x y .

4


Cho X là tập bất kỳ, ta đặt id X   x, x   X  X  gọi là quan hệ
đồng nhất.
Cho  là quan hệ từ X đến Y, ta gọi  1 là quan hệ ngược của 
nếu

 1   y, x  Y  X :  x, y    .
Cho  là quan hệ từ X tới Y,  là quan hệ từ Y tới Z. Ta gọi hợp
thành của  và  xác định như sau:

     x, z   X  Z : y Y , x y, y z .
Với x  X ,ta đặt x   y Y : x y .
Ta gọi  là một ánh xạ bộ phận từ X tới Y nếu x  1, x  X .
Ta gọi  là một ánh xạ từ X tới Y nếu x  1, x  X .
Cho  là một ánh xạ bộ phận từ X tới Y. Đặt :

dom : x  X : x  1 gọi là miền xác định của  ;

im :  y Y : x  dom x y gọi là ảnh của  .
Cho T  Y , ta đặt

T  1  x  X t T : xt gọi là tập tạo ảnh của T qua  .
Khi X = Y thì một ánh xạ bộ phận từ X tới X được gọi là biến đổi bộ
phận của X, còn một ánh xạ từ X tới X được gọi là biến đổi đầy đủ của X.
Đặt

PX := {  : X  X  là một biến đổi bộ phận của X } ;

TX := {  : X  X  là biến đổi đầy đủ của X } ;
SX := {  : X  X

 là song ánh }.

Kí hiệu : BX    X  X  là tập tất cả các quan hệ nhị phân trên X.
Cho   BX . Ta nói :

5


1)  có tính chất phản xạ nếu x  X , x x ;
2)  có tính chất đối xứng nếu x, y  X , x y  y  x ;
3)  có tính chất phản đối xứng nếu x, y  X , x y, y  x  x=y;
4)  có tính chất bắc cầu nếu x, y, z  X , x y, y  z  x z .
Quan hệ  trên tập X được gọi là một quan hệ tương đương trên
X nếu nó có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Quan hệ  trên X được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận nếu nó có
tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Tập X là tập được sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự.
Cho  X ,   là một tập được sắp thứ tự và A  X . Một chặn dưới
(chặn trên) của A là một phần tử z  X sao cho x  A, z  x  x  z  .
Phần tử lớn nhất trong số các chặn dưới của A được gọi là chặn
dưới đúng (cận dưới đúng) của A.
Phần tử nhỏ nhất trong số các chặn trên của A được gọi là chặn
trên đúng (cận trên đúng) của A.
Ta kí hiệu

 A là cận dưới đúng của A ;
 A là cận trên đúng của A ;

x  y là cận dưới đúng của x và y ;
x  y là cận trên đúng của x và y .
Một tập sắp thứ tự X được gọi là một nửa dàn dưới (trên) đầy đủ
nếu A  X đều có cận dưới (cận trên) đúng.
Một tập sắp thứ tự X được gọi là một dàn đầy đủ nếu nó vừa là
nửa dàn dưới vừa là nửa dàn trên đầy đủ.
Một tập sắp thứ tự X được gọi là một dàn nếu nó vừa là nửa dàn
dưới vừa là nửa dàn trên (tức là x, y  X , x  y, x  y ).
Cho  : S  P là một đồng cấu của các nửa nhóm. Đặt

6


Ker   x, t   S  S :   x     t  .
Cho   BX . Ta nói  là tương thích trái nếu

x, y  X , x y  zx zy , z  X .
Ta nói  là tương thích phải nếu

x, y  X , x y  xz  yz , z  X .
Ta nói  tương thích nếu

x, y, z, t  X , x y, z t  xz  yt .
Ta nói  là quan hệ đồng dư trái (phải) nếu nó là quan hệ tương
đương và tương thích trái (phải). Ta nói  là quan hệ đồng dư nếu nó là
quan hệ tương đương và tương thích.
Vì vậy, một quan hệ  trên nửa nhóm S là một đồng dư khi và chỉ
khi nó vừa là đồng dư trái vừa là đồng dư phải.
Cho   BX . Đặt

 R   ,    , có tính phản xạ, gọi là bao đóng phản xạ của  ;

