DE THI THU THPTQG NAM 2018 DOAN THUONG CO HDG CAU KHO

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 1 NĂM HỌC 2017-2018
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 90 phút
Đề thi gồm: 07 trang – 50 câu
Mã đề thi

Họ, tên thí sinh:..................................................................... Số báo danh: .............................
PHẦN CƠ BẢN

Câu 1: Hàm số nào có đồ thị trên

( −π ;π )
được thể hiện như hình dưới đây?

y = cos x.

y = sin x.

A.

B.

C.



3
÷= 0

2 ÷


( cos x − 1)  sin x +


Câu 2: Phương trình
3
A. .

B.

Câu 3: Cho tập hợp

A

gồm

12

A129
A.

.

x+3
x−2

lim−

Câu 4: Tính giới hạn
A.

∞

x →2

.

y = tan x.

4

.

D.

( 0; 2π ]
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
6
5
C. .
D. .

?

3
A
phần tử. Số tập con gồm phần tử của tập hợp là
C129

A123
C123
B.
.
C.
.
D.
.

.
B.

−∞

.

C.

+∞

ABCD. A′B′C ′D′,
Câu 5:

y = cot x.

Cho hình lập phương

.

D.

0

.

a

có cạnh bằng . Tính khoảng cách từ điểm

( BDD′B ')
phẳng

A.

a 2

.

.

B.

a 2
2

.

C.

a

.

D.

a 3
2

.

A

đến mặt


ABCD. A′B′C ′D′,
Câu 6:

Cho hình hộp chữ nhật

với

AB = 10cm AD = 16cm
BC ′
,
. Biết rằng
hợp với
cos ϕ =

8

17

ϕ
đáy một góc
sao cho
(tham khảo
hình vẽ bên). Tính khoảng cách giữa hai đường
AC
B ′D ′
thẳng
và
.
20
40
A.
cm.
B.
cm.
30
50
C. cm.
D. cm.

y=

Câu 7: Cho hàm số

x−2
x −1

. Xét các mệnh đề sau.

( −∞; 1) ∪ ( 1; + ∞ )
1) Hàm số đã cho đồng biến trên

.
¡ \ { 1}

2) Hàm số đã cho đồng biến trên

.

3) Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.

( −∞; − 1)
4) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
Số mệnh đề đúng là
A. 3.

B. 2.

y = x +1
A.

¡

C.

f ′ ( x ) = ( x − 2)

có đạo hàm
A. Hàm số không có điểm cực trị.
C. Hàm số có một điểm cực trị .

Câu 10: Tìm
A.

m

để đồ thị hàm số
m = 2.

y=

B.

( m − 1) x − 3m
2x − m

m = 1.

D. 4.

y=

y = 4 x + 1.

B.

y = f ( x)

.

?

y = −4 x + 1.
.

Câu 9: Hàm số

và
C. 1.

Câu 8: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập
2

( −1; + ∞ )

2

(x

D.
2

x+3
x−2

.

− 3x + 2 )

. Phát biểu nào sau đây là đúng ?
B. Hàm số có hai điểm cực trị .
D. Hàm số có ba điểm cực trị .

y =1
có tiệm cận ngang là đường thẳng
.
m = 0.
m = 3.
C.
D.


y = x+

Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
A.

2

.

B.

Câu 12: Cho hàm số

3x 2 + 2 x + 3
y=

x2 + 1

[ 2; 4]

A.

10
3

1
x

[ 1; 3] .
trên đoạn

5
C. .

.

B.

Câu 13: Cho đường cong

−2

.

, tập hợp nào sau đây là tập giá trị của hàm số?

[ 2;3]

.

D.

.

C.

¡

[ 3; 4]
.

D.

.

( P)
được vẽ bởi nét liền trong hình vẽ sau:

( P)
Hỏi
là dạng đồ thị của hàm số nào?
3
y = x3 − 3 x
y =− x +3x
.
B.

.
A.

Câu 14: Cho hàm số

y = f ( x)

C.

.

x −∞
y

D.

