HUONG DAN ON TAP CHUONG III HINH 11 năm 2012 2013

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III HÌNH HỌC 11 NĂM HỌC 2012 – 2013
A. Lý thuyết:
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
* Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (  ). Ký hiệu: d  ()
d  a �()
�
d  ( )
�
�
� da
� d  ( )
d  b �()
* Nếu �
* Nếu �
a �()
�
�
a va�
b ca�
t nhau
�
d  AC
�
� d  BC
* Trong tam giác ABC, nếu �
d

AB
�
()  AB ta�
iI

�
* Nếu () là mặt phẳng trung trực của AB � �
I la�
trung �
ie�
m cu�
a AB (t�
�
c la�
IA  IB)
�
* Nếu M thuộc mp trung trực của AB thì MA = MB
* Nếu AB, AC, AD cùng vuông góc với đt d thì AB, AC, AD đồng phẳng (phải chung một điểm A)
a// b
()//()
�
�
� b  ( )
� d  ()
* Nếu �
* Nếu �
a  ()
d  ()
�
�
A
d  ()
a  ()
�
�

� ()//()
� a // b
* Nếu �
* Nếu �
d

(

)
b

(

)
�
�
AH

(

)
* Nếu
thì + H là hình chiếu vuông góc của A trên ()

O
(

)
H
+ OH là hình chiếu vuông góc của AO trên


�
� �900
+ AOH
là góc giữa AO và mp () với 00 �AOH
la�
h�
nh chie�
u vuo�
ng go�
c cu�
a b tre�
n ()
�b�
� a  b�
* Định lý ba đường vuông góc: Nếu �
a b
�
* Nếu: + O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC
+ Đường thẳng d đi qua O và vuông góc với  ABC
� d là trục của  ABC. Khi đó: M �d � MA = MB = MC
* Giao điểm của 3 đường trung trực của  ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC
* Nếu  ABC là tam giác vuông tại A thì tâm đường tròn ngoại tiếp của  ABC là trung điểm của cạnh
huyền BC
* Nếu  ABC là tam giác đều thì tâm đường tròn ngoại tiếp của  ABC là giao điểm của 3 đường cao
(hoặc 3 đường phân giác, 3 đường trung tuyến, 3 đường trung trực)
* Nếu ABCD là hình vuông (hoặc hình chữ nhật) thì tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông là giao
điểm của 2 đường chéo
* Trong tam giác : + Giao điểm của 3 đường cao gọi là trực tâm
+ Giao điểm của 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm

Bài tập mẫu
Phương pháp: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
d  a �()
�
d  AC
�
�
� d  ( )
� d  BC
d  b �()
Sử dụng: * Nếu �
* ABC , Nếu �
d

AB
�
�
a va�
b ca�
t nhau
�
la�
h�
nh chie�
u vuo�
ng go�
c cu�
a b tre�
n ()

�b�
� a  b�
* Định lý ba đường vuông góc: Nếu �
a

b
�
1


Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với
mp(ABC). a) Chứng minh rằng: BC  (SAB)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh : AH  SC
Giải: Phân tích cách giải (phương pháp phân tích đi lên): (nháp)
a)
Trình bày: Ta có: + BC  AB (gt)
BC  (SAB)
+ BC  SA (vì SA  (ABC) )
Vậy: BC  (SAB) (đpcm)
BC  AB (gt)

b)

BC  SA (vì SA  (ABC)

S

AH  SC
AH  (SBC)
H

A H  SB (gt ) (1)

A H  BC
A

C

BC  (SAB) (cm câu a) (2)

Trình bày: Ta có: AH  SB (gt) (1)
Ta lại có : BC  (SAB) (cm câu a) � BC  AH �(SAB) (2)
Từ (1) và (2) � AH  (SBC) � AH  SC (đpcm)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD)
a) Chứng minh rằng : DB  (SAC) , CD  (SAD) và BC  (SAB)
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SC và SD. Chứng minh: IJ  (SAD)
Giải: a) * DB  (SAC) :
DB  (SAC)

B

S

DB  AC (gt)