 S   ,    ,  có tính đối xứng, gọi là bao đóng đối xứng của  ;
 T   ,    ,  có tính bắc cầu, gọi là bao đóng bắc cầu của  ;

 E   ,    , là quan hệ tương đương, gọi là quan hệ tương đương
sinh bởi  ;

 C   ,    , là quan hệ tương thích, gọi là quan hệ tương thích
nhỏ nhất chứa  ;

 #   ,    , là quan hệ đồng dư, gọi là đồng dư sinh bởi  .
Mệnh đề : Với mọi   BX :
a)  R    id X ;
b)  S     1 ;

7




c)  
T

n ;

n 0

d)

    
R S

e)  
E

S R

    1  id X ;

    .
T
R S

Mệnh đề : Cho  , là các quan hệ tương đương trên S. Khi đó, ta có

         (xét với quan hệ thứ tự bao hàm).
T

Chứng minh : Cho  , là các quan hệ tương đương trên S. Vì   
chứa cả  , nên ta có :                  
Nói chung

   

   

n

T



2

.

      . Vì vậy
2n





   

n





n 0

   

n

    .

T

(*)

n 0

Mặt khác,    chứa   id S   ( vì  có tính phản xạ) và id S    
(vì  có tính phản xạ). Vì vậy ta có

                .
T

T

Kết hợp với (*) ta có

   

     .

T

T

Khi đó

       

E



R
      




S

T



         1  id

 


S


       1   1  id S 

T

      (vì  và  có tính phản xạ và đối xứng)
T

     .

T

Ta đã hoàn thành chứng minh.

8



T


Mệnh đề: Cho  , là các quan hệ tương đương trên nửa nhóm S (các
đồng dư trên S) sao cho        . Khi đó        .
Chứng minh : Giả sử        . Khi đó

   

2

     
        (vì        )

    (vì  , có tính bắc cầu)
Do đó          , n và do đó
n

       

T





   

n

n 0

   .
1.1.7 Nửa nhóm thƣơng Rees
Cho S là một nửa nhóm, I  S , I   . Ta nói
I là một ideal trái của S nếu S  I  I (s  S , t  I , s  t  I ) ;
I là một ideal phải của S nếu I  S  I (s  S , t  I , t  s  I ) ;
I là một ideal của S nếu nó vừa là ideal trái vừa là ideal phải.
Cho I là ideal của S. Đặt

 I  I  I  id S   u, v  : u, v  I    x, x  : x  S  .
Khi đó ta có  I là một quan hệ đồng dư trên S. Ta có nửa nhóm thương

S /  I gọi là nửa nhóm thương Rees.
1.1.8 Dàn các đồng dƣ
Cho  S là tập các quan hệ tương đương trên S và cho cS là tập các
đồng dư trên S. Khi đó  S và cS đều thừa nhận  như là một quan hệ
thứ tự. Ta dễ dàng thấy rằng cả  S ,   ,  cS ,   đều là các dàn :

9

Với bất kỳ  ,   S , ta có        và     (    ) E ;
Với bất kỳ  ,  cS , ta có        và          .
#

1.1.9 Nhóm con chuẩn tắc
Một nhóm con A của một nhóm X gọi là chuẩn tắc khi và chỉ khi

x1ax  A, a  A, x  X .
Ví dụ : Xét nhóm cộng các số nguyên

và nhóm con n

của

gồm các số nguyên là bội của một số nguyên n đã cho. Vì nhóm cộng
các số nguyên là aben nên n

là nhóm con chuẩn tắc của

.

1.2. Cấu trúc của nửa nhóm
1.2.1 Quan hệ Green
Cho S là một nửa nhóm và S 1 là vị nhóm liên kết của S. Trên S ta
xác định các quan hệ sau:

xLy  S 1x  S 1 y ;
xRy  xS 1  yS 1 ;
xJy  S 1xS 1  S 1 yS 1 .
Dễ thấy L, R, J là các quan hệ tương đương trên S.

Nhận xét :
1) xLy  p, q  S 1 sao cho px  y, qy  x ;
2) xRy  p, q  S 1 sao cho xp  y, yq  x ;
3) xJy  p, q, r , s  S 1 sao cho pxr  y, qys  x .
Mệnh đề : L  R  R  L
Chứng minh: Cho  x, y   L  R . Khi đó, z  S sao cho xLz, zRy . Do đó,

p, q, r , s  S 1 sao cho px  z, qz  x, zr  y, ys  z .

