On11 dau nam LG

Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hồng

Ơn tập:
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG
GIÁC
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC ( CUNG) LƯỢNG GIÁC
Định nghĩa :
Mọi số thực x ∈ R đều có thể coi như là
số đo của một cung
trên đường tròn
lượng giác.
Ta viết : sđ
= x hay
= x.
(Nhớ cos nằm – sin đứng)
Trên đường tròn lượng giác, xét cung
= x , ta có :
 c os x

 sin x

 tanx


 c otx


= OC = xM ( hoành độc ủ
a ngọn c ung )
= OS = y M

y
= AT = M
xM
xM
= BU =
yM

( tung độc ủ
a ngọn c ung )
( T làgiao điể
m c ủ
a OM vớ
i trục t't )
( U làgiao điể
m c ủ
a OM vớ
i trục u'u )

Như vậy , giá trị các hàm số lượng giác của cung
= x khơng phụ
thuộc vào số đo của cung đó mà chỉ phụ thuộc vào toạ độ của ngọn
cung nghĩa là nếu hai cung có điểm ngọn trùng nhau thì cos , sin , tan , cot của
chúng bằng nhau.
Từ đó ta suy ra :
sin x = sin( x + k2π )
sinx = − sin( x + (k2+1)π )
cos x = cos( x + k2π )
cosx = − cos( x + (k2+1)π )
tanx =
tan( x+ kπ )

cotx = cot( x+ kπ )
Nhận xét
Nếu cung

có số đo là :

thì trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của
n − giác đều nội tiếp trong đường tròn lượng giác đó.

là n đỉnh của một

Ví du : Xác định điểm ngọn của cung có số đo như sau : x =

1

π
4

+

k2π
4


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
Lần lượt cho k = 0, k = 1, k = 2 , …vào trong biểu thức x =
cung có số đo tương ứng là
π
4

+3

2π
4

=

π
4

+3

π
2

=

7π
4

π
4

;

π
4

+1

2π

=

4

π
4

+1

π
2

=

3π
4

;

π
4

π
4

+

+2

k2π
4

2π
4

=

ta được các
π
4

+2

π
2

=

5π
4

,

,

9π 11π 13π 15π
,

,
,
,... ,…
4 4
4
4

mà điểm ngọn của các cung này là 4 đỉnh M0 , M1
, M2 , M3 của một hình vuông nội tiếp trên đường
tròn lượng giác các điểm ngọn từ M4, M5, ….trở đi
lại trùng với các đỉnh khác của hình vuông.
Bài tập
1. Xác định điểm ngọn của các cung có số đo như sau :
π
π
a) x = kπ . . b) x = k2π .
c) x = + k2π .
d) x = + kπ
2
2
f) x =

π
6

+

k2π
3

g) x =

π
3

+

k2π
4

h) x =

π
4

+

kπ
3

i) x =

π
8

+

π
π
π

3π
π
π
−17π
+ k . m) + k
.
n) – + k .
p)
.
6
3
4
4
4
2
4
2. Tìm số do cung tạo bởi các điểm M(M1, M2, ...)
l) −

kπ
4

e) x = −

k) k

π
2

+ kπ

π
.
2

q) 2400.

3.Đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ.
α
a
=
( a tính bằng độ, α tính bằng rad)
π 180
2π
11π
3π
3π
a)
;
b)
;
c)
; d)
;
e) 2,3;
f) 4,2
3
6
4
7

4. Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian a) 450; b) 1500; c) 720; d) 750
5. Tìm GTLG sin, côsin, tang của các góc LG có số đo sau
5π 7π 5π 4π 17π
; ; ;−
;
a) 1200; –300;–2500,7500,5100.
b)
.
4 2 3
3 3
6.Xác định dấu của sin α ,cos α , tan α , biết :
3π
3π
7π
7π
<α <
;
c)
< α < 2π .
a) π < α <
.
b)
2
2
4
4
2


Bài tập lượng giác 11

 Hồ Văn Hoàng
7.Tính các giá trị lượng giác còn lại của α , biết
5
3π
π
a )cos α =
< α < 2π .
<α <π .
và
b) sin α = 0,8 và
13
2
2
3π
3π
< α < 2π .
c) tan α = 15/8 và π < α <
.
d) cot α = –3 và
2
2
II. GIÁ TRỊ LG CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT.
π

π
1.Đơn giản biểu thức a )cos  α − ÷ + sin ( α − π )
b) cos(π − α ) + sin(α + )
2
2


π
π
π
π
c) cos( − α ) + sin( − α ) − cos( + α ) − sin( + α )
2
2
2
2
3π
3π
7π
7π
) − sin(
− α ) + cos(α −
) − sin(α −
)
d) cos(α −
2
2
2
2
π
3π
− α ) + cos(2π − α )
e) cos( − α ) + cos(π − α ) + cos(
2
2
 5π


 3π

+ α ÷ = − sin 
− α ÷.
2.Chứng minh rằng :
a) sin 
4
4




2π 
2π 

π


 4π

= − cos  + α ÷ .
= cos 
+α ÷
b) cos  α −
c) cos  α −
3 ÷
3 ÷


3




 3

III. CÔNG THỨC CỘNG , NHÂN, BIẾN ĐỔI …
1. Đơn giản biểu thức:
cos α
a) A = sin  π + α 
4 2÷



ĐS: A =

; b) B

π α 
2cos  + ÷ ;
4 2

π α 
1 + sin α − 2 sin2  − ÷
4 2
=
;
α
4cos
2

α

B = sin 2 ;

c) C =

sin4 α + 2sin α .cos α − cos4 α
tan2α − 1

C = cos2 α .

