HUONG DAN ON TAP CHUONG v DAI SO 11 NAM 12 13

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG V GIẢI TÍCH 11 (2012 – 2013)
I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM:
1. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm: * Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0∈ (a; b)
f (x) − f (x 0 )
∆y
f ′(x) = lim
= lim
( ∆x = x − x 0 ; ∆y = f (x) − f (x 0 ) )
x →x
∆x →0 ∆x
x − x0
* Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó
2. Ý nghĩa của đạo hàm:
* f ′(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; f(x0))
* Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0) với y0 = f(x0) là:
y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0
3. Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
PP: * Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0. Ta có: ∆ y = f(x0 + ∆ x) – f(x0)
∆y
∆y
* Bước 2: Lập tỉ số:
* Bước 3: Tìm ∆lim
x →0 ∆x
∆x
4. Phương trình tiếp tuyến (PTTT):
a) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0)
* Bước 1: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 (1)
* Bước 2: f ′(x) ⇒ f ′(x 0 )
* Bước 3: PTTT là: (thay f ′(x 0 ) , x0, y0 vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b
b) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng a
* Bước 1: Ta có: x0 = a ⇒ y0 = f(x0) = b: M(a; b)

* Bước 2: Trình bày như a)
c) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ bằng b
* Bước 1: Ta có: y0 = b ⇒ x0 = b (cho f(x) = b): M(a; b)
* Bước 2: Trình bày như a)
d) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc k
* Bước 1: Ta có: f ′(x 0 ) = k
* Bước 2: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 (1)
* Bước 3: f ′(x) ⇒ f ′(x 0 ) = k (giải PT này suy ra nghiệm x0) ⇒ y0 = f(x0)
* Bước 4: PTTT là: (thay f ′(x 0 ) , x0, y0 vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b
e) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng y = ax + b
* Bước 1: Ta có: f ′(x 0 ) = k = a
* Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2)
f) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với đường thẳng y = ax + b
* Bước 1: Ta có: f ′(x 0 ) = k = -1: a
* Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2)
II. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM :
1. Đạo hàm của tổng , hiệu, tích, thương:
a) (u + v)′ = u ′ + v′
b) (u − v)′ = u′ − v′
c) (u + v − w)′ = u ′ + v′ − w ′
0

u ′ u′v − uv′
d)  ÷ =
v2
v
2. Đạo hàm cơ bản và hàm hợp:
Hàm cơ bản
′
1) (x) = 1

2) (x n )′ = nx n −1
1
′
3) x =
2 x
4) (kx)′ = k
k ′
k
5)  ÷ = − 2
x
x
6) (sin x)′ = cos x
c) (u.v)′ = u′v + uv′

( )

e) (u.v.w)′ = u′vw + uv′w + uvw ′
Hàm hợp
1) Không có
2) (u n )′ = nu n −1.u′
u′
′
3) u =
2 u
4) (ku)′ = k.u′
k ′
k
5)  ÷ = − 2 .u′
u
u

6) (sin u)′ = u′ cos u

( )

1


7) (cos x)′ = − sin x
7) (cos u)′ = −u′ sin u
1
u′
′
(tan
u)
=
8) (tan x)′ =
8)
cos 2 x
cos 2 u
1
u′
9) (cot x)′ = − 2
9) (cot u)′ = − 2
sin x
sin u
2
ad − bc
adx 2 + 2aex + be − cd
ax + b
ax + bx + c

′
⇒ y′ =
⇒
y
=
y
=
Ghi nhớ: 1) y =
2)
(cx + d) 2
(dx + e) 2
cx + d
dx + e
ax 2 + bx + c
(ab1 − a1b)x 2 + 2(ac1 − a1c)x + (bc1 − b1c)
′
y
=
⇒
y
=
3)
a1x 2 + b1x + c1
(a1x 2 + b1x + c1 ) 2
sin u(x)
sin x
tan x
u(x) = 0
lim
= 1 với xlim