10


Đặt z '  qzr . Khi đó, xr  qzr  z ' , z 's  qzrs  qys  qz  x , vì vậy xRz ' .
Hơn nữa ta có qy  qzr  z ' , pz '  pqzr  pxr  zr  y , vì vậy z ' Ly .
Do đó,

 x, y   R  L .

Vậy L  R  R  L . Tương tự, R  L  L  R . Vậy

L R  R L.
Đặt H : L  R và D : L  R . Cho a  S , đặt

H a  t  S : tHa ;

La  t  S : tLa ;
Ra  t  S : tRa ;
Da  t  S : tDa ;
J a  t  S : tJa ;
S / L  La : a  S ;

S / R  Ra : a  S .
1.2.2 Cấu trúc D- lớp
Mỗi D- lớp trong một nửa nhóm S là tập hợp các L- lớp và cũng là
tập hợp các R- lớp. Giao của một L- lớp và một R- lớp hoặc bằng rỗng
hoặc là một H- lớp.
Một D- lớp gọi là chính quy nếu mọi phần tử của nó đều chính
quy. Trái lại D- lớp đó là không chính quy.
Trong một D- lớp chính quy, mỗi L- lớp và R- lớp chứa một phần
tử lũy đẳng.
Thật vậy, cho x  S sao cho Dx chính quy. Thông thường x là
chính quy. Do đó, xyx=x, x  S . Bây giờ, yxLx và  yx   yxyx  yx .
2

Vì vậy yx là một phần tử lũy đẳng trong Lx. Tương tự xy là một phần tử
lũy đẳng của Rx. Vậy mọi L- lớp và R- lớp đều chứa một phần tử lũy
đẳng.

11


1.2.3 Nhóm Schutzenberger
Cho S là một nửa nhóm và A là một H- lớp của S. Ta đặt:

Stab  A  x  S 1 : Ax  A
Trên Stab(A), ta xác định quan hệ  A như sau

x A y  h  A : hx  hy .
Dễ thấy  A là một quan hệ đồng dư trên Stab(A). Đặt :

  A  Stab  A /  A .
Mệnh đề : Cho A là một H- lớp của nửa nhóm S. Khi đó   A là một
nhóm được gọi là nhóm Schutzenberger của A.
1.3. Nửa nhóm tự do
Cho A   , A là tập hữu hạn các từ a1, a2 ,..., am trong bảng chữ
cái A. Một quan hệ nhị phân được xác định trên A bằng cách ghép như
sau:

 a1a2 ...am b1b2 ...bn   a1a2...amb1b2...bn .
Với phép toán này, A là một nửa nhóm được gọi là nửa nhóm tự
do trên A. Tập A là một tập sinh của A .
Nếu ta ghép thêm phần tử đơn vị 1 vào A thì ta thu được một vị
nhóm tự do trên A, ta kí hiệu là A* . Phần tử đơn vị của vị nhóm này là từ
rỗng.
Nếu A  a có một chữ cái, ta viết a  thay vì viết a . Chú ý


rằng a   a, a 2 , a3 ,... .
1.4. Nửa nhóm tuần hoàn
Cho S là một nửa nhóm và cho U i ; i  I ,  I    là một họ các
nửa nhóm con của S. Dễ thấy rằng U  U i  (nếu U   ) là một nửa
nhóm con của S. Mọi tập A   , A  S , có ít nhất một nửa nhóm con của

12


S chứa A, cụ thể chính là S. Do đó, giao của tất cả các nửa nhóm con của
S chứa A là một nửa nhóm con của S chứa A. Kí hiệu bởi A và chú ý nó
là một nửa nhóm con xác định bởi 2 điều kiện:
(1) A  A ;

(2) Nếu U là nửa nhóm con của S chứa A thì A  U .
Nửa nhóm con A chứa tất cả các phần tử của S có thể được mô
tả như các tích của hữu hạn các phần tử trong A.
Nếu A = S thì ta nói A là tập sinh của S.
Xét trường hợp A hữu hạn, nếu A  a1, a2 ,..., an  thì ta viết