DB  SA (vì SA  (ABCD))

Trình bày: Ta có: + DB  AC (gt)
+ DB  SA (vì SA  (ABCD) )
Vậy: DB  (SAC) (đpcm)

* CD  (SAD) :
CD  (SAD)
CD  AD (gt)

J
I
A

CD  SA (vì SA  (ABCD))

Trình bày: Ta có: + CD  AD (gt)
+ CD  SA (vì SA  (ABCD) )
Vậy: CD  (SAD) (đpcm)
* CD  (SAD) :
BC  (SAB)
BC  AB (gt)

D

B

C

BC  SA (vì SA  (ABCD))

Trình bày: Ta có: + BC  AB (gt)
+ BC  SA (vì SA  (ABCD) )
Vậy: BC  (SAB) (đpcm)
IJ  (SAD)
b)

Trình bày: Ta có: + CD  (SAD)
+ IJ // CD (đường TB)
CD  (SAD) (cmt)
IJ // CD
Vậy: IJ  (SAD) (đpcm)
Bài 3: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mp(ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam
giác ABC, SBC. Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng qui
b) SC  (BHK )
c) HK  (SBC)
Giải: a) Trình bày: Gọi I là giao điểm của SK và BC
Ta có: + BC  SK (gt)
+ BC  SA (vì SA  (ABC))
� BC  (SAI) � BC  AI � AI là đường cao của  ABC � H�AI (H là trực tâm của  ABC)
Vậy: AH, SK, BC đồng qui tại I (đpcm)
2


Phân tích:

Gọi I là giao điểm của SK và BC
AH, SK, BC đồng quy tại I

S

H�AI
AI là đường cao của  ABC
K

A

BC  AI

H

BC  (SAI)
BC  SK (gt)

C
I

B

BC  SA (vì SA  (ABC))

b) SC  (BHK )

SC  (BHK)
SC  BK (K là trực tâm  SBC)

SC  BH
BH  (SAC)

BH  AC (H là trực tâm  ABC)
BH  SA (vì SA  (ABC))
Trình bày: Ta có: + BH  AC (H là trực tâm  ABC)
+ BH  SA (vì SA  (ABC))
� BH  (SAC) � SC  BH và SC  BK (K là trực tâm  SBC) � SC  (BHK) (đpcm)
c) HK  (SBC) . Ta có: + SC  (BHK ) (theo câu b) � HK  SC (1)
Ta lại có: + BC  (SAI) �HK (theo câu a) � HK  BC (2)
Từ (1) và (2) � HK  (SBC) (đpcm)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mp(ABCD).
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD
a) Chứng minh rằng: AH  SC và AK  SC. Từ đó suy ra AH, AK, AI cùng nằm trong một mặt phẳng
b) Chứng minh rằng: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI
Giải: a) * Ta có: AH  SB (gt) (1)
S
Ta lại có: + BC  AB (gt)
+ BC  SA (vì SA  (ABCD))
I
K
� BC  (SAB) �AH � BC  AH (2)
Từ (1) và (2) � AH  (SBC) � AH  SC (đpcm) (a)
H
* Ta có: AK  SD (gt) (1)
Ta lại có: + CD  AD (gt)
A
D
+ CD  SA (vì SA  (ABCD))
� CD  (SAD) �AK � CD  AK (2)
O
B
Từ (1) và (2) � AK  (SCD) � AK  SC (đpcm) (b)
C
�
* AI  SC (c). Từ (a), (b) và (c) AH, AK, AI cùng nằm trong một mặt phẳng
b) Ta có: + BD  AC (đường chéo hình vuông ABCD)
+ BD  SA (vì SA  (ABCD))
� BD  (SAC) (1)
SK SH
� HK // BD (2)


Ta có:  SAB =  SAD � SB = SD � SH = SK �
SD SB
Từ (1) và (2) suy ra: HK  (SAC) �AI � HK  AI
A
Phương pháp: Xác định và tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (  )
a) Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(  )
3