2: Chứng minh các đẳng thức.
π α 
tan  − ÷( 1 + sin α )
π
4π
5π 1
.cos
=
a)
b) cos .cos
4 2
= cot α
7
7
7
8
sin α
* áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có ngay các công thức quen thuộc
π


π
sina + cosa = sina +sin  − a ÷ = … . = 2 cos(a − )
4
2

π

π
hoặc sina + cosa = sina +sin  + a ÷ = … . = 2 sin(a + )
2
4


π
 π

3.Chứng minh đẳng thức
a) 4 sin a.sin  − a ÷sin  + a ÷ = sin3a .
3
3

 

sin a + sin3a + sin5a
π

π

= tan3a

b) 4 cos a.cos  − a ÷.cos  + a ÷ = cos3a . c)
cos a + cos3a + cos5a
3

3

3


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
BÀI TẬP
1.Chứng minh các đẳng thức : a) cos2(a+b) +cos2(a–b) = 1 +cos2a.cos2b

 2π
 3
2
2  2π
+ a ÷ + cos2 
− a÷=
b) cos a + cos 
 3

 3
 2
2.Biến đổi tổng thành tích a) 1 +sinx +cosx +tanx
b) 1 – 4cos2a
c) sina + sinb +sin(a+b)
d) 3 – 2sina
π



π
3.Rút gọn
a) cos2a –sin2(a+ ) + 2 sin a.cos  − a ÷ .
4
4

π

π

2 π
2
b) sin  − a ÷ − sin ( 2π − a ) + tan sin a.cos  − a ÷
3
3

3

2
2
2
2
4. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) tan x − sin x = tan xsin x
1
tan3 x
3 − tan2 x
2

=
2) sin2x + tan2x =
−
cos
x
3)
cos2 x
tan x
1 − 3 tan2 x
1
(1 + cot 2 x )(
− 1)
cos2 x − sin2 x
2
2
4)
=
sin
xcos
x
5)
=1
cos2 x
cot 2 x − tan2 x
2
1 + tan x
6) cosx + cos(2π/3 − x) + cos(2π/3 − x) = 0
7) sin(a + b)sin(a – b) = sin2a –sin2b = cos2b – cos2a
tan2 a − tan2 b
1

8)
= tan(a +b)tan(a – b) 9) cos3xsinx – sin3xcosx = sin4x
2
2
4
1 − tan a tan b
x
cos x − sin x
1
sin2 x − 2 sin x
2 2
10) cos x + sin x = cos 2x – tan2x
11) sin2 x + 2 sin x = – tan
sin4 x − cos4 x + cos2 x
x
3
= cos2
sin4x 13)
2
2
2(1
−
cos
x
)
4
3x
x
14) sinx – sin2x +sin3x = 4cos
cosxsin

2
2
15) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x
5. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a
2) B = cos4a – sin4a + 2sin2a
3) C = 2(sin6a + cos6a) – 3(sin4a + cos4a) 4) D = cos2a + sin(300 + a)sin(300– a)
1 + cot a
2
5) E = sin 4a + 4 cos2 a + cos 4 a + 4 sin2 a
6) F =
–
1 − cot a
tan a − 1
sin4 a + cos4 a − 1
7) G = sin6a + cos6a + 3sin2acos2a
8) H =
sin6 a + cos6 a − 1
12) sin3xcos3x + sin3xcos3x =

4


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
6. Tính các biểu thức đại số: 1) Tính sin3a – cos3a biết sina – cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
3) Biết

1 + cos 2a

a
a
cot − tan
2
2

cos(a + b )
p
= . Tính tana.tanb
cos(a − b )
q
a
b
.tan
2
2
< x < 90O )

4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠ k2π tính tan
5)* Tính sin2x nếu: 5tan2x – 12tanx – 5 = 0 (45O

Chủ đề 1:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tóm tắt lý thuyết

Hàm số sin
Quy ước đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian
bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx
• BBT

• D =  . Tập giá trị là [ −1;1]

π
 π

• Đồng biến trên  − + k 2π , + k 2π ÷
2
 2

3π
π

+ k 2π ÷ ,
nghịch biến trên  + k 2π ,
2
2


• Hàm số lẻ. tuần hoàn với chu kì 2 π
• Các giá trị đặc biệt:
sinx = 0 ⇔ x = k π , k ∈ ¢
π
sinx = 1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢
2
π
sinx = –1 ⇔ x = – + k 2π , k ∈ ¢
2

• Đồ thị của hàm số y = sinx trong một

[

chu kì T = 2π : : − π ; π

]

Đồ thị của hàm số y = sinx trên R là một đường hình sin .

Hàm số côsin
Quy ước đặt tương ứng mỗi số thực x với cosin của góc lượng giác có số đo
rađian bằng x được gọi là hàm số cosin, kí hiệu y = cosx
• D =  ; Tập giá trị là [ −1;1]
• Đồng biến trên ( −π + k 2π , k 2π ) và

nghịch biến trên ( k 2π ,π + k 2π ) , k ∈ Z

5


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
• Hàm số chẵn, tuần hoàn với T = 2 π
• Các giá trị đặc biệt:
π
cosx = 0 ⇔ x = + k π , k ∈ ¢
2
cosx = 1 ⇔ x = k2 π , k ∈ ¢
cosx = –1 ⇔ x =(2k + 1) π , k ∈ ¢
• BBT

Đồ thị của hàm số y = cosx trong một chu kì
T = 2π : − π ; π

[

]

Đồ thị của hàm số y= cosx trên R là một đường hình sin :

Hàm số tang
π
Mỗi số thực x mà cos x ≠ 0 tức là x ≠ + kπ (k ∈ Z ) ta xác định được
2
sinx
π

tanx =
, đặt D1 = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢  . Quy ước đặt tương ứng mỗi số thực
2
cosx


sin x
x ∈ D1 với số thực tan x =
gọi là hàm số tang, kí hiệu y= tanx.
cos x
π

• Tập xác định D= ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
2


π
π


• Đồng biến trên  − + kπ , + kπ ÷
2
 2

• Hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì π .
• Các giá trị đặc biệt:
tanx = 0 ⇔ x = k π , k ∈ ¢
π
tanx = 1 ⇔ x = + k π , k ∈ ¢
4
π
tanx = –1 ⇔ x = – + k π , k ∈ ¢ .
4
• Bảng biến thiên :

6


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
• Đồ thị trong một chu kì T = π :

− π ; π .
 2 2




• Đồ thị trên D = R \

 π + kπ k ∈ Z .
2




Hàm số côtang
Mỗi số thực x mà sin x ≠ 0 tức là x ≠ k π (k ∈ Z ) ta xác định được cot x =

cos x
,
sin x

đặt D2 = ¡ \ { kπ | k ∈ ¢} . Quy ước đặt tương ứng mỗi số thực x ∈ D2 với số thực

cos x
gọi là hàm số cot, kí hiệu y=cotx .
sin x
Đồ thị của trong một chu kì T = π : ( 0 ; π)
• Tập xác định D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢}
cot x =

• Nghịch biến trên khoảng ( kπ ,π + kπ )
• Hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì π .
• Các giá trị đặc biệt:
π

cotx = 0 ⇔ x = + k π , k ∈ ¢
2
π
cotx = 1 ⇔ x = + k π , k ∈ ¢
4
π
cotx = –1 ⇔ x = – + k π , k ∈ ¢
4
• Bảng biến thiên :

{

}

Đồ thị trên D = R \ kπ k ∈ Z .

