Bai tap phuong phap tinh

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH
VERSION

Người soạn:

10.2017

BÀI TẬP CHƯƠNG I:

Hoàng Thị Thanh Giang
BM Toán Tin ứng dụng

SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ

trọng lượng của 1dm3 nước ở 0oC nhận được
p  999.847  0.001( g ) . Hãy xác định sai số tuyệt đối, tương đối và nêu ý nghĩa rút ra
từ phép đo trên.
Bài 1.2:
Cho e  2.718281828... . Cần quy tròn số e với bao nhiêu chữ số thập
Bài 1.1:

Đo

phân để sai số không vượt quá 0.0003 ( nghĩa là e  equy tron  0.0003 ).
Chú ý: Câu hỏi trên tương đương với 2 câu hỏi:
- Cần quy tròn số e với bao nhiêu chữ số thập phân để sai số tuyệt đối
giới hạn không vượt quá 0.0003.
- Cần quy tròn số e với bao nhiêu chữ số thập phân để sai số tuyệt đối
giới hạn bằng 0.0003
Bài 1.3:
a/ Cho a  0.5833,  a  0.4.103 . Tính  a .

Bài 1.4:

b/ Cho b  20035.  b  0.02. Tính  b .
Hãy xác định các chữ số đáng tin, đáng nghi của a1 , a2 với:

a1  0.53822,  a  0.0005,
1

a2  24.5314,  a  103.
2

Bài 1.5:
Quy tròn một số thập phân thành số thập phân có k chữ số sau dấu phẩy
thì sai số tuyệt đối giới hạn là bao nhiêu? Rút ra ý nghĩa thực tế. Suy ra kết quả với k = 4,
k = 5.
Bài 1.6:
Cho a  34.12565  a  0.2 .102 . Làm tròn a đến 3 chữ số lẻ thập
phân. Hãy xác định sai số tuyệt đối (giới hạn) và sai số tương đối (giới hạn) của số làm
tròn.
Bài 1.7:
Cho tam giác có độ dài cạnh a  5  0,01 (m) . Tính gần đúng diện tích

3 2 2
a m  .
4
Bài 1.8:
Cho hàm số hai biến số u  x y . Tính gần đúng u và tính các sai số
 u ,  u tại x  5  0,1; y  2  0,08.
Bài 1.9:
Vào thế kỉ thứ 3, ở Trung Hoa có tìm ra số  3.1556. Tính   , sau đó

tính diện tích S , sai số  S của hình tròn bán kính r  8  0.04 (cm) . Biết:
và sai số tuyệt đối, tương đối giới hạn của diện tích S biết S 

S   r 2 ,   3.1556  
  3.141592653589...

Bài 1.10:
Hãy xác định giá trị của hàm số u tại x  0.85, y  1.364 , sai số tuyệt
đối giới hạn  u và sai số tương đối giới hạn  u biết mọi chữ số có nghĩa của x, y là
những chữ số đáng tin với:
1


u  ln( x  y 2 )
5x3
b/ u 
y
a/

Giả sử đại lượng vật lí E được tính theo các đại lượng biến thiên độc lập

Bài 1.11:

2 r2
r , s, u theo công thức E 
. Hãy chỉ ra một cách đo r , s, u với độ chính xác như
s.u 3
thế nào để sai số tương đối giới hạn  E không vượt quá 0.5.103 .
Bài 1.12:
Biết các đại lượng u, v phụ thuộc vào các đại lượng độc lập x, y, z theo

hàm:

u  x yz
1
v  4x  y  z
3

a/ Hãy chỉ ra một cách đo x, y, z như thế nào để sai số  u  0.05
a/ Hãy chỉ ra một cách đo x, y, z như thế nào để sai số  v  0.01
Bài 1.13:

Biết số e ( số Euler) luôn viết được dưới dạng:

Rn
1 1
1
   
với mọi n và 1  Rn  3 .
1! 2!
n! (n  1)!
4
Tính gần đúng e sao cho sai số tuyệt đối không vượt quá 10 .
e  1

BÀI TẬP CHƯƠNG II:

TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM THỰC CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 2.1:
Tìm những khoảng phân li nghiệm (ứng với các nghiệm khác nhau) của

các phương trình sau:
4
a/ x  4 x  1  0
b/ log10 x  3x  5  0
Bài 2.2:
Cần chia đôi ít nhất mấy lần để nghiệm gần đúng của phương trình
2
x .log 0.5 ( x  1)  1 với khoảng phân li ban đầu (-0.8 ; -0.5) có độ chính xác không vượt
quá 10-2 .
Bài 2.3:
Dùng phương pháp chia đôi, tìm nghiệm gần đúng của phương trình
3
2
x  3 x  3  0 với độ chính xác 0.4 .10-2 trong khoảng (-3; -2.5).
Bài 2.4*:
Hãy tìm khoảng phân li (a, b) chứa nghiệm lớn nhất và biến đổi phương
trình x  x  729  0 về dạng x   ( x) sao cho hàm  ( x ) thỏa mãn 3 điều kiện của
định lí về phương pháp lặp. Chứng minh.
Bài 2.5:
Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 10-3 của
3
phương trình x  x  1  0 trong khoảng phân li (1 ; 2).
3
Bài 2.6:
a/Tính đến x4 là nghiệm gần đúng của phương trình x  2 x  2  0
trong khoảng phân li (1; 2) bằng phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Niu-tơn).
b/ Đánh giá sai số.
3

2

Bài 2.7:
a/ Tính đến x3 là nghiệm gần đúng của phương trình x 4  3 x  1  0
trong khoảng phân li (1; 1.5) bằng phương pháp dây cung.
b/ Từ câu a/ suy ra nghiệm chính xác nằm trong đoạn nào?
Bài 2.8*:
Dùng phương pháp tiếp tuyến ( phương pháp Niu-tơn) tính gần đúng
nghiệm của phương trình 2lg x 

x
 1  0 với sai số tuyệt đối không quá 10-5.
2

BÀI TẬP CHƯƠNG III: TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 3.2:
Dùng phương pháp lặp đơn, tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau
4 bước lặp và đánh giá sai số ( các phép tính để 4 chữ số thập phân).






Bài 3.3:

27 x1  6 x2  x3  85
6 x 1 15 x2  2 x3  72
x1  x2  54 x3  110

Giải hệ thống phương trình:

 24.21x  2.42 y  3.85 z  30.24

 2.31x  31.49 y  1.52 z  40.95
3.49 x  4.85 y  28.72 z  42.81

bằng phương pháp lặp đơn cho tới khi

x ( n )  x ( n 1)



 104 .

Bài 3.4:
Dùng phương pháp lặp Dây-đen (Seidel), tìm nghiệm gần đúng của hệ
phương trình sau 3 bước lặp. ( các phép tính để 5 chữ số thập phân).

2 x1  2 x2  10 x3  14

 10 x 1  x2  x3  12
 2 x  10 x  x  13
2
3
 1
(gợi ý: bước đầu tiên đưa hệ phương trình về dạng chéo trội để thỏa mãn điều kiện hội
tụ    1 )
BÀI TẬP CHƯƠNG IV: ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Bài 4.1:
liệu sau:

a/ Xây dựng đa thức nội suy Lagrăng của hàm số y  f ( x) ứng với bảng số

x
0
0.5
1
1.5
y
1
0.75
2
4.75
b/ Tính gần đúng f (1.2) . ( câu này thuộc nội dung chương V)
Bài 4.2:
Cho hàm y  f ( x) thỏa mãn bảng số liệu :
0.3
0.4
0.6
0.7
xi

0.8
3


yi

-9.3214

-6.5200

0

4.1267

7.9132

a/
Tìm đa thức nội suy Niu-tơn ( Newton) tiến ứng với bảng trên. Khi x  0.55 thì dự
đoán f ( x ) bằng bao nhiêu?
b/
Tìm đa thức nội suy Niu-tơn ( Newton) lùi ứng với bảng trên.
c/
Tìm hàm y  a  bx gần với hàm f ( x ) nhất bằng phương pháp bình phương bé
nhất ( a , b là các hằng số).
Bài 4.3:
Cho hàm y  f ( x)  sin x với bảng giá trị :
x (radian) 1.0
1.1
1.2
1.3
y
0.84147
0.89121
0.93204
0.96356
Tìm đa thức nội suy theo biến y: x  Qn ( y ) ứng với bảng trên. Tính gần đúng

arcsin 0.9.
b/ Tìm đa thức nội suy Niu-tơn ( Newton) tiến y  Pn ( x) ứng với bảng trên.
c/ Tìm đa thức nội suy Niu-tơn ( Newton) lùi y  Rn ( x) ứng với bảng trên. Tính gần
đúng sin 1.35
Bài 4.4: Dùng đa thức nội suy, hãy tìm giá trị còn thiếu trong bảng sau:
a*/

x
f ( x)

3.5
5.602

3.7
7.294

4.0
8.54

4,2
?