A  a1, a2 ,..., an . Đặc biệt, A  a thì a  a, a 2 , a3 ,... . Khi đó, ta
gọi a là nửa nhóm con monogenic của S sinh bởi phần tử a.
Một cấp của phần tử a được xác định như trong lý thuyết nhóm,
như cấp của nửa nhóm con a . Nếu S là nửa nhóm mà trong đó tồn tại
phần tử a sao cho S = a thì S được gọi là nửa nhóm monogenic.
Cho nửa nhóm S và a  S , xét nửa nhóm con monogenic

a  a, a 2 , a3 ,... sinh bởi a. Nếu không có sự trùng lặp trong dãy
a, a 2 , a3 ,... thì ta có a m  a n  m  n và hiển nhiên



 a ,  đẳng cấu với

,  . Khi đó, ta nói a là nửa nhóm monogenic vô hạn và a có cấp

vô hạn trong S.
Giả sử rằng có sự lặp lại giữa các lũy thừa của a , khi đó đặt

x  :  y   : a

x

 a y , x  y là tập khác rỗng, vì vậy có ít nhất một

số tự nhiên, kí hiệu là m được gọi là chỉ số của phần tử a . Khi đó, ta đặt

13


x 

: a m x  a m  là tập khác rỗng vì vậy tồn tại 1 phần tử là r, ta gọi

đó là chu kỳ của a .
Ta cũng xem m, r như chỉ số và chu kỳ tương ứng với nửa nhóm
monogenic a .
Cho a là 1 phần tử với chỉ số m, chu kỳ r. Vậy ta có a m  a mr . (*)
Từ đó, am  amr  am  ar  amr  ar  am2r .
Tổng quát, ta có q  , a m  a mqr .
Do tính nhỏ nhất của m, r trong (*) ta có a, a 2 ,..., a m , a m1,..., a mr 1
là phân biệt. Với s  m , ta có thể viết s  m  qr  u , q  0,0  u  r  1

 a s  amqr  au  am  au  a mu .
Do đó,

a  a, a 2 ,..., a mr 1 và

a  m  r  1. Trong trường

hợp này ta nói rằng a có cấp hữu hạn. Một nửa nhóm S là nửa nhóm tuần
hoàn nếu mọi phần tử của nó đều có cấp hữu hạn.
1.5. Đồng dƣ tối tiểu và sự phân loại
1.5.1 Một số kí hiệu

Kí hiệu J ( S ) ( hay D(S ), L(S ), R(S ), H (S ) ) là tập tất cả các J -lớp
(hay

D -lớp,

L -lớp,

R -lớp,

H -lớp) của S. Với

x  S , J ( x)

(hay D  x  , L  x  , R  x  , H  x  ) là các J - lớp (hay D - lớp, L - lớp, R lớp, H - lớp) của S chứa x . Với tập con X  S, ta định nghĩa

J ( X ) : J ( x); x  X  , tương tự cho D  X  , L  X  , R  X  , H  X  . Hơn
nữa kí hiệu W  X  là ideal hai phía lớn nhất với X  W( X )  0 (có thể

W  X    ). Nếu A   x thì ta viết W  x  thay vì W( x) .
Nếu I là một ideal của S, thì S/I được gọi là thương Rees của S bởi
I, và S-I được gọi là đối ideal. Nếu I= 0 thì S/I= S.

14


Các tương đương trên tập S tạo thành một dàn đầy đủ (với tương
đương đồng nhất = tương đương nhỏ nhất =  và tương đương tầm
thường = tương đương lớn nhất =  ). Cho quan hệ tương đương  , kí
hiệu Car( )  x : y  x,( x, y)    . Hơn nữa  x là lớp của  chứa x ,
nghĩa là  x x  X  là sự phân chia X sinh ra bởi  . Tập hợp tất cả các

đồng dư trên nửa nhóm S là một dàn đầy đủ của tất cả các tương đương.
Cho một tập A, kí hiệu

 ( A) - đồng dư nhỏ nhất trên S sao cho ( x, y)   ( A) với mọi
x, y  A ;

 ( A) - đồng dư lớn nhất trên S với Car( ( A))  A .
1.5.2 Định nghĩa đồng dƣ tối tiểu
Một đồng dư  được gọi là cơ sở nếu    ( A) với mọi tập con 2
phần tử của S. Nếu A   x, y thì chúng ta sẽ viết  ( x, y) thay vì viết

