HinhHoc 122011

Chương 1 : THỂ TÍCH KHỐI ĐA

Hình Học 12

DIỆN
Phần I . Ôn tập kiến thức cơ bản:



ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
a) Định lý Pitago : BC  AB  AC
2

b) BA2  BH .BC ;
c) AB. AC = BC. AH

2

A

2

CA CH .CB

B

e) BC = 2AM

sin B 

b

c

1
1
1
d)


AH 2 AB 2 AC 2
f)

ABC vuông ở A ta có :

2

b
c
b
c
, cosB  , tan B  , cot B 
a
a
c
b

g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =

M

H
a

b
b

,
sin B cos C

b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

* Định lý hàm số Sin:

3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
a.b.c

 p.r 
S  a.ha = a.b sin C 
2
4R
2

p

abc
2

p.( p  a )( p  b)( p  c ) với

Đặc biệt :* ABC vuông ở A : S  1 AB. AC ,
2
*

ABC

đều cạnh a: S 

b/ Diện tích hình vuông :
S = cạnh x cạnh = a2
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng = a.b

-1-

a2 3
4

C


d/ Diên tích hình thoi : S =

1 (chéo dài x chéo ngắn)= 1 ( d + d’)
2
2

1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
d/ Diện tích hình thang : S 
f/ Diện tích hình tròn :

S   .R 2

ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt
phẳng gọi là song
a/ /(P) � a�(P)  �
song với nhau nếu
chúng không có điểm
(P)
nào chung.
II.Các định lý:

ĐL1:Nếu đường thẳng
d không nằm trên mp(P)
�d �(P)
và song song với đường
�
thẳng a nằm trên mp(P)
a
�d/ /a � d/ /(P)
thì đường thẳng d song
�a �(P)
(P)
song với mp(P)
�
ĐL2: Nếu đường thẳng
a song song với mp(P)
thì mọi mp(Q) chứa a
mà cắt mp(P) thì cắt
theo giao tuyến song
song với a.

�a/ /(P)
�
� d/ /a
�a �(Q)
�(P) �(Q)  d
�

ĐL3: Nếu hai mặt
phẳng cắt nhau cùng
song song với một

đường thẳng thì giao
tuyến của chúng song
song với đường thẳng
đó.

�(P) �(Q)  d
�
� d/ /a
�(P)/ /a
�(Q)/ /a
�
-2-

(Q)

a

d

a
d

(P)

d
a
P

Q

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi
là song song với nhau nếu
(P)/ /(Q) � (P) �(Q)  �
chúng không có điểm nào
chung.
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa
hai đường thẳng a, b cắt
nhau và cùng song song
với mặt phẳng (Q) thì
(P) và (Q) song song với
nhau.
ĐL2: Nếu một đường
thẳng nằm một trong hai
mặt phẳng song song thì
song song với mặt phẳng
kia.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) song song thì
mọi mặt phẳng (R) đã cắt
(P) thì phải cắt (Q) và các
giao tuyến của chúng
song song.

�a,b �(P)
�
� (P)/ /(Q)

�a�b  I
�a/ /(Q),b/ /(Q)
�
�
(P) / /(Q)
� a/ /(Q)
�
a �(P)
�

P
Q

a
P b I
Q
a
P
Q
R

�
(P)/ /(Q)
�
(R) �(P)  a � a/ /b
�
�
(R) �(Q)  b
�

P
Q

a
b

B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
Một đường thẳng
a
được gọi là vuông
góc với một mặt
phẳng
nếu
nó a  mp(P) � a  c,c �(P)
vuông góc với mọi
c
P
đường thẳng nằm
trên mặt phẳng đó.

-3-


II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường
thẳng d vuông góc với
hai đường thẳng cắt
nhau a và b cùng nằm

trong mp(P) thì đường
thẳng d vuông góc với
mp(P).
ĐL2: (Ba đường
vuông
góc)
Cho
đường thẳng a không
vuông góc với mp(P)
và đường thẳng b nằm
trong (P). Khi đó, điều
kiện cần và đủ để b
vuông góc với a là b
vuông góc với hình
chiếu a’ của a trên (P).

d

�d  a ,d  b
�
�a ,b �mp(P) � d  mp(P)
�a,b caétnhau
�

P

b

a

a

a  mp(P),b �mp(P)
b  a � b  a'
P

a'

b

§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0.
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt
Q
phẳng
chứa
một
a
đường thẳng vuông �
a  mp(P)
góc với một mặt �
� mp(Q)  mp(P)
phẳng khác thì hai mặt �a �mp(Q)
phẳng đó vuông góc
với nhau.
ĐL2:Nếu hai mặt
P
phẳng (P) và (Q)

a
�(P)  (Q)
vuông góc với nhau
�
thì bất cứ đường thẳng
�(P) �(Q)  d � a  (Q)
a nào nằm trong (P),
d
�a �(P),a  d
vuông góc với giao
�
tuyến của (P) và (Q)
đều vuông góc với
(Q).