=1
lim
=1
4) lim
5)
6)
→x
x
→
x
x →0
x →0
u(x)
x
x
III. VI PHÂN
1) Vi phân: df(x) = f ′(x)dx hoặc dy = y′dx
2) Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b)
* Đạo hàm cấp hai của y = f(x). Ký hiệu: y′′ = f ′′(x) = [f ′(x)]′
* Đạo hàm cấp ba của y = f(x). Ký hiệu: y′′′ = f ′′′(x) = [f ′′(x)]′ hoặc y (3) = f (3) (x) = [f ′′(x)]′
* Đạo hàm cấp bốn của y = f(x). Ký hiệu: y (4) = f (4) (x) = [f (3) (x)]′ .......
0

0

* Đạo hàm cấp n – 1 của y = f(x). Ký hiệu: y (n −1) = f (n −1) (x)
* Đạo hàm cấp n của y = f(x). Ký hiệu: y (n ) = f (n ) (x) = [f (n −1) (x)]′

BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Tình đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:

2
3x + 1
a) y =
tại điểm x0 = 2
b) y = 2x2 – x + 3 tại x0 = -3
c) y =
tại x0 = 1
x +1
4 − 5x
Giải: a) * Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2
2
2 6 − 2∆x − 6
−2∆x
− =
=
Ta có: ∆ y = f(2 + ∆ x) – f(2) =
∆x + 3 3
3(∆x + 3)
3(∆x + 3)
∆y
1
−2∆x
1
−2
∆y
−2
2
2
= ∆y.
=

.
=
= lim
= − . Vậy: y′(2) = −
*
* ∆lim
x →0 ∆x
∆x →0 3( ∆x + 3)
∆x
∆x 3(∆x + 3) ∆x 3(∆x + 3)
9
9
b) * Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = –3
Ta có: ∆ y = f(–3 + ∆ x) – f(–3) = [2(–3 + ∆ x)2 – (–3 + ∆ x) + 3] – [2.( –3)2 – (–3) + 3]
= ( ∆ x)2 – 13 ∆ x = ∆ x( ∆ x – 13)
∆y
1
1
∆y
= ∆y.
= ∆x(∆x − 13).
= ∆x − 13 * lim
= lim( ∆x − 13) = −13 . Vậy: y′(−3) = −13
*
∆x →0 ∆x
∆x → 0
∆x
∆x
∆x
c) * Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 1

3(1 + ∆x) + 1
4 + 3∆x
−17 ∆x
+4=
+4=
Ta có: ∆ y = f(1 + ∆ x) – f(1) =
4 − 5(1 + ∆x)
−1 − 5∆x
−1 − 5∆x
∆y
1
−17 ∆x 1
17
∆y
17
= ∆y.
=
.
=
= lim
= 17 . Vậy: y′(1) = 17
*
* ∆lim
x →0 ∆x
∆x →0 1 + 5∆x
∆x
∆x −1 − 5∆x ∆x 1 + 5∆x
Bài 2: Viết PTTT của các hàm số sau:
2x + 1
a) y = 2x2 – x + 3 tại điểm M(3; -2)

b) y =
tại điểm M(1; -3)
3 − 4x
Giải: a) PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0
y′ = 4x – 1 ⇒ y′(3) = 11
Vậy: PTTT là: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 = 11(x – 3) – 2 = 11x – 35
b) PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0
2


10
⇒ y′(1) = 10 . Vậy: PTTT là: y = 10(x – 1) + 3 = 10x – 7
(3 − 4x) 2
Bài 3: Viết PTTT của các hàm số sau:
1 − 2x
a) y = x3 – 4x2 + x – 1 tại điểm có hoành độ bằng -2
b) y =
tại điểm có tung độ bằng -1
3x + 2
Giải: a) Ta có: x0 = -2 ⇒ y0 = (-2)3 – 4(-2)2 + (-2) – 1 = -27
PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0
y′ = 3x2 – 8x + 1 ⇒ y′ (-2) = 29. Vậy: PTTT là: y = 29(x + 2) – 27 = 29x + 31
1 − 2x 0
= −1 ⇔ 1 – 2x0 = –3x0 – 2 ⇔ x0 = –3
b) Ta có:
3x 0 + 2
PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0
−7
y′ =
⇒ y′(−1) = −7 . Vậy: PTTT là: y = –7(x + 3) – 1 = –7x – 22