¡ \ { −1}

xác định, liên tục trên tập

y'

y = x3 − 3 x .

y = x 3 − 3x

+∞

−

−1

và có bảng biến thiên như sau:

−
+∞ 0 +

−∞

3

+∞
+∞

−2

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
[ 1;8]
−2
A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
bằng
.
y = f ( x)
y=2
B. Đường thẳng
luôn cắt đồ thị
tại 3 điểm phân biệt.
y =1
C. Hàm số có tiệm cận ngang
.

y = f ( x)

y = −3

D. Đường thẳng

luôn cắt đồ thị

tại 1 điểm duy nhất.
1

D

Câu 15: Tìm tập xác định
A.

của hàm số

D=¡ .

B.
M =a

Câu 16: Giá trị của
A.

f ( x ) = ( 4 x − 2 ) 2018

1009

2018log

a2

.

1
D = ¡ \  .
2

2017

1

D =  ; +∞ ÷
2

C.
.

0 < a ≠1

(
) bằng
2018
2017
B.
.

2017

.

D.

1

D =  ; +∞ ÷.
2


C.

20182017

.

D.

20171009

.

1

S

Câu 17: Tìm tập nghiệm

S = ( 2; + ∞ )

A.

.

2
của bất phương trình
S = ( −∞;0 )
B.
.

x−1

 1 x
> ÷
 16 

.
S = ( 0; + ∞ )

S = ( −∞; + ∞ )

C.

.

D.

.

2 log 4 ( x − 3) + log 4 ( x − 5 ) = 0
2

Câu 18: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
8

A. .

B.

Câu 19: Tính nguyên hàm
A.

∫e

2x

8+ 2

.

C.

8− 2

2x
2x
∫ e dx = e + C.

B.

2x
2x
∫ e dx = 2e + C.

y = f ( x)

Cho hàm số
đúng?

∫e

2x

C.

∫

0

( ABCD )
4a

3

3

∆SAC

∫

∫ f ( x)dx = 1.
0

8a 3 2

.

D.

là hình vuông cạnh

vuông cân. Thể tích khối chóp

S . ABCD

C.

1
dx = e x + C.
2

e

f ( x )dx = e.

0

ABCD

2x

Mệnh đề nào sau đây là

C.

có đáy

B.

D.

e

f ( x )dx = 1.

2

.

∫e

dx = e.

và thỏa mãn

0

Câu 21: Cho hình chóp

x

1

B.

S . ABCD

1
dx = e 2 x + C.
2

f ( ln( x ) )

∫

1

f ( x )dx = e.

A.

A.

¡

liên tục trên

1

∫

.

dx.

e

Câu 20:

bằng
4+ 2
D.
.

8a
3

2a, SA

vuông góc với mặt phẳng

là:

3

.

D.

8a 3 2
3

.


50 cm

Câu 22: Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là
900π cm

, diện tích đáy

2

. Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm
thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp).
180 cm
50 cm
50cm
60π cm
A. Chiều dài
, chiều rộng
.
B. Chiều dài
, chiều rộng
.

900cm

C. Chiều dài

30π cm

50 cm
, chiều rộng

.

D. Chiều dài

, chiều rộng

Câu 23: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều cao và bằng
của hình trụ là
8π
cm 2
3
.
A.

Câu 24: Cho số phức

B.

z = 5 − 4i

A. Phần thực bằng
C. Phần thực bằng

3
3

Câu 25: Biết rằng số phức

z

4π cm 2

. Số phức

.

z−2

và phần ảo bằng
và phần ảo bằng

C.

có
−4i
−4

.

.

2π cm 2

50 cm

2cm

.

.

. Diện tích xung quanh

D.

8π cm 2

.

5

−4
và phần ảo bằng
.
3
−4
D. Phần thực bằng
và phần ảo bằng .
B. Phần thực bằng

bằng nghịch đảo của số phức liên hợp của nó, trong các mệnh đề sau,

mệnh đề nào đúng?

A.

z∈¡ .

B.

z

z = −1.
là số thuần ảo.

C.

z = 1.
D.

( P ) : 2x + y − 2z +1 = 0

Oxyz

Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho mặt phẳng
và điểm
M ( 1; − 1; 2 )
( P)
M
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.

