HUONG DAN ON TAP CHUONG IV DAI SO 11 NAM 12 13

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
1. Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn:
a) lim(un + vn) = limun + limvn
c) lim(un.vn) = limun.limvn

b) lim(un – vn) = limun – limvn
u n lim u n

d) lim
(nếu limvn �0)
v n lim v n

e) Nếu un �0 , n và limun = a thì a �0 và lim un  a
f) limkun = klimun
1
1
Đặc biệt: a) lim  0
b) lim k  0 với k nguyên dương
n
n
n
c) Nếu un = c (c là hằng số) thì limun  limc  c
d) limq = 0 nếu q  1
u
* Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) là: S  u1  u 2  u 3  ...  u n  ...  n với q  1
1 q
* Giới hạn vô cực:
un
a) Nếu limun = a và limvn = �� thì lim  0
vn

un
b) Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0, n thì lim  �
vn
c) Nếu limun = � và limvn = a > 0 thì limun.vn = �
Đặc biệt: a) limnk = � với k nguyên dương
b) limqn = � nếu q >1
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
4n  1
3n2  n  5
2n  5n3  3
lim
a) lim
b) lim
c)
2n  7
2n2  1
3n3  n2
1
1
n(4

)
4

4n  1
n  lim
n  42
 lim
Giải: a) lim

7
7 2
2n  7
n(2  )
2
n
n
1
5
1 5
2
n
(3


)
3

 2
2
2
3n  n  5
n
n
n
n 3
 lim
 lim
b) lim
2

1
1
2n  1
2
n2(2  2 )
2  2
n
n
2
3
2
3
3
n
(

5

)

5

3
2
3
2
3
2n  5n  3
5
n

n
n
n
lim

lim

lim

c)
3
2
1
1
3n  n
3
n3(3 )
3
n
n
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
n(2n  1)(3n  2)
4n5  n2  1
(2  3n)3(n  1)2
lim
a) lim
b)
c) lim
(7  2n)3
(2n  1)(3  n)2(n2  2)

1 4n5
3
1
3
1
n3(2  )3n2(1 )2
(2  )3(1 )2
3
2
3 2
(2  3n) (n  1)
n
n  lim
n
n  2 .1  2

lim
Giải: a) lim
1
1
1 4n5
4
n5( 5  4)
4
5
n
n
1
1
1

1
n.n(2

).n(3

)
(2

).(3

)
n(2n  1)(3n  2)
2.3
3
n
n
n
n
 lim
 lim


b) lim
3
3
7
7
(7  2n)
(2)
4

n3( 3  2)3
( 3  2)3
n
n
1


1 1
1 1
n5(4  3  5 )
4 3  5
4n5  n2  1
4
n
n
n
n
 lim

2
c) lim(2n  1)(3  n)2(n2  2)  lim
2
1 2 3
2
1
3
2
2.(

1)

.1
2 2
2
n(2  )n ( 2  1) n (1 2 )
(2  ).( 2  1) .(1 2 )
n
n
n
n n
n

Bài 3: Tính các giới hạn sau:
2n2  2 n  8
a) lim 2
n  3 n  7

b) lim

9n2  n  1

c) lim

1 4n2
1 2n

8n3  2
1 8
1 8
n2(2  2 3  2 )
2 2 3  2

2
2n  2 n  8
n n  lim
n n  2  2
 lim
Giải: a) lim 2
n  3 n  7
1 7
1 7 1
n2(1 3 3  2 )
1 3 3  2
n n
n n
1 1
1 1
n 9  2
9  2
2
9n  n  1
n n  lim
n n  93
 lim
b) lim 3 3
3
2
2
8 2
8n  2
3 8
n3 8 3

3
n
n
1
1
n 4
4
2
1 4n
4 2
n
n
c) lim
 lim
 lim


 1
1
1
1 2n

2

2
n(  2)
2
n
n
Bài 4: Tính các giới hạn sau:

(2) n  3n
2n  5
4n  3
3n  4 n  5n
lim
a) lim
b) lim n
c) lim n
d)
(2)n 1  3n 1
n.3n
3.4  1
3  4 n  5n
5
5
n
n(2

)
2

1�
Giải: a) lim 2n  5  lim
n  lim
n  lim[(2  5 ). 1 ]  lim[(2  5 ). �
� �]  2.0  0
n.3n
n.3n
3n
n 3n

n �3 �
n
�1 �
3
3
n
1  3. � �
4 (1  n )
1 n
4n  3
�4 �  1
4
4
 lim
 lim
 lim
b) lim n
n
1
1
3.4  1
�1 � 3
4n (3  n )
3 n
3� �
4
4
�4 �
3

n

n

�3 � �4 �
3n 4n
3n 4 n
5 ( n  n  1)


1
n
n
n
� � � � 1 1
n
n
3 4 5
5
�5 � 
5
5
5
5
 lim
 lim n
 lim � �
 1
c) lim n
n

n
n
n
n
n
n
4
3 4
3  4 5
1
3
4
n 3
�
�
�
�
5 ( n  n  1)
 1
� � � � 1
5 5
5 n 5n
�5 � �5 �
n

n

�2 �
(2) n
3 [ n  1]

n
n
� 1 1 1 1
(2)  3
1 �
3 �
�
3
 lim
 lim .
 . 
d) lim
n 1
n 1
(2) n 1  3n 1
3 �2 �
31 3
n 1 ( 2)
3 [ n 1  1]
1
�
�
3
�3 �
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a) lim( n 2  2n  n  2)
b) lim( n 2  n  n 2  2)
c) lim( 3 n 3  n 2  n)
n