(3x + 2) 2
Bài 4: Viết PTTT của các hàm số sau:
2x + 1
a) y =
có hệ số góc bằng -5
b) y = x3 – 2x2 + 5x – 2 song song với đt d: y = 4x – 1
x−2
1
1
2
c) y = x3 – 3x + 5 vuông góc với đường thẳng d: y = − x +
3
6
5
Giải: a) Ta có: k = f ′(x 0 ) = −5 . PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0
x0 = 1
 y 0 = −3
−5
−5
2
2
(x
=
−
5
0 – 2) = 1 ⇔ x − 4x + 3 = 0 ⇔
y′ =
⇒
⇔
⇒

x = 3
y = 7
0
0
(x 0 − 2) 2
(x − 2) 2
 0
 0
y′ =

Vậy: PTTT là: * y = –5(x – 1) – 3 = – 5x + 2
* y = – 5(x – 3) + 7 = – 5x + 22
b) Ta có: k = f ′(x 0 ) = 4 . PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0
x0 = 1
 y0 = 2
2
2
2

⇒
y′ = 3x – 4x + 5 ⇒ 3x 0 − 4x 0 + 5 = 4 ⇔ 3x 0 − 4x 0 + 1 = 0 ⇔
1
x0 =
 y 0 = − 14
3
27


1
14

50
Vậy: PTTT là: * y = 4(x – 1) + 2 = 4x – 2
* y = 4(x – ) –
= 4x –
3
27
27
 1
c) Ta có: k = f ′(x 0 ) = −1:  − ÷ = 6 . PTTT của đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + y 0
 6
x0 = 3
 y0 = 5
⇒
y′ = x2 – 3 ⇒ x 02 − 3 = 6 ⇔ x 02 − 9 = 0 ⇔ 
 x 0 = −3  y 0 = 5
Vậy: PTTT là: * y = 6(x – 3) + 5 = 6x – 13
* y = 6(x + 3) + 5 = 6x + 23
Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau:
3 2
2
1
3
2
a) y = 2x4 – 5x3 + x2 – 15
b) y = x 3 − x 2 + x −
c) y = − x + x 3 − 0,6x 5
4 5
3
3
5

7
2
3
2
Giải: a) y′ = 8x3 – 15x2 + 2x
b) y′ = 2x2 – x +
c) y′ = − + 3x2 – 3x4
3
5
5
Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số sau:
x
1
5
a) y = 3cos x − sin x + x + 5
b) y =
− 5 tan x + cot x −
3
2
4
1
1
5
1
Giải: a) y′ = –3sinx – cosx +
b) y′ =
–
–
2
2 x

6 x cos x 2sin 2 x
Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
3


x cos x
+
c) y = 2x sin x
d) y = (2x + 1) tan x
x
x
x
1
3
x= −
x
Giải: a) y′ = – [x′ x + x( x )′] = – x –
=− x−
2
2
2 x
1
1
( x )′.x − x.(x)′ (cos x)′. x − cos x.( x )′
.x − x − sin x. x − cos x.
+
b) y′ =
= 2 x
2 x
+

x2
( x )2
2
x
x
− x x sin x + cos x
−
=
2x 2
2x x
′
′
c) y = (2x) .sin x + 2x.(sin x)′ = 2sinx + 2xcosx
2x + 1
d) y′ = (2x + 1)′ tan x + (2x + 1)(tan x)′ = 2tanx +
cos 2 x
Bài 8: Tính đạo hàm các hàm số sau:
3

a) y =  + 3x ÷ x − 1
b) y = (4x3 – 2x2 – 5x)(x2 – 7x)
c) y = (x – 1)(2 + x2)(3 – 2x)
x


