HUONG DAN ON TAP CHUONG II HH 2

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG II – HÌNH 10 (CHUẨN)
II. CÁC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC:
* Kiến thức cần nhớ:
1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
a) a2 = b2 + c2 hay BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pitago)
A
b) b2 = a.b’ hay AC2 = BC.HC
b
c) c2 = a.c’ hay AB2 = BC.HB
c
2
’ ’
2
h
a
d) h = b .c hay AH = HB.HC
c'
e) a.h = b.c hay AH.BC = AB.AC
b'
C
B
H
a
1 1 1
1
1
1
=
+
f) 2 = 2 + 2 hay
h b c

AH2 AB2 AC2
b AC
c AB
2. a) sinB = cosC = =
b) sinC = cosB = =
a BC
a BC
b AC
c AB
c) tanB = cotC = =
d) cotB = tanC = =
c AB
b AC
2
2
2
3. Định lí côsin: a = b + c – 2bccosA
b2 = a2 + c2 – 2accosB
c2 = a2 + b2 – 2abcosC
b2 + c2 − a2
a2 + c2 − b2
a2 + b2 − c2
cosB =
cosC =
Suy ra hệ quả: cosA =
2bc
2ac
2ab
a
b

c
=
=
= 2R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)
4. Định lí sin:
sinA sinB sinC
* a = 2RsinA
* b = 2RsinB
* c = 2RsinC
bsinA csinA
asinB csinB
asinC bsinC
=
=
=
*a=
*b=
*c=
sinB
sinC
sinA
sinC
sinA
sinB
5. Đường trung tuyến:
2(b2 + c2 ) − a2
2(a2 + c2 ) − b2
2(a2 + b2) − c2
2
2

2
ma =
mb =
mc =
4
4
4
6. Diện tích tam giác:
1
a) Diện tích tam giác vuông: S = ab (a, b là hai cạnh góc vuông)
2
1
1
1
2S
2S
2S
c) Tam giác bất kì: * S = aha = bhb = chc ⇒ ha =
; hb =
; hc =
2
2
2
a
b
c
1
1
1
* S = absinC = acsinB = bcsinA (biết góc xen giữa hai cạnh)

2
2
2
abc
abc
* S=
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) ⇒ R =
4R
4S
a+ b+ c
* S = pr (p =
là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
2
* S = p(p − a)(p − b)(p − c) (công thức Hê-rông)
II. Bài tập mẫu:
µ = 620 và cạnh b = 54. Tính C
µ , cạnh a, c và đường cao hb
Bài 1: Cho tam giác vuông ABC tại B, A
µ:C
µ = 900 − 620 = 280
Giải: * Tính C
B
a
⇒ a = b.sinA = 54.sin620 ≈ 47,68
b
c
* Tính c: sinC = ⇒ c = b.sinC = 54.sin280 ≈ 25,35
b
* Tính b: sinA =

1

c

A

hb

a

62
H

b=54

C


c
⇒ c = b.cosA = 54.cos620 ≈ 25,35
b
a.c 47,68.25,35
=
≈ 22,38
* Tính hb : b. hb = a.c ⇒ hb =
b
54
µ = 340 và cạnh b = 43. Tính C
µ , cạnh a, c và đường cao ha
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, B

µ:C
µ = 900 − 340 = 560
Giải: * Tính C
hoặc: cosA =

b
43
b
=
≈ 76,90
⇒ a=
A
sinB sin340
a
b
43
b
=
≈ 63,75
* Tính c: tanB = ⇒ c =
c
ha
tanB tan340
c
b.c 43.63,75
34
=
≈ 35,65
* Tính ha : a. hb = b.c ⇒ ha =
B

H
a
a
76,90
Bài 3: Cho tam giác ABC, biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm.
µ
µ,B
µ,C
a) Tính các góc A
b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và ngoại tiếp R của tam giác
d) Tính độ dài đường trung tuyến ma và chiều cao ha
2
2
2
2
2
2
µ : cosA = b + c − a = 17 + 10 − 21 ≈ −0,1529 ⇒ A
µ ≈ 98047’
Giải: a) * Tính A
2bc
2.17.10
2
2
2
2
2
a + c − b 21 + 10 − 172
µ