O

H


Cụ thể: Ta có: AH  (  ) � OH là hình chiếu vuông góc của AO trên (  )
�   là góc giữa AO và mp(  ) với O = AO �()
� AOH
b) Nếu đt d vuông góc với mp(  ) � góc giữa đt d và mp(  ) bằng 900
c) Tính góc: Vận dụng tỉ số góc nhọn trong tam giác vuông
�
o�
i
ke�
�
o�
i
* sin 
* cos 

* tan 
huye�
n
huye�
n
ke�
d) Tính cạnh: Áp dụng: + Định lý Pitago
ca�
nh 3
+ Trong tam giác đều: đường cao =
+ Trong hình vuông: đường chéo = cạnh 2
2
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA = a 2 và SA
vuông góc với mp(ABCD)
a) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên các đường thẳng SB, SD. Tính góc giữa
đường thẳng SC và mp(AMN)
S
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD)
Giải: a) * Ta có: AM  SB (gt) (1)
Ta lại có: + BC  AB (gt)
N
+ BC  SA (vì SA  (ABCD))
M
a2
� BC  (SAB) �AM � BC  AM (2)
Từ (1) và (2) � AM  (SBC) � AM  SC (đpcm) (a)
A
D
* Ta có: AN  SD (gt) (1)
Ta lại có: + CD  AD (gt)

+ CD  SA (vì SA  (ABCD))
B
C
� CD  (SAD) �AN � CD  AN (2)
Từ (1) và (2) � AN  (SCD) � AN  SC (đpcm) (b)
Từ (a) và (b) � SC  (AMN). Vậy : Góc giữa SC và (AMN) bằng 900
b) Ta có: SA  (ABCD) � AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)
� là góc giữa SC và (ABCD)
� SCA
�  SA  a 2  1 � SCA
� : Xét tam giác vuông SAC tại A, ta có: tanSCA
� = 450
* Tính SCA
AC a 2
(vì AC là đường chéo = cạnh 2 = a 2 )
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SB vuông góc với đáy. BC = 2a,
AC = a, SB = a. Xác định và tính góc giữa cạnh SA vá mp(ABC)
S
Giải: Ta có: SB  (ABC) � AB là hình chiếu vuông góc của SA
� là góc giữa SA và (ABC)
trên (ABC) � SAB
�  SB
� : + Xét tam giác vuông SAB tại A, ta có: tanSAB
a
* Tính SAB
AB
2a
+ AB = BC2  AC2  4a2  a2  3a2  a 3
C
B

a
�  SB  a  3 � � = 300
Vậy: tanSAB
SAB
AB a 3 3
A

Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mp(ABCD).
SI SK

Gọi I, K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho
. Chứng minh:
SB SD
a) BD  SC
b) IK  (SAC)
c) Xác định và tính góc giữa SC và mp(ABCD), biết SA  a 3 , AC = a. ĐS: 600
4


HD: a) C/m: BD  (SAC)
b) C/m: IK // BD
Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mp(ABC) và có tam giác ABC vuông cân tại B.
SM SN

Trong mp(SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho
SB SC
Chứng minh rằng: a) BC  (SAB)
b) AM  (SBC)
c) SB  AN; HD: SB  (AMN)

d) Xác định và tính góc giữa cạnh bên SC và mp(ABC), biết AB = a, SC = 2a. ĐS: 450
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là
trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh rằng: BC  (ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng: AH  (BCD)
a
Bài 4: Cho hình thoi S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA = SB = SC = SD = . Gọi O là
2
giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: a) SO  (ABCD)
b) AC  (SBD)
a 3
c) BD  (SAC)
d) Xác định và tính góc giữa SA và (ABCD), biết SA 
. ĐS: 600
4
Bài 5: Trong mp(  ) cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là điểm nằm
ngoài mp(  ) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a) SO  (  )
b) Nếu trong mp(SAB) kẻ SH  AB tại H thì AB  (SOH)
c) Xác định và tính góc giữa cạnh bên SB và mp(ABCD), biết BD = 4 3 , SO = 2. ĐS: 300
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = a 3 . SB vuông góc với
mp(ABCD). a) Chứng minh rằng các mặt bên là những tam giác vuông
HD: Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) lần lượt là những tam giác vuông tại B, B, C, A
b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên SA. CMR: BK  SD ; HD: C/m: BK  (SAD)
c) Xác định và tính góc giữa cạnh bên SC và mp(ABCD), biết SA = 2a. ĐS: 450
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi I
là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng: BC  (SAI)
b) Gọi O là trực tâm của tám giác ABC. Chứng minh rằng: CO  (SAB)
c) Kẻ OH  SI. Chứng minh rằng: OH  SC
a

