daiso11 phuluc 1

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Nguyễn Quốc Thịnh

I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1.

(ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π ) của phương trình:

cos3x + sin3x 
5 sin x +
÷ = cos2x + 3
1+ 2sin2x 




π
π
x=
 x ≠ − 12 + mπ

1
3 .
HD: Điều kiện: 
. PT ⇔ 5cos x = 2cos2x + 3 ⇔ cos x = ⇔ 
7
π
5
2

x ≠
x = π
+ nπ

12

3
2
2
2
2
Baøi 2.
(ĐH 2002B) Giải phương trình: sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x

π
x = k 9
HD: PT ⇔ cos x.sin9x.sin2x = 0 ⇔ sin2x.sin9x = 0 ⇔ 
.
x = kπ

2
Baøi 3.
(ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x − 4cos2x + 3cosx − 4 = 0
π
3π
5π
7π
HD: PT ⇔ 4cos2 x(cos x − 2) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = ; x =
.

;x=
;x=
2
2
2
2
2sin x + cos x + 1
Baøi 4.
(ĐH 2002A–db1) Cho phương trình:
= a (a là tham số).
sin x − 2cos x + 3
1
1. Giải phương trình khi a = .
3
2. Tìm a để phương trình có nghiệm.
π
1
HD: 1) x = − + kπ
2) − ≤ a ≤ 2 (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx)
4
2
Baøi 5.
(ĐH
2002A–db2)
Giải
phương
trình:

x
tan x + cos x − cos2 x = sin x 1+ tan x.tan ÷.


2
 cos x ≠ 0
x
1
HD: x = k2π . Chú ý: Điều kiện: 
và 1+ tan x.tan =
.
cos
x
≠
−
1

2 cos x
Baøi 6.

HD:
Baøi 7.

HD:
Baøi 8.

HD:

(ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: tan4 x + 1=

( 2− sin2 2x) sin3x

.

cos4 x
1
π
2π
5π
2π
Điều kiện: cosx ≠ 0. PT ⇔ sin3x = ⇔ x = + k ; x =
.
+k
2
18
3
18
3
sin4 x + cos4 x 1
1
(ĐH 2002B–db2) Giải phương trình:
.
= cot2x −
5sin2x
2
8sin2x
9
π
Điều kiện: sin2x ≠ 0. PT ⇔ cos2 2x − 5cos2x + = 0 ⇔ x = ± + kπ .
4
6
1
= sin x .
(ĐH 2002D–db1) Giải phương trình:

8cos2 x
 cos x ≠ 0
Điều kiện: 
sin x > 0
Trang 78


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Nguyễn Quốc Thịnh

π
3π
5π
7π
+ k2π ; x =
+ k2π ; x =
+ k2π ; x =
+ k2π
8
8
8
8
(ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình:

PT ⇔ x =
Baøi 9.

(*)
2( sin4 x + cos4 x) + cos4x + 2sin2x − m= 0

 π
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn  0;  .
 2
10
HD: − ≤ m≤ −2.
3
 π
Đặt t = sin2x. (*) có nghiệm thuộc  0;  ⇔ f (t) = 3t2 − 2t = m+ 3 có nghiệm t∈[0;1]
 2
cos2x
1
Baøi 10.
(ĐH 2003A) Giải phương trình: cot x − 1=
+ sin2 x − sin2x .
1+ tan x
2
HD: Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, tan x ≠ 1.
π
PT ⇔ (cos x − sin x)(1− sin x.cos x + sin2 x) = 0 ⇔ x = + kπ .
4
2
Baøi 11.
(ĐH 2003B) Giải phương trình: cot x − tan x + 4sin2x =
.
sin2x
sin x ≠ 0
π
HD: Điều kiện: 
. PT ⇔ 2cos2 2x − cos2x − 1= 0 ⇔ x = ± + kπ .
 cos x ≠ 0

3
2 x π 
2
2x
Baøi 12.
(ĐH 2003D) Giải phương trình: sin  − ÷tan x − cos = 0.
2
 2 4
HD: Điều kiện: cos x ≠ 0.
 x = π + k2π
(1
−
sin
x
)(1
+
cos
x
)(sin
x
+
cos
x
)
=
0
PT ⇔
⇔
.
π

 x = − + kπ

4
Baøi 13.
(ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: cos2x + cos x( 2tan2 x − 1) = 2.
HD: Điều kiện: cosx ≠ 0.
π
PT ⇔ (1+ cos x)(2cos2 x − 5cos x + 2) = 0 ⇔ x = (2k + 1)π , x = ± + k2π
3
Baøi 14.
(ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: 3− tan x( tan x + 2sin x) + 6cos x = 0.