2
2
d ( M , ( P) ) = ×
d ( M , ( P) ) = − ×
d ( M , ( P) ) = 3
3
3
A.
.
B.
C.
D.
.
d ( M , ( P) ) = 2

Câu 27: Tìm

m

để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
m = −1
m =1
A.
.
B.
.

 x = 1 + mt
 x = 1− t′



d :y = t
; d ′ :  y = 2 + 2t ′
 z = −1 + 2t
 z = 3 − t′



C.

m=0

.

D.

m=2

.


d:

( P)

Oxyz

Câu 28: Trong không gian với hệ trục

, mặt phẳng

chứa đường thẳng
( Q ) : 2x + y − z = 0
vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là

x − 2 y –1 = 0
A.

x − 2y + z = 0
.

B.

x + 2 y –1 = 0
.

C.

Oxyz

( P) : x + 4 y + 9z − 9 = 0

. Giao điểm của
I ( 1; 2;0 )
B.
.

I ( 2; 4; −1)

A.

Câu 30: Cho điểm

, cho đường thẳng
I

.
M ( −3; 2; 4 )

d

D.

y−2 z−4
=
2
3

và mặt phẳng

( P)
và

là
I ( 1;0;0 )
C.

I ( 0;0;1)

.

A, B, C
, gọi

và

x + 2y + z = 0
.

d : x −1 =

Câu 29: Trong không gian với hệ trục

x −1 y z +1
= =
2
1
3

lần lượt là hình chiếu của

D.
M

.

Ox, Oy, Oz
trên trục

. Trong

( ABC )
các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
6 x − 4 y − 3 z − 12 = 0
3x − 6 y − 4 z + 12 = 0
A.
.
B.
.
4 x − 6 y − 3 z + 12 = 0
4 x − 6 y − 3 z − 12 = 0
C.
.
D.
.
PHẦN NÂNG CAO

5
5
6
1
quả cầu gồm quả cầu màu xanh được đánh số từ đến và quả cầu
6
1
2
màu đỏ được đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên đồng thời quả cầu từ hộp đó. Xác suất để
2
quả cầu chọn ra khác màu và tích các số ghi trên hai quả cầu là số chẵn bằng
14

46
21
30
55
55
55
55
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 31: Một hộp chứa

11

Câu 32: Cho đa giác đều có

2018

đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số
xác suất để ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông.
3
3
6
2018

2017
2018
A.
.
B.
.
C.
.

Câu 33: Cho hàm số

 x2 − x − 6


y = f ( x) =  x − 3
 mx + 1
 x + 4

khi x < 3
khi x ≥ 3
.

2018

đỉnh của đa giác, tính

D.

6
2017

.


Biết

f ( x)

m

x0 = 3

là giá trị để hàm số
liên tục tại
, hãy tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số
m
1
cộng có số hạng đầu bằng và công sai bằng .
520
−530
−500
550
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 34: Cho hàm số
( 1)

y = x 4 − 2mx 2 + 1 ( 1)

. Tổng lập phương các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua
−1 + 5

A.

.

B.
y=

Câu 35: Cho hàm số

x +1
x−2

5− 5
2

3

.

C.

(C )
có đồ thị

xB < 2 < xA .
Đoạn thẳng

AB

2 3

, các điểm

A

A.

.

thuộc đồ thị

có hoành độ thỏa mãn

8 3
D.

m ∈ ( 1; e ) .

x ∈ ( 0;1)

có nghiệm
m ∈ ( −∞;0 ) .
C.

m

m ∈ ( −∞; −1) .
D.

( −2018; 2018)
thuộc khoảng

để hàm số

x

4
2
+ 2m.
+ ( m + 2) x +1
ln 4
ln 2

2018

.

B.

4 < f ( 5) < 5

.

f ( x) =

đồng biến trên khoảng
2020
.
C.
.

.
D.

x>0
với mọi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2 < f ( 5) < 3
3 < f ( 5) < 4
B.
.
C.
.

4m
+ sin 2 x.
π

π  π
F ( 0 ) = 1; F  ÷ =
4 8

4034

.

( 0; +∞ )
liên tục, nhận giá trị dương trên

f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + 1,

A.

2019

( −∞; + ∞ )

y = f ( x)

Câu 38: Giả sử hàm số

Cho

D.

4 6

Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực

Câu 39:

2+ 5

.