d) Xác định và tính góc giữa cạnh bên SB và mp(ABC), biết SA =
. ĐS: 300
3
2. Hai mặt phẳng vuông góc
* Góc giữa hai mặt phẳng (ABM) và (ABN) cắt nhau theo giao tuyến AB
N
MI  AB
�
� là góc giữa (ABM) và (ABN)
Nếu �
thì MIN
NI  AB
�
* Diện tích hình chiếu vuông góc của một đa giác :
M
Nếu S là diện tích của đa giác H nằm trong (  ), S1 là diện tích
của đa giác H1 nằm trong (  ), H1 là hình chiếu vuông góc của H
thì S1  Scos với  là góc giữa 2 mp(  ) và (  )
A

* Hai mp(  ) và (  ) vuông góc với nhau. Kí hiệu: ()  ()
I
d �()
�
� ()  ()
* Nếu �
B
d  ()
�
* Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên là chiều

cao của lăng trụ đứng. Hai mặt đáy song song, bằng nhau và cùng vuông góc với các cạnh bên. Các
mặt bên là những hình chữ nhật
* Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... gọi là hình lăng trụ đứng tam giác,
hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác,...
5


* Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. VD: Hình lăng trụ tam giác đều, hình
lăng trụ tứ giác đều
* Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành
* Hình hộp chữ nhật: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật
* Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông
* Hình chóp đều: + Đáy là đa giác đều
+ Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau
+ Các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy các góc bằng nhau
+ Chân đường cao trùng với tâm của đáy

Bài tập mẫu

Phương pháp : a) Chứng minh hai mặt phẳng () và () vuông góc với nhau
d �()
�
� ()  ()
Sử dụng định lí: Nếu �
d  ()
�
b) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng:
MI  AB
�
� là góc giữa (ABM) và (ABN) (hình ở trên)

Nếu �
thì MIN
NI

AB
�
Chú ý: AB là giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABM) và (ABN)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
a
S
phẳng (ABC) và SA = .
2
a) Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: (SAH)  (ABC)
b) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC)
c) Tính diện tích tam giác SBC
Giải: a) Ta có: + BC  SA (vì SA  (ABC))
C
A
+ BC  AH (vì AH là đường cao  ABC đều)
Suy ra: BC  (SAH) và BC �(ABC)
H
Vậy: (SAH)  (ABC) (đpcm)
B
b) Ta có: + BC  (SAH) (c/m câu a) � BC  SH và BC  AH
�
Suy ra: SHA
là góc giữa 2 mp(ABC) và (SBC)
�  SA = a : a 3  a. 2  1 � � = 300
Xét tam giác vuông SAH tại A, ta có: tanSHA
SHA

AH 2 2
2 a 3
3
c) Ta có: SA  (ABC) �  ABC là hình chiếu vuông góc của  SBC.
SABC
a2 3 3 a2
(ca�
nh)2 3
� �S
Vậy: SABC  SSBC .cosSHA
(vì
)


:

S

SBC
�
e�
u
cos300
4
2
2
4
2

2

1
1
1 �a � �a 3 �
a2
2
2
S

SH.BC
Cách khác: SBC
=
SA  AH .BC 
� � � �.a 
2
2
2 �2 � � 2 �
2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD)
S
a) Chứng minh rằng: (SAD)  (SCD), (SAC)  (SBD), (SAB)  (SBC)
b) Gọi BE, DF lần lượt là hai đường cao của  SBD.
E
Chứng minh rằng: (ACF)  (SBC), (ACE)  (SDC), (AEF)  (SAC)
F
Giải: a) * (SAD)  (SCD)
Ta có: + CD  AD (gt)
+ CD  SA (vì SA  (ABCD))
A
� CD  (SAD) và CD �(SCD) � (SAD)  (SCD) (đpcm)
D