π
+ kπ
3
Baøi 15.
(ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3cos4x − 8cos6 x + 2cos2 x + 3 = 0 .
π
π
HD: PT ⇔ cos2x(−2cos4 x + 5cos2 x − 3) = 0 ⇔ x = + k , x = kπ
4
2
x π 
(
2 − 3) cos x − 2sin2  − ÷
Baøi 16.
(ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:
 2 4  = 1.
2cos x − 1
1

π
HD: Điều kiện: cos x ≠ . PT ⇔ − 3cos x + sin x = 0 ⇔ x = + (2k + 1)π
2
3
cos2 x( cos x − 1)
Baøi 17.
(ĐH 2003D–db1) Giải phương trình:
= 2(1+ sin x) .
sin x + cos x

π
HD: Điều kiện: sin x + ÷ ≠ 0 .

4
HD: Điều kiện: cosx ≠ 0. PT ⇔ (1+ cos2x)(3cos2 x − sin2 x) = 0 ⇔ x = ±

Trang 79


Nguyễn Quốc Thịnh

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

PT ⇔ (1+ sin x)2(1+ cos x) = 0 ⇔ x = −

π
+ kπ , x = π + k2π
2

2cos4x

.
sin2x
π
HD: Điều kiện: sin2x ≠ 0. PT ⇔ 2cos2 2x − cos2x − 1= 0 ⇔ x = ± + kπ .
3
Baøi 19.
(ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sin x − 2 = 3(1− sin x)tan2 x .
Baøi 18.

(ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: cot x = tan x +


π
 x = 6 + k2π
HD: Điều kiện: cos x ≠ 0. PT ⇔ 2sin2 x + 3sin x − 2 = 0 ⇔ 
.
5
π
x =
+ k2π

6
Baøi 20.
(ĐH 2004D) Giải phương trình: (2cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin2x − sin x .

π
 x = ± 3 + k2π
HD: PT ⇔ (2cos x − 1)(sin x + cos x) = 0 ⇔ 
.
 x = − π + kπ


4
Baøi 21.
(ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: 4( sin3 x + cos3 x) = cos x + 3sin x .
HD:
Baøi 22.
(ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: 1− sin x + 1− cos x = 1.
HD:

π
1
1
=
Baøi 23.
(ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: 2 2cos x + ÷+
.

4  sin x cos x
HD:
Baøi 24.
(ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin4x.sin7x = cos3x.cos6x .
HD:
Baøi 25.
(ĐH
2004D–db1)
Giải
phương
trình:
2sin x.cos2x + sin2x.cos x = sin4x.cos x .
HD:

Baøi 26.
(ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sin x + sin2x = 3(cos x + cos2x) .
HD:
Baøi 27.
(ĐH 2005A) Giải phương trình: cos2 3x.cos2x − cos2 x = 0 .

π
.
2
Baøi 28.
(ĐH 2005B) Giải phương trình: 1+ sin x + cos x + sin2x + cos2x = 0 .

π
 x = − 4 + kπ
HD: PT ⇔ (sin x + cos x)(2cos x + 1) = 0 ⇔ 
.
 x = ± 2π + k2π

3
Baøi 29.
(ĐH
2005D)
Giải
phương

π 
π 3
cos4 x + sin4 x + cos x − ÷sin 3x − ÷− = 0.

4 

4 2
π
HD: PT ⇔ sin2 2x + sin2x − 2 = 0 ⇔ x = + kπ .
4
Baøi 30.
(ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; π ) của phương trình:

x
3π 
4sin2 − 3cos2x = 1+ 2cos2  x −
÷.
2

4
HD: PT ⇔ 2cos2 4x + cos4x − 3 = 0 ⇔ x = k

Trang 80

trình:


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Nguyễn Quốc Thịnh


π
5π
17π
5π

HD: PT ⇔ cos 2x + ÷ = cos(π − x) ⇔ x =
.
; x=
; x=

6
18
18
6

π
Baøi 31.
(ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2 2cos3  x − ÷− 3cos x − sin x = 0 .

