Huong dan On Tap HK I Toan 11

Híng dÉn «n tËp häc k× 1 To¸n 11 Ban c¬ b¶n
A. ĐẠI SỐ
1. Hàm số lượng giác:
T/ C
Hàm số
TXĐ TGT Chẵn lẻ Chu kỳ Các khoảng ĐB – NB
(đồng biến,nghịch biến)
y = sinx R [ -1; 1] Lẻ 2
π
ĐB [0 ;
2
π
] NB[
2
π
;
π
]
y = cosx R [ -1; 1] Chẵn 2
π
ĐB [-
π
;0] NB[0;
π
]
y = tanx R\{
, }
2
k k Z
π
π

+ ∈
R Lẻ
π
ĐB [0;
2
π
)
y = cotx R\{
, }k k Z
π
∈
R Lẻ
π
NB (0 ;
π
)
• Bài tập:
1) Tìm tập xác định các hàm số sau:
1) y = cos
2
3 2x x− +
2) y =
2
os2xc
3) y =
2 sinx−
4) y =
1 osx
1-sinx
c+

5) y = tan(x +
4
π
) 6) y = cot(2x -
)
3
π
7) y =
1 1
sinx 2 osxc
−
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: (
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤
;
2 2
0 sin 1; 0 cos 1x x≤ ≤ ≤ ≤
)
1) y = 3 + 2 cosx. 2) y = 2
osxc
+ 1. 3) y = 2sin(
)
2 5
x
π
+
.
4) y =
2
3 osc x+
. 5) y =

1 sinx−
.
2. Phương trình lượng giác cơ bản:
a
> 1
a
≤
1
sinx = a PT VN
Nếu a là giá trị cung đặc biệt và có sin
α
= a thì:
2
2
x k
x k
α π
π α π
= +


= − +

(k
∈
Z)
Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì:
arcsina + k2
= - arcsina + k2
x

x
π
π π
=



(k
∈
Z)
cosx = a PT VN
Nếu a giá trị cung đặc biệt và có cos
α
= a thì:
2
2
x k
x k
α π
α π
= +


= − +

(k
∈
Z)
Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì:
arccosa + k2

arccosa + k2
x
x
π
π
=


= −

(k
∈
Z)
tanx = a
Nếu a là giá trị cung đặc biệt và có tan
α
=a thì: x =
α
+ k
π
,(k
∈
Z)
Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì: x = arctana + k
π
,(k
∈
Z)
cotx = a
Nếu a là giá trị cung đặc biệt và có cot

α
=a thì: x =
α
+ k
π
,(k
∈
Z)
Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì: x = arccota + k
π
,(k
∈
Z)
Giải các phương trình sau:
a. sin3x =
3
2
. b. cos2x =
1
2
. c. tanx =
3
. d. cot2x =
1
3
.
e. sinx =
2
3
f. tan3x =

2008
g. cos3x =
3
2
−
h. sinx = -
3
2
1
Híng dÉn «n tËp häc k× 1 To¸n 11 Ban c¬ b¶n
3. Pt bậc nhất và bậc 2 đối với 1 hs lượng giác:
Pt Dạng Cách giải
Bậc I
asinx + b = 0
acosx + b = 0 (a
≠
0)
atanx + b = 0
acotx + b = 0
Chuyển vế b rồi chia 2 vế pt cho a
Giải pt lg cơ bản
Bậc II
at
2
+ bt + c = 0
(a
≠
0) t là một trong các hàm số
lượng giác
Đặt ẩn phụ, ĐK

(Đv sin và cos
t
≤
1) giải pt bậc 2 theo ẩn phụ. Rồi giải ptlg
cơ bản.
• Bài tập:
a. 2sin
2

2
x

+
2
sin
2
x
- 2 = 0. b. 3tan2x +
3
= 0. c. 3 cosx – 2sin2x = 0.
d. 4sinxcosx.cos2x =
1
2
. e. 5cotx – 6 = 0. f. 3tan
2
x + tanx – 4 = 0.
g. 3cot
2
x -
2 3

cotx + 3 = 0. h.
3 anx - 6cotx + 2 3 0t =
i. 6cos
2
x – 5sinx – 2 = 0.
Phương trình dạng aSin
2
x + bSinxCosx + cCos
2
x = d
Cách giải: chia hai vế pt cho cos
2
x (nếu a
≠
d pt không có nghiệm cosx = 0, a = d, pt có nghiệm cosx = 0).
Cần nắm vững công thức:
sinx
t anx
cosx
=

cos
cot
sin
x
x
x
=
2
2

1
1 tan
os
x
c x
= +

2
2
1
1 cot
sin
x
x
= +
• Bài tập:
a. 2sin
2
x – 5sinxcosx – cos
2
x = -2 b. 3sin
2
x – 6sinxcosx – 2cosx = 3
C. cos
2
x + 2sinxcosx + sin
2
x = 2 d. sin
2
x – 6sinxcosx + cos