* (SAC)  (SBD). Ta có: + BD  AC (đường chéo hình vuông)
6

B

C


+ BD  SA (vì SA  (ABCD))
� BD  (SAC) và BD �(SBD) � (SAC)  (SBD) (đpcm)
* (SAB)  (SBC). Ta có: + BC  AB (gt) và BC  SA (vì SA  (ABCD))
� BC  (SAB) và BC �(SBC) � (SAB)  (SBC) (đpcm)
b) * (ACF)  (SBC). Ta có: + DA  SA (vì SA  (ABCD)) và DA  AB (gt)
� DA  (SAB) � DA  SB và DF  SB (gt) � SB  (ADF) � SB  AF (1)
Ta lại có: BC  (SAB) �AF � BC  AF (2)
Từ (1) và (2) � AF  (SBC) mà AF �(ACF) � (ACF)  (SBC) (đpcm)
* (ACE)  (SDC). Ta có: + AB  SA (vì SA  (ABCD)) và AB  AD (gt)
� AB  (SAD) � AB  SD và BE  SD (gt) � SD  (ABE) � SD  AE (1)
Ta lại có: CD  (SAD) �AE � CD  AE (2)
Từ (1) và (2) � AE  (SDC) mà AE �(ACE) � (ACE)  (SDC) (đpcm)
* Ta có: + AF  (SBC) � AF  SC (1)
+ AE  (SDC) � AE  SC (2)
Từ (1) và (2) � SC  (AEF) mà SC �(SAC) � (AEF)  (SAC) (đpcm)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mp(ABC). Gọi
H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. AB = a 2 , SA = a 6
S
a) Chứng minh rằng: (SAB)  (SBC), (SBC)  (AHC)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(SBC) và (ABC)
Giải: a) * (SAB)  (SBC)

Ta có: + BC  AB (gt) và BC  SA (vì SA  (ABC))
H
� BC  (SAB) mà BC �(SBC) � (SAB)  (SBC) (đpcm)
A
C
* (SBC)  (AHC)
Ta có: + AH  SB (gt) (1)
+ BC  (SAB) �AH � BC  AH (2)
B
Suy ra: AH  (SBC) mà AH �(AHC) � (SBC)  (AHC) (đpcm)
b) Ta có: + BC  AB (gt) và BC  (SAB) � BC  SB
� là góc giữa hai mp(SBC) và (ABC)
Vậy: SBA
�  SA  a 6  3 � SBA
� : Xét tam giác vuông SAB tại A, ta có: tanSBA
� = 600
* Tính SBA
AB a 2
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là tâm của hình thoi và SB vuông
S
a 3
góc với mp(ABCD). BD = a và SB =
6
a) Chứng minh rằng: (SBD)  (ABCD)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên SO.
H
Chứng minh rằng: (BHC)  (SAC)
C
B
c) Xác định và tính góc giữa hai mp(SAC) và (ABCD)

Giải: a) Ta có: + AC  BD (đường chéo hình thoi)
O
+ AC  SB (vì SB  (ABCD))
D
� AC  (SBD) mà AC �(ABCD) � (SBD)  (ABCD) (đpcm) A
b) Ta có: + BH  SO (gt) (1)
Ta lại có: + AC  (SBD) �BH � AC  BH (2)
Từ (1) và (2) � BH  (SAC) mà AC �(SAC) � (BHC)  (SAC) (đpcm)
S
c) Ta có: + AC  (SBD) �SO (c/m câu a) � SO  AC và BD  AC
� là góc giữa hai mp(SAC) và (ABCD)
� SOB
SB a 3 a a 3 2
3��
0

: 
. 
SOB = 30
OB
6 2
6 a
3
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, H là chân đường cao của hình chóp.
C
A
Gọi M là trung điểm của BC.
� 
Xét tam giác vuông SOB tại B, ta có: tan SOB