4
3
3
2
2
HD: PT ⇔ cos x + sin x + 3cos x.sin x + 3cos x.sin x − 3cos x − sin x = 0
Xét 2 trường hợp:
 cos x = 0
π
a) Nếu cos x = 0 thì PT ⇔  3
⇔ x = + kπ .
2
sin x − sin x = 0
b) Nếu cos x ≠ 0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3 x .
 cos x ≠ 0
π

Khi đó: PT ⇔ 
⇔ x = + kπ .
tan
x
=
1

4
π
π
Vậy: PT có nghiệm: x = + kπ hoặc x = + kπ .
2
4
Baøi 32.
(ĐH
2005B–db1)
Giải
2 (
2
3
sin x.cos2x + cos x tan x − 1) + 2sin x = 0 .

phương

trình


π
 x = 6 + k2π
HD: Điều kiện: cos x ≠ 0. PT ⇔ 2sin2 x + sin x − 1= 0 ⇔ 

.
 x = 5π + k2π

6
π

cos2x − 1
2
Baøi 33.
(ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : tan + x÷− 3tan x =
2

cos2 x
π
HD: Điều kiện: cos x ≠ 0. PT ⇔ tan3 x = −1 ⇔ x = − + kπ .
4
 3π

sin x
− x÷+
=2.
Baøi 34.
(ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: tan
 2
 1+ cos x

π
 x = 6 + k2π
HD: Điều kiện: sin x ≠ 0. PT ⇔ 2sin x = 1 ⇔ 
.

 x = 5π + k2π

6
Baøi 35.
(ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sin x − cos x − 2 = 0 .

π
 x = 6 + k2π

1

sin x = 2
 x = 5π + k2π
HD: PT ⇔ (2sin x − 1)(sin x − cos x − 1) = 0 ⇔ 
⇔
.
6
sin x − π  = 2

π
÷
 
4 2
 x = 2 + k2π
 x = π + k2π

Baøi 36.

(ĐH 2006A) Giải phương trình:

2( cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x
2 − 2sin x

= 0.

π
2
. PT ⇔ 3sin2 2x + sin2x − 4 = 0 ⇔ x = + kπ .
4
2
5π
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x =
+ 2mπ .
4

HD: Điều kiện: sin x ≠

Trang 81

:


Nguyễn Quốc Thịnh
Baøi 37.

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

(ĐH 2006B) Giải phương trình:



x
cot x + sin x 1+ tan x.tan ÷ = 4 .

2

x
HD: Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, cos ≠ 0 .
2

π
 x = 12 + kπ
cos x sin x
1
PT ⇔
.
+
= 4 ⇔ sin2x = ⇔ 
sin x cos x
2
 x = 5π + kπ

12
Baøi 38.
(ĐH 2006D) Giải phương trình: cos3x + cos2x − cos x − 1= 0 .
 x = kπ
HD: PT ⇔ sin2 x(2cos x + 1) = 0 ⇔ 
.
2π
+ k2π
x = ±


3
Baøi 39.

(ĐH 2006A–db1) Giải phương trình:

cos3x.cos3 x − sin3x.sin3 x =

2+ 3 2
.
8

π
π
HD: PT ⇔ cos4x = 2 ⇔ x = ± + k .
16
2
2

π
2sin 2x − ÷+ 4sin x + 1= 0 .

6
 x = kπ
HD: PT ⇔ sin x( 3cos x + sin x + 2) = 0 ⇔ 
.
7π
+ k2π
x =


6
Baøi 41.
(ĐH
2006B–db1)
Giải
phương
trình:
( 2sin2 x − 1) tan2 2x + 3( 2cos2 x − 1) = 0 .
π
π
HD: Điều kiện: cos2x ≠ 0. PT ⇔ cos2x( tan2 2x − 3) = 0 ⇔ x = ± + k .
6
2
Baøi 42.
(ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: cos2x + (1+ 2cos x)(sin x − cos x) = 0.
Baøi 40.

(ĐH 2006A–db2) Giải phương trình:


π
 x = 4 + kπ
HD: PT ⇔ (sin x − cos x)(cos x − sin x + 1) = 0 ⇔ 
.
π
x = + k2π

2
 x = π + k2π
Baøi 43.

(ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: cos3 x + sin3 x + 2sin2 x = 1.

π
 x = − 4 + kπ
HD: PT ⇔ (cos x + sin x)(1− cos x)(sin x + 1) = 0 ⇔  x = k2π
.
 x = − π + k2π

2
Baøi 44.
(ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: 4sin3 x + 4sin2 x + 3sin2x + 6cos x = 0
.

π
 x = − 2 + k2π
HD: PT ⇔ (sin x + 1)(−2cos2 x + 3cos x + 2) = 0 ⇔ 
.
 x = ± 2π + k2π

3
Baøi 45.
(ĐH
2007A)
Giải
phương
trình:

( 1+ sin2 x) cos x + ( 1+ cos2 x) sin x = 1+ sin2x

Trang 82

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Nguyễn Quốc Thịnh


π
 x = − 4 + kπ
HD: PT ⇔ (sin x + cos x)(1− sin x)(1− cos x) = 0 ⇔ 
.
π
x = + k2π

2
 x = k2π
Baøi 46.
(ĐH 2007B) Giải phương trình: 2sin2 2x + sin7x − 1= sin x .