-4-

P

Q


ĐL3: Nếu hai mặt
phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau và
A là một điểm trong
(P) thì đường thẳng a
đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ
nằm trong (P)

ĐL4: Nếu hai mặt
phẳng cắt nhau và
cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt
phẳng thứ ba.

P

�
(P)  (Q)
�
A �(P)
�
� a �(P)
�
A
�
a
�
�
a  (Q)
�

a
A

Q

�(P) �(Q)  a
�
� a  (R)
�(P)  (R)
�(Q)  (R)
�

P

a

R

§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách
giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình
chiếu của điểm M trên đường thẳng a
( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)
song song với a là khoảng cách từ một
điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song:

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH

-5-

O

O

a

H
P

a

P

P

Q

O

H

O

H

H

Q


4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
d(a;b) = AB

b

F
1. Góc giữa hai đường thẳng a
và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và
b’ cùng đi qua một điểm và lần
lượt cùng phương với a và b.
2. Góc giữa đường thẳng a
không vuông góc với mặt phẳng
(P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của
nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với
mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc
giữa đường thẳng a và mp(P) là
900.
3. Góc giữa hai mặt phẳng

là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng
đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng
nằm trong 2 mặt phẳng cùng
vuông góc với giao tuyến tại 1
điểm
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là
diện tích của đa giác (H) trong
mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu
(H’) của (H) trên mp(P’) thì

S'  Scos

trong đó  là góc giữa hai mặt
phẳng (P),(P’).

A

a

a

B

§4. GÓC

a'

b'

b

a

a'

P

a

b

a

Q

P

b

Q

P

S

A

C


B

-6-


ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h

�
B : die�
n t�
ch �
a�
y
h: chie�
u cao
�

h

với �

B

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể
tích khối lập phương:
a
c
V = a3
a
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH
KHỐI CHÓP:
a
V=

với

b

a

1
Bh
3h

�B : die�
n t�
ch �
a�
y
�

u cao B
�h: chie�

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC ta có:

VSABC
VSA 'B'C '

SA SB SC

SA ' SB' SC'

S
C'
A'

A

B'
C
B

 Chú ý:
1/ + Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
+ Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,

-7-

+ Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a2  b2  c2 ,

a 3
2

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.


HÌNH VẼ CÁC
DIỆN

KHỐI ĐA

A. HÌNH CHĨP
1/ Hình chóp tam giác đều

Đáy là tam giác đều ; Các mặt bên là những tam
giác cân
> Đặc biệt: Hình tứ diện đều có: Đáy là tam giác đều ;
Các mặt bên là những tam giác đều
> Cách vẽ:
S
 Vẽ đáy ABC

 Vẽ trung tuyến AI
 Dựng trọng tâm H
 Vẽ SH  (ABC)
h

�Ta có:  SH là chiều cao của hình chóp
A
C
�   .
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH

�  B
 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH

H

I

2/ Hình chóp tứ giác đều:
 Đáy là hình vuông . Các mặt bên là những tam giác
cân
> Cách vẽ:
 Vẽ đáy ABCD . H là tâm mặt đáy
S
 Dựng giao điểm H của
hai đường chéo AC & BD
 Vẽ SH  (ABCD)
�Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp
A

�
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH   .