Giải: a) lim( n  2n  n  2)  lim[ n  2n  (n  2)]  lim
2

2

[ n 2  2n  (n  2)][ n 2  2n  (n  2)]

n 2  2n  (n  2)
4
4
n(6  )
6
n 2  2n  (n  2) 2
6n  4
6
n
n
 lim
 lim
 lim

3
= lim
2
2
2
2
1 1
n 2  2n  n  2
n 2  2n  n  2

n( 1   1  )
1 1
n
n
n
n
2


b) lim( n 2  n  n 2  2)  lim

( n 2  n  n 2  2)( n 2  n  n 2  2)
n2  n  n2  2

 lim

(n 2  n)  (n 2  2)
n2  n  n2  2

2
2
n(1

)
1

n2
1
1
n

n

lim

lim


= lim 2
1
2
1
2
1 1 2
n  n  n2  2
n( 1   1  2 )
1  1 2
n
n
n
n
( 3 n 3  n 2  n)( 3 (n 3  n 2 ) 2  n 3 n 3  n 2  n 2 )
3
2
3
lim(
n

n

n)


lim
c)
3
(n 3  n 2 ) 2  n 3 n 3  n 2  n 2
= lim 3
=

n3  n 2  n3
(n 3  n 2 ) 2  n 3 n 3  n 2  n 2
n2

lim

 lim

n2
3

(n 3  n 2 ) 2  n 3 n 3  n 2  n 2
1

 lim



1



1
3

1
1
1 2 3
1
1  1 1
3 (1 
n 2 3 (1  ) 2  n 2 3 1   n 2
)  1  1
n
n
n
n
Ghi nhớ: Nhân với lượng liên hợp của:
a) A �B nhân với lượng liên hợp là: A mB . Khi đó: ( A �B )( A mB ) = A – B2
b) A � B nhân với lượng liên hợp là: A m B . Khi đó: ( A � B )( A m B ) = A2 – B
c) b) A � B nhân với lượng liên hợp là: A m B . Khi đó: ( A � B )( A m B ) = A – B
d) 3 A �B nhân với lượng liên hợp là: 3 A 2 mB 3 A  B2
3

2

3

Khi đó: ( 3 A �B )( 3 A 2 mB 3 A  B2 ) = A �B3
e) A �3 B nhân với lượng liên hợp là: A 2 mA 3 B  3 B2
Khi đó: ( A �3 B )( A 2 mA 3 B  3 B2 ) = A3 �B
A �3 B nhân với lượng liên hợp là: 3 A 2 m3 AB  3 B2

Khi đó: ( 3 A �3 B )( 3 A 2 m3 AB  3 B2 ) = A �B
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
1
4n 2  1  2n  1
n2 1  n 1
lim
a)
b) lim
c) lim
n  2  n 1
3n  2
n 2  4n  1  n
f)

3

Giải: a) lim

1
n  2  n 1
 lim
n  2  n 1
( n  2  n  1)( n  2  n  1)

n  2  n 1
 lim( n  2  n  1)  �
n  2  n 1

= lim

n2 1  n 1
( n 2  1  n  1)( n 2  1  n  1)
n2 1  n 1
 lim
 lim
b) lim
3n  2
(3n  2)( n 2  1  n  1)
(3n  2)( n 2  1  n  1)
1
2
n
(1

)
2
n n
1 1
n
 lim


= lim
3.1 3
2
1
1 1
(3n  2)( n 2  1  n  1)
n(3  )n( 1  2 
 )

n
n
n n2
c) lim
= lim

4n 2  1  2n  1
n 2  4n  1  n

 lim

[ 4n 2  1  (2n  1)]( 4n 2  1  2n  1)( n 2  4n  1  n)
( n 2  4n  1  n)( n 2  4n  1  n)( 4n 2  1  2n  1)

[4n 2  1  (2n  1) 2 ]( n 2  4n  1  n)
(n 2  4n  1  n 2 )( 4n 2  1  2n  1)

 lim

4n( n 2  4n  1  n)
(4n  1)( 4n 2  1  2n  1)
3


4 1
4 1
 2  1)
4( 1   2  1)
4.2
1

n n
n n
 lim


= lim
4.4
2
1
1
1
1
1
1
n(4  )n( 4   2  )
(4  )( 4   2  )
n
n
n
n
n
n
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
a) lim(n 3  2n 2  3n  5)
b) lim(3n 4  2n 3  1)
c) lim(n 2  n n  1)
2 3 5
Giải: a) lim(n 3  2n 2  3n  5)  lim n 3 (1   2  3 )  �
n n
n

2 1
b) lim(3n 4  2n 3  1)  lim n 4 (3   4 )  �
n n
1 1
 )  �
c) lim( n 2  n n  1)  lim n 2 ( 1 
n n2
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
3n 2  2n  1
n 3  4n  2
3n 5  n 2  5n  7
a) lim
b) lim
c) lim
2n 3  5
2n 2  5
4n 3  6n  2
3 2
1
3 2
1
n3 (  2  3 )
 2 3
2
3n  2n  1
n n
n  lim n n
n 0 0
 lim
Giải: a) lim

3
5
5
2n  5
2
n 3 (2  3 )
2 3
n
n
4
2
4
2
3
n
(1


)
1


3
2
3
2
n  4n  2
n
n  lim n
n 3  �


lim
b) lim
2 5
2 5
2n 2  5
n3 (  3 )

n n
n n3
1
5 7
1
5 7
5
n
(3



)
3


 5
5
2
3
4
5

3
4
3n  n  5n  7
n
n
n
n
n
n  �
 lim
 lim
c) lim
4
6
2
4
6
2
4n 3  6n  2
5
n ( 2  4  5 )
 2 4 5
n
n
n
n
n
n
Bài 9: Tính tổng:
1 1 1

1
a) S =  2  3  ...  n  ...
b) S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + ... + (0,9)n – 1 + ...
2 2 2
2
1
1 1 1
1
1
1
Giải: a) Ta có: u1 = , q = . Vậy: S =  2  3  ...  n  ...  2  1
1
2 2 2
2
2
2
1
2
9
2
3
n 1
9 �9 � �9 �
�9 �
 � � � � ...  � �  ... = 1 + 10 = 1 + 9 = 10
b) Ta có: S = 1 +
9
10 �
10 � �
10 �

10 �
�
1
10
Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, biết:
a) 0,7777...
b) 5, 212121...
c) 0,32111...
7
7
7
7
7
 2  3  ... = 10 
Giải: a) 0,7777... =
7 9
10 10 10
1
10
21
7 172
21
21
21