2
x = -2
Phương trình dạng asinx + bcosx = c
Cách giải: Xác định hệ số a, b, c. Tính
2 2
a b+
. Chia 2 vế pt cho
2 2
a b+
Nếu
2 2 2 2
&
a b
a b a b+ +
là giá trị lượng giáccủa các cung đặc biệt thì thay tương ứng cos và sin vào.
Còn không là giá trị đặc biệt thì đặt
2 2 2 2
os = &
a b
C Sin
a b a b
α α
=
+ +

Sin(x+
α
) =
2 2
c

a b+
. Giải pt lg cơ bản trên tìm nghiệm.
Các công thức cần nhớ:
Sin
2
x + Cos
2
x = 1 Sin2x = 2SinxCosx Cos2x = Cos
2
x – Sin
2
x = 2Cos
2
x – 1 = 1 – 2Sin
2
x
sin
tan
cos
a
a
a
=
Cotx =
osx
Sinx
C
Tanx.Cotx = 1
Sin(a + b) = SinaCosb + SinbCosa Sin(a - b) = SinaCosb - SinbCosa
Cos(a + b) = CosaCosb – SinaSinb Cos(a - b) = CosaCosb + SinaSinb

Tan(a + b) =
1
Tana Tanb
TanaTanb
+
−
Tan(a - b) =
1
Tana Tanb
TanaTanb
−
+
CosaCosb =
1
2
[Cos(a + b) + Cos(a – b)] SinaSinsb = -
1
2
[Cos(a + b) - Cos(a – b)]
SinaCosb =
1
2
[Sin(a + b) + Sin(a – b)]
Xem lại công thức tổng thành tích
• Bài tập:
Giải các phương trình sau:
a.
3
Sinx + Cosx = 1. b. 4Sinx + 3Cosx = 2. c. 2 Sinx + 2Cosx = 2. d. Sinx + Cosx =
3

.
2
Hớng dẫn ôn tập học kì 1 Toán 11 Ban cơ bản
CHNG II: T HP XC SUT
1. Quy tc m
* Quy tc cng:
Thc hin 1 cụng vic c thc hin bi k phng ỏn.
Phng ỏn 1 cú n
1
thc hin.
2 n
2
.
.
Phng ỏn k cú n
k
cỏch thc hin
Thỡ ta cú n
1
+ n
2
+ ..+ n
k
cỏch thc hin.
Phỏt biu di dng khỏi nim tp hp:Nu A v B l cỏc tp hp hu hn khụng giao nhau thỡ:
n(A

B) = n(A) + n(B)
* Quy tc nhõn:
Mt cụng vic c thc hin bi hai hay nhiu hnh ng m trong ú :

Cú m cỏch thc hin hnh ng th nht
Cú n cỏch thc hin hnh ng th hai
.
Cú i cỏch thc hin hnh ng th k
Thỡ ta cú : m.ni cỏch thc hin.
Bi tp:
a. T cỏc s 1, 2, 3 cú th lp uc bao nhiờu s t nhiờn bộ hn 100.
b. T nh An n nh Bỡnh cú 5 con ng i, t nh Bỡnh n nh Ton cú 3 con ng i. Hi
cú bao cỏch i tự nh An n nh Ton?
c. T cỏc ch s 1,3, 5, 6, 8 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn chn gm 3 ch s
- Cỏc s t nhiờn cú ch s ging nhau.
- Cỏc s t nhiờn cú ch s khỏc nhau.
2. Hoỏn v - chnh hp T hp:
nh ngha Cụng thc CT Khỏc
Hoỏn v
Cho tp A gm N pt. Mi kq
Sx n pt l 1 HV P(n) = n! P
n
= 1.2.3..n = n!
Chnh hp
n(A)= n. Mi cỏch chn k pt cú th t ca A c
gi l 1 chnh hp chp k ca n pt.
A
k
n
=
!
( )!
n
n k