µ ≈ 5308’
=
= 0,6 ⇒ B
* Tính B : cosB =
2ac
2.21.10
µ:C
µ = 1800 – (98047’ + 5308’) = 2805’
* Tính C
a + b + c 21+ 17 + 10
=
= 24 (cm)
b) Tính S: Ta có: p =
2
2
Theo công thức Hê-rông, ta có: S = p(p − a)(p − b)(p − c)
* Tính a: sinB =

b=43

C

= 24(24 − 21)(24 − 17)(24 − 10) = 84(cm2)
S 84
= 3,5(cm)
c) * Tính r: Ta có: S = p.r ⇒ r = =
p 24
abc
abc 21.17.10
⇒R=

=
= 10,625(cm)
* Tính R: Ta có: S =
4R
4S
4.84
2(b2 + c2 ) − a2 2(172 + 102 ) − 212
2
=
= 84,25 ⇒ ma = 84,25 ≈ 9,18(cm)
d) * Tính ma : Ta có: ma =
4
4
1
2S 2.84
=
= 8(cm)
* Tính ha : Ta có: S = a.ha ⇒ ha =
2
a
21
µ = 600 , AC = 8cm, AB = 5cm.
Bài 4: Cho tam giác ABC, biết A
a) Tính cạnh BC
b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Xét xem góc B tù hay nhọn? Tính góc B
d) Tính độ dài đường cao AH
e) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải: a) Ta có: BC2 = AC2 + AB2 – 2.AC.AB.cosA = 82 + 52 – 2.8.5.cos600 = 49 ⇒ BC = 7(cm)
1

1
A
b) Tính S: S = .AB.AC.sinA = .5.8.sin600 = 10 3 = 17,3 (cm)
2
2
Ghi nhớ: + Nếu a2 < b2 + c2 (hoặc cosA > 0) thì
+ Nếu a2 > b2 + c2 (hoặc cosA < 0) thì
+ Nếu a2 = b2 + c2 (hoặc cosA = 0) thì

µ nhọn
A
µ tù
A
µ vuông
A

2

60

b=8

c=5

B

C
a

a2 + c2 − b2 BC2 + AB2 − AC2 72 + 52 − 82
=
=
= 0,1429 > 0
c) Ta có: cosB =
2ac
2.BC.AB
2.7.5
µ nhọn và B
µ ≈ 81047’
⇒ B
1
1
2S 2.10 3 20 3
d) Tính AH: Ta có: S = .a.ha = BC.AH ⇒ AH =
=
=
≈ 4,95(cm)
2
2
BC
7
7
abc BC.AC.AB
BC.AC.AB
7.8.5
7 3
=
⇒R=
=

=
≈ 4,04 (cm)
e) Tính R: Ta có: S =
4R
4R
4S
3
4.10 3
µ = 200 , C
µ = 310 và cạnh b = 210cm.
Bài 5: Cho tam giác ABC có B
µ , các cạnh còn lại
a) Tính A
b) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
0
µ +C
µ ) = 1800 – (200 + 310) = 1290
µ : Ta có: A
µ = 180 – ( B
Giải: a) * Tính A
b.sinA 210.sin1290
=
≈ 477,2(cm)
* Tính a: Ta có: a =
sinB
sin200
b.sinC 210.sin310
c
=
=

≈ 316,2(cm)
* Tính c: Ta có:
sinB
sin200
a
477,2
=
≈ 307,02(cm)
b) Tính R: Ta có: R =
2sinA 2.sin1290
µ = 300 .
Bài 6: Giải tam giác ABC biết cạnh a = 2 3 , cạnh b = 2 và C
Giải: * Tính cạnh c: Ta có: c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
= (2 3 )2 + 22 – 2.2 3 .2.cos300 = 4 ⇒ c = 4 = 2(cm)
µ : Ta có: b = c = 2 ⇒ ∆ABC cân tại A
* Tính B
µ =C
µ = 300
⇒B
µ = 1800 − (B
µ + C)
µ = 1800 − 600 = 1200
µ:A
* Tính A