′
 3

3
 1

3
3
Giải: a) y′ =  + 3x ÷ x − 1 +  + 3x ÷ x − 1 ′ =  − 2 + 3 ÷ x − 1 +  + 3x ÷.
 x

x
 2 x
x

x

b) y′ = (4x3 – 2x2 – 5x)’(x2 – 7x) + (4x3 – 2x2 – 5x)’(x2 – 7x)’
= (12x2 – 4x – 5)(x2 – 7x) + (4x3 – 2x2 – 5x)(2x – 7)
= 12x4 – 84x3 – 4x3 + 28x2 – 5x2 + 35x + 8x4 – 28x3 – 4x3 + 14x2 – 10x2 + 35x
= 20x4 – 120x3 + 27x2 + 70x
Cách khác: y = 4x5 – 28x4 – 2x4 + 14x3 – 5x3 + 35x2 = 4x5 – 30x4 + 9x3 + 35x2
⇒ y′ = 20x4 – 120x3 + 27x2 + 70x
c) y′ = (x – 1)’(2 + x2)(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)’(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)(3 – 2x)’
= (2 + x2)(3 – 2x) + (x – 1)2x(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)(– 2)
= 6 – 4x + 3x2 – 2x3 + 6x2 – 4x3 – 6x + 4x2 – 4x – 2x3 + 4 + 2x2 = –8x3 + 15x2 – 14x + 10
Cách khác: y = (2x + x3 – 2 – x2)(3 – 2x) = 6x – 4x2 + 3x3 – 2x4 – 6 + 4x – 3x2 + 2x3
= – 2x4 + 5x3 – 7x2 + 10x ⇒ y′ = – 8x3 + 15x – 14x + 10
Bài 9: Tính đạo hàm các hàm số sau:
sin x + cos x
3x − 2
− x 2 + 2x + 3
a) y =
b) y =
c) y =
sin x − cos x

1 − 4x
5x − 1
(sin x + cos x)′(sin x − cos x) − (sin x + cos x)(sin x − cos x)′
Giải: a) y′ =
(sin x − cos x) 2
(cos x − sin x)(sin x − cos x) − (sin x + cos x)(cos x + sin x)
=
(sin x − cos x) 2
sin x cos x − cos 2 x − sin 2 x + sin x cos x − sin x cos x − sin 2 x − cos 2 x − sin x cos x
=
(sin x − cos x) 2
−2cos 2 x − 2sin 2 x −2(cos 2 x + sin 2 x)
−2
=
=
=
2
2
(sin x − cos x)
(sin x − cos x)
(sin x − cos x) 2
(3x − 2)′(1 − 4x) − (3x − 2)(1 − 4x)′ 3(1 − 4x) − (3x − 2)( −4)
−5
b) y′ =
=
=
2
2
(1 − 4x)
(1 − 4x)

(1 − 4x) 2
3.1 − (−2).(−4)
−5
=
Cách khác: y′ =
(chỉ sử dụng để viết PT tiếp tuyến)
2
(1 − 4x)
(1 − 4x) 2
(− x 2 + 2x + 3)′(5x − 1) − ( − x 2 + 2x + 3)(5x − 1)′ (−2x + 2)(5x − 1) − (− x 2 + 2x + 3).5
′
c) y =
=
(5x − 1) 2
(5x − 1) 2
b) y =

a) y = 2 − x x

(

)

(

)

(

)

4

(

)


−10x 2 + 2x + 10x − 2 + 5x 2 − 10x − 15 −5x 2 + 2x − 17
=
=
(5x − 1) 2
(5x − 1) 2
Bài 10: Tính đạo hàm các hàm số sau:
c) y =

b) y = 3 − 5x − x 2

a) y = (2x3 – 3x + 5)5

2
5 − 3x

c) y =

4
(2x − 3)3

Giải: Vận dụng công thức: y′ = y 'u .u 'x
a) y′ = 5(2x 3 − 3x + 5) 4 (2x 3 − 3x + 5)′ = 5(2x 3 − 3x + 5) 4 (6x 2 − 3)

u 'x = 6x 2 − 3
Cách khác: Đặt: u = 2x – 3x + 5 ⇒ y = u . Ta có:  '
4
 y u = 5u
Vậy: y′ = 5u 4 (6x 2 − 3) = 5(2x 3 − 3x + 5) 4 (6x 2 − 3)
(3 − 5x − x 2 )′
−5 − 2x
′
=
b) y =
2
2 3 − 5x − x
2 3 − 5x − x 2
u 'x = −5 − 2x