C.

B.

x

bằng:

(C )

m ln ( 1 − x ) − ln x = m

m

để phương trình
m ∈ ( 0; +∞ ) .

A.

B

R =1

có độ dài nhỏ nhất là

B.

y=

1+ 5
2

và

2 6

A.

Câu 36: Tìm

điểm này có bán kính

f ( 1) = 1,
và thỏa mãn

1 < f ( 5) < 2
D.

F ( x)
Tìm m để nguyên hàm

.

f ( x)
của

thỏa mãn:


4
3

m=−
A.

m=−
.

B.

3
4

m=
.

C.

4
3

3
4

m=
.

D.

.

y = 2 x3
Câu 40:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

x = −1 x = k ( k > 0 )
,

bằng

( 1;3)

17
2

. Hỏi

k

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

( 0;1)

A.

( 2;4 )

B.

( H)

( 3; 4 )

C.

D.

1
y= 2
x +1

H
Câu 41: Gọi ( ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
tạo thành khi quay
2
a.b = .
5

, trục hoành và hai đường thẳng

x2
y=
2

và

V = a.π + b.π .
2

quanh trục Ox là
1
a.b = .
10
B.

C.

Tính tích
13
a.b = .
20

. Thể tích khối tròn xoay
a.b

D.

1
a.b = .
4

A.

Câu 42: Cho hình chóp

S . ABCD

ABCD

có đáy

là hình vuông, cạnh bên

( SAB )

SD

SA

vuông góc với mặt phẳng

45°

I
đáy. Đường thẳng
tạo với mặt phẳng
một góc
. Gọi là trung điểm của cạnh
CD
SD
BI
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng (Số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị).
48°.

51°.
42°.
39°.
A.
B.
C.
D.

Câu 43: Cho hình chóp

S . ABCD

vuông góc với đáy. Gọi

có đáy là hình vuông cạnh

M

và

khối cầu ngoại tiếp hình chóp
R=

a 31
4 3

A.
Câu 44:

Cho hình chóp đều

A.

B.
S . ABCD

lần lượt là trung điểm của

S .CMN

R=
.

CD

N

a 93
12

a3 3
3

R=
.

có cạnh đáy bằng

. Tính thể tích khối chóp đều

C.
2a

B.

và

CD

. Tính bán kính

a 29
8

R=
.

D.

R

của

C.

.

, khoảng cách giữa hai đường thẳng

a3 3

.

5a 3
12

S . ABCD.

4a 3 3
.

BC

.

a 3
bằng

a ∆SAD
,
đều và nằm trong mặt phẳng

.

D.

4a 3 3
3

.

SA

và


Câu 45: Một hình trụ có chiều cao bằng 2 lần bán kính đáy. Hình nón có đỉnh là tâm đáy trên của hình
V1
trụ và đáy là hình tròn đáy dưới của hình trụ. Gọi
V1
V2
khối nón. Tính tỉ số
.

A.

2

.

B.

Câu 46: Có bao nhiêu số phức

z

1.

A.

Câu 47: Cho số phức

z

3

.

D.

thỏa mãn
2.
B.

3.

C.

D.

z −1 = z − i
thỏa mãn

.

B.

B ( 3; 0; 2 )
,

trùng với góc tọa độ

O

3 2

.

. Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức
3 2
3
2
2
C.
.
D. .

.

( P)

Oxyz

, viết phương trình mặt phẳng

đi qua hai điểm

Oy Oz
M N
đồng thời cắt các tia đối của tia
,

lần lượt tại
,
(không

) sao cho

OM = 3ON

.

( P) : x + 2y − z + 4 = 0

.
( P ) : −5 x + 2 y + 6 z + 3 = 0

B.
.

.

( P ) : 3x + y − z + 1 = 0

D.

.

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

phương trình tham số

4.
w = 2z + 2 − i

( P ) : 2x − y + z − 5 = 0
C.

2
2

2

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ

A.

2 2

là thể tích của

z2 = z + z

2 2

A ( 1; − 2;1)

là thể tích của khối trụ,

C.

3

A.