A

b=2

c

30

B

a=2 3

C

Bài 7: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a) b = a cosC + c cosA
b) sinB = sinA cosC + sinC cosA
c) hb = 2R sinA sinC
a(a2 + b2 − c2 ) c(b2 + c2 − a2 )
+
Giải: a) Ta có: VP = a cosC + c cosA =
2ab
2bc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a + b − c b + c − a a + b − c + b2 + c2 − a2 2b
+
=

=
= b= VT (đpcm)
=
2b
2b
2b
2b
b) Ta có: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
Từ câu a) b = a cosC + c cosA ⇒ 2RsinB = 2RsinA cosC + 2RsinC cosA
⇒ sinB = sinA cosC + sinC cosA (đpcm)
1
1
c) Ta có: S = bhb = acsinB ⇔ bhb = acsinB
2
2
Mà: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
Suy ra: 2RsinB hb = 2RsinA.2RsinC.sinB ⇒ hb = 2RsinA sinC (đpcm)
Bài 8: Cho tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 5. Gọi AD là phân giác trong của góc A
a) Tính diện tích S của tam giác ABC
b) Tính góc A
c) Tính AD
a + b + c 8+ 7 + 5
=
= 10
Giải: a) Tính S: Ta có: p =
A
2
2
Suy ra: S = p(p − a)(p − b)(p − c) = 10(10 − 7)(10 − 8)(10 − 5) = 10 3
b=8

b2 + c2 − a2 82 + 52 − 72 1
µ = 600
µ
=
= ⇒A
b) Tính A : Ta có: cosA =
2bc
2.8.5
2

3

c=5

B

D

a=7

C


c) Tính AD: Ta có: SABD =

1
A 1
5
AB.AD.sin = .5.AD.sin300 = AD
2

2 2
4

1
A 1
AC.AD.sin = .8.AD.sin300 = 2AD
2
2 2
5
13
40 3 ≈
Mà: S = SABD + SACD ⇔ 10 3 = AD + 2AD ⇔
AD = 10 3 ⇔ AD =
5,3
4
4
13
µ
Bài 9: Cho tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức: a(a2 – c2) = b(b2 – c2). Tính C
2
2
2
2 ⇔ 3
2
3
2 ⇔ 3
3
2
2
Giải: Ta có: a(a – c ) = b(b – c )

a – ac = b – bc
a – b = ac – bc
⇔ (a – b)(a2 + ab + b2) = c2(a – b) ⇔ a2 + ab + b2 = c2 ⇔ ab = c2 – a2 – b2
a2 + b2 − c2
a2 + b2 − c2
1
µ = 600
=
=− ⇒C
Ta lại có: cosC =
2
2
2
2ab
2(c − a − b )
2
c = 2bcosA

Bài 10: Cho ∆ ABC  c3 + a3 − b3
. Chứng minh tam giác ABC đều
2
 c+ a− b = b

3
3
c + a − b3
= b2 ⇔ c3 + a3 – b3 = b2c + ab2 – b3 ⇔ c3 + a3 = b2c + ab2
Giải: Ta có:
c + a− b
2

⇔ (c + a)(c – ca + a2) = b2(c + a) ⇔ c2 – ca + a2 = b2 ⇔ c2 – ca + a2 = a2 + c2 – 2accosB
1
c
µ = 600
⇔ cosB = ⇔ B
Mà: c = 2b cosA ⇒ cosA =
2
2b
c
⇔ a2 = c2 ⇔ a = c
Ta lại có a2 = b2 + c2 – 2bc cosA ⇔ a2 = b2 + c2 – 2bc.
2b
µ = 600 )
Vậy: ∆ ABC đều (vì ∆ ABC cân tại B và B
µ = 1200, tổng hai cạnh còn lại là 16. Tính độ dài
Bài 11: Cho tam giác ABC có cạnh AB = 14, góc C
hai cạnh còn lại.
µ ⇔ 196 = BC2 + AC2 – 2.BC.AC.cos1200
Giải: Ta có: AB2 = BC2 + AC2 – 2.BC.AC.cos C
⇔ 196 = BC2 + AC2 + BC.AC (1)
Ta lại có: BC + AC = 16 ⇒ AC = 16 – BC thay vào (1), ta được:
 BC = 10
196 = BC2 + (16 – BC)2 + BC(16 – BC) ⇔ BC2 – 16BC + 60 = 0 ⇔ 
 BC = 6
* Với BC = 10 ⇒ AC = 6
* Với BC = 6 ⇒ AC = 10
Vậy: BC = 10 và AC = 6 hoặc BC = 6 và AC = 10
* Bài tập tự luyện:
µ = 580 và cạnh a = 72cm. Tính C
µ , cạnh b, cạnh c và đường