Tóm tắt
7


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
y = sinx

y = cosx

y = tanx

y = cotx

TXĐ

¡

¡

¡ \ { kπ , k ∈ Z}

Tập Giá Trị

[ −1;1]

[ −1;1]

π

¡ \  + k π , k ∈ Z
2


¡

¡

Chẵn lẻ
Chu kì tuần hoàn

lẻ
2π

Chẵn
2π

lẻ
π

lẻ
π

Nhận xét

• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng .
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số y =f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số
T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x + T ∈ D, x − T ∈ D và f(x+t) = f(x)
Nếu có số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi
là hàm số tuần hoàn với chu kì T .

• Đồ thị của hàm số tuần hoàn lặp lại giống hệt nhau trên các đoạn kế tiếp có độ
dài bằng chu kỳ T của nó.

8


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng

Bài tập
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

A
1)
có nghĩa khi B ≠ 0 (A có nghĩa);
A có nghĩa khi
B
A≥ 0
2) −1≤ sinx ≤ 1 ; -1≤ cosx ≤ 1
π
3) Hàm số y = tanx xác định khi x ≠ + kπ
2
Hàm số y = cotx xác định khi x ≠ k π
π
π
* sin x = 0 ⇔ x = kπ ; sinx=1 ⇔ x= + k2π ; sinx=-1 ⇔ x=− + k2π
2
2
π
* cosx = 0 ⇔ x = + kπ ; cosx=1⇔ x=k2π ; cosx=-1 ⇔ x=π + k2π
2
VD. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2π
1
π
a. y = sin(2x + 1); b. y = cos ; c. y = tan(x + );
d. y = cot(2x –
)
3
x
2
a. Tập xác định của hàm số y = sin(2x + 1) là D =  .

1
b. Hàm số y = cos xác định khi x ≠ 0. Vậy tập xác định là D =  \ { 0} .
x
π
π
≠
c. Hàm số xác định khi x +
+ k π ⇔ x ≠ k π . Vậy D =  \ { kπ , k ∈ ¢} .
2
2
π
2π
π
π

π
≠ k π ⇔x ≠ +k Vậy D =  \  + k , k ∈ ¢ 
d. Hàm số xác định khi 2x –
2
3
3
2
3

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1 + cos x
tan x
cot x
a. y = sin x
b. y =

c. y =
; d. y =
sin x
3 + cos x
sin x − 1
5π
2π
sin x + 1
cos x + 3
) f. y =
− 3x )
e. y = cot( 3 x +
; g. y =
h. y = tan(
3
3
cos x + 5
sin x + 1
tan x + 3
1
2x
i. y = sin 2
;
k. y =
;
l. y = cos
; m. y = 1 + cos x ;
sin3 x
x −1
x −1

1
1 − cos x
n. y=
p. y = tanx + cotx ; q. y =
; r. y = cosx + sinx
cos x − cos3 x
1 + cos x
2
x +1
s. y = cos
;
t. y = sin x + 4 ; u.y = cos x 2 -3x+2 v. y =
cos2x
x+2
π
1
1
π
−
w. y = 2 − sinx ; x. y = tan(x + ) ; y. y = cot(2x – ) ; z. y =
3
sinx 2cosx
4
9


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng

II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác

cos(–x) = cosx; sin(–x) = –sinx; tan(–x) = – tanx; cot(–x)
= –cotx
2
sin2(–x) = [ sin(-x) ] = (–sinx)2 = sin2x
Phương pháp:
Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x ∈ D ⇒ − x ∈ D, ∀x
Bước 2 : Tính f(–x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng
f ch½
n
 f (− x) = f (x)

f lÎ
 f (− x) = − f (x)
Cã x ®Ó f (− x ) ≠ ± f (x )
f kh«ng ch½
n,kh«ng lÎ

0
0
0
Ví dụ
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y = xcos3x; b)y = x3sin 2x; c)y = 3sin x–2
a) f(x) = x.cos3x. Hàm số có TXĐ D= R.
Ta có với x ∈ D thì - x ∈ D

và f(-x) = (–x).cos3(–x) = –x.cos3x = –f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b) y = x3sin 2x là hàm số chẵn.
c) y = 3sin x -2 là hàm số không chẵn và

không lẻ trên R.

Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
3) y = sin2x + 2 4) y =
8) y = – 2 +3cosx
12)y = cotx.

1) y = –2cosx

2) y = sinx + x

1 2
tan x 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x
2

9) y = cosx – sinx

10)y = tanx.sinx

sin x 13) y= sin xcos2x + tan x

7) y = sin2x

11)y = cos 2x + sin

14)y =

x

1 + cos x

1 − cos x

III. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác (nâng
cao)
Chú ý :

– 1 ≤ sinx ≤ 1; – 1 ≤ cosx ≤ 1 ; 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ;

A2 + B ≥ B
VD. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
2 + 3 cos2 x
a. y = 3 + 2sinx
b. y =
c. y = 2sin3 x + 5
4
a. Vì –1 ≤ sinx ≤ 1 nên –2 ≤ 2sinx ≤ 2 do đó 1 ≤ 3 + 2sinx ≤ 5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1 ⇔ x =
10

π
+ k π , k ∈ Z.
2


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng

π
+ k π , k ∈ Z.
2

1 2 + 3 cos2 x 5
≤
≤ .
b. Vì 0 ≤ cos2x ≤ 1 nên 2 ≤ 2 + 3cos2x ≤ 5 do đó
2
4
4
5
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = ± 1 ⇔ x = kπ , k ∈ Z.
4
1
π
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 0 ⇔ x = + k π , k ∈ Z.
2
2
c. Vì –1 ≤ sin3x ≤ 1 nên 3 ≤ 2sin3x +5 ≤ 7 do đó 3 ≤ 2sin3x + 5 ≤ 7 .
• Giá trị lớn nhất của hàm số là 7 ,
π
π
π
đạt được khi sin3x = 1 ⇔ 3x = + kπ ⇔ x = + k , k ∈ Z.
6
3
2
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 ,
π
π
π
đạt được khi sin3x = –1 ⇔ 3x = – + k π ⇔ x = – + k , k ∈ Z.
6

3
2
Bài 3*: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
π
π
1
2
1) y = 2sin(x– ) + 3
2) y = 3 – cos2x
3) y = –1 – cos (2x + )
3
2
2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = –1 ⇔ x = –

4) y =

1 + cos(4x 2 ) – 2

5) y = 2 sinx + 3

7) y = sin2 x − 4 sinx + 3

8) y =

10) y = 1– 2sin22x

11) y = 4 – 3 cos x ;

2 − 5cos2 x

3
π
16) y = 3sin(x– ) –1
4
19) y = 3 sin x + 1
13) y =

14) y =

4 − 3cos2 3 x + 1

2
;
2 − sin x

17) y = –2 +

1 − cos x

20) y = 2– 3cosx.

Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ a ; b ] thì
max f ( x) = f (b) ; min f ( x) = f (a)
[ a ; b]

[ a ; b]

[ a ; b]

[ a ; b]

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ a ; b ] thì
max f ( x) = f (a ) ; min f ( x) = f (b)
11

6) y = 5cos x +

π
4

9) y =

5 − 2cos x

12) y =

3
1 + 2 sin2 x

15) y = 1 – sin2x
18 y = 2cos x − 1


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
Bài 4*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
 π π
 π π
1) y = sinx trên đoạn  − ; − 

2) y = cosx trên đoạn  − ; 
2
3


 2 2
 π 
1 3
3) y = sinx trên đoạn  − ;0 
4) y = cos π x trên đoạn  ;  .
 2 
4 2

Hướng dẫn bài tập SGK

3π 
BT1/sgk/17 ? Căn cứ đồ thị y = tanx trên đoạn  −π ; 
2

 3π π 5π 
a) x ∈ { −π ;0;π } ;
b) x ∈ − ; ;  ;
 4 4 4

π   π   3π 
c) x ∈  −π ; − ÷U  0; ÷U  π ; ÷ ;
2  2  2 

BT2/sgk/17 :
a) Điều kiện : sin x ≠ 0 …

 π  π 
d) x ∈  − ;0÷U  ;π ÷ .
 2  2 

b) Điều kiện : 1 – cosx > 0 hay cos x ≠ 1...

D = ¡ \ { k2π , k ∈ ¢}

c) Điều kiện : x −

π π
≠ + kπ , k ∈ ¢ ...
3 2

d) Điều kiện : x +

π
≠ kπ , k ∈ ¢ ...
6

BT3/sgk/17 ?

sin x
sin x = 
− sin x

D = ¡ \ { kπ , k ∈ ¢}

 5π


D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
6

 π

D = ¡ \ − + kπ , k ∈ ¢ 
 6


,sin x ≥ 0
,sin x < 0

Mà sin x < 0 ⇔ x ∈ ( π + k2π ,2π + k2π ) , k ∈ ¢ ;
lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị hàm số y = sin x
Đồ thị của hàm số y = sinx

trên các khoảng này.

BT4/sgk/17 ?–Hàm số y = sin2x lẻ tuần hoàn chu kỳ π
 π
ta xét trên đoạn  0;  ;lấy đối xứng qua O được đồ thị trên đoạn
 2

tịnh tiến ta có đồ thị sin2( x + kπ ) = sin( 2x + 2kπ ) = sin2x ,k ∈ ¢

 π π
− ;  ,
 2 2

BT5/sgk/18 ?

π
1
–Cắt đồ thị hàm số y = cos x bởi đường thẳng y = được giao điểm ± + k2π , k ∈ ¢ .
3
2
k
2
π
,
π
+
k2π ) , k ∈ ¢
BT6/sgk/18 ? sin x > 0 ứng phần đồ thị nằm trên trục Ox. ĐS (
12


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
π

3π
BT7/sgk/18 ? cos x < 0 ứng phần đồ thị nằm dưới trục Ox. ĐS:  + k2π , + k2π ÷
2
2

8) BT8/sgk/18 ? a) Từ đk : 0 ≤ cos x ≤ 1⇒ 2 cos x ≤ 2 ⇒ 2 cos x + 1≤ 3 hay y ≤ 3
maxy = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π , k ∈ ¢

π
b) maxy = 5 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − + k2π , k ∈ ¢
2

13


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng

Chủ đề 2:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tóm tắt lý thuyết
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (1)

1. sinu = a:

tanx = tan β ⇔ x = β + k1800
0

• a > 1 ⇒ pt vô nghiệm
• −1 ≤ a ≤ 1 , đưa pt về dạng:
u = v + k 2π
sin u = sin v ⇔ 
(k ∈ ¢ )
u = π − v + k 2π
Nếu a không đưa về sinv được & u thỏa
π
π

mãn đk – ≤ u ≤
ta viết u = arcsina.
2
2
Lúc đó áp dụng công thức nghiệm:
u = arcsina+k2π
sin u = a ⇔ 
(k ∈ ¢ )
u=π − arcsina+k2π
• Đặc biệt:
π
° sin u = 1 ⇔ u = + k 2π , k ∈ ¢
2
π
° sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π , k ∈ ¢
2
° sin u = 0 ⇔ u = kπ , k ∈ ¢
 x = β o + k3600
0
sinx = sin β ⇔ 
o
o
0
 x = 180 − β + k360
π
3. tanu=a: Đk: u ≠ + k π , k ∈ ¢
2
tan u = tan v ⇔ u = v + kπ , k ∈ ¢
Nếu a không đưa về tanv được & u thỏa
π

π
mãn đk – < u < ta viết u = arctana.
2
2
Lúc đó áp dụng công thức nghiệm:
tan u = a ⇔ u = arctan a + kπ , k ∈ ¢
• Đặc biệt:
π
* tanx = 1 ⇔ x =
+ k π (k ∈ ).
4
π
* tanx = –1 ⇔ x = – + k π (k ∈ ).
4
* tanx = 0 ⇔ x = k π (k ∈ ).
14

0


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
2. cosu=a:
• a > 1 ⇒ pt vô nghiệm
• −1 ≤ a ≤ 1 , đưa pt về dạng:
cosu = cosv ⇔ u = ±v + k 2π (k ∈ ¢ )

0
0
cosx = cos β ⇔ x = ± β + k3600

4. cotu=a: Đk: u ≠ kπ , k ∈ ¢
cot u = cot v ⇔ u = v + k π , k ∈ ¢

Nếu a không đưa về cosv được & u thỏa Nếu a không đưa về cotv được & u thỏa
mãn đk 0 < u <π ta viết u = arccota.
mãn đk 0 ≤ u ≤ π ta viết u = arccosa.
Lúc đó áp dụng công thức nghiệm:
Lúc đó áp dụng công thức nghiệm:
cot u = a ⇔ u = arccota+kπ ,k ∈ ¢
cos u = a ⇔ u = ±arccosa+k2π ( k ∈ ¢ )
• Đặc biệt:
π
* cotx = 1 ⇔ x =
+ k π (k ∈ ).
• Đặc biệt:
4
π
* cotx = –1 ⇔ x = – + k π (k ∈  .
°cosu = 1 ⇔ u = k 2π , k ∈ ¢
4
°cosu = −1 ⇔ u = π + k 2π , k ∈ ¢
π
*cotx = 0 ⇔ x =
+ k π (k ∈ ).
π
2
°cosu = 0 ⇔ u = + k π , k ∈ ¢
0
0