V2

A( 1;5;0) , B ( 3;3;6)

đường thẳng

 x = −1+ 2t

 y = 1− t
 z = 2t

∆

∆

có

. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng
sao cho chu vi
P
tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi của tam giác ABC là

(

M ( 1;0;2) ; P = 2 11 + 29
A.

)

(

M ( 1;2;2) ; P = 2 11 + 29
B.

M ( 1;0;2) ; P = 11 + 29

C.

M ( 1;2;2) ; P = 11 + 29

D.

)


Câu 50: Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các kỹ sư được tuyển dụng. Công ty A đề xuất ba
phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là:
Phương án 1: người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm
thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.
Phương án 2: người lao động sẽ nhận được nhận 7 triệu đồng cho quí đầu tiên và kể từ quí
làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quí .
Phương án 3: người lao động sẽ nhận được 18 triệu đồng cho nửa năm làm việc đầu tiên và cứ
nửa năm mức lương lại được tăng thêm 1 triệu đồng.
Nếu em là kĩ sư được tuyển dụng em sẽ chọn phương án nào để thu nhập là cao nhất?
A. Phương án 1.

B. Phương án 3.

C. Phương án 2.

D. Phương án 1 hoặc 3.


HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG CAO

5
5
6
1
quả cầu gồm quả cầu màu xanh được đánh số từ đến và quả cầu
6
1
2
màu đỏ được đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên đồng thời quả cầu từ hộp đó. Xác suất để
2
quả cầu chọn ra khác màu và tích các số ghi trên hai quả cầu là số chẵn bằng
14
46
21
30
55
55
55
55
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.

Câu 1: Một hộp chứa

11

Lời giải
Chọn

2

C112 = 55
quả cầu bất kì từ hộp có

cách.

2
số ghi trên quả cầu là số lẻ khi số đó đều là số lẻ
2.6 = 12
1
TH1: Chọn quả cầu màu xanh đánh số chẵn thì quả đỏ đánh số tùy ý có
cách.
3.3 = 9
1
TH2: Chọn quả cầu màu xanh đánh số lẻ thì quả đỏ đánh số chẵn có
cách.

12 + 9 = 21
2
Do đó chọn quả cầu khác màu có tích các số ghi trên hai quả cầu là số chẵn có
cách.
Tích

2

Vậy xác suất cần tìm bằng

Câu 2: Cho đa giác đều có

21
55

.

2018

2018

đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số
đỉnh của đa giác, tính
xác suất để ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông.
3
3
6
6
2018
2017

2018
2017
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
C2018
3
2018
Số cách chọn đỉnh trong
đỉnh của đa giác là
.
Ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai
đầu mút của một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, và đỉnh còn lại là một trong số
2018 − 2
đỉnh còn lại của đa giác đó.
Số cách chọn một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác mà hai đầu mút là hai đỉnh
2018
1009
3
2018
trong số
đỉnh của đa giác là
. Suy ra số cách chọn đỉnh trong số
đỉnh của

1009 ( 2018 − 2 )
đa giác để chúng tạo thành một tam giác vuông là
3
P ( A) =
2017
Vậy

.


ABCD. A′B′C ′D′,
Câu 3:

Cho hình hộp chữ nhật
cos ϕ =

ϕ

AB = 10cm AD = 16cm
BC ′
với
,
. Biết rằng
hợp với

8
17

đáy một góc sao cho

(tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách giữa hai đường
AC
B ′D ′
thẳng
và
.
20
40
30
50
A.
cm.
B.
cm.
C. cm.
D. cm.
Lời giải
ChọnC.
B′C ′ = A′D′ = AD = 16 cm.

Ta có:
⇒ cos ϕ =

B′C ′
16
⇒ BC ′ =
= 34 cm.
8
BC ′
17

BB′C ′

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông
BB′ = BC ′2 − B′C ′2 = 30 cm

Ta có

AC / / ( A′B ′C ′D ′ )
Ta có

⇒ d ( AC , B′D′ ) = d ( AC , ( A′B′C′D′ ) ) = d ( A, ( A′B′C ′D′ ) ) = AA′ = BB′ = 30cm

Câu 4: Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông, cạnh bên

SA

.

vuông góc với mặt phẳng

( SAB )