7

H

M
B


a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAM)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(SBC) và (ABC), biết SH = a
Giải: a) Ta có: + BC  AM (gt)
+ BC  SM (gt)

Suy ra: BC (SAM) mà BC �(SBC) � (SBC)  (SAM) (đpcm)
b) Ta có: + BC  AM (gt)
+ BC  SM (gt)
�
Suy ra: SMH
là góc giữa hai mp(SBC) và (ABC)
�  SH
Xét tam giác vuông SHM vuông tại H, ta có: tan SMH
HM
1
2a 3
a 3
�  a : a 3  3 � SMH
� = 600
Mà: AM =
. Suy ra: tan SMH
 a 3 � HM = AM =

3
2
3
3
A
Ghi nhớ: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC
2
1
N
P
thì AG  AM , GM  AM
3
3
G
1
GM

AG
B
và
C
M
2
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SO là đường cao của hình chóp. Gọi M
a 3
là trung điểm của CD. SM =
S
3
a) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD), (SCD)  (SOM)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(SCD) và (ABCD)

Giải: a) * Ta có: + AC  BD (gt)
+ AC  SO (vì SO  (ABCD))
� AC  (SBD) mà AC �(SAC) � (SAC)  (SBD) (đpcm)
A
D
* Ta có: + CD  SM (gt) và CD  OM (gt)
� CD  (SOM) mà CD �(SCD) � (SCD)  (SOM) (đpcm)
M
O
B
b) Ta có: + CD  SM (gt) và CD  OM (gt)
C
là
góc
giữa
hai
mp(SCD)
và
(ABCD)
�
� SMO
�  OM  a : a 3  3 � SMO
� = 300
Xét tam giác vuông SOM tại O, ta có: cosSMO
SM 2 3
2

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB  (BCD). Trong  BCD vẽ các đường cao BE và EF cắt nhau tại O,

a 6
trong mp(ADC) vẽ DK  AC tại K. Biết BE = a 2 và AB =
3
a) CMR: * (ADC)  (ABE). HD: c/m: CD  (ABE)
* (ADC)  (DFK). HD: c/m: DF  (ABC) � DF  AC và c/m: AC  (DFK)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(ADC) và (BCD). ĐS: 300
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a. SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng: (SAB)  (SBC)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB và K là điểm bất kỳ trên SC. CMR: (AHK)  (SBC)
3a
c) Xác định và tính góc giữa 2 mp(SBC) và (ABC). Biết SC = 2a và SA =
. ĐS: 600
2
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SB vuông góc với đáy. Kẻ BK vuông
1
3
góc với AD tại K. BK = và SB =
2
4
8


a) Chứng minh rằng: (SAB)  (SAC), (SBD)  (SCD), (SAD)  (SBK)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(SAD) và (ABCD). ĐS: 300
Bài 4: Trong mp(  ) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (  ) tại A.
a
a
�
� , biết AB = và DB =
a) CMR: ABD

là góc giữa hai mp(DBC) và (ABC). Tính ABD
6
3
b) CMR: (ABD)  (BCD)
c) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mp(P) đi qua A và  với DB. CMR: HK // BC
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a.
a) Chứng minh rằng: (SBD)  (ABCD). HD: AC  (SBD)
b) Chứng minh rằng:  SBD vuông tại S. HD: c/m:  SAC =  ABC =  ADC
Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SH là đường cao. Chứng minh rằng:
a) SA  BC. HD: c/m: BC  (SAH)
b) SB  AC. HD: c/m: AC  (SBH)
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm
cùa hình vuông ABCD. a) Tính độ dài đoạn thẳng SO
b) Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng: (MBD)  (SAC). HD: BD  (SAC)
�
c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mp(MBD) và (ABCD). ĐS: MOC
= 450
a
HD: *  SOC vuông tại O và M là trung điểm của SC � OM =
2
�
* Vì BD  (SAC) � BD  OM �(SAC) và BD  OC. Vậy: MOC là góc giữa 2 mp(MBD) và (ABCD)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và cạnh a và có góc A bằng 60 0, cạnh
a 6
SC =
và SC vuông góc với mp(ABCD).
2
a
a) CMR: (SBD)  (SAC)
b) Trong  SCA kẻ IK  SA tại K. Tính IK. ĐS: IK =