π
π
x = 8 + k 4

π
2π
HD: PT ⇔ cos4x( 2sin3x − 1) = 0) ⇔  x = + k
.

18
3


5π
2π
 x = 18 + k 3
2


x
x
 sin + cos ÷ + 3cos x = 2 .

2
2

π
 x = 2 + k2π

π 1
HD: PT ⇔ 1+ sin x + 3cos x = 2 ⇔ cos x − ÷ = ⇔ 

6 2
 x = − π + k2π

6
1
1
Baøi 48.
(ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: sin2x + sin x −
−
= 2cot2x .

2sin x sin2x
π
π
HD: Điều kiện sin2x ≠ 0. PT ⇔ cos2x( 2cos2 x + cos x + 1) = 0 ⇔ x = + k .
4
2
Baøi 49.
(ĐH 2007A–db2) Giải phương trình:
2cos2 x + 2 3sin xcos x + 1= 3(sin x + 3cos x) .
Baøi 47.

(ĐH 2007D) Giải phương trình:



π
π
2π
HD: PT ⇔ 2cos2  x − ÷− 3cos x − ÷ = 0 ⇔ x =
+ kπ .

6

6
3
 5x π 
x π
3x
Baøi 50.
(ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: sin − ÷− cos − ÷ = 2cos

2
 2 4
 2 4

π
2π
x = 3 + k 3


3x 
π
HD: PT ⇔ cos  2cos x + ÷+ 2 ÷ = 0 ⇔ 
.
π
x = + k2π
2
4



2
 x = π + k2π
sin2x cos2x
Baøi 51.
(ĐH 2007B–db2) Giải phương trình:
+
= tan x − cot x .
cos x sin x
π
HD: Điều kiện: sin2x ≠ 0. PT ⇔ cos x = − cos2x ⇔ x = ± + k2π .

3

π 
Baøi 52.
(ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 2sin x − ÷cos x = 1
12 


π 
π
5π
π
π
HD: PT ⇔ sin 2x − ÷ = cos = sin
⇔ x = + kπ hay x = + kπ .
12 
12
12
4
3

Baøi 53.
(ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1– tan x)(1+ sin2x) = 1+ tan x .

π
x = − + kπ
HD: Điều kiện: cos x ≠ 0. PT ⇔ (cos x + sin x)(cos2x − 1) = 0 ⇔ 
.
4


 x = kπ
Trang 83


Nguyễn Quốc Thịnh
Baøi 54.

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

(ĐH 2008A) Giải phương trình:

1
+
sin x

 7π

= 4sin
− x÷
 4
.

3π 
sin x −
÷

2
1



3π 
HD: Điều kiện: sin x ≠ 0, sin x −
÷≠ 0 .

2

π
 x = − 4 + kπ



1
π
PT ⇔ (sin x + cos x) 
+ 2 2 ÷ = 0 ⇔  x = − + kπ
 sin x cos x


8

5π
 x = 8 + kπ
Baøi 55.
(ĐH
2008B)
Giải
phương
sin3 x − 3cos3 x = sin x cos2 x − 3sin2 xcos x .

trình:

π
π
π
+ k ; x = − + kπ .
4
2
3
Baøi 56.
(ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin x(1+ cos2x) + sin2x = 1+ 2cos x .
2π
π
HD: PT ⇔ (2cos x + 1)(sin2x − 1) = 0 ⇔ x = ±
+ k2π ; x = + kπ .
3
4
Baøi 57.
(ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; π ) của phương trình:

x
3π 
4sin2 − 3cos2x = 1+ 2cos2  x −
÷.
2

4

π
HD: PT ⇔ −2cos x = 3cos2x − sin2x ⇔ cos 2x + ÷ = cos( π − x)
6


HD: PT cos2x( sin x + 3cos x) = 0 ⇔ x =

5π
2π
7π
+k
hay x = −
+ h2π
18
3
6
5π
17π
5π
Do x∈ (0;π ) nên chỉ chọn x =
.
; x=
; x=
18
18
6

⇔ x=

Baøi 58.