SD

45°
I
đáy. Đường thẳng
tạo với mặt phẳng
một góc
. Gọi là trung điểm của cạnh
CD
SD
BI
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng (Số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị).
48°.
51°.
42°.
39°.
A.
B.
C.
D.
Lời giải

Cách 1. Giả sử hình vuông

ABCD

cạnh

a

,

· , ( SAB ) = 45°
) ⇒ SA = AD = a
( SD

.
Oxyz
O ≡ A Ox ≡ AB, Oy ≡ AD, Oz ≡ AS
Xét trong không gian tọa độ
trong đó:
,
. Khi đó ta có:
a

I ; a;0 ÷
B ( a;0;0 )  2
 D ( 0; a;0 ) S ( 0;0; a )
,
,
,


uur  a

r
IB =  ; − a;0 ÷ uuu

SD
= ( 0; − a; a )
2


Suy ra
,
uur uuu
r
a2
cos IB, SD =
2
a2
· , SD ≈ 51°
+ a2 . a2 + a2 =
⇒ IB
10
4
Mặt khác:
.
z

(

)

(

)

S

H

D
y

A
K

I

B
x
y=

Câu 5: Cho hàm số

x +1
x−2

C

(C )
có đồ thị

xB < 2 < xA .
Đoạn thẳng

AB

2 3

, các điểm

A

và

(C )
thuộc đồ thị

có hoành độ thỏa mãn

có độ dài nhỏ nhất là

2 6

A.

B

4 6

B.

8 3

C.

D.

Lời giải

Xét

 a +1   b +1 
A  a;
÷, B  b;
÷
 a−2  b−2

với

a>2>b

ta có

2


9
 a +1 b +1 
2 
AB = (a − b) + 
−
÷ = ( a − b)  1 +
2
2 ÷
 a − 2 b − 2

 (a − 2) (b − 2) 
2

≥ 4(a − 2)(2 − b).2

9
= 2 6.
(a − 2) (b − 2) 2
2

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực
y=

A.

x

( −2018; 2018)
thuộc khoảng

để hàm số

x

4
2
+ 2m.
+ ( m + 2) x +1
ln 4
ln 2

2018

m

.

( −∞; + ∞ )

đồng biến trên khoảng
2019
2020
B.
.
C.
.
Lời giải

.
D.

4034

.


Tập xác định :

y′ = 4 x + 2m.2 x + m + 2

D=¡

. Ta có :

.

⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 4 x + 2m.2 x + m + 2 ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ( 1)
YCBT

.

t = 2x , t > 0

Đặt

.

−t 2 − 2
, ∀t > 0
( 1) ⇔ t + 2mt + m + 2 ≥ 0, ∀t > 0 ⇔ m ≥
2t + 1
2

Khi đó :

g ( t) =
Xét hàm số :
g′( t ) =

−t 2 − 2

, ∀t > 0
2t + 1

−2t − 2t + 4
2

( 2t + 1)

2

.

.

t = −2
; g′ ( t ) = 0 ⇔ 
t = 1

Ta có :

.

Bảng biến thiên :

Dựa

vào

bảng

biến

thiên :

(
)
m ≥ g ( t ) , ∀t > 0 ⇒ m ≥ −1 
→ m = { −1; 0;...; 2017}
m∈¢ , m∈ −2018;2018

.

y = 2 x3
Câu 7:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

x = −1 x = k ( k > 0 )
,

A.

k =1

bằng

17
2

k

. Tìm .

k=

.

B.

k

, trục hoành và hai đường thẳng

0

1
4

k=

.

C.
Lời giải
k

1
2

.

17
17
x4
S = ∫ 2 x dx = ⇔ − ∫ 2 x 3dx + ∫ 2 x 3dx = ⇔ −
2
2
2
−1
−1
0
3

Ta có:

D.
0

k

x4
17
+
=
2 0 2
−1

k=2

.

1 k 4 17
⇔ + = ⇔ k 4 = 16 ⇔ k = 2
2 2 2

)

y = f ( x)

Câu 8: Giả sử hàm số

( 0; +∞ )
liên tục, nhận giá trị dương trên

f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + 1,

4 < f ( 5) < 5
A.