 ( x, y) .
Đồng dư  được gọi là tối tiểu nếu    và  là đồng dư duy
nhất nhỏ hơn  .
Rõ ràng, ta có
Định lý 1.1 Một đồng dư  trên nửa nhóm S là tối tiểu khi và chỉ khi

   ( x, y) với mọi x  y với ( x, y)  .
1.5.3 Phân loại đồng dƣ tối tiểu trong nửa nhóm
Định lý 1.2 Nếu  là một đồng dư tối tiểu trên nửa nhóm S thì xảy ra 1
trong 2 trường hợp sau :
 Car( )  J với mọi J - lớp J của S ;
 J 0 , J1  J (S ) sao cho Car ( )  J o  J1 và mọi lớp nhiều hơn 1
phần tử của  có giao khác rỗng với cả J0 và J1. Hơn nữa, nếu tồn tại 2

15


phần tử phân biệt của một  - tương đương là

x, y  J i thì

J 0  J1  S 1J i S 1 .
Chứng minh: Với mọi lớp nhiều hơn một phần tử A của 

ta có

   ( A)   và    (W( A))   . Vì vậy nếu A  J  0 với mọi J là
J -lớp

của S thì mọi lớp nhiều hơn một phần tử B của 

ta có

B J  0.
Giả sử  3 J - lớp J i, i 3 với A  Ji  0 với  i 3. Khi đó với

 i, j  3, i  j ta có    ( J i  J j )   . Mâu thuẫn này dẫn tới  k  3
sao cho J k  Car( (J i ; i  3 \ k)  0 . Do đó có 2 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: tồn tại một J - lớp J với A  J , khi đó mọi lớp
nhiều hơn 1 phần tử B của  thỏa mãn B  J suy ra Car( )  J .
Trường hợp 2: tồn tại 2 J - lớp J i, i  2 sao cho A  J0  J1, và
mọi lớp nhiều hơn một phần tử B của  thỏa mãn B  J 0  J1 và

J i  B  0 với i 2. Khi này Car ( )  J 0  J1 .
Cuối cùng, nếu x  y , ( x, y )  thì    ( x, y)   , khi đó nếu

x, y  J i thì J 0  J1  S 1J i S 1 .
Định lý 1.2 là cơ sở của sự phân loại các đồng dư tối tiểu. Một
đồng dư tối tiểu  được gọi là đồng dư tối tiểu trong nếu Car( )  J với

mọi J- lớp J của S, trái lại  là đồng dư tối tiểu ngoài.
Một đồng dư  trên S được gọi là
+ 1- đồng dư tối tiểu nếu  là đồng dư tối tiểu

ngoài,

Car ( )  J 0  J1 với mọi J- lớp J0 và J1, và S1J0S1 và S1J1S1 là không
so sánh được (đối với quan hệ bao hàm).

16


+ 2- đồng dư tối tiểu nếu  là đồng dư tối tiểu ngoài,

Car ( )  J 0  J1 với mọi J- lớp J0 và J1, và S1J0S1  S1J1S1 hoặc
S1J1S1  S1J0S1.
+ 3- đồng dư tối tiểu nếu   H .
+ 4- đồng dư tối tiểu nếu   L hoặc   R và   H .
+ 5- đồng dư tối tiểu nếu   D và không có   L hoặc cũng
không có   R .
+ 6- đồng dư tối tiểu nếu   J và   D .
Vậy đồng dư tối tiểu các loại 3-6 luôn là các đồng dư tối tiểu
trong.
Cuối cùng, cho một nửa nhóm S và phần tử x  S, kí hiệu


f x là biến đổi trong trái của phần tử x , nghĩa là f x  y   xy , mọi

y S;


g x là biến đổi trong phải của phần tử x, nghĩa là g x  y   yx , mọi

y S.
Một J - lớp được gọi là không chính quy nếu JJ  J =0, trái lại

J là chính quy. Chắc chắn rằng J là chính quy khi và chỉ khi J chứa
một phần tử lũy đẳng.
Một nhóm con chuẩn tắc N của nhóm G là tối tiểu nếu N  1 và
mọi nhóm con chuẩn tắc H của G với H  N thỏa mãn H=N hoặc

H  1 .