�  
 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH
B
-8-

I

H
C

D


3/ Hình chóp có một cạnh bên
vuông góc với đáy
S

SA  (ABC)



� 
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA
� 
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA


A

C



,

B

 SA  (ABCD)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy
� 
là: SBA
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy
� 
là: SCA

S



A


D



B

C

B. HÌNH LĂNG TRỤ
 ĐN : ABCD. A’B’C’D’ có hai đáy (ABCD) // (A’B’C’D’) . Các cạnh bên song
song và bằng nhau , mặt bên là hình bình hành
 Hình lăng tru đứng : là hình lăng trụ có các cạnh bên vng góc với đáy , mặt bên
là hình chữ nhật
 Hình lăng trụ đều : có đáy là đa giác đều , các cạnh bên bằng nhau ( mặt bên là
tam giác cân )
 Hình hộp : có 6 mặt là hình bình hành
 Hình hộp đứng : hai đáy là hình bình hành , các mặt bên là hình chữ nhật
 Hình hộp chữ nhật : có 6 mặt là hình chữ nhật , 3 kích thước a ,b , c
 Hình lập phương : 6 mặt là hình vng .

C

A

/

/

/

B

B/

/

A

C
I

C/

A

A

C
I

B
-9-

B


B/

C/

A/

D/

B

C
O

A

D



LOẠI 1:

Phần II .

Bài Tập KHỐI ĐA DIỆN

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a
biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình
chóp .
Bài 2 Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam
giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 3 0o .Tính thể tích khối chóp
SABC .
Bài 3 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC
biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng
minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 . Tính thể tích hình chóp.
Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có AD  (ABC) biết AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm ,

BC=5 cm.
1) Tính thể tích ABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 5 Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc
�
BAC  120o , biết SA  (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể
tích khối chóp SABC.
-10Bài 1


Bài 6 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA  (ABCD),SC = a
và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.
Bài 7 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA 
(ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp.
Bài 8 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng
60o và SA  (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. Tính thể tích khối
chóp SABCD.
Bài 9 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; biết
AB = BC = a , AD = 2a , SA  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60 o Tính thể
thích khối chóp SABCD.
Bài 10 Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa
đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45 o.Tính
thể tích khối chóp SABCD.
3

ĐápSố

F

.1) V =

a

2

6

a3 .6)
a3 3
V
9
48
3
3R
V
4

5) V



.2)

7)

V

h3 3
3

.3)

V

a3 3
27

.4) V = 8 cm3 - d

=

12
34

3
3
V = 20a3 8) V  a 2 9) V  a 6 10)
2
4

2) Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Bài 11 Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài 12 Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC)
hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC.
:
Bài 13 Cho hình chóp SABC có

�
�
BAC  90o ;ABC
 30o ; SBC là tam giác đều

cạnh a và (SAB)  (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài 14 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao
SH = h và (SBC)  (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30 o .Tính thể tích
hình chóp SABC.
Bài 15 Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt
phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.
Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam
giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.

-11-


2) Tính thể tích khối chóp SABCD .
Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a
nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc
30o .Tính thể tích khối chóp SABCD.
Bài 18 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB
 (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30 o .Tính
thể tích khối chóp SABCD.
Bài 19 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam
giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích
khối chóp SABCD.
Bài 20 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD

= a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính
thể tích khối chóp SABCD .
Bài 17

ĐápSố

.11)

F
15)

a3 3
V
24

V

a3 6
36

V

a3 5 20)
12

. 16) V 

F
19)

F

.12)

V

V

4h3
9

a3
12

17)

V

13) V 

4h3 3
a2 2
. 14) V 
24
9

a3 3
4

18)

V

8a3 3
9

a3 3
2

3) Dạng 3 : Khối chóp đều
Bài 21 Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60 o .

Tính thể tích khối chóp.
Bài 22 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45 o.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
2) Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài 23 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một
góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài 24 Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30 o . Tính
thể tích khối chóp.
Bài 25 Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60 o.
Tính thể tích khối chóp.
Bài 26 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và �
ASB  60o .
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
2) Tính thể tích khối chóp.

-12-

Bài 27 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng
60o. Tính thể tích khối chóp.
Bài 28 Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45 o và khoảng cách
từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a Tính thể tích khối chóp .
Bài 29 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60 o.Tính thề
tích khối chóp.
Bài 30 Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD
3
là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng V  9a 2
2
.