2
cotx = cot β ⇔ x = β + k1800
VD Giải các phương trình sau:

π
1
)= −
4
2
f. cot(x –750) = –1
c. cos(2x +

a. sinx =

3
2

b. sin2x =

1
4

a. sinx =

3
2

d. tan(x – 600) =

1

4
π
e. cot(x – )= 5
3
*h. tan5x – cotx = 0
b. sin2x =

1

3
*g. tan3x = tanx
π
π


 x = 3 + k 2π
 x = 3 + k 2π
π
k ∈¢
⇔ sin x = sin ⇔ 
⇔
3
 x = π − π + k 2π  x = 2π + k 2π


3
3
1
1
1



 2 x = arcsin 4 + k 2π
 x = 2 arcsin 4 + kπ
⇔
⇔
k ∈¢
 2 x = π − arcsin 1 + k 2π
 x = π − 1 arcsin 1 + kπ


4
2 2
4

15


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng

π 2π

2x + =
+ k 2π

2π
π
1
π

4
3
⇔
c. cos(2x + ) = − ⇔ cos(2x + ) = cos
3
4
2
4
 2 x + π = − 2π + k 2π

4
3
5π

 x = 24 + kπ
⇔
k ∈¢
 x = − 11π + kπ

24
d. ĐK x – 60o ≠ 90o + k.180o ⇔ x ≠ 30o + 180o.
1
⇔ tan( x − 600 ) = tan 300 ⇔ x − 600 = 300 + k1800 ⇔ x = 900 + k1800
tan(x – 600) =
3
1
Vậy nghiệm của Pt tan(x – 600) =
là: x = 900 + k1800 k ∈ ¢
3
π

π
π
e. cot(x – ) = 5 ⇔ x − = arc cot 5 + kπ ⇔ x = + arc cot 5 + kπ k ∈ ¢
3
3
3
f. ĐK x ≠ 75o + k180o.
cot(x –750) = –1 ⇔ x − 750 = −450 + k1800 ⇔ x = 300 + k1800 k ∈ ¢
Vậy nghiệm của Pt cot(x –750) = –1 là: x = 300 + k1800

k ∈¢

π
π
π


 x ≠ 6 + k 3
3x ≠ 2 + kπ
⇔ 
k ∈¢
g. tan3x = tanx. Điều kiện 
 x ≠ π + kπ
 x ≠ π + kπ


2
2
π
Ta có : tan3x = tanx ⇔ 3x = x +l π ⇔ x = l

(l ∈ Z )
2
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = m π (m∈ ¢ )
π
π
π


5 x ≠ + k π
x ≠ + k
⇔ 
10
5 (k ∈ ¢ )
2
h. tan5x – cotx = 0. Điều kiện 
 x ≠ kπ
 x ≠ kπ
π
π
π
π
− x) ⇔ 5x = − x + l π ⇔ x =
+l
(l ∈ ¢ )
6
2
2
12
π
π

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:
x=
+l
(l ∈ ¢ ).
6
12
Bài tập
π
1
3
1) Giải : a. sinx = –
.
b. sin(2x – ) = . c. sin(3x – 2) = –1.
6
2
2
tan5x = cotx ⇔ tan5x = tan(

16


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
ĐS :

π

 x =– 3 + k2π
a. 
 x =2π + k2π


3

2) Giải: a. sin2x = – 2/3.

π

 x =6 + kπ
b. 
 x =π + kπ

2

c. x =

b. sin(x – 300) =

2
.
2

2
π
2π
–
+k
3
6
3

(k ∈  ).

1
π
1
arcsin(–2/3) + k π ; x =
– arcsin(–2/3) + k π (k ∈ Z).
2
2
2
b. x = 750 + k3600 ; x = 1650 + k3600 (k ∈ Z).
π
3) Giải: a. 2 cos(2x – ) = 1.
b. cos(x – 2) = 2/5.
5
c. cos(2x + 500) = 1/2.
d. (1+2cosx)(4–3cosx) = 0.
9π
π
2
ĐS a. x =
+ kπ ; x = –
+ kπ .
b. x = 2 ± arccos + k2 π (k ∈ ).
40
40
5
2
π
c. x = 50 + k1800 ; x = –550 + k1800 . d. x = ±

+ k2 π (k ∈ ).
3

ĐS :

a. x =

4) Giải: a. sin3x – cos2x = 0.
c. sin(3x –

b. sin(5x –

5π
π
) + cos(3x + ) = 0.
6
4

d. cos

π
) + sin2x = 0.
3

x
= – cos(2x – 300).
2

a. Học sinh có thể giải pt này bằng hai cách:
π

x
π
5x π
– 2x) = 0 ⇔ 2cos( + )sin(
– )=0
2
2
4
2
4
π
2π
x
π
5x π
π
⇔ cos( + ) = 0 hoặc sin(
– ) = 0 ⇔x =
+k
hoặc x =
+ k2 π .
10
5
2
4
2
4
2
π
Cách 2 : Pt ⇔ sin3x = cos2x ⇔ sin3x = sin( – 2x)

2
π
π
⇔ 3x =
– 2x + k2 π hoặc 3x = π –
+ 2x + k2 π
2
2
π
2π
π
⇔ x=
+k
hoặc x =
+ k2 π (k ∈ ).
10
5
2
4π
2π
π
2π
b. x = –
+k
; x=
+k
(k ∈ ).
9
3
21

7
5π
π
7π
13π
c. Pt ⇔ sin(3x –
) + sin( – 3x) = 0 ⇔ 2sin(–
)cos(3x –
)=0
6
4
12
24
π
13π
25π
⇔ cos(3x –
)=0 ⇔ x=
+k
(k ∈ ).
3
24
72
Cách 1: Pt ⇔ sin3x – sin(

17


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng

x
5x
3x
+ cos(2x – 300) = 0 ⇔ 2cos(
– 150) cos(150 –
)=0
2
4
4
5x
3x
⇔ cos(
– 150) = 0 hoặc cos(150 –
)=0
4
4
⇔ x = 840 + k1440 hoặc x = 1400 + k2400
(k ∈ ).
π
5) Giải: a. sin( cosx) = 1.
b. 2cos(2cosx) = 3 .
c. cos(8sinx) = 1.
π
1
Pt ⇔ π cosx =
+ k2 π ⇔ cosx =
+ 2k (k ∈  )
2
2
1