4,5
10.025

Bài 4.5: Cho bảng giá trị tương ứng giữa x và y như sau:
x
2
2.3
2.6

2.9
3.2
3.5
y
14.00
11.27
10.91
8.25
7.86
6.05
a) Bằng phương pháp bình phương bé nhất, tìm hàm y  a  bx gần với bảng
giá trị trên nhất.
b) Tính gần đúng đạo hàm yx (3.2) . ( câu này thuộc nội dung chương V)
Bài 4.6:
Cho bảng các giá trị:
x
0.78
1.56
2.34
3.12
3.81
y
2.50
1.20
1.12
2.25
4.28
2
Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y  a  bx  cx với a , b, c là các hằng số.

BÀI TẬP CHƯƠNG V:

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Bài 5.1:
Tính gần đúng giá trị đạo hàm y(2.2), y(2.4), y(2.5) của hàm y  f ( x)
thỏa mãn bảng sau:
x
y

2.2
1.772

2.3
2.635

2.4
2.000

2.55
1.094

4


Bài 5.2:
Tính gần đúng tích phân sau bằng công thức Sim-sơn, chia đoạn [0.5;1.5]
thành 8 đoạn bằng nhau:
1.5

I

sin x
dx
x
0.5



1



Tính gần đúng tích phân I  x.e x dx bằng công thức hình thang với đoạn

Bài 5.3:

0

[0;1] thành 4 đoạn bằng nhau. Đánh giá sai số.
x



Cho hàm số f ( x)  t.ln tdt . Tính gần đúng giá trị f (2) với độ chính

Bài 5.4:

1

xác   10 .
3

1

Bài 5.5:

Cho tích phân I 

dx

 1  x . Hãy chia đoạn [0; 1] thành 10 đoạn con bằng
0

nhau rồi tính gần đúng I và cho đánh giá sai số bằng:
a) Công thức hình thang
b) Công thức Sim-sơn
Bài 5.6:
Dưới tác động của một lực thay đổi F hướng dọc theo trục x, một chất
điểm chuyển động dọc theo trục x từ x=0 đến x=1.2. Cho biết bảng giá trị của môđun của
lực F :
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
F(x)

2.53
3.00
3.41
4.09
4.87
5.11
5.50
a/

Tính gần đúng bằng công thức hình thang tổng quát công A của lực F biết:
1.2

A

 F ( x)dx
0

b/
Tính gần đúng bằng công thức Sim-sơn tổng quát công A của lực F .
Bài 5.7:
Vận tốc của một ô-tô (chạy trên đường thẳng) tại những thời điểm khác
nhau được cho trong bảng sau:
Thời gian t (phút) 0 2 4 6 8 10 12
Vận tốc v (km/giờ) 0 22 30 27 18 7 0
Dùng công thức Sim-sơn, tính gần đúng quãng đường ô-tô đi được trong khoảng thời
t

gian trên. Biết quãng đường S   v(t ).dt .
t

(Chú ý đơn vị của t và v (t ) , nên đổi phút sang giờ)

BÀI TẬP CHƯƠNG VI:

Bài 6.1:

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Cho bài toán Cô-si ( Cauchy):
5


y  y 2  x 2 ,

y (1)  1 .

Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Ơle ( Euler) trên [1, 2], chọn bước h = 0.1.
Bài 6.2:
Cho hệ phương trình vi phân cấp 1:

 y  ( z  y ) x

 z  ( z  y ) x
Với điều kiện ban đầu y (0)  z (0)  1. Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp
Ơle trên [0; 0.6], chọn bước h = 0.1. Các kết quả phép tính để 4 chữ số lẻ thập phân.
Bài 6.3:
Giải gần đúng hệ phương trình vi phân

 y  y  z


 z  xy  3z
với điều kiện ban đầu y(0)  1; z (0)  2 bằng phương pháp Ơ-le (Euler) trên [0; 0,4] ,
chọn bước h  0,1.
Bài 6.4:

Giải gần đúng phương trình vi phân cấp 2 sau bằng phương pháp Ơle:

y  y 

y
, 0  x  1 với y (0)  1 và y(0)  2 . Chọn h = 0.1.
x 1

Bài 6.5:
Giải gần đúng phương trình vi phân sau dùng phương pháp khai triển
chuỗi Taylor đến đạo hàm cấp 3:

x
 
 y  3y 
y

 y (0)  2

Bài 6.6:
Dùng phương pháp Ơle cải tiến, chọn bước h  0.2 , tính gần đúng y1
sau 3 bước lặp của Bài toán Cô-si :

y  y 

2x
,
y

y (0)  1, 0  x  1.