17


CHƢƠNG 2. NỬA NHÓM GREEN
2.1. Định nghĩa nửa nhóm Green
Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm Green nếu các điều sau
đây đúng:
(*) Mọi a,b S, x,y,v  S1 với a= xb, b= yav thì  z S1 với b= za;
(**) Mọi a,b S, x,y,v  S1 với a= bx, b= yav thì  z S1 với b= az.
2.2. Tính chất của nửa nhóm Green
Bổ đề 2.1 Nếu S là nửa nhóm Green thì J=D.
Chứng minh: (a,b)  J   u,v  S1 với a= ubv. Do đó (a,ub), (b,ub)  J,
vì S là nửa nhóm Green nên ta có (b, ub)  L và (ub, ubv=a)  R. Vì vậy
J= L.R= D.
Định lý 2.2 Cho S là một nửa nhóm. Ta có các điều sau tương đương:
(i)

S là nửa nhóm Green.

(ii) Với mọi a,b  S nếu (a,ba)  J thì (a,ba)  L và nếu (a,ab)

 J thì (a,ab)  R.
(iii) Với mọi x  S ta có S1x  L(x)  W(x) và xS1  R(x)  W(x).
Chứng minh: (i)  (ii): Cho a,b  S với (a,ba)  J   u,v  S1 với
a= ubav và từ (*) ta có (a,ba)  L. Tương tự (a,ab)  J  (a,ab)  R.
(ii)  (i): Nếu a=xb và (a,b)  J thì (a=xb,b)  L suy ra từ (ii) và (*) vẫn
đúng. Tương tự bằng lập luận đối ngẫu (**) vẫn đúng.
(ii)  (iii): Nếu x  S, a  S1 thì ax=x hoặc (x,ax)  L hoặc (x,ax)  J.
Vậy ax=x hoặc ax  L(x) hoặc ax  W(x). Tương tự cho xS1.
(iii)  (ii): Nếu a,b  S thì ba  L(a)  W(a). Vậy (a,ba)  L hoặc (a,ba)

 J. Tương tự ta có khẳng định thứ hai.
Hệ quả 2.3 Mọi nửa nhóm giao hoán là nửa nhóm Green.

18


Chứng minh: Nếu S là một nửa nhóm giao hoán thì J=H trong S và do đó
(iii) của định lý 2.2 vẫn đúng.
Mệnh đề 2.4 Nếu S là một nửa nhóm Green thì các điều sau đây đúng:
1) Với mọi L  L(S) và mọi s  S thì gs là một song ánh từ L lên
Ls L(S) hoặc Ls  W(L).
2) Với mọi R  R(S) và mọi s  S thì fs là một song ánh từ R lên
sR R(S) hoặc sR  W(R).
3) Nếu a,b,x  S1 sao cho

 axb, x   J

thì

 ax, x   J

hoặc

 xb, x   J .
Chứng minh: Cho L  L(S), khi đó L  W(L) là một ideal trái suy ra từ
(iii) của định lý 2.2. Do đó  s  S, (L  W(L)) là một ideal trái.
Nếu Ls  J(L)  0 thì Ls  J(L)  L(S).
Hơn nữa  t  S với Lst  L  W(L) và  x  L, xst=x vì theo bổ
đề 2.1, ta có J=D.  y  L,  u  S1 với y= ux, do đó ta kết luận rằng
yst=y. Vậy Ls  J(L) và Ls L(S), và gs là một song ánh từ L lên Ls.
Chứng minh 2) tương tự.
Để chứng minh 3) ta giả sử (ax,x)  J. Khi đó chọn c  S1 thích
hợp ta có cax=x. Do đó caxb=xb và (xb,x)  J suy ra (axb, x)  J , ta thu
được mâu thuẫn.
Hệ quả 2.5 Cho một nửa nhóm Green S, nếu J  J(S) thì  ( J )  L ,

 ( J )  R ,  ( J )  H là các đồng dư.
Chứng minh: Do L là một đồng dư phải, ta có  ( J )  L là một đồng dư
phải. Nếu (x,y)   ( J )  L thì với z  S1 ta có (zx, zy)   ( J ) . Vậy
zx=zy hoặc zx,zy  J. Do S là một nửa nhóm Green nên ta thu được từ
(ii) của định lý 2.2 rằng (x,zx), (y,zy)  L. Khi đó (x,y)  L  (zx,zy) 

19