 ... = 5  100  5 
b) 5, 212121... = 5 
2

3
1
33
33
100 100 100
1
100
4n 2 ( 1 

4


1
32 1000 289
32
1
1


 3  4  ... =
c) 0,32111... =
100 1  1 900
100 10 10
10
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
6n  1
3n 2  n  5 3
n 2  4n  5
3n 3  2n 2  n

a) lim
(2)
b) lim
( )
c) lim 3
(0) d) lim
(3)
3n  2
2
2n 2  1
3n  n 2  7
n3  4
2n  1
2
1
2n 2  n  3
n4 1

lim
lim
e) lim 3
(0)
f)
(
)
g)
(
)
n  4n 2  3
3

3n 2  2n  1
2n 4  n  1 2
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
n4
2n(3  n 2 )
1
(3  5n) 2 (n  2) 2
lim
 )
lim
a) lim
(1)
b)
(10)
c)
2
2 (
2
4
(n  1)(2  n)(n  1)
(1  n)(2n  5)
2
1  7n  10n
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
3 6
n n 2
n 4  2n  3  1
n  7n 3  5n  8
lim
a) lim

(
)
b)
(0)
c) lim
(1)
2
n 2  n 2n  1
2n 2  3
n  12
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
2  5n
2
3n  2.5n
4.3n  7 n 1

lim
lim
a) lim
(0)
b)
(
)
c)
(7)
3n.4n
3
7  3.5n
2.5n  7 n
1  2.3n  6n 1

2n  5n 1
4n 1  6n  2
lim
lim
d) lim
(-5)
e)
(0)
f)
( )
2n (3n 1  5) 3
1  5n
5n  8n
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
1
1
a) lim( n 2  n  n) (  )
b) lim( n 2  n  n) ( �)
c) lim( n 2  n  3  n) (  )
2
2
3
d) lim( 3 n  n 3  n  2) (2)
e) lim( 4n 2  3n  1  2n) (  )
4
2
f) lim n  5( 2n  3  2n  1) ( 2 )
g) lim( 3 n 3  2n 2  1  n) ( )
3
Bài 6: Tính các giới hạn sau:

1
n 2  4n  4n 2  1 1
2n 2  1  n 2  1
lim
a) lim
(1)
b)
(
)
c)
( )
lim
2

1
2
n 1  n2  2
n 1
9n 2  1  n
d) lim

4n 2  3  2n  1

(1)

e) lim

n( 3 4  n 3  n) 16
( )
2

4n  1  2n 3

n 2  2n  n
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
a) lim(n 3  2n 2  n  1) ( �)
b) lim(n 2  5n  2) ( �)
c) lim(n 4  3n 3  n  2) ( �)
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
2 �
3n 3  5n  1
3n 3  n 2  1
�2
n 
�
�
lim
lim
a) lim �
(
)
b)
(
)
c)
( �)
�
n2  4
2n  n 2
� n 1�
Bài 9: Tính tổng:

1 1 1
1
3
10
1
1
( 1) n
 2  ...  n 1  ... ĐS: 
a) S = 1   2  3  ...  n  ... ĐS:
b) S = -1 +
3 3 3
3
2
11
10 10
10
7
c) S = 2 + 0,3 + (0,3)2 + (0,3)3 + ... + (0,3)n + ... ĐS:
3
Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, biết:
721
1
101
a) 7, 282828... ĐS:
b) 0,3333.... ĐS:
c) 1,020202... ĐS:
99
3
99
5

II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
1. Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn tại 1 điểm:
(x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x)
a) xlim[f
�x 0
x �x 0
x �x 0

(x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x)
b) xlim[f
�x 0
x �x 0
x �x 0

(x).g(x)]  lim f (x). lim g(x)
c) xlim[f
�x 0
x �x 0
x �x 0

d) xlim
�x

f (x)
f (x) xlim
�x 0
g(x) �0


với xlim
�x 0
0 g(x)
lim g(x)
x �x 0

f (x) 
e) Nếu f(x) �0 : xlim
�x 0

lim f (x)

f (x)  lim f (x)
f) xlim
�x
x �x

x �x 0

0

0

f (x)  L � lim f (x)  lim f (x)  L
* Giới hạn một bên: xlim
�x 0
x �x 0
x �x 0
* Giới hạn hữu hạn tại vô cực: (cách giải tương tự như dãy số)
f (x)  �

[f (x)]  �
* Giới hạn vô cực: a) xlim
b) xlim
��
��
x k  � với k nguyên dương
* Đặc biệt: a) xlim
��
x k  � nếu k là số lẻ
lim x k  � nếu k là số chẵn
b) xlim
c)
��
x ��
lim
x

x
lim
c

c
0
Chú ý: a) x �x 0
b) x �x0
, c là hằng số
c  c , c là hằng số
c) xlim
���

d) lim

x ���

c
0
xk

* Quy tắc tìm giới hạn:
lim f (x)  L

x �x 0

lim g(x)

L>0
L<0

lim f (x)  L

lim[f (x).g(x)]

x �x 0

x �x 0

�
�
�
�

x �x 0

�
�
�
�

lim g(x)

x �x 0

��

L
L>0

0
L<0

Dấu của
g(x)
Tùy ý
+
–
+
–

f (x)
x �x 0 g(x)

0
�
�
�
�
lim

2. Bài tập mẫu:
2x 2  3
f (x)
Bài 1: Cho các hàm số: a) f(x) =
. Tìm lim
x �3
3 x
f (x)
b) f(x) = 5x3 – 2x + 7. Tìm xlim
�2

c) f(x) =

3x  1
f (x)
. Tìm xlim
� 3
x x 3
2

2x 2  3 2.32  3 5 3



x �3
x �3 3 x
3
3 3
3
3
f (x)  lim (5x  2x  7)  5( 2)  2( 2)  7  29
b) xlim
�2
x �2
Giải: a) lim f (x)  lim