(vì

k >0

.

f ( 1) = 1,
và thỏa mãn

x>0

với mọi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2 < f ( 5) < 3
3 < f ( 5) < 4
B.
.
C.
.

1 < f ( 5) < 2
D.

.

Lời giải
f ′( x)
1
=
f ( x)
3x + 1

f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + 1 ⇒

Ta có:
5

⇒∫
1

f ′( x)

f ( x)

5

dx = ∫
1

5

1
1
4
dx ⇒ ∫
d ( f ( x) ) =
f ( x)
3
3x + 1
1

4
4
f ( 5) 4
f ( 5)
4
3
⇒ ln f ( x ) = ⇒ ln
= ⇒
= e ⇔ f ( 5 ) = e 3 ≈ 3,8.
1 3
f ( 1) 3

f ( 1)

5

Câu 9:

Cho hình chóp đều

CD

A.

S . ABCD

có cạnh đáy bằng

a 3
bằng

a3 3
3

. Tính thể tích khối chóp đều

4a
.

B.

3

2a

, khoảng cách giữa hai đường thẳng

S . ABCD.

3

a
.

C.
Lời giải

3

3
.

D.

4a 3 3
3

.

SA

và

O = AC ∩ BD

Gọi
vuông.
Ta có

a 3
d ( CD; SA ) = a 3 ⇒ d ( O; ( SAB ) ) = 2

Tứ diện vuông

O.SAB

⇒

ABCD

và tứ giác

CD //AB ⇒ CD // ( SAB ) ⇒ d ( CD; SA ) = d ( C; ( SAB ) ) = 2d ( O; ( SAB ) )

Bài ra

Cạnh

, hình chóp đều

S . ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

là hình

.

.

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
h
OS
OA OB 2

h = d ( O; ( SAB ) ) =

với
AB
OA = OB =
=a 2 ⇒ 4 = 1 + 1 + 1
2
3a 2 SO 2 2a 2 2a 2 ⇒ SO = a 3

a 3
2

.

.

3

Do đó

1
1
4a 3
VS . ABCD = SO.S ABCD = a 3.4a 2 =
3
3
3

Câu 10: Cho hình chóp

S . ABCD

vuông góc với đáy. Gọi

a ∆SAD
có đáy là hình vuông cạnh ,
đều và nằm trong mặt phẳng

M

và

khối cầu ngoại tiếp hình chóp
R=

a 31
4 3

A.

Gọi

N

B.

H

AD

lần lượt là trung điểm của

S .CMN

R=
.

.

a 93
12

BC

và

CD

. Tính bán kính

R

của

.
R=
.

C.
Lời giải

a 29
8

R=
.

D.

5a 3
12

.

SH ⊥ ( ABCD )

là trung điểm của
. Suy ra
.
d
O
MN
I
Dễ thấy tâm của mặt cầu nằm trên trục
đi qua trung điểm
của
và vuông góc với

( ABCD )
mặt phẳng
x = OI
Đặt
.

,

I

và

S

( ABCD )
cùng phía so với

.


IK = OH =

a 10
4

Khi đó:
;
2
2
2
2
OC + OI = R = IK + KS 2
2

2

2

a 2
 a 10   a 3


2
⇔ 
+
x
=
+
−
x
÷

÷

÷
÷
 4 ÷  2
÷
 4 

 


⇔x=

5 3a
12

.
2

a 2

a 31
⇔ R = x + 
=
÷
÷
4 3
 4 
2

Do đó:

.

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
A ( 1; − 2;1)

B ( 3; 0; 2 )
,

trùng với góc tọa độ

O

( P)

Oxyz

, viết phương trình mặt phẳng

Oy Oz

M N
đồng thời cắt các tia đối của tia
,
lần lượt tại
,
(không

) sao cho

OM = 3ON

.

( P ) : 2x − y + z − 5 = 0
A.
C.

đi qua hai điểm

( P) : x + 2y − z + 4 = 0

.
( P ) : −5 x + 2 y + 6 z + 3 = 0

B.
.

( P ) : 3x + y − z + 1 = 0

.