Cách khác: Đặt: u = 3 – 5x – x2 ⇒ y = u . Ta có:  '
.
1
 yu =
2 u

1
−5 − 2x
=
Vậy: y′ = (−5 − 2x).
2 u 2 3 − 5x − x 2
2(5 − 3x)′
6
=
c) y′ = −

2
(5 − 3x)
(5 − 3x) 2
u 'x = −3
6

2
 2
Cách khác: Đặt: u = 5 – 3x ⇒ y = . Ta có:  '
2 . Vậy: y′ = −3.  − 2 ÷=
2
u
 u  (5 − 3x)
 yu = − 2
u

3
2
4[(2x − 3) ]′
12(2x − 3) (2x − 3)′
24(2x − 3) 2
24
=−
=−
=−
d) y′ = −
3 2
6
6
[(2x − 3) ]

(2x − 3)
(2x − 3)
(2x − 3) 4
u 'x = 6(2x − 3) 2

4
Cách khác: Đặt: u = (2x – 3)3 ⇒ y = . Ta có:  '
4
u
 yu = − 2
u

2
4
24(2x − 3)
24(2x − 3) 2
24
2
=
−
=−
Vậy: y′ = 6(2x − 3)  − 2 ÷ = −
3 2
6
[(2x − 3) ]
(2x − 3)
(2x − 3) 4
 u 
Bài 11: Tính đạo hàm các hàm số sau:
x

a) y = cos2x
b) y = tan3x
c) y = sin x 2 + 1
d) y = cot 2
1 − 3x
’
Giải: a) y′ = 2cosx(cosx) = 2cosx(–sinx) = –2sinxcosx = –sin2x
1
3sin 2 x 1
3sin 2 x
2
’
2
′
.
=
b) y = 3tan x(tanx) = 3tan x.
=
cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 4 x
(x 2 + 1)′
x cos x 2 + 1
2
cos
x
+
1
=
c) y′ = ( x 2 + 1)′ cos x 2 + 1 =
2 x2 +1
x2 +1

 x ′

÷
x 
x
x ′
 1 − 3x 
d) y′ = 2cot
.  cot
=
2cot
.
−
1 − 3x  1 − 3x ÷
1 − 3x
x

sin 2
1 − 3x
3

5

5


x′(1 − 3x) − x(1 − 3x)′
x
1
−2cot

.
x
(1 − 3x) 2
.
= −2cot
=
1 − 3x (1 − 3x) 2 sin 2 x
x
1 − 3x
2
sin
1 − 3x
1 − 3x
Bài 12: Giải các bất phương trình sau:
x
x2 + x + 4
x2 + x +1
′
′
a) y > 0 với y =
b) y ≥ 0 với y = 2
c) y′ < 0 với y = 2
x − 4x + 4
x +1
x − x +1
2
x + 2x − 3
Giải: a) y′ =
, ĐK: x ≠ −1 . Khi đó: y′ > 0 ⇔ x2 + 2x – 3 > 0 ⇔ x < –3 hoặc x > 1
(x + 1) 2

−2x 2 + 2
b) y′ = 2
, ∀x ∈ ¡ . Khi đó: y′ ≥ 0 ⇔ – 2x2 + 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
(x − x + 1) 2
−x 2 + 4
y′ < 0 ⇔ – x2 + 4 < 0 ⇔ x < –2 hoặc x > 2
c) y′ = 2
2 , ĐK: x ≠ 2 . Khi đó:
(x − 4x + 4)
2
1
3
3
Bài 13: a) f(x) = x3 – 2x2 +
, g(x) = x2 – 2x –
. Giải bất PT: f ′(x) > g′(x)
3
2
4
2
3
b) f(x) = 3x3 + x2 – 7x + 3 , g(x) = 2x3 + 3x2 + 11x – 3 . Giải bất PT: f ′(x) < g′(x)
2
′
f
(x)
Giải: a)
= 2x2 – 4x, g′(x) = x – 2
1
Khi đó: f ′(x) > g′(x) ⇔ 2x2 – 4x > x – 2 ⇔ 2x2 – 5x + 2 > 0 ⇔ x < hoặc x > 2

