PhUOng pháp đặc biệt giải tóan TƯƠNG giao bậc 3

CÁC PHƯƠNG
PHÁP ĐẶC BIỆT
GIẢI BÀI TOÁN
TƯƠNG GIAO
ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BẬC 3
Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG
Điện thoại: 0902.920.389


I. Mở đầu:
Trong bài toán tương giao hàm số bậc 3, phương pháp chung là xét phương trình hoành độ giao
điểm để đưa bài toán về dạng: x  a mx 2  nx  p  0 .







Tuy nhiên nếu ta không thể phân tích được thành nhân tử ta cần làm gì? Khi đó chúng ta sẽ cần
ứng dụng của phương pháp tư duy theo hai hướng sau:
 Tư duy theo cực trị hàm số bậc 3 với nghiệm của phương trình bậc 3.
 Tư duy bằng cách cô lập biến và biện luận đồ thị.
II. Lý thuyết:
Xét hàm số: y  ax 3  bx 2  cx  d .
Tính chất 1: Hàm số bậc 3 không có cực trị nào
nếu y ' có   0 . Khi đó phương trình bậc 3 có
duy nhất một nghiệm. (Như hình vẽ bên).

Tính chất 2: Hàm số bậc 3 có hai cực trị khi y ' có   0 . Khi đó gọi hai cực trị có tọa độ là



 



A x 1; y1 , B x 2 ; y2 . Nếu:

y1y2  0 , có 3 nghiệm

y1y2  0 có 2 nghiệm

y1y2  0 , có 1 nghiệm

Vì khi đó hai cực trị nằm về
hai phía của trục hoành

Vì khi đó một cực trị nằm trên
trục hoành

Vì khi đó hai cực trị nằm về
cùng một phía với trục hoành

Đặc biệt:
 Nếu 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn m thì thêm điều kiện: a.f m  0 .


 
Nếu 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn m thì thêm điều kiện: a.f m   0 .

III. Bài tập ví dụ về tư duy bằng cực trị:
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số: y  x 3  3x 2  3 m 2  1 x  2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.





x  1  m
Bài giải: y '  0  3x  6x  3 m  1  0  

x  m  1
Hàm số cắt trục hoành tại ba điểm khi và chỉ khi: y1y2  0
2



2



y1  2m 3  9m 2  9m
.

y  2m 3  9m 2  9m
 2




 2m 3  9m 2  9m

 2m

Do đó: m  3 hoặc 

3









 9m 2  9m  0  m 2 2m 2  9m  9 2m 2  9m  9  0

3
3
 m  0 hoặc 0  m  hoặc m  3 .
2
2

IV. Bài tập ví dụ về tư duy bằng cô lập biến và biện luận đồ thị:
Ví dụ 2: Cho hàm số: y  x 3  mx 2  7x  2m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại:
a) Hai điểm phân biệt.
b) Ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 2.
Bài giải: Ta có: x 3  mx 2  7x  2m  0  x 3  7x  m x 2  2 . Tới bước này, ta nhận thấy rằng





sau khi cô lập biến theo m, ta không tìm thấy nhân tử chung. Chính vì vậy, ta suy nghĩ tới việc
x 3  7x
x 3  7x
 m và tiến hành khảo sát đồ thị hàm số: f x  2
chuyển thành: 2
.
x 2
x 2
x 4  13x 2  14
Ta có: f ' x 
 0  x  1 . Lập bảng biến thiên:
2
x2  2

 

 





x



 
f x 

f' x

1

+

0



1


0

+


2

2

y m


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
a) Hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số

x 3  7x
tại hai điểm phân biệt, do đó: m  2 hoặc m  2 .
x2  2
b) Hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số

 

f x 

 

f x 

x 3  7x
tại ba điểm phân biệt, do đó: 2  m  2 . Hơn nữa, do f 2  1 , cho nên
x2  2



để ba nghiệm phân biệt cùng lớn hơn 2, ta cần điều kiện: 1  m  2 .
x
1

1
2


 
f x 

f' x

+

0



0

+


2
1
2



y m