3x  1
3(3)  1
8


2
x  x  3 (3)  (3)  3
15
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
2x 2  x  1
2x(x  3)
lim
a) lim
b)
1
2x  3
x �2
x �

x2 1
f (x)  lim
c) xlim
�3
x �3

2

2
 2 x  5)
c) lim(3x
x �4

2

2x(x  3)
4

Giải: a) lim
2
x �2
x 1
5

2x 2  x  1
b) lim1 2x  3  1
x �
2

0

)
0
x2  x  6
b) lim
x �2
x2  4

2
 2 x  5)  49
c) lim(3x
x �4

Bài 3: Tính các giới hạn sau: (Dạng
x2  x  2
a) lim
x �1
x 1

x3  x2  x  1
c) lim 2
x �1
x  3x  2
6

8  x3
d) lim 2
x �2 x  3x  2


x2  x  2

(x  1)(x  2)
 lim
 lim(x  2)  3
x �1
x �1
x �1
x 1
x 1
x2  x  6
(x  2)(x  3)
x 3 5
 lim
 lim

b) lim
2
x �2
x �2 (x  2)(x  2)
x �2 x  2
x 4
4
3
2
2
2
x  x  x 1
(x  1)(x  1)
x 1 0
 lim
 lim


0
c) lim
2
x �1
x �1 (x  1)(x  2)
x �1 x  2
x  3x  2
1
8  x3
(2  x)(4  2x  x 2 )
4  2x  x 2
 lim
 lim
 12
d) lim
x �2 x 2  3x  2
x �2
x �2
(x  1)(x  2)
x  1
0
Bài 4: Tính các giới hạn sau: (Dạng )
0
1 �1
1�
3 �
�1

a) lim1 2x  1 �x  1  x �

b) lim
�
�
x �1 1  x
x �
�
�
1  x3 �
�
2
Giải: a) lim

1 �1
1�
x  x 1
2x  1
1
Giải: a) lim1 2x  1 �x  1  x � lim1 (2x  1)x(x  1)  lim1 (2x  1)x(x  1)  lim1 x(x  1)  4
x �
x �
x �
�
� x �
2

2
2

2

2

3 �
1 x  x  3
x x 2
(x  1)(x  2)
�1

 lim
 lim
 lim
b) lim
�
�
3
3
3
x �1 1  x
x �1
x �1 (1  x)(1  x  x 2 )
1  x � x �1
1 x
1 x
�
x  2
 1
= lim
x �1 1  x  x 2
0
Bài 5: Tính các giới hạn sau: (Dạng )

0
2 4x
2x  2  3x  1
x  3  2x
a) lim
b) lim
c) lim
x �0
x �1
x �3
x
x 1
x 2  3x
x22
3x  2  4x 2  x  2
d) lim
e) lim
x �2
x �1
x 7 3
x 2  3x  2
2 4x
(2  4  x )(2  4  x )
44x
1
1
 lim
 lim
 lim


Giải: a) lim
x �0
x �0
x �0 x(2 
x
x(2  4  x )
4  x ) x �0 2  4  x 4
2

2x  2  3x  1
( 2x  2  3x  1)( 2x  2  3x  1)
 lim
x �1
x 1
(x  1)( 2x  2  3x  1)
2x  2  3x  1
x  1
1
1
 lim
 lim

= lim
x �1 (x  1)( 2x  2  3x  1)
x �1 (x  1)( 2x  2  3x  1)
x �1
4
2x  2  3x  1
b) lim
x �1

x  3  2x
(x  3  2x )(x  3  2x )
x 2  3  2x

lim

lim
x �3
x �3 (x 2  3x)(x  3  2x )
x 2  3x
(x 2  3x)(x  3  2x )
(x  1)(x  3)
x 1
2
 lim

= xlim
�3 x(x  3)(x  3  2x )
x �3 x(x  3  2x )
9
c) xlim
�3

3x  2  4x 2  x  2
(3x  2  4x 2  x  2)(3x  2  4x 2  x  2)
 lim
d) lim
x �1
x �1

x 2  3x  2
(x 2  3x  2)(3x  2  4x 2  x  2)
= lim
x �1

(3x  2) 2  (4x 2  x  2)
(x 2  3x  2)(3x  2  4x 2  x  2)

9x 2  12x  4  4x 2  x  2

 lim

(x 2  3x  2)(3x  2  4x 2  x  2)
6
5(x  1)(x  )
2
5x  11x  6
5
= lim
 lim
2
2
x �1
x �1
(x  3x  2)(3x  2  4x  x  2)
(x  1)(x  2)(3x  2  4x 2  x  2)
x �1

7

6
5(x  )
1
5
= lim

2
x �1
(x  2)(3x  2  4x  x  2) 2
3
0
1 x  3 1 x
8x  11  x  7
Bài 6: Tính các giới hạn sau: (Dạng ): a) lim
b) lim
x �0
x �2
0
x
2x 2  5x  2
3
1 x  3 1 x
( 1  x  1)  ( 3 1  x  1)
1  x 1
1  x 1
Giải: a) lim
 lim
 lim
 lim

x �0
x �0
x �0
x �0
x
x
x
x
1  x 1
( 1  x  1)( 1  x  1)
1  x 1
1
1
 lim
 lim
 lim

* lim
x �0
x �0
x �0 x( 1  x  1)
x �0 1  x  1
x
2
x( 1  x  1)
( 3 1  x  1)[ 3 (1  x) 2  3 1  x  1]
1  x 1
1 x 1
 lim
 lim

* lim
x �0
x �0
x �0
x
x[ 3 (1  x) 2  3 1  x  1]
x[ 3 (1  x) 2  3 1  x  1]
3
1
1
 . Vậy: lim 1  x  1  x  1  1  1
= lim
x �0 3
x �0
(1  x) 2  3 1  x  1 3
x
2 3 6
3

3
8x  11  x  7
( 3 8x  11  3)  ( x  7  3)
8x  11  3
x 7 3

lim

lim
 lim 2
2

2
2
x �2
x �2
x �2 2x  5x  2
x �2 2x  5x  2
2x  5x  2
2x  5x  2
3
( 3 8x  11  3)[ 3 (8x  11) 2  3 3 8x  11  9]
8x  11  3
 lim
* lim
x �2 2x 2  5x  2
x �2
(2x 2  5x  2)[ 3 (8x  11) 2  3 3 8x  11  9]

b) lim

=

lim
x �2

lim

3

8x  11  27
(2x 2  5x  2)[ 3 (8x  11) 2  3 3 8x  11  9]