3
1
⇔k=0∈
≤ k ≤
Do – 1 ≤ cosx ≤ 1 nên – 1 ≤
+ 2k ≤ 1 ⇔ –
2
4
4
π
1
⇔ x= ±
Khi đó cosx =
+ n2 π (n ∈  )
3
2
π
π
π
3
b. Pt ⇔ cos(2cosx) =
= cos ⇔ 2cosx = ± + k2 π ⇔ cosx = ±
+ kπ
6
6
12
2
π
π
Do –1 ≤ cosx ≤ 1 nên k = 0; pt ⇔ cosx = ±

x = ± arccos( ±
)+k2 π (k∈)
⇔
12
12
π
c. Pt ⇔ 8sinx = k2 π ⇔ sinx = k
4
π
Do –1 ≤ sinx ≤ 1 nên –1 ≤ k ≤ 1 ⇒ k = 0 hoặc k = 1 hoặc k = –1 .
4
Với k = 0 ta có sinx = 0 ⇔ x = mπ
π
π
π
⇔ x = arcsin + m2 π hoặc x = π – arcsin + m2 π
Với k = 1 ta có sinx =
4
4
4
π ⇔ x = arcsin(– π )+m2 π hoặc x= π – arcsin(– π )+ m2 π
Với k =–1 ta có sinx= –
4
4
4
d. Pt ⇔ cos

π
3
.

b. cot(450 – x) =
.
3
3
x
9π
3
3π
c. (cot – 1)(tan3x + ) = 0.
d. tan(4x +
) + cot(2x –
)=0
3
8
4
4
π
3
π
ĐS : a. x = – +
+k
b. x = – 150 + k1800 . (Nhớ ĐK)
6
2
2
x
x
3
3
c. Pt ⇔ cot – 1 = 0 hoặc tan3x +

= 0 ⇔ cot = 1 hoặc tan3x = –
3
3
4
4
1
π
3π
3
⇔ x=
+ k3 π hoặc x = arctan(– ) + k
(k ∈ ). (Nhớ ĐK)
3
3
4
4
9π
9π
3π
5π
d. Pt ⇔ tan(4x +
) = – cot(2x –
) ⇔ tan(4x +
) = tan(2x +
)
8
8
4
4
6) Giải: a. tan(2x + 3) = tan

18


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
9π
π
5π
π
= 2x +
+ kπ ⇔ x =
+k
(k ∈ ).
(Nhớ ĐK)
8
16
4
2
π
2
2
Tự luyện 1 Giải a. cos(3x – ) = –
b. cos(x –2) =
6
5
2
5
π
1

c. cos(2x + 500) =
d. (1+ 2sinx)(3– cosx)= 0
e. tan2x = tan
6
2
π
1
3
f. tan(3x –300) = –
g. cot(4x – )= 3
h. sin(3x– 450) =
6
2
3
x
x
i. sin(2x +100)= sinx
k. (cot –1)(cot +1)= 0
l. cos2x.cotx = 0
3
2
2x π
π
2
+ )= –1
m. cot(
n. sin(2x –150) = –
p. sin4x =
3 5
3

2
2
π
π
q. cos(x + 3) =
r. cos2x cot(x – )= 0
s. cos3x =
3
4
4
x π
π
t. tan( − ) = tan
u. cos3x – sin2x = 0
v. sin3x + sin5x = 0
2 4
8
Tự luyện 2 Giải
a. sin(2x –1) = sin(x+3)
b. sin3x = cos2x
c. sin4x + cos5x = 0
d. 2sinx + 2 sin2x = 0
e. sin22x + cos23x = 1
0
0
f. sin3x + sin5x = 0
g. sin(2x +50 ) = cos(x +120 ) h. cos3x – sin4x = 0.
π
π
 π 9π 

2
3
Tự luyện 3 Giải: a. sin(4x – ) =
; b. cos(x – ) =
với x ∈  − ;  ;
5
5
 4 4 
2
2
2π
π
3π
3π
c. sin(3x –
) + sin( – 4x) = 0;
d. cos(4x –
) + cos(
– 6x) = 0;
3
6
5
2
4π
π
5π
3
e. sin(2x –
) + cos(3x –
) = 0;

f. cot( – 6x) = –
;
3
3
4
3
5π
π
4π
5π
g. tan(6x –
) + cot(4x + ) = 0;
h. tan(5x +
) – cot(3x –
) = 0;
6
3
7
14
Phương trình bậc nhất ,bậc hai với một giá trị lượng giác (2)
⇔ 4x +

 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at + b = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số
lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Cách giải:• Chuyển b sang vế phải và chia hai vế cho a ta được pt cơ bản.
• Chú ý: −1 ≤ sin x ≤ 1; −1 ≤ cosx ≤ 1
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình
lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

19


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số
lượng giác, là những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Cách giải:
• Đặt HSLG làm ẩn phụ với đk cho ẩn phụ(nếu có)
• Giải pt với ẩn phụ.
• Đưa pt về dạng phương trình cơ bản.
• Chú ý: −1 ≤ sin xs ≤ 1; −1 ≤ cosx ≤ 1
Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai
đối với một hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác.
Vd1 Giải: a. 3tanx + 3 = 0; b. 2cos2x + 2 cosx – 2 = 0;
a. ĐK: x ≠

π
3
+ kπ Ta có phương trình ⇔ tanx = –
2
3

b. Đặt t = cosx ( t ≤ 1 ). PT ⇔ 2t2 +

3 tan(2x–

⇔ x =–

2 t– 2 = 0 ⇔ t 1 =

π
)+3 = 0
6

π
+ kπ
6

2
; t2 =– 2 (loại )
2

π
2 ⇔
x = ± +k2 π .
4
2
π
π
π
c. phương trình ⇔ 3 tan(2x – ) = –3 ⇔ tan(2x – ) = – 3 = tan(– )
6
6
3
π
π
π
π
⇔ 2x –

= – + kπ ⇔ x = –
+k
(k ∈  ).
(Nhớ ĐK)
6
3
12
2
Vd2 Giải: a. 8cos2x +6sinx –3 = 0 b. 6sin2x – 5sinx – 4 = 0
a. Thay cos2x = 1– sin2x ta được 8 sin2x –6 sinx –5 = 0
1

u = − 2
Đặt u = sinx, ( |u| ≤ 1). Phương trình ⇔ 8u2 – 6u – 5 = 0 ⇔ 
u = 5 (loaïi)