P
n
= A
k
n
0! = 1
T hp
n(A)= n. Mi tp con gm k pt ca A c gi l
1 t hp chp k ca n pt.
C
k
n =
!
!( )!
n
k n k
C
k
n
=C
n
n k
1
1 1
k k k
n n n
C C C


+ =

Bi tp:
1. Hi cú bao nhiờu cỏch sp xp 10 ngi vo 10 cỏi gh xp thnh 1 hng dc.
2. Trong lp hc cú 25 HS hi cú bao nhiờu cỏch chon ra 5 bn i d hi tri ca on Trng.
3. Lp hc co 42 Hs chon ra 3 ban, 1 bn lm lp trng, 1 bn lp phú v 1 bn bớ th on. Hi cú
bao nhiờu cỏch chn.
4.Trờn giỏ sỏch cú 10 quyn sỏch toỏn,8 quyn sỏch vn v 3 quyn sỏch lý.Ly 3 quyn.Tớnh s cỏch
ly :
a. Mi loi cú 1 quyn.
b. C 3 quyn cựng loi.
c. Ch cú ỳng 1 quyn sỏch vn.
d. Cú ớt nht 1 quyn toỏn.
3. Nh thc Niu Tn:
Dng khai trin:
0 1 1
( ) ... ...
n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b

+ = + + + + +
(1)
Vi a=b=1, 2
n
=
0 1
...
n
n n n
C C C+ + +
.

Vi a= 1, b = -1 ta cú 0 =
0 1
... ( 1) ... ( 1)
k k n n
n n n n
C C C C + + + +
Chỳ ý: S cỏc hng t trong (1) l n+1
S m ca a gim dn , s m ca b tng dan dn t trỏi sang phi. nhung tong cỏc s m bng n
Cỏc h s ca mi hng t cỏch u 2 hng t u v cui thỡ bng nhau.
3
Hớng dẫn ôn tập học kì 1 Toán 11 Ban cơ bản
Bi tp:
1 .Khai trin cỏc biu thc sau: a) (2x 3y)
4
b) (y + 2x)
5
2. Tỡm h s khụng cha x trong khai trin: a) (2x +
2
2
x
)
6
, b) (2x +
3
1
x
)
8+
Tam giỏc Pascan (xem li sgk)
4. Phộp th v bin c:

* Phộp th ngu nhiờn: l phộp th ta ko oỏn trc c kt qu , mc dự ó bit tp hp cỏc kt qu cú th
xy ra.
* Khụng gian mu: tp hp cỏc kt qu cú th xy ra ca phộp th c gi l khụng gian mu. K/h:

* Bin c: bin c l tp con ca kgmu.
Tp

c gi l bin c khụng, Tp

c gi l bin c chc chn
Phộp toỏn trờn cỏc bin c:

\A c gi l bin c i ca bin c A. K/h :
A
- A

B c gi l hp ca 2 bin c.
- A

B c gi l giao ca 2 bin c.
- A

B =

, A v B c gi l l 2 bin c xung khc
Bi tp:
Gieo ụng tin liờn tip 3 ln. Hóy mụ t khụng gian mu? Xỏc nh cỏc bin c sau;
- Mt sp xuõt hin ớt nht 1 ln
- Ln u xut hin mt nga
Gieo con sỳc sc 2 ln. Hóy mụ t khụng gian mu. Xỏc nh cỏc bin c :- Tng s chm trong 2 ln gieo l

8
- Ln u xut hin mt 5 chm
- C 2 ln gieo l nh nhau
5. Xỏc sut ca bin c:
P(A) =
( )
( )
n A
n
P(A): xỏc sut ca bin c A.
( )n
: l s phn t ca kgm.n(A): s phn t ca bin c A.
Tớnh cht ca xỏc sut:
( ) 0, ( ) 1P P = =
.
0

P(A)

1, vi bin c A.
Nu A v B xung khc thỡ
P(A

B) = P(A) + P(B)
H qu: P (
A
) = 1 - P(A)
Bin c c lp cụng thc nhõn xỏc sut:
- Nu s xy ra ca 1 bin c khụng nh hng n xỏc sut ca 1 bin c khỏc thỡ ta núi 2 bin c ú
c lp.