4



 lim
x �2

8
81

8(x  2)
1
2(x  2)(x  )[ 3 (8x  11) 2  3 3 8x  11  9]
2

1
(x  )[ 3 (8x  11) 2  3 3 8x  11  9]
2
x 7 3
( x  7  3)( x  7  3)
x 79
 lim

lim
* lim
2
x �2 2x  5x  2
x �2 (2x 2  5x  2)( x  7  3)
x �2 (2x 2  5x  2)( x  7  3)
x2

1
1
lim
 lim

x �2
1
1
= x �2
2(x  2)(x  )( x  7  3)
2(x  )( x  7  3) 18
2
2
3
8x  11  x  7 8 1
7
Vậy: lim
  
2
x �2
2x  5x  2
81 18 162
�
Bài 7: Tính các giới hạn sau: (Dạng )
�
2
2x  x  1
x 3  2x  4
7  3x  x 2
a) lim

b) lim 3
c) lim 3
x ��
x ��3x  x 2  5
x ��3x  2x  1
5  x2
1 1
1 1
2
x
(2


)
2

 2
2
2
2x  x  1
x
x
x
x  2
 lim
 lim
Giải: a) xlim
��
x ��
x ��

5
5  x2
2 5
x ( 2  1)
1
x
x2
2
4
2
4
3
x
(1


)
1


3
2
3
2
x  2x  4
x
x  lim
x
x3  1


lim
b) xlim
��3x 3  x 2  5
x �� 3
x ��
1 5
1 5
x (3   3 )
3  3 3
x x
x x
=

x �2

8


7
3 1
7
3 1


)


3
2
3

2
7  3x  x
x
x
x
x
x
x  0 0
 lim
 lim
c) xlim
3
��3x  2x  1
x �� 3
x ��
2 1
2 1
x (3  2  3 )
3 2  3 3
x
x
x
x
�
Bài 8: Tính các giới hạn sau: (Dạng )
�
2x  3
x x 1
x 2  2x  15
a) lim

b) xlim
c) lim 2
2
�

�
x �� x  x  1
x ��
x 1  x
x 5
x3 (

2

d) lim

x ��

x 2  2x  3x
4x 2  1  x  2

2 15
2 15
 2
 1  2
x x  lim
x x  1  1
Giải: a) lim
x ��
x ��

5
5
1
x(1  )
1
x
x
3
3
x(1  )
1
2x  3
1
1
x
x
 lim
 lim


b) xlim
��
2
x 2  1  x x ��  x( 1  1  1) x �� ( 1  1  1) (1  1)
2
2
x
x
1 1
1 1

x2 (
 )

x x 1
x
x
x
x 0 0
c) lim 2
 lim
 lim
x �� x  x  1
x �� 2
x ��
1 1
1 1
x (1   2 )
1  2 1
x x
x x
2
2
x( 1   3)
1  3
2
x  2x  3x
1
x
x
 lim

 lim

1
d) xlim
��
4x 2  1  x  2 x �� x( 4  1  1  2 ) x �� 4  1  1  2 2  1
x
x
x
x
Bài 9: Tính các giới hạn sau: (Dạng � �)
x 2  2x  15
 lim
x ��
x5

(3x  x 2  x  1)
a) xlim
��

x 1 

(2x  3  4x 2  4x  3)
b) xlim
��

Giải: a) lim (3x  x  x  1)  lim
2

x ��

(2x  3  4x 2  4x  3)
c) xlim
��

(3x  x 2  x  1)(3x  x 2  x  1)
3x  x 2  x  1

x ��

1 1
1 1
 2)
8  2
x x
x x
 lim
 lim
 lim
 �
= xlim
2
2
��
x ��
x ��
x �� 3
3
1
1

1
1
1
1
3x  x  x  1
3x  x  x  1
2
x ( 
  )

 
x
x 2 x3 x4
x
x 2 x3 x 4
9x 2  x 2  x  1

x 2 (8 

8x 2  x  1

3
x

4
x

(2x  3  4x 2  4x  3)  lim [x(2   4  
b) xlim
��

x ��
c) lim (2x  3  4x  4x  3)  lim
2

x ��

3
)]  �
x2

(2x  3  4x 2  4x  3)(2x  3  4x 2  4x  3)
2x  3  4x 2  4x  3

x ��

12
)
x
lim

lim

lim
= x ��
2x  3  4x 2  4x  3 x �� 2x  3  4x 2  4x  3 x �� x(2  3  4  4  3 )
x
x x2
12
8 
8

x

 2
= xlim
��
22
3
4 3
2  4  2
x
x x
(2x  3) 2  4x 2  4x  3

Bài 10: Tính các giới hạn sau:

8x  12

9

x( 8 


(2x 3  5x 2  3x  1)
a) xlim
��

( x 4  5x 2  1)
b) xlim
��

Giải: a) lim (2x 3  5x 2  3x  1)  lim x 3 (2 
x ��

x ��

( 3x 2  2x  5)
c) xlim
��

5 3
1
 2  3 )  �
x x
x

5
1
 4 )  �
2
x ��
x ��
x
x
2 5
c) lim ( 3x 2  2x  5)  lim ( x 3   2 )  �
x ��
x ��
x x
Bài 11: Tính các giới hạn sau:
x  5x 5  4x 6

2x 3  5x  3
x 5  32
a) lim
b) lim 4
c) xlim
� �
x ��
x �� x  16
(1  x) 2
4x 2  4
5
3
5
3
x 3 (2  2  3 )
2 2  3
2x 3  5x  3
x
x  lim
x
x  �
 lim
Giải: a) xlim
2
��
x
�

�
x

�

�
4
4
4
4
4x  4
x3 (  3 )

x x
x x3
32
32
x 5 (1  5 )
1 5
x 5  32
x  lim
x  �
 lim
b) xlim
��16  x 4
x �� 5 16
x �� 16
1
1
x ( 5 )

5
x

x
x
x
1 5
1 5
x 6 ( 5   4)
 4
5
x  5x 5  4x 6
x
x
x
x
lim

lim

lim
 �
c) x ��
2
x
�

�
x
�

�
1

2
1
1
2
1
(1  x)
6
x ( 6  5  4)
 
x
x
x
x6 x5 x4
Bài 12: Tính các giới hạn sau:
5x  7
5  7x
2x  1
x 2  2x  3
lim1

lim
lim
a) lim
b)
c)
d)
�2 �
x �(  )  2x  1
x �� � 3x  2
x �1 5  5x

x �( 3)
x3
b) lim ( x 4  5x 2  1)  lim x 2 ( 1 

2

�3 �

5x  7
 �

Giải: a) lim
�2 �
x �� � 3x  2
�3 �

2
11
(3x  2)  0
2
lim
(5x

7)

5.