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, B
cao ha
µ = 480 và cạnh b = 54cm. Tính B
µ , cạnh a, cạnh c và đường
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại C, A
cao hc
µ = 1200 , cạnh b = 8cm và c = 5cm.
Bài 3: Cho tam giác ABC có A
SACD =

a) Tính cạnh a
b) Tính diện tích S của tam giác ABC
µ
µ và C
c) Xét xem góc B tù hay nhọn? Tính góc B
d) Tính độ dài đường cao ha
e) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
µ = 1050 , cạnh b = 2 , cạnh c = 1
Bài 4: Cho tam giác ABC có A
a) Tính cạnh a
b) Tính diện tích S của tam giác ABC
µ
µ
c) Tính góc B và C
d) Tính độ dài đường cao hc
Bài 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm

4

µ
µ,B
µ,C
a) Tam giác ABC có góc tú không? Tính các góc A
b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và ngoại tiếp R của tam giác ABC
d) Tính độ dài đường trung tuyến mb và chiều cao hc
Bài 6: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7cm, b = 9cm và c = 12cm
µ
µ,B
µ,C
a) Tính các góc A
b) Tính diện tích S của tam giác ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và ngoại tiếp R của tam giác ABC
d) Tính độ dài đường trung tuyến ma và chiều cao hb
Bài 7: Tính góc lớn nhất của tam giác ABC, biết:
a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm
b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm và c = 37cm
µ
µ,B
µ và C
Bài 8: Cho ∆ ABC có a = 6 , b = 2, c = 3 + 1. Tính độ dài ha , ma , R, r, A
µ = 400 , C
µ = 1200 .
Bài 9: Cho tam giác ABC biết c = 35cm, A
µ , các cạnh còn lại
a) Tính B
b) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 10: Giải tam giác ABC, biết:
µ = 1300

a) a = 7cm, b = 23cm, C
b) a = 14cm, b = 18cm, c = 20cm
µ = 600 , B
µ = 400 , c = 14
c) a = 14, b = 18, c = 20
d) A
Bài 11: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:
a) a = bcosC + ccosB
b) sinA = sinBcosC + sinCcosB
h
c) a = 2RsinBsinC
Bài 12: Cho tam giác ABC có a = 14, b = 10, c = 6
a) Tính các góc trong tam giác ABC
b) AD là phân giác trong góc A. Tính AD
c) Tính diện tích S, bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác ABC
µ = 1200 , tổng hai cạnh còn lại là 15. Tính độ dài hai
Bài 13: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 13, A
cạnh còn lại
Bài 14: Chứng minh rằng mếu tam giác ABC thỏa mãn:
 b3 + c3 − a3
= a2

thì tam giác ABC đều
 b+ c− a
a = 2bcosC

µ
Bài 15: Cho tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức: b(b2 – a2) = c(c2 – a2). Tính A
2
2

2
Bài 16: Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì, ta có: a = b + c – 4ScotA
Bài 17: Cho tam giác ABC có ma = mb . Chứng minh rằng: ∆ ABC cân
Bài 18: Cho tam giác ABC bất kì. Chứng minh rằng: b2 – c2 = a(bcosC – ccosB)
Bài 19: Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện:
µ
(a + b + c)(a + b – c) = 3ab. Tính C
Bài 20: Cho ∆ ABC thỏa mãn: 2(a3 + b3 + c3) = a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2). Chứng minh tam
giác ABC đều.

5