4
π
π
7π
1
+ 2kπ .
⇔ sinx = – ⇔ sinx = sin (– ) ⇔ x = − + 2k π ; x =
6
6
6
2
4
1
b. Đặt t = sinx, đk t ≤ 1. Khi đó pt trở thành: 6t2 – 5t – 4 = 0 ⇔ t=– hoặc t= (l)

3
2
π
5π
1
1
⇔ x=–
Với t = –
ta có sinx = –
+ k2 π hoặc x = –
+ k2 π
6
6
2
2
4
+5 =0
Vd3 Tìm nghiệm trong khoảng(0; π ) của phương trình 3 cot4x –
sin2 x
1
= 1 + cot 2 x ta được
Thay
sin2 x
khi t =

2
2

⇔ cosx =

20


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
3cot4x – 4(1+cot2x) + 5 = 0 hay 3u2 – 4u + 1 = 0 , với u cot2x >0 ⇒ u = 1 V u =

1
3

π
π
π
(1)
+ kπ = + m
4
4
2
π
1
3
• cot2x = ⇔ cot x = ±
⇔ x = ± + k π (2)
3
3
3
bằng cách biểu diễn các họ nghiệm (1) và (2) trên đường tròn lượng giác ta được
π π 2π 3π
;
nghiệm trong khoảng (0 ; π ) là ; ;

.
4 3 3
4
Bài tập :
1) Giải: a. cot2x + ( 3 – 1)cotx – 3 = 0 . b. 2sin2x – cos2x – 4sinx + 2 = 0;
c. 3sin22x + 7cos2x – 3 = 0; d. cos2x – 5sinx – 3 = 0;
e. cos2x + cosx + 1 = 0;
f. 6sin23x + cos12x = 14; g. 4sin4x + 12cos2x = 7
π
π
ĐS : a. x =
+ kπ ; x = –
+ k π (k ∈ Z).
6
4
1
1
π
b. x =
+ k2 π ; x = arcsin( ) + k2 π ; x = π – arcsin( ) + k2 π .
3
3
2
π
7π
2π
π
π
π
c.x = +k . d. x=– +k2 π ; x=

+k2 π . e. x= +k π ; x= ±
+k2 π f. VN.
6
6
3
4
2
2
π
π
g. Ta có sin4x=(1–cos2x)2. Đưa về pt trùng phương đối với cosx. ĐS :x=
+k
4
2
π
π
3
2) Giải: a.
= 3cotx + 3 ; ĐS : a. x =
+ kπ ; x =
+ kπ .
6
2
sin2 x
cos 2 x + 3cot 2 x + sin 4 x
π
b.
= 2; Đk cos2x ≠ 0, sin2x ≠ 0, sin2x ≠ 1 ⇔ x ≠ k .
cot 2 x − cos 2 x
4

π
5
π
ĐS : x = –
+ kπ ; x = –
+ kπ .
12
12
π
4 sin2 2 x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2 x
c.
= 0. ĐS: x = ± + kπ .
3
cos x
• cot2x = 1 ⇔ cotx = ± 1 ⇔ x = ±

2)
STT

Giải các phương trình sau:

1

cos2x - 2sin2x + 2 = 0

2

4sin2x – 2( 3 -

3

cos4x – 2sin2x + 2 = 0. CĐXD số 2 05

2 )sinx -

6= 0

21

ĐS
π
x = + k 2π . CĐ NTT 07
2
π
2π
x = + k 2π ; x =
+ k 2π
3
3
π
π
π
x = + k ; x = ± + kπ
4
2
3


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng

4
cos2x + cos4x – 2 = 0
cos2x - 3cosx + 2
=0
5
sin x

x = k π . CĐTCKT IV 05
π
x = ± + k 2π . CĐ Y TẾ 1 05
3

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx : asinx+bcosx = c (3)
Cách 1:

ĐK có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2

• Chia 2 vế phương trình cho
• pt ⇔ sinx.cosα + cosx.sinα =

a 2 + b 2 ≠ 0.Đặt
c

a
a2 + b 2

⇔ sin(x + α ) =

= cosα ;

b
a2 + b 2

= sinα

c

a +b
a + b2
Cách 2:
ĐK có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2
b
c
• Chia hai vế cho a ≠ 0 rồi đặt = tan α , ta được: sinx + tanα.cosx = cos α ⇔
a
a
ñaë
t
c
c
sinx.cosα + sinα.cosx = cos α ⇔ sin(x+α) = cos α = sin ϕ .
a
a
x
Cách 3: Đặt t = tan . Phương trình trở thành bậc hai với ẩn t
2
2

2

2

VD1 giải : a) Sinx + 3 cosx =1. b) 3sinx+4cosx =5. c) 3 cos3x+sin3x= 2
π

x = − + kπ

π
π
6
⇔ 
a) pt ⇔ sin (x+ ) = sin
3
6
 x = π + kπ

2
3
4
3
4
b) pt ⇔ sinx + cosx =1. Đặt sin α =
và cos α =
5
5
5
5
3
3
π

π
π
⇒ α = arcsin
với – ≤ α ≤ . pt ⇔ sin(x+ α ) = 1 ⇔ x = – arcsin + k2 π .
5
5
2
2
2
π
π
π
π
2
c) PT ⇔ sin cos3 x + cos sin3 x =
⇔ sin(3x + ) = sin
3
4
3
3
2
π
π
π
2
π


3 x + 3 = 4 + k 2π
 x = − 36 + k 3

⇔
⇔
.
3 x + π = π − π + k 2π  x = 5π + k 2π


3
4
36
3
VD2 Giải: a) 3 sinx + cosx = 2. b) cos3x – sin3x = 1. c) 2 sinx – cosx = 3

22


Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng

π
1
3
sinx + cosx = 1 ⇔ cos
6
2
2
π
π
π π
.sinx + sin .cosx = 1 ⇔ sin(x + ) = 1 ⇔ x + = + k2 π
6

6
6
2
π
π
⇔ x = + k2 π . Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = + k2 π
3
3
1
1
1
⇔
b) Chia hai vế pt cho 12 + ( −1)2 = 2 ta được
cos3x –
sin3x =
2
2
2
1
1
π
π
π
π
π
⇔ cos(3x + ) =
⇔ cos(3x + ) = cos
cos cos3x - sin sin3x =
4
4