7



 0 , lim


�2 �
x

� 3x  2  0 )
(Vì �2 �
và
x
�
3
3
��
x �� �
3
�3 �
�3 �
b) lim
x �1

2x  1
 �
5  5x
 1)  2.1  1  3  0 , lim(5
 5x)  0 và x  1 � 5x  5 � 5  5x  0 )
(Vì xlim(2x
�1
x �1

x 2  2x  3
 �
c) lim 
x �( 3)
x 3
(x 2  2x  3)  9  6  3  18  0 , lim  (x  3)  0 và x  3 � x  3  0 )
(Vì x �lim

x �( 3)
( 3)
5  7x
d) lim1  2x  1  �
x �(  )
2

7 17
1
lim (2x  1)  0
(Vì lim1  (5  7x)  5  2  2  0 , x �(  1 )
và x   � 2x  1  0 )
x �(  )
2
2
2

3. Bài tập tự luyện
10


79

2x 2  3 x  5
2x 2  3 x  5
Bài 1: Cho hàm số f(x) =
. Tìm lim
. ĐS:
x �9
23
5x  1
5x  1
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
4x( x  7) 9
lim1 (7x  3  2x 3 ) 142
3x  x 2  2x  1
lim

a) lim
(-3)
b)
(
)
c) x �
(
)
x �2 3x 2  x  2
x �2
3
2
27
5  2x 2
Bài 3: Tính các giới hạn sau:

4  x2
x 2  5x  6 1
x2  4
x 3  x  10 13
lim
lim
a) lim
(4) b) lim
(
)
c)
(4)
d)
( )
x �2 x  2
x �3
x �2 x 2  3x  2
x �2 x 2  2x
2
x 2  3x 3
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
1 � 1
1 �3
1 � 4
� 2

lim

 )
a) lim

(
b)
�
�
�
�(  )
2
x �1 x  1
x �1 x  1 x  2
x 1� 2
x2� 3
�
�
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
x x2 8
1  2x  1 1
x 3 3 1
a) lim
( )
b) lim
( )
c) lim
( )
x �2 3  4x  1
x �0
x �6
2
9
6
2x

x6
2
x 8 3 1
5
5 x  5x
3x  2  4x  x  2
d) lim 2
( )
e) lim
(2)
f) lim
(
)
2
x �1 x  2x  3
x
�
0
x �1
24
x
5
x  3x  2
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
3
8x  11  x  7 7
x  11  3 43  8x 7
a) lim
( )
b) lim

( )
x �2
x �2
54
30
x 2  3x  2
2x 2  3x  2
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
(x  1) 2 (7x 2  2) 7
4x 2  x  5
5x 4  3x 2  2x  7
lim
lim
a) lim
(-4)
b)
(0)
c)
( )
x ��
x �� 2  3x  x 2
x ��
(2x  3) 4
16
3x 5  4x
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
2
x 2  2x  3  1  4x
x 2  2x  3x
1 2 x  x

a) lim
(5)
b) lim
( )
c) lim
(-1)
x ��
x ��
x ��
3
x2
4x 2  1  x  2
4x 2  1  2  x
Bài 9: Tính các giới hạn sau:
5
( x 2  2x  1  x 2  7x  3) ( )
lim (3x  x 2  x  1) ( �)
a) xlim
b)
��
x ��
2
Bài 10: Tính các giới hạn sau:
4
2
3
2
2
a) lim (x  x  x  1) ( �)
b) lim (2x  3x  5) ( �)

c) lim x  2x  5 ( �)
x ��

x ��

Bài 11: Tính các giới hạn sau:
3x 3  4x  16
a) lim
( �)
x ��
4  x2
Bài 12: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x� 1

2x  7
( �)
x 1

b) lim
x� 4

x � �

4  x2
b) lim
( �)
x �� x  2
2x  5
( �)

x4

(2x  1) 2 (3x  5)
c) lim
( �)
x ��
5x 2  3

3  8x
lim

c) � 1 � 4x  2 ( �)
x ��
 �
�2�

2x 2  x  7
d) lim 
( �)
x �( 3)
2x  6

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC:
1. Lý thuyết: * Hàm số liên tục tại 1 điểm:
Cho y = f(x) xác định trên khoảng K và x0�K.
f (x)  f (x 0 ) thì f(x) liên tục tại x0.
a) Nếu xlim
�x 0
b) Nếu lim f (x) �f (x 0 ) thì f(x) không liên tục tại x0 hay f(x) gián đoạn tại điểm x0
x �x 0

* Định lý: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c sao cho
f(c) = 0
* Phương pháp: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
11


f1(x), ne�
u x �x0
�
a) Loại 1: Hàm số có dạng: f(x)  �
f2(x), ne�
u x  x0
�

 limf1(x)  L
Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0)
Bước 2: Tính xlimf(x)
�x0
x�x0
Bước 3: + Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0
+ Nếu f2(x0) �L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0
f1(x), ne�
u x �x0
�
b) Loại 2: Hàm số có dạng: f(x)  �
f2(x), ne�
u x  x0
�
 limf

(x)  L 1 + Tính limf(x)
 limf
(x)  L 2 + Tính f(x0) = f1(x0)