6


KHOA CNTT
BỘ MÔN TTƯD
-------------Đề số: PPT02

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên học phần: Phương pháp tính
Thời gian làm bài: 75 phút
Loại đề thi: Tự luận

Câu I (2 điểm): Cho hàm số hai biến số u  f ( x, y)  y x . Tính gần đúng u và các
sai số  u ,  u tại x  2  0,08; y  4  0, 2 .
Câu II (2 điểm): Xét phương trình x  3x  2.
a) Chứng minh khoảng (3, 4) là một khoảng phân ly nghiệm của nó.
b) Tính đến x3 là nghiệm gần đúng của phương trình bằng phương pháp
lặp trên khoảng (3, 4) , chọn x0  4.
Câu III (2 điểm): Cho hàm y  f ( x) thỏa mãn bảng giá trị
x
2,15
2,3
2,45
2,6

y
9,36752
10,12500
10,89050
12,12235
a) Tìm đa thức nội suy Niu-tơn (Newton) của hàm f ( x ) ứng với bảng trên.
b) Tính gần đúng f ( 2,5).
1

Câu IV (2 điểm): Cho tích phân J   1  x 3 dx . Tính gần đúng J theo công
0

thức hình thang bằng cách chia đoạn [0; 1] thành 10 đoạn con bằng nhau.
Câu V (2 điểm): Đưa phương trình vi phân cấp 2
yy

y 

x


 y (2)  1; y(2)  2
về hệ 2 phương trình vi phân cấp 1 bằng cách đặt y   z. Sau đó giải gần đúng hệ
tìm được bằng phương pháp Ơle (Euler) trên [2; 2, 6] , chọn bước h  0, 2.
---------------------------Hết----------------------Ghi chú:

+ Các kết quả làm tròn với 5 chữ số phần thập phân
+ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu
Cán bộ ra đề

Họ tên và Chữ ký

Duyệt đề
Trưởng bộ môn
Họ tên và Chữ ký

Hoàng Thị Thanh Giang
7


KHOA CNTT
BỘ MÔN TTƯD
-------------Đề số: PPT01

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên học phần: Phương pháp tính
Thời gian làm bài: 75 phút
Loại đề thi: Tự luận

Câu I (2 điểm): Cho hàm số hai biến số u  x y . Tính gần đúng u và tính các sai
số  u ,  u tại x  5  0,1; y  2  0,08.
Câu II (2 điểm): Xét phương trình x  2 x  5.
c) Chứng minh khoảng (3, 4) là một khoảng phân ly nghiệm của nó.
d) Tính đến x3 là nghiệm gần đúng của phương trình bằng phương pháp
lặp trên khoảng (3, 4) , chọn x0  3.
Câu III (2 điểm): Cho hàm y  f ( x) thỏa mãn bảng giá trị
x
5
5,35
5,7

6,05
y
7,35000
8,96552
9,01784
10,19950
c) Tìm đa thức nội suy Niu-tơn (Newton) của f ( x ) ứng với bảng trên.
d) Tính gần đúng f (5,5).
1,6

Câu IV (2 điểm): Tính gần đúng I 



x3  1 dx bằng công thức Simsơn

1

(Simpson) với đoạn [1;1,6] được chia thành 6 đoạn con bằng nhau.
Câu V (2 điểm): Giải gần đúng hệ phương trình vi phân
 y  zx


y
 z  x
với điều kiện ban đầu y(1)  2; z (1)  1 bằng phương pháp Ơ-le (Euler) trên
[1;1,3] , chọn bước h  0,1.
---------------------------Hết----------------------Ghi chú:

+ Các kết quả làm tròn với 5 chữ số phần thập phân

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu
+ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Cán bộ ra đề
Họ tên và Chữ ký

Duyệt đề
Trưởng bộ môn
Họ tên và Chữ ký

Hoàng Thị Thanh Giang
8


KHOA: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BỘ MÔN: Toán Tin ứng dụng
-------------------------

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên học phần: Phương pháp tính
Thời gian làm bài:
75 phút
Loại đề thi:
Tự luận

Đề số: 014
Câu I (2 điểm) Một chi tiết máy hình nón có bán kính đáy r  7.2  0.05 (cm) ,
chiều cao h  3.2  0.05 (cm) và thể tích V  1 . r 2 h . Tính sai số tuyệt đối