V

3a3
16

3
25) V  h 3 .26)

S

.21)

ĐápSố

F
V

SH = a

3

;V 

a3
6

23)

V

a3 3
24

.24)

h3 3
3
8

29)

.22)

V

a3 3
12

a3 2
a2 3 +
V
3
6

27)

V

2h3
3

28)

V

8a3 3
3

30) AB = 3a

4) Dạng 4 :

Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích

Bài 31 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC  a 2 ; SA vuông

góc với đáy ABC , SA  a
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG và song song
với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Bài 32 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB  a . Trên đường thẳng qua C và

vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD  a . Mặt phẳng qua C vuông
góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b)Chứng minh CE  ( ABD )
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Bài 33 Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm
M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Bài 34 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với
đáy góc 60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt
SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hảy xác định mp(AEMF)
b)Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

-13-


Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,

SA  a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’)

cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

b) Chứng minh SC  ( AB ' D ')

Bài 36 Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho

AB 

a
2a
;AC'
. Tính thể tích tứ diên AB'C'D .
2
3

Bài 37 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a 3,

đường cao
SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình
chóp SAHK.
Bài 38 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là
trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và
P. Tính thể tích khối chóp SAMNP.
Bài 39 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của
SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể
tích 2 phần này.
Bài 40 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao
cho

SM
 x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng

SA

nhau.

ĐápSố

31)

F
34)

F
37)

V
3

V

a3
2a3
; V'=
36
27

32)

V

a3

a3
;V 
6
36

a3 6
a3 6 35)
a3 2
2a3 2
; V=
V
; V '
6
18
3
9

Va 3
40

38)

LOẠI 1:

V

a2h
9

39)

k

1
2

30)

.36)

x

33)

V

k

2a3
36

3

5
2

51
2

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Bài 41 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A

có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

-14-


Bài 42 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo
5a. Tính thể tích khối lăng trụ này
Bài 43 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết
diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 44 Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 0 . Đường
chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp
Bài 45 Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ
bằng a. Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 46 Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng
BD'  a 6 . Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 47 Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm
biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt
của lăng trụ.
Bài 48 Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết
tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ .
Bài 49 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể
tích lăng trụ.
Bài 50 Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m 2 . Tính thể tích khối
lập phương
Đs:

Bài 51 Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một
đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Bài 52 Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là
5; 10; 13 . Tính thể tích khối hộp này
.41)

ĐápSố

F
3

45) V  a

4

49) V = 24a3

V  a3 2

.42)

V = 9a3

43)

V 8 3

44) V=

a3 6

2

3
2
3
3 46)
V  2a3 47) V = 240cm và S = 248cm 48) V = 1080 cm

50) V = 8 m3

51) V = 0,4 m3

52) V=6

2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 53 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C
hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ
Bài 54 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và
B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 55 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp
với mặt bên (BCC'B') một góc 30o . Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ .

-15-


Bài 56 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông

tại A biết AC = a và

�

ACB  60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30 o . Tính thể tích lăng trụ và

diện tích tam giác ABC'.
Bài 57 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ
Bài 58 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C
hợp với (ABCD) một góc 30 o và hợp với (ABB'A') một góc 45 o Tính thể tích của khối
hộp chữ nhật.
Bài 59 Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm
của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:
a) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương . b)OA' hợp với đáy ABCD một góc 60 o .
c) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o.
Bài 60 : Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a .
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
b) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o . Đs:
Bài 61 Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ
một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60 o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt
của lăng trụ .
Đs:
Bài 62 Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD'
= AC' = CA' =
a)
b)

Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật.
Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng
thuộc đường chéo. Chứng minh rằng sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z  1 .

ĐápSố

F
56)

V
61)

a 2  b2  c2

.53)

V

a3 2
16

54)

V

a3 3
2

32a 3
3a 2 3 57)
V  a3 6 , S =
V
2
9

2a 3 6 2)
4a 3 3
a 3 3 ;3)
V
V
4
9
9
3
2
V = a và S = 6a

55)

AB'  a 3

3
58) V  a

8

60)

;

V

a3 3
2

2 59) :1)

3
3
a)V = a 3 b)V = a 2
8
16

3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Bài 63 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
Bài 64 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo
với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ

-16-


Bài 65 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC')
hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Bài 66 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với
đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30 o .Tính thể tích khối
hộp chữ nhật
Bài 67 Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy
ABCD một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 60 0 . Tính thể tích hộp
chữ nhật.
Bài 68 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên
bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30 o.Tính thể tích khối lăng trụ.
Đs: V = 3a3
Bài 69 Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC =
2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.