(ĐH 2008A–db2) Giải phương trình:



π
2 2cos3  x − ÷− 3cos x − sin x = 0 .

4

HD: PT ⇔ cos3 x + sin3 x + 3cos2 x.sin x + 3cos x.sin2 x − 3cos x − sin x = 0
Xét 2 trường hợp:
 cos x = 0
π
a) Nếu cos x = 0 thì PT ⇔  3
⇔ x = + kπ .
sin
x
−
sin
x
=
0
2

b) Nếu cos x ≠ 0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3 x .
 cos x ≠ 0
π
Khi đó: PT ⇔ 
⇔ x = + kπ .
 tan x = 1
4
π
π
Vậy: PT có nghiệm: x = + kπ hoặc x = + kπ .

2
4
Baøi 59.
(ĐH
2008B–db1)
Giải
sin x cos2x + cos2 x( tan2 x − 1) + 2sin3 x = 0 .

π
+ kπ .
2
π
5π
PT ⇔ 2sin2 x + sin x − 1= 0 ⇔ x = + k2π ; x =
+ k2π .
6
6

HD: Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

Trang 84

phương

trình:


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Nguyễn Quốc Thịnh

π

cos2x − 1
tan + x÷− 3tan2 x =
.
2

cos2 x
π
HD: Điều kiện: cos x ≠ 0. PT ⇔ tan3 x = −1 ⇔ x = − + kπ .
4
 3π

sin x
− x÷+
= 2.
Baøi 61.
(ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: tan
 2
 1+ cos x

π
 x = 6 + k2π
HD: Điều kiện: sin x ≠ 0. PT ⇔ (cos x + 1)(2sin x − 1) = 0 ⇔ 
.
 x = 5π + k2π

6
sin2

x
+
cos2
x
+
3sin
x − cos x − 2 = 0
Baøi 62.
(ĐH 2008D–db2) Giải phương trình:

1
sin x = 2
HD: PT ⇔ (2sin x − 1)(sin x − cos x − 1) = 0 ⇔ 
sin x − π  = 2
÷
 
4 2
π
5π
π
⇔ x = + k2π ; x =
+ k2π ; x = + k2π ; x = π + k2π .
6
6
2
(1− 2sin x)cos x
= 3.
Baøi 63.
(ĐH 2009A) Giải phương trình:
(1+ 2sin x)(1− sin x)

1
HD: Điều kiện: sin x ≠ 1, sin x ≠ − .
2


π
π
PT ⇔ cos x − 3sin x = sin2x + 3cos2x ⇔ cos x + ÷ = cos 2x − ÷

3

6
π
2π
⇔ x= − + k .
18
3
Baøi 64.
(ĐH
2009B)
Giải
phương
trình:
sin x + cos x.sin2x + 3cos3x = 2( cos4x + sin3 x) .
Baøi 60.

(ĐH 2008B–db2) Giải phương trình:


π

 x = − 6 + k2π

π
HD: PT ⇔ sin3x + 3cos3x = 2cos4x ⇔ cos 3x − ÷ = cos4x ⇔ 
.

6
 x = π + k 2π

42
7
Baøi 65.
(ĐH 2009D) Giải phương trình:
3cos5x − 2sin3x cos2x − sin x = 0 .

π
π
x= + k



π
18
3 .
HD: PT ⇔ 3 cos5x − 1 sin5x = sin x ⇔ sin − 5x÷ = sin x ⇔ 
π
3

2
2

x = − + kπ

6
2

π
(1+ sin x + cos2x)sin x + ÷
Baøi 66.
(ĐH 2010A) Giải phương trình:

4  = 1 cos x
1+ tan x
2
HD: Điều kiện: cos x ≠ 0; 1+ tan x ≠ 0.
π
7π
PT ⇔ sin x + cos2x = 0 ⇔ x = − + k2π ; x =
+ k2π .
6
6
Baøi 67.
(ĐH 2010B) Giải phương trình: (sin2x + cos2x)cos x + 2cos2x − sin x = 0 .
HD: PT ⇔ (sin x + cos x + 2)cos2x = 0 ⇔ x =
Trang 85

π
π
+k .
4
2

Nguyễn Quốc Thịnh

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

sin2x − cos2x + 3sin x − cos x − 1= 0 .
π
5π
HD: PT ⇔ (2sin x − 1)(cos x + sin x + 2) = 0 ⇔ x = + k2π ; x =
+ k2π .
6
6
Baøi 69.
(ĐH 2011A)
1.
Baøi 68.

(ĐH 2010D) Giải phương trình:

Trang 86