4
4
4
2
2
2π
2π
π π



x = k 3
x = k 3
3 x + 4 = 4 + k 2π
(k ∈ ¢ )
⇔
⇔
.Vậy ngiệm là: 
 x = − π + k 2π
3 x + π = − π + k 2π  x = − π + k 2π



4
4
6
3
6
3
2

2
2
c) Ta có 2 + (-1) = 3 <3 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm.
4
3
π
Bài tập: 1/ 4sinx – 3cosx = 5;ĐS: x = α + + k 2π (với cos α = và sin α = )
5
5
2
π
π
2/ 3sin2x + 2cos2x = 3;
ĐS: x = − α + kπ ; x = + k π .
4
4
3/ 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x. ĐS: Phương trình vô nghiệm.
2
3 + 12 = 2 ta được

a) Chia hai vế pt trên cho

4/
a

Giải các phương trình sau:
cosx +

3 sinx =

2
2

b

3 sin2x – 2 2 sin x =

c

1
3 =
cos x

d

tanx -

ĐS
π
7π
x=
+ kπ ; x =
+ k 2π
12
12

6 -

Ptvn

2

7π
x=
+ k 2π KTKTCT 06
6

π
π k 2π
+ k 2π ; x =
+
6
42
7
− π k 2π
x = k 2π ; x =
+
9
3
π
x = − + k 2π . CĐGTVT 06
6
x=

3 cos4x + sin4x – 2cos3x = 0

e

sin x − sin2x
= 3 CĐ KA 04

cosx - cos2x

f

cosx − sin2x
= 3
2cos2 x - sinx - 1

g

sinxcosx + cos2x =

2 +1
2

x=

π
+ kπ . CĐSPHN 05
8

Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
Dạng: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = 0 (4).
Cách 1: • Xét cosx

= 0 ⇔ sin2x =1
π

Thay cosx = 0; sin2x = 1 vào pt nếu thỏa thì x = 2 + kπ là nghiệm của pt
23

Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
•Xét cosx ≠ 0 :Chia 2 vế cho cos2x . Pt ⇔ atan2x + btanx + c = d(1+tan2x)
Nếu phương trình có dạng asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d thì biến đổi d =
d(sin2x+cos2x) Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậcta có
asin2x + bsinx. cosx +

ccos2x = d ⇔ a.

1 − cos 2 x
sin 2 x
1 + cos 2 x
+ b.
+ c.
= d ⇔ bsin2x + (c –
2
2
2

a)cos2x = 2d – a – c
VD1 giải: a) 2sin2x+3sinxcosx+cos2x=0 ; b) 2sin2x –5sinx cosx –cos2x = –2
a) Nhận thấy cosx =0 không nghiệm đúng phương trình .

 1
+ kπ
 x = arctan  − 2 ÷

2


⇔
⇔
Pt
2tan x + 3tanx + 1 = 0
π

 x = 4 + k π
b) Nhận thấy cosx =0 không nghiệm đúng phương trình .
π

 tan x = 1
 x = 4 + kπ
⇔
pt ⇔ 4tan2x –5tanx + 1=0 ⇔ 
.
 tan x = 1
1

x = arctan + k π

4

4
VD2 Giải: a) 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1. b)4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
a) Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả
mãn phương trình. Với cosx ≠ 0 chia hai vế phương trình trên cho cos 2x ta được:
 tan x = 1
2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔ 
⇔

 tan x = −5

π

 x = 4 + kπ
. Vậy nghiệm là:

 x = arctan( −5) + kπ

π

 x = 4 + kπ
(k ∈ ¢ )

 x = arctan( −5) + kπ
1 + cos 2 x
sin2 x
1 − cos 2 x
b) Áp dụng công thức hạ bậc ta được 4.
+ 3.
–
=3
2
2
2
1
π
π
⇔ sin2x + cos2x = 1 ⇔ 2 sin(2x + ) = 1 ⇔ sin(2x + ) =
4

4
2
π π

 x = kπ
2 x + 4 = 4 + k 2π
π
π
⇔ sin(2x + ) = sin ⇔ 
⇔ 
(k ∈ ¢ )
 x = π + kπ
4
4
2 x + π = 3π + k 2π

4

4
4
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a. 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2
b. 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1
2
2
c. 2cos x -3sin2x + sin x = 1
d. 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3
e. 4sin2x + 3 3 sin2x – 2cos2x = 4
f. sin3x + 2sin2x. cosx – 3cos3x = 0
24

Bài tập lượng giác 11
 Hồ Văn Hoàng
3 )sinx.cosx – cos2x + 1 – 3 = 0
π
π
ĐS : x = − + kπ ; x = + k π . Cao Thắng 06
4
3
Bài tập 2:
STT
Giải các phương trình sau:
ĐS
x = kπ . CĐTCKT IV 05
1
cos2x + cos4x – 2 = 0
π
x = + k 2π . HSEN 06 KD
2
cos2x + 4sin4x = 8cos6x
4
3
cos4x + sin4x = cos2x
x = k π KTKTCT 06
1
π
x = ± + k π . ĐHSG 07
4
cos4x + sin4x = sin2x

2
4
π
π
x = + kπ ; x = ± + kπ .
5
cos4x - sin4x + cos4x = 0 CĐXD số 2 07
2
6
π
π
x = + kπ ; x = ± + kπ
6
2(cos4x - sin4x) + cos4x – cos2x = 0
2
6
π 
π 3

π
cos4x + sin4x + cos  x − ÷ sin  3 x − ÷ –
=0
x = + kπ . KD 05
7
4 
4 2
4

π
k

π
8
sin6x + cos6x = 2sin2 (x + )
x=
. CĐKTĐN 07
4
2
2 sin6 x + cos6 x - sinxcosx
5π
x=
+ 2mπ . KA 06
9
=0
4
2 − 2 sin x
g.

3 sin2x + (1 –

(

)

10

sin3x + cos3x = sinx – cosx

11

sin3x + sinxcosx = 1 - cos3x

14

cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
cos 4

15

x
x
− s in 4
2
2 =
sin2x

π
+ k π . CĐSP KA 04
2
π
x = + k 2π ; x = k π .
2
π
π
x = − + k 2π ; x = − + k π
2
4
x = k2 π BDD1 06
x=

1 + sin2x

π

2sin2  x + ÷
4


16

1
1
π

+
= 2 sin  x + ÷
cos x sin x
4


17

1
1
π

−
= 2 2co s  x + ÷
cos x sin x
4


x=

π
5π
+ k 2π ; x =
+ k 2π
6
6
CĐXD số 3 06

π
+ kπ . CĐCNTP 07
4
π
x = ± + k π . DBB2 04
4

x=−

25