2
2
2
b) f ′(x) = 9x + 3x – 7, g′(x) = 6x + 6x + 11
Khi đó: f ′(x) < g′(x) ⇔ 9x2 + 3x – 7 < 6x2 + 6x + 11 ⇔ 3x2 – 3x – 18 < 0 ⇔ –2 < x < 3
1 2
3
Bài 14: a) Tính f ′(−1) , biết: f(x) = + 2 + 3
x x
x
π
f ′( )
πx
πx 2
b) Tính
– cos
2 , biết: f(x) = 2sin2x + 3x – 5, g(x) =
2
4
g′(1)
1
4
9
1
4 9
−
−
= −1 + 4 − 9 = − 6
Giải: a) f ′(x) = − 2 − 3 − 4 ⇒ f ′(−1) = −
2

3
(−1) (−1) (−1) 4
x
x x
π
b) f ′(x) = 4cos2x + 3 ⇒ f ′( ) = 4.cos π + 3 = –1
2
π
f ′( )
πx π
πx
π π
π
⇒ g′(1) = + sin = π . Khi đó:
g′(x) =
+ sin
2 =−1
2
2
2
2 2
2
g′(1)
π
Bài 15: Tìm vi phân của các hàm số sau:
sin 3x
a) y = 5x3 – 2x + 3
b) f (x) = sin 3[cos(3x − 2)]
c) y =
1− x2

Giải: a) y′ = (5x 3 − 2x + 3)′ = 15x 2 − 2 . Vậy: dy = y′dx = (15x2 – 2)dx
b) f ′(x) = 3sin 2 [cos(3x − 2)].{ sin[cos(3x − 2)]} ′ = 3sin 2 [cos(3x − 2)].cos[cos(3x − 2)].[cos(3x − 2)]′
= 3sin 2 [cos(3x − 2)].cos[cos(3x − 2)].[ − sin(3x − 2)].(3x − 2)′
= −9sin 2 [cos(3x − 2)].cos[cos(3x − 2)].sin(3x − 2)
2
Vậy: df(x) = f ′(x)dx = ( −9sin [cos(3x − 2)].cos[cos(3x − 2)].sin(3x − 2) ) dx
(sin 3x)′(1 − x 2 ) − sin 3x(1 − x 2 )′ 3(1 − x 2 ) cos3x + 2x sin 3x
=
c) y′ =
(1 − x 2 ) 2
(1 − x 2 ) 2
6


3(1 − x 2 ) cos3x + 2x sin 3x
dx
(1 − x 2 ) 2
d(cos x)
d(cos x) (cos x)′dx − sin x
=
=
= − tan x
Bài 16: Tìm
. Giải:
d(sin x)
d(sin x) (sin x)′dx
cos x
Bài 17: Cho f(x) = (2x – 3)5. Tính f ′′(3) và f ′′′(3)
Giải: * f ′(x) = 5(2x − 3) 4 (2x − 3)′ = 10(2x − 3) 4
* f ′′(x) = 40(2x − 3)3 (2x − 3)′ = 80(2x − 3) 3 * f ′′′(x) = 240(2x − 3) 2 (2x − 3)′ = 480(2x − 3) 2

Vậy: * f ′′(3) = 80(2.3 − 3)3 = 2160
* f ′′′(3) = 480(2.3 − 3) 2 = 4320
Bài 18: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y = x 1 + x 2
b) y = x 2 sin x
c) y = xcos2x
Vậy: dy = y′dx =