- A v B l 2 bin c c lp khi v ch khi: P(A.B) = P(A).P(B)
Bi tp:
1. Gieo ngu nhiờn con sỳc sc 2 ln. Mụ t khụng gian mu. tớnh xỏc sut:
- Mt 6 chm xut hin ỳng 1 ln.
- Tng s chõm xut hin trong hai ln gieo l 7
- Mt 5 chm xut hin ớt nht 1 ln.
2.T mt hp cha 8 qu cu en v 6 qu cu trng, ly ngu nhiờn 4 qu. Tớnh xỏc sut sao cho
a. Bn qu ly ra cựng mu.
b. Cú ớt nht mt qu mu trng.
c. Cú 2 qu mu trng v 2 qu mu en.
CHNG III: DY S - CP S CNG - CP S NHN
1. Dóy s: - nh ngha : mt hm s u(n) vi n l tp hp cỏc s nguyờn dng gi l 1 dóy vụ hn.
+ Dóy hu hn l hm s u(n) vi n
{ }
1,2,3,...,m
trong ú
m
u
l s hng cui cựng ca dóy.
- Cỏch cho dóy s: + Cho bng cụng thc tng quỏt.
+ Cho bng cỏch mụ t.
+ Cho bng cụng thc truy hi.
4
Híng dÉn «n tËp häc k× 1 To¸n 11 Ban c¬ b¶n
- Dãy số gọi là tăng nếu
*
1n n
u u n N
+
< ∀ ∈

- Dãy số gọi là giảm nếu
*
1n n
u u n N
+
> ∀ ∈
- Dãy số gọi là bị chặn trên nếu
M∃
sao cho
*
n
u M n N≤ ∀ ∈
.
- Dãy số gọi là bị chặn dưới nếu
m∃
sao cho
*
n
u m n N≥ ∀ ∈
.
- Dãy vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên gọi là dãy bị chặn.Khi đó
,m M∃
sao cho
*
n
m u M n N≤ ≤ ∀ ∈
Các dạng tốn thường gặp:
- Tính các số hạng của 1 dãy số: nếu cho bằng cơng thức tổng qt ta tính được bất kỳ số hạng
nào bằng cách thay giá trị n vào cơng thức đó,nếu cho bằng cơng thức truy hồi phải tính lần lượt các số

hạng
- Chứng minh 1 dãy là tăng:
Cách 1: tính hiệu số
1n n
u u
+
−
có giá trị âm
Cách 2: tính tỷ số
1
n
n
u
u
+
có giá trị <1
- Chứng minh dãy là giảm :
Cách 1: tính hiệu số
1n n
u u
+
−
có giá trị dương
Cách 2: tính tỷ số
1
n
n
u
u
+

có giá trị >1
- Xét tính bị chặn của 1 dãy:
Dãy tăng và bị chặn trên thì bị chặn.Dãy giảm và bị chặn dưới thì bị chặn.
Dãy khơng tăng khơng giảm thì dựa vào tập giá trị để xét.
• Bài tập:
1.Tìm 5 số hạng đầu của các dãy số sau:
a.
2 3
1
n
n
u
n
+
=
+
b.
( 1)
2 1
n
n
n
u
n
−
=
+
c.
1 2 1 2
2; 3; 2 3

n n n
u u u u u n
− −
= = = + ∀ ≥
2. Chứng minh rằng các dãy số sau là bò chặn:
a.
3
n
n
u
n
+
=
b.
3
1
n
n
u
n
=
+
c.
( 1) sin 2
n
n
u n= −
3. Xét tính tăng giảm của các hàm số sau:
a.
1

2
n
n
u
n
+
=
b.
3 2
3
n
n
u
n
+
=
+
c.
( 1)
3
n
n
n
u = −
2.Cấp số cộng: - Định nghĩa :dãy số có tính chất
*
1n n
u u d n N
+
= + ∀ ∈

trong đó d là 1 hằng số gọi là 1
cấp số cộng. Hằng số d gọi là cơng sai.
- Số hạng tổng qt
Tính chất các số hạng:
Tổng của n số hạng đầu:
Các dạng tốn:
+Tìm 1 số hạng của CS cộng: cần tìm được
1
u
và d rồi sử dụng cơng thức số hạng tổng qt.
+ Chứng minh 1 dãy số là cấp số cộng: chỉ ra
*
1n n
u u d n N
+
= + ∀ ∈
với d là hằng số.
+ Tính tổng n số hạng đầu.
5
1
( 1)
n
u u n d= + −
1 1
2
2
k k
k
u u
u k

− +
+
= ∀ ≥
*
,
2
n k n k
n
u u
u n k N
− +
+
= ∀ ∈
và n-k>0
[ ]
1 1
( ) 2 ( 1)
2 2
n n
n n
S u u u n d= + = + −