2
IK IA
a 3
3a 2

HD: b)  AKI ~  ACS �
; IA =
; AC = 2IA; SA =
SC SA
2
2
0
�
c) CMR: BKD  90 và suy ra mp(SAB)  (SAD)
a
HD: *  ABD đều cạnh a � IB = ID = IK = �  BKD vuông tại K
2
�
* C/m: SA  (BDK) � SA  DK và SA  BK � BKD
là góc giữa 2 mp(SAB) và (SAD)
3 Khoảng cách:
* Nếu AH  (  ) thì AH là khoảng cách từ
* Nếu a và b chéo nhau, AB  a, AB  b thì AB
A

A đến mặt phẳng ( )
là đoạn vuông góc chung của a và b
a



O

b

A

H



Bài tập mẫu

B
S

Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA vuông góc với
mp(ABC) và SA = a. a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
b) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
H
Giải: a) Kẻ AH  SB (1)
a
Ta có: + CB  AB (gt) và CB  SA (vì SA  (ABC))
K
�
�
Suy ra: CB  (SAB) CB  AH (SBC) (2)
2a
9

A

O

B

C


Từ (1) và (2), ta có: AH  (SBC)
Vậy: AH là khoảng cách từ A đến mp(SBC)
* AB2 + BC2 = AC2 � 2AB2 = 4a2 � AB = a 2
1
1
1
1
1
3
2a 2
a 6
2
*





�
AH


�
AH

AH 2 SA 2 AB2 a 2 2a 2 2a 2
3
3
�
b) Dựng OK // AH OK  (SBC). Vậy OK là khoảng cách từ O đến mp(SBC)
1
1 a 3 a 3
* OK = AH  .

2
2 3
6
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh bên bằng 2a
S
a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD)
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD)
Giải: a) Ta có: SO  (ABCD) � SO là khoảng cách từ S đến mp(ABCD)
2

�a 2 � a 14
* SO = SA  OB  4a  �
�
2
2
�
�
A

b) Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ OH  SM (1)
O
Ta có: + CD  SO (vì SO  (ABCD)) và CD  OM
B
Suy ra: CD  (SOM) �OH � CD  OH (2)
Từ (1) và (2), ta có: OH  (SCD). Suy ra: OH là khoảng cách từ O đến mp(SCD)
1
1
1
4
2
30
7a 2
2
�
� OH = a 210





*
OH
=
2
2
2
2
2
2

OH
OM SO
a
7a
7a
30
30
2

2

2

H
D
C

M

Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách
từ S tới mặt đáy (ABC). ĐS: SH = a
� = 600. Gọi O là giao
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc BAD
điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mp(ABCD) và SO =
trung điểm của BC, BE. a) CMR: (SOF)  (SBC). HD: BC  (SOF)
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mp(SBC)

3a
. Gọi E, F lần lượt là

4

3a
. HD: Kẻ OH  SF, c/m OH  (SBC)
8
3a
* d(A, (SBC)) = IK = 2OH =
. HD: Gọi I  FO �AD , dựng IK  SF � IK  (SBC).
4
* d(O, (SBC)) = OH =

Vì AD // (SBC) nên d(A, (SBC)) = d(I, (SBC)) = IK
� = 600 và SA = SB = SD
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc BAD

a 15
a 3
. a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) và độ dài cạnh SC. ĐS: SH =
(H là hình
6
2
a 7
chiếu vuông góc của S trên (ABCD) hay H là trọng tâm  đều ABD), SC =
2
b) CMR: (SAC)  (ABCD). HD: Vì SH  (ABCD)
c) CMR: SB  BC. HD: SC2 = SB2 + BC2 �  SBC vuông tại B (theo địng lý Pitago)
� , tan  = 5
d) Gọi  là góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD). Tính tan  . ĐS:   SOH
=

10


11