x2

2
2
2
Giải: a) y′ = (x)′ 1 + x + x( 1 + x )′ = 1 + x +

y′′ =

4x 1 + x 2 −

1+ x2

=

1 + 2x 2
1 + x2

(1 + 2x 2 )x

1+ x2
( 1 + x 2 )2

=

4x(1 + x 2 ) − x(1 + 2x 2 )
(1 + x 2 ) 1 + x 2

=

x(3 + 2x 2 )
(1 + x 2 ) 1 + x 2

b) y′ = 2x.sin x + x 2 cos x
y′′ = 2sinx + 2xcosx + 2xcosx + x2(–sinx) = 2sinx + 4xcosx – x2sinx
c) y′ = cos2x – 2xsin2x; y′′ = –2sin2x – (2sin2x + 4xcos2x) = – 4sin2x – 4xcos2x
Bài 19: a) Chứng minh rằng: Với y = xsinx, ta có: xy′′ − 2(y′ − sin x) + xy = 0
x −3
b) Chứng minh rằng: Với y =
, ta có: 2y′2 = (y − 1)y′′
x+4
c) Chứng minh rằng: Với y = cot 2x , ta có: y′ + 2y 2 + 2 = 0
Giải: a) Ta có: y′ = sinx + xcosx; y′′ = cosx + cosx – xsinx = 2cosx – xsinx
Vậy: xy′′ − 2(y′ − sin x) + xy = x(2cos x − x sin x) − 2(sin x + x cos x − sin x) + x 2 sin x
= 2xcosx – x2sinx – 2xcosx + x2sinx = 0 (đpcm)
x +4−x +3
7
14
=
y′′ = −
b) Ta có: y′ =
2

2 ;
(x + 4)
(x + 4)
(x + 4)3
98
14 
98
98
 x −3  
2
−
− 1÷.  −
=
−
= 0 (đpcm)
Vậy: 2y′ − (y − 1)y′′ =
4
3 ÷
4
(x + 4)  x + 4   (x + 4)  (x + 4) (x + 4) 4
2
c) Ta có: y′ = − 2
.
sin 2x
2
2
2
+ 2cot 2 2x + 2 = − 2
+ 2
= 0 (đpcm)

Vậy: y′ + 2y 2 + 2 = − 2
sin 2x
sin 2x sin 2x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tình đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:
1
x +1
a) y = x2 + x tại x0 = 1
b) y =
tại x0 = 2
c) y =
tại x0 = 0
x
x −1
x2 + x +1
2
d) y = 2x – x + 2 tại x0 = 1
e) y =
tại x0 = 0
x −1
x +1
Bài 2: a) Viết PTTT của đồ thị hàm số y =
tại điểm A(2; 3). ĐS: y = –2x + 7
x −1
b) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 + 4x2 – 1 tại điểm có hoành độ x0 = –1. ĐS: y = –5x – 3
c) Viết PTTT của đồ thị h/số y = x2 – 4x + 4 tại điểm có tung độ y0 = 1. ĐS: y = –2x + 3, y = 2x + 5
d) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 – 5x2 + 2 có hệ số góc bằng -7
7

3x + 1
1
có hệ số góc bằng
1− x
2
f) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1 song song với đường thẳng d: y = 9x + 2.
ĐS: y = 9x – 15, y = 9x + 17
3x − 2
g) Viết PTTT của đồ thị hàm số y =
vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0
x −1
1
17
1
9
ĐS: y = − x + ; y = − x +
4
4
4
4
Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1 1
x 4 2x 3 4x 2
−
+
−1
a) y = x5 – 4x3 + 2x – 3
b) y = − x + x 2 − 0,5x 4
c) y =
4 3

2
3
5
1
2
3
x3 x2
d) y = − + x − 5
f) y = x 5 + x 4 − x 3 − x 2 + 4x − 5
2
3
2
3 2
Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số sau:
2
a) y = 5sin x − 3cos x + 3
b) y = 3 x + cot x − 3tan x + 2,5 c) y = 2sinx + 7cosx – cotx
3
Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1
x
−
a) y = 2x x + 1
b) y =
c) y = x cot x
d) y = (2 − 3x) cos x
sin
x
x
e) y = (1 – x2)cosx

f) y = sin5xcos2x
g) y = (2 – x 2)sinx + 2xcosx
Bài 8: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1 

2

a) y =  6 x − 2 ÷( 7x − 3)
b) y = (9 – 2x)(2x3 – 9x2 + 1)
c)  + 3x ÷ x − 1
x 

x

2
5
d) y = (x + 1)(1 – 2x)(3x + 2)
e) y = (2x – 3)(x – 2x)
f) y = x(2x – 1)(3x + 2)
5
2
2
2
g) y = 3x (8 – 3x )
h) y = (x + 1)(5 – 3x )
i) y = (x – 2) x 2 + 1
Bài 9: Tính đạo hàm các hàm số sau:
sin 2x + cos 2x
sin x − cos x
sin x

x
sin x
+
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
sin 2x − cos 2x
sin x + cos x
x
sin x
1 + cos x
cos x
3cos x
tan x
e) y = 2 x sin x −
f) y =
g) y =
x
2x + 1
sin x + 2
Bài 10: Tính đạo hàm các hàm số sau:
3
2
n 