 1

 2
Bước 1: + Tính limf(x)
x�x0

x�x0

x�x0

x�x0

Bước 2: + Nếu f1(x0) = L1 thì hàm số liên tục bên phải tại x0
+ Nếu f1(x0) = L2 thì hàm số liên tục bên trái tại x0
+ Nếu L1 = L2 = f1(x0) thì hàm số liên tục tại x0
* Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0
* Phương pháp: Chứng minh PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b)
Bước 1: Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên [a; b]
Bước 2: Tính f(a); f(b) và chứng minh f(a).f(b) < 0
Bước 3: Kết luận PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b)
Chú ý: Nếu bài toán không cho khoảng (a; b) thì ta phải dự đoán khoảng này
2. Bài tập mẫu
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
� x2
�x3  8
ne�

u x �4
�
ne�
u x �2
�
� x 5 3
a) f(x)  �x  2
tại x0 = 2
b) f(x)  �
tại x0 = 4
3
�
�
12
ne�
ux 2
ne�
ux 4
�
�
�2
Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(2) = 12
x3  8
(x  2)(x2  2x  4)
 lim
 lim(x2  2x  4)  12
+ limf(x)  lim
x�2
x�2 x  2
x�2

x�2
x 2
Suy ra: f(2) = limf(x)
= 12. Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 2
x�2
3
b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(4) =
2
x2
( x  2)( x  2)( x  5  3)
(x  4)( x  5  3)
 lim
 lim
 lim
+ limf(x)
x�4
x�4
x  5  3 x�4 ( x  5  3)( x  5  3)( x  2) x�4 (x  5 9)( x  2)
3
x 5 3 6 3
  . Suy ra: f(4) = limf(x)
= lim
= . Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 4
x
�
4
x�4
2
4 2
x2

Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
� 2x  1  1
�x2  7x  8
ne�
u x �8
ne�
u x �0
�
�
a) f(x)  � x2  x
tại x0 = 0
b) f(x)  � x  8
tại x0 = -8
�
�
2
ne�
ux 0
9
ne�
u x  8
�
�
Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(0) = 2
2x  1  1
( 2x  1  1)( 2x  1  1)
2x  1  1
f (x)  lim
 lim
 lim

+ lim
2
2
x �0
x �0
x �0
x �0 x(x  1)( 2x  1  1)
x x
(x  x)( 2x  1  1)
2
 lim
 1 .
x �0 (x  1)( 2x  1  1)
f (x) . Vậy: Hàm số đã cho không liên tục tại x0 = 0
Suy ra: f(0) �lim
x �0
b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(-8) = -9
12


x 2  7x  8
(x  1)(x  8)
 lim
 lim (x  1)  9
x �8
x �8
x �8
x �8
x 8
x 8

f (x) = -9. Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = -8
Suy ra: f(-8) = xlim
�8
Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
� x 5
1 x
khi x �3
�
�
�2
a) f (x)  �x  2x  3
tại x0 = 3
b) f (x)  � 2x  1  3
khi x  3
�
�
(x  5) 2  3
� 6  2x
�
Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(3) = -2
x 2  2x  3
(x  1)(x  3)
x 1
 lim
 lim
 2
+ lim f (x)  lim
x �3
x �3
x �3

x �3
6  2x
2(x  3)
2
+ lim f (x)  lim (1  x)  2 . Suy ra: lim f (x)  lim f (x)  f (3)  2 .
+ lim f (x)  lim

x �3

x �3

x �3

khi x  5

tại x0 = 5

khi x �5

x �3

Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 3
b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(5) = 3
x 5
(x  5)( 2x  1  3)
 lim
+ lim f (x)  lim
x �5
x �5
2x  1  3 x�5 ( 2x  1  3)( 2x  1  3)

(x  5)( 2x  1  3)
2x  1  3
 lim
3
x �5
x �5
2x  1  9
2
f (x)  lim[(x
 5) 2  3]  3 . Suy ra: lim f(x) = lim f(x) = f(5) = 3
+ xlim


x �5
x �5
�5
x �5
 lim

Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 5
�2x 2  2x
�
Bài 4: a) Cho hàm số f (x)  � x  1
�
5
�

khi x �1

. Xét tính liên tục của hàm số trên R.

khi x  1

�x 2  5x  4
khi x  1
�
b) Cho hàm số f (x)  � x  1
. Xét tính liên tục của hàm số trên R.
�
5  8x
khi x �1
�
Giải: a) TXĐ: D = R
2x 2  2x
�
* Với x 1: f(x) =
là hàm số hữu tỷ nên liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định của
x 1
nó. Vậy nó liên tục trên các khoảng (�;1) và (1;  �)
* Với x = 1: + f(1) = 5
2x 2  2x
2x(x  1)
 lim
 lim 2x  2 �f (1) . Vậy: hàm số đã cho không liên tục tại x0 = 1
+ lim
x �1
x
�
1
x �1

x 1
x 1
Vậy: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (�;1) và (1;  �) nhưng gián đoạn tại x0 = 1
x 2  5x  4
b) * Trên (1; �), ta có: f(x) =
là hàm số hữu tỷ nên liên tục trên từng khoảng thuộc
x 1
tập xác định của nó. Vậy nó liên tục trên các khoảng (1;  �)
* Trên ( �;1), ta có: f(x) = 5 – 8x là hàm số đa thức nên nó liên tục trên khoảng ( �;1)
* Xét tại x0 = 1: + f(1) = 5 – 8.1 = -3
x2  5x  4
(x  1)(x  4)
 lim
 lim(x
 4)  3
+ lim
x�1
x�1
x�1
x1
x1
 8x)  5 8.1 3. Suy ra: limf(x)
 limf(x)
 f(1) .Vậy: Hàm số đã cho liên tục trên R
+ xlim(5
�1
x�1
x�1
Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục:

13


� 1 x  1
x 2
ne�
u x �1
�
ne�
u x �0
�
a) f(x)  � x
tại x0 = 0
b) f(x)  � 2
tại x0 = 1
2
x

(a

1)x

1
ne�
u
x

1
�
�

2a  x
ne�
ux 0
�
Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(0) = 2a
1 x  1
( 1 x  1)( 1 x  1)
1 x  1
1
1
 lim
 lim
 lim
 lim

+ limf(x)
x�0
x�0
x�0
x�0 x( 1 x  1)
x�0 1 x  1
x
2
x( 1 x  1)
1
1
� 2a =  � a = 
Hàm số liên tục tại x0 = 0 � f(0) = limf(x)
x�0
2