3

giới hạn V và sai số tương đối giới hạn V của thể tích chi tiết máy. Cho
  3.1416 .
Câu II (2 điểm) Tính đến x2 là nghiệm gần đúng của phương trình

x 3  2 x  0.5  0 trong khoảng (-1, 0) bằng phương pháp tiếp tuyến.
Câu III (2+2 điểm) Dưới tác dụng của một lực thay đổi F hướng dọc theo trục x,
một chất điểm chuyển động dọc theo trục x từ x= 0 đến x= 1.2. Cho biết bảng giá
trị của môđun của lực F :
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
F
a/ Tính gần đúng bằng công thức hình thang tổng quát công A của lực F biết
1.2

A   F ( x)dx
0

b/ Tìm hàm y= a+ bx gần với hàm F ( x) nhất bằng phương pháp bình phương bé
nhất.
Câu IV (2 điểm) Giải gần đúng phương trình vi phân sau dùng phương pháp khai
triển chuỗi Taylor đến đạo hàm cấp 3:

x
 

 y  3y 
y

 y (0)  2

----------------------------Hết------------------------Ghi chú: + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu
+ Giá trị gần đúng đúng được tính đến 4 chữ số sau dấu phẩy
Cán bộ ra đề
Duyệt đề
Họ tên và Chữ ký
Trưởng Bộ môn
Họ tên và Chữ ký

9


Khoa Công nghệ thông tin
Bộ môn Toán tin UD

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Khối ngành: CK-KTD-CNTT
Số ĐVHT: 2
Thời gian làm bài: 60 phút

Mã đề : PPT- 05

Họ và tên SV: ………………………………………. Mã SV: …………….
Câu 1.(2 điểm) Một chi tiết máy hình cầu có bán kính R  4.7  0.05 (cm) .

Cho biết   3.14  0.0016 và diện tích hình cầu S  4 2 R2 . Tính sai số tuyệt
đối (giới hạn) S và sai số tương đối (giới hạn)  S của diện tích chi tiết
máy.
Câu 2.(3 điểm) Giải gần đúng phương trình x2  3x  5  0 trong khoảng
phân ly nghiệm (1; 1.5) bằng phương pháp chia đôi với độ chính xác
  102 .
Câu 3.( 3+2 điểm) Cho hàm số y  f ( x) với bảng số liệu sau:
x
y

1.2
-4.38

1.3
-2.16

1.4
0

1.5
2.55

a) Dùng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm y  ax  b gần với
hàm f ( x) nhất.
b) Tính gần đúng đạo hàm f (1.4) .

---Hết--Cán bộ ra đề thi

Cán bộ duyệt đề thi

Hoàng Thị Thanh Giang

Ghi chú:

- Sinh viên không được sử dụng tài liệu
- Nộp lại đề thi cùng bài làm
10


ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên học phần: Phương pháp tính
Thời gian làm bài: 75 phút
Loại đề thi: Tự luận

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BỘ MÔN TOÁN TIN ỨNG
DỤNG

-------------Đề số: PPT11

Câu I (1 điểm): Cần quy tròn số  với bao nhiêu chữ số thập phân ( sau dấu
phẩy) để sai số không vượt quá 0,0004. Cho   3,14159265358...
Câu II (2 điểm): Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn sau 2 vòng
lặp:
 15 x1  x2  3x3  20

2 x1  14 x2  x3  27
 x  3x  24 x  31
2
3

 1
Câu III (2 điểm+1 điểm): Cho bảng giá trị tương ứng giữa x và y như sau:
x
3
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
y
14,00 11,27 10,91 8,25
7,86
6,05
a) Bằng phương pháp bình phương bé nhất, tìm hàm y  a  bx gần với
bảng giá trị trên nhất.
b) Tính gần đúng đạo hàm yx (3,8).
2,5

3x
Câu IV (2 điểm): Tính gần đúng J  
dx bằng công thức hình thang với đoạn
x
2
[2; 2,5] được chia thành 5 đoạn con bằng nhau.

Câu V (2 điểm): Giải gần đúng hệ phương trình vi phân
xy
 
z
y 

2

 z  y  z
với điều kiện ban đầu y(0)  2; z (0)  1 bằng phương pháp Ơ-le (Euler) trên
[0; 0,4] , chọn bước h  0,1.
---------------------------Hết----------------------Ghi chú:

+ Các kết quả làm tròn với 5 chữ số phần thập phân
+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu
+ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Cán bộ ra đề
Họ tên và Chữ kí

Duyệt đề
Họ tên và Chữ kí
11


Hoàng Thị Thanh Giang

Nguyễn Hoàng Huy

12