D.
.
Hướng dẫn giải
M ( 0; −3m;0 )
N ( 0;0; −m )
m>0
OM = 3ON
Giả sửuuu
. Vì
.
r
uuvới
uu
r
uuur nên
AB = ( 2; 2;1) , AM = ( −1; 2 − 3m; −1) , AN = ( −1; 2; − m − 1)
Ta có
,
uuu
r uuuu
r
 AB, AM  = ( 3m − 4;1;6 − 6m )


. uuuu
uuur
r
uuur
AB = ( 2; 2;1) , AM = ( −1; 2 − 3m; −1) , AN = ( −1; 2; −m − 1)

Khi đó, các vectơ
đồng phẳng.
 m = 0 ( loai )
uuur uuuu
r uuur
 AB, AM  . AN = 0 ⇔ 4 − 3m + 2 + ( 6 − 6m ) ( −m − 1) = 0 ⇔ 


 m = 1 ( nhan )

2
Suy ra
uuu
r uuuu
r
5
5
3
 AB, AM  =  − ;1;3 ÷
P ) : − x + y + 3z + = 0
(


 2

m=2
2
2
Với
, ta có

. Phương trình mặt phẳng
.


Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

phương trình tham số

A( 1;5;0) , B ( 3;3;6)

đường thẳng

 x = −1+ 2t

 y = 1− t
 z = 2t

∆

có

∆

. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng
sao cho chu vi
P
tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi của tam giác ABC là

(

M ( 1;0;2) ; P = 2 11 + 29

)

(

M ( 1;2;2) ; P = 2 11 + 29

A.

)

B.
M ( 1;0;2) ; P = 11 + 29

M ( 1;2;2) ; P = 11 + 29

C.

D.
Lời giải

• Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.

Điểm

M ∈∆

M ( −1+ 2t;1− t;2t)

nên

AM + BM = (3t)2 + (2 5)2 + (3t − 6)2 + (2 5)2

.

r
u = 3t;2 5

(

r
v = −3t + 6;2 5

)

(

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ

và

)
.

r
r
u = (3t)2 + (2 5)2 ; v = (3t − 6)2 + (2 5)2

Ta có

⇒

r
r
AM + BM =| u | + | v |

Mặt khác, ta luôn có

r r
r r
u + v = (6;4 5) ⇒| u + v |= 2 29
và

r
r r r
| u | + | v |≥| u + v |

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
⇒ M(1;0;2)

Như vậy

AM + BM ≥ 2 29

r r
u, v

⇔

3t
2 5
=
⇔ t=1
−3t + 6 2 5

cùng hướng

min( AM + BM ) = 2 29
và

2( 11 + 29)
. Vậy khi M(1;0;2) thì minP =

Câu 13: Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các kỹ sư được tuyển dụng. Công ty A đề xuất ba
phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là:
Phương án 1: người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm
thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.


Phương án 2: người lao động sẽ nhận được nhận 7 triệu đồng cho quí đầu tiên và kể từ quí
làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quí .
Phương án 2: người lao động sẽ nhận được 18 triệu đồng cho nửa năm làm việc đầu tiên và cứ
nửa năm mức lương lại được tăng thêm 1 triệu đồng.
Nếu em là kĩ sư được tuyển dụng em sẽ chọn phương án nào để thu nhập là cao nhất?
A. Phương án 1.

B. Phương án 3.

C. Phương án 2.

D. Phương án 1 hoặc 3.

Lời giải:
Ta nhận thấy cả ba phương án số tiền nhận được sau 1 quý, nửa năm, 1năm đều tuân theo một quy luật
nhất định :

u1 = 36
Phương án 1: đó là cấp số cộng với số hạng đầu

triệu và công sai d = 3 triệu

u1 = 7
Phương án 2: đó là cấp số cộng với số hạng đầu

triệu và công sai d = 0,5triệu

u1 = 18
Phương án 3: đó là cấp số cộng với số hạng đầu

triệu và công sai d = 1 triệu

Vậy theo phương án 1: tổng số tiền người lao động nhận được là:

S10 = ( 72 + 9.3) .5 = 495
triệu.
Theo phương án 2: tổng số tiền mà người lao động nhận được là

S 40 = ( 14 + 39.0,5 ) .20 = 670

triệu
Theo phương án 3: tổng số tiền mà người lao động nhận được là

S20 = ( 36 + 19.1) .10 = 550
triệu