4
b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(1) = 12 + (a2 – 1).1 – 1 = a2 – 1
 lim(x  2)  3. Hàm số liên tục tại x0 = 1 � f(1) = limf(x) � a2 – 1 = 3 � a = �2
+ limf(x)
x�1
x�1
x�1
Bài 6: Tìm m để hàm số liên tục:
�x3  1
� x  3  3x  1
ne�
u x  1
ne�
ux1
�
�
a) f(x)  �x  1
tại x0 = -1
b) f(x)  �
tại x0 = 1
x1
2
2
�
�
mx  x  m ne�
u x �1
3mx  2
ne�
u x �1

�
�
Giải: a) TXĐ: D = R. Ta có: + f(-1) = m + 1 + m2
x3  1
(x  1)(x2  x  1)
 lim
 lim (x2  x  1)  3
+ lim f(x)  lim
x�( 1)
x�(1) x  1
x�(1)
x�(1)
x1
2
2
2
+ lim f(x)  lim (mx  x  m )  m  1 m
x�( 1)

x�(1)

f(x)  lim f(x) � m2 + m + 1 = 3 � m = 1; m = -2
Hàm số liên tục tại x0 = -1 � f(-1) = x�lim
( 1)
x�(1)
b) TXĐ: D = R. Ta có: + f(1) = 3m + 2
x  3  3x  1
( x  3  3x  1)( x  3  3x  1)

lim


lim
+ limf(x)
x�1
x�1
x�1
x1
(x  1)( x  3  3x  1)
x  3 3x  1
2(x  1)
2
1
 lim
 lim

= xlim

�1 (x  1)( x  3  3x  1)
x�1 (x  1)( x  3  3x  1)
x�1
2
x  3  3x  1
 lim(3mx
 2)  3m 2
+ limf(x)


x�1

x�1

1
5
 limf(x)
� 3m + 2 =  � m = 
Hàm số liên tục tại x0 = 1 � f(1) = xlimf(x)
�1
x�1
2
6
4
3
2
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: a) x + x – 3x + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (-1; 1)
b) x4 – 6x2 + 1 = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 3 )
c) x3 – 7x – 5 = 0 có ít nhất hai nghiệm
d) 2x5 – 7x2 + 3 = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-4; 3)
Giải: a) Đặt: f(x) = x4 + x3 – 3x2 + x + 1. Ta có: f(x) liên tục trên [-1; 1]
f(1)  3
�
*�
Suy ra: f(-1).f(1) = -3 < 0. Vậy: PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (-1 ; 1)
f(1)  1
�
b) Đặt: f(x) = x4 – 6x2 + 1. Ta có: f(x) liên tục trên [-1; 0] và [0; 3 ]
f(1)  4
�
*�
Suy ra: f(-1).f(0) = -4 < 0 � PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (-1; 0)
f(0)  1

�
f(0)  1
�
*�
Suy ra: f(0).f( 3 ) = -8 < 0 � PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 3 )
f( 3)  8
�
Vậy: PT f(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 3 )
c) Đặt: f(x) = x3 – 7x – 5. Ta có: f(x) liên tục [-1; 0] và [0; 3]
f(1)  1
�
*�
Suy ra: f(-1).f(0) = -5 < 0 � PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (-1; 0)
f(0)  5
�
14


f(0)  5
�
*�
Suy ra: f(0).f(1) = -5 < 0 � PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 3)
f(3)  1
�
Vậy: PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm
d) Đặt: f(x) = 2x5 – 7x2 + 3. Ta có: f(x) liên tục [-4; 0], [0; 1] và [1; 3]
f(4)  2157
�
*�
Suy ra: f(-4).f(0) = -6471 < 0 � PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (-4; 0)

f(0)  3
�
f(0)  3
�
*�
Suy ra: f(0).f(1) = -6 < 0 � PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 1)
f(1)  2
�
f(1)  2
�
*�
Suy ra: f(-1).f(0) = -852 < 0 � PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (1; 3)
f(3)

426
�
Vậy: PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-4; 3)
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
�
�x3  27
1 2x  3
ne�
u x �3
ne�
u x �2
�
�
a) f(x)  �3 x
tại x0 = 3

b) f(x)  � 2  x
tại x0 = 2
�
�
27
ne�
ux3
1
ne�
ux 2
�
�
� x 8 3
ne�
u x �1
�
� 1 x
c) f(x)  �
tại x0 = 1
1
�

ne�
ux1
�6
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
�x2  5x  4
ne�
u x  1
�

a) f(x)  � x3  1
tại x0 = 1
�
1
ne�
u x �1
�

�x2  2
�
d) f(x)  �x  2
�
2 2
�

ne�
ux� 2

tại x0 =

2

ne�
ux 2

�x3  3x2  2x
ne�
u x  2
�
b) f(x)  � x2  5x  6

tại x0 = -2
�
x 4
ne�
u x �2
�

� x 3 2
ne�
ux1
�
� x1
f(x)

d)
tại x0 = 1
�
�1 x
ne�
u x �1
�4
Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R:
�x3  8
�x2  x  2
ne�
u x �2
ne�
u x �2
�
�

a) f(x)  � x  2
b) f(x)  �4x  8
�
�
5 x
ne�
ux 2
3
ne�
u x  2
�
�
Bài 4: Định a để hàm số sau liên tục:
� 8 2x  2
�x3  x2  2x  2
ne�
u x �2
ne�
u x �1
�
�
a) f(x)  �
tại x0 = 1 b) f(x)  � x  2
tại x0 = -2
x1
�
�
3x  a
ne�
u x  1

3x  a2  a ne�
u x  2
�
�
Bài 5: Định m để hàm số sau liên tục:
�x2  3x  2
�
m2x2
ne�
u x �2
ne�
ux 2
� 2
a) f(x)  � x  2x
tại x0 = 2
b) f(x)  �
tại x0 = 2
(1 m)x ne�
ux 2
�
�mx  m 1 ne�
u x �2
�
Bài 6: Chứng minh rằng phương trình: a) x4 – 3x2 + 5x – 6 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2)
b) x5 – 5x – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm c) x3 + 3x2 – 4x – 7 = 0 có nghiệm nằm trong khoảng (-4; 0)
d) x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)
e) x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc khoảng (-2; 2)
� x 1
ne�
ux1

�
c) f(x)  � 2  x  1
tại x0 = 1
�
2x
ne�
u x �1
�

15


16