Bài 70 Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC
= a và �
BAC  120o biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích
lăng trụ.
Bài 71 Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB
= h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.
Bài 72 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a Tính thể
tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .
b) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o.
c) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ
Bài 73 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính
thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .
b) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .
c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
Bài 74 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể
tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
b) Tam giác BDC' là tam giác đều.
c) AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
Bài 75 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
nhọn A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .

b)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng

a
2

c) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

Bài 76 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a

Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:
a) AB = a
b)BD' hợp với AA'D'D một góc 30o
c) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300
-17-


ĐápSố

2

F
67)

F
71)

F

.63) V= a 3 3 64)

V
V

2a

3

2

3
h

3

2

4

68)

V 8 3

V  3a 3

72) a)

69)

V  a3 3

65)

V

3

: Va

; b) V = a

3

a 3 6 66)
16a 3 2
V
3
2
2
70)
a3 3
V

3 c) V =

4

8

a3 3

73) a) V = 16a3 . b) V = 12a3 .c) V = 16a 3 74) a)
a 3 6 ; b) V =
V
F
3
2

3
3
c) V = 3
75) a)
3a 3 ; b) V = 3a 2 c) V = 3a 3
V
a
2
4
F
8
2
76)
;
2)
V
=
;
V
=
3
3
3

F

V  8a 2

5a 11

a3

16a

4) Dạng 4:
Khối lăng trụ xiên
Bài 77 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết
cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 78 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a .
Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA'
hợp với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích lăng trụ
Bài 79 Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a
hợp với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 80 Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh
bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ.
Bài 81 Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và �
BAD  30o và biết
cạnh bên AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.
Bài 82 Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm
A' cách đều A,B,C biết AA' =

2a 3
.Tính thể tích lăng trụ.
3

Bài 83 Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình
chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp
vớio đáy ABC một góc 60o . a) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
b) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'.

Bài 84 Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' =
a hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
a) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
b) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'.

-18-


Bài 85 Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường
vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
a)Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
b)Tính thể tích lăng trụ.
Bài 86 Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình
chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến
CC' là a và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o
Bài 87 Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc
của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với
nhau một góc 60o .
a)
Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
b)
Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'. c )Tính thể tích của hộp.
Bài 88 Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60 o
chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết
BB' = a.
a) Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
ĐápSố

.77) V= 3a 3 3 78)

8

F
82)

F
85) a)

V

a3 3
4

83)

V

V

a3 3
4

3a 3 3
8

84)

a)

79)

V=

S

a 2 3 b)
3a 3 3
V
8
2

a3 2

3
30o b) V  a 3 3 86) V  27a 87) b) S
ACC'A'
8
4 2

3
.c) V  a 2
2

88)

a)

80) V =336

 a 2 2;SBDD'B'  a 2

3

60o b) V  3a &S  a 2 15

4

5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ
Bài 89 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA 1 = a

trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1
Bài 90 Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA  (ABC).

SA = a

2 . M là

�
= 60o, BC = a,
ACB

3 ,M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC .

Bài 91 SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2,

và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh bằng

�
ACB

= 90o. ∆SAC

3 . Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài 92 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a,

AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. Tính V A’ABC

-19-


Bài 93

3

Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD =
o

và

o

góc giữa 2 đường chéo bằng 60 , góc cạnh bên với đáy là 45 . Tính VSABCD
Bài 94 Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60 o, góc BSC = 90o, góc
CSA = 120o.Chứng minh rằng ∆ABC vuông .Tính VSABC .
Bài 95 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a ,SB=
a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN
Bài 96 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
CMNP.
ĐápSố

F
93)

F

.89) V=

V

3
3

V
94)

a3
a 3 2 90) V  a 3 91) V = 6 92) V =
V
4
12
2
4
o
3
3

3
a 2 95)
a 3
a 3 96) a) 30 b)
V
V
V
3
96
12

TNPT 2009 : Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , canh bên
�
SA ⊥ mặt đáy (ABC) . Biết BAC
 1200 . Tính thễ tích hình chóp S.ABC theo a .
(ĐS V 

a3 2
)
36

TNPT 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB
= AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung
điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

(ĐS V 

a3 6
)

6

ĐHKhốiA_2010Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết
SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM
5 3a 3
12
;d = a
24
19
ĐHKhốiB_2010 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai
mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 0. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích
khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. ( ĐS V =

(ĐS V 

3a 3 3
7a
; R=
8
12

)

ĐHKhốiD_2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn

-20-

AC, AH 

AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm
4

của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

(ĐS V 

a 3 14
48

Trường Trung Hoc Phổ Thông Cần Đước
Giáo Viên : Nguyễn Văn Nhương
ĐT : 0908272709 – Home : (072).3881393

-21-

)