7
2 3
a) y = (x – 5x )
b) y =  m + 2 ÷

c) y = 2 − 5x − x 2
c) y =
(2 − 3x) 2
x 

e) Viết PTTT của đồ thị hàm số y =

(

1
cos 2 3x
Bài 11: Tính đạo hàm các hàm số sau:
d) y = 1 + 2 tan x

a) y = sin3x

e) y =

b) y = cot2x

f) y =

c) y = cos x 2 + 1

5
2 − 4x

d) y = tan 2 x − cot x 2

)

g) y =

2−x
3 + 2x

e) y = cos

Bài 12: Tính đạo hàm các hàm số sau:
2x
3 − 5x
x −1
2x + 3
a) y = 2
b) y = 2
c) y =
d) y =
x −1
x − x +1
5x − 2
7 − 3x
2
2
2
x + 2x + 3
x + 7x + 3
− x + 7x + 5
e) y =
f) y =
g) y =

2
3 − 4x
x − 3x
1 + 3x − x 2
Bài 13: Giải các bất phương trình sau:
2x − 1
x2 + x + 2
x2 + 3
a) y′ < 0 với y =
b) y′ ≥ 0 với y =
c) y′ > 0 với y = 2
x +x+4
x −1
x +1
8

x
1+ x


Bài 14: a) f(x) = x 3 + x − 2 , g(x) = 3x 2 + x + 2 . Giải bất PT: f ′(x) > g′(x)
x2
3
3
2
b) f(x) = 2x − x + 3 , g(x) = x + − 3 . Giải bất PT: f ′(x) < g′(x)
2
3
2
c) f(x) = x – 3x + 2. Giải các bất PT: y′ > 0 và y′ < 3

2
x2 x3
− . Giải bất PT: f(x) ≤ g′(x)
d) f (x) = , g(x) =
x
2 3
2 4
5
6
Bài 15: a) Tính f ′(−1) , biết: f (x) = − 2 + 3 − 4
x x
x 7x
f ′(1)
πx
b) Tính
, biết: f(x) = x2 , ϕ (x) = 4x + sin
ϕ′(1)
2
1
1
+ x2
c) Tính g′(1) , biết: g(x) = +
x
x
Bài 16: Tìm vi phân của các hàm số sau:
a) y = 3 – 2x + 4x3
b) f (x) = cos(sin 3x)
c) y = sin 2 (cos 2x)
d) y = sin3(2x + 1)
e) y = (2 + sin22x)3

f) f (x) = sin x + 2x
g) y = 2sin 2 4x − 3cos 3 5x
Bài 17: Tìm dy, biết:
cos x
x
a) y =
(a, b là hằng số)
b) y =
c) y = (x2 + 4x + 1)(x2 – x )
d) y = tan2x
2
1− x
a+b
d(tan x)
Bài 18: Tìm
d(cot x)
Bài 19: a) Cho f(x) = (x + 10)6. Tính f ′′(2) và f ′′′(0)
π
π
b) Cho g(x) = sin3x. Tính g′′(− ) , g′′(0) , g′′( )
2
18
c) Cho f(x) = 1 + x . Tính f(3) + (x – 3) f ′ (3)
Bài 20: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1
1
a) y =
b) y =
c) y = tanx
d) y = cos 2x

1− x
1− x
Bài 21: a) Chứng minh rằng: Với y = xtanx, ta có: x 2 y′′ − 2(x 2 + y 2 )(1 + y) = 0
b) Chứng minh rằng: Với y = 2x − x 2 , ta có: y3 y′′ + 1 = 0
c) Chứng minh rằng: Với y = tan x , ta có: y′ − y 2 − 1 = 0
d) Chứng minh rằng: Với y = x 2 + 1 , ta có: y 2 y′′ + xy′ = y
π
π
cos 2 x
e) Chứng minh rằng: Với f (x) =
, ta có: f ( ) − 3f ′( ) = 3
2
4
4
1 + sin x

9