Tài Liệu Ôn Tập Toán 10 Học Kỳ 2 Theo Từng Chủ Đề

www.thuvienhoclieu.com

PHẦN TỰ LUẬN
CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Dấu nhị thức bậc nhất
Định lí: Nhị thức f(x) = ax + b
Bảng xét dấu:
x
−∞

−

b
a

+∞

f(x) = ax +b
Trái dấu a 0 cùng dấu a
Dấu tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c
 ∆ < 0 ( ∆ = b 2 − 4ac )
• Kết luận
−∞
x
+∞
f(x)
Cùng dấu a
a.f(x) > 0 ∀x ∈ ℜ
 ∆ = 0 (tam thức bậc hai có nghiệm kép)

• Kết luận
x
b
−∞
−
+∞

2a

f(x)

cùng dấu a

a.f(x) > 0 , ∀x ≠ −

0 cùng dấu a

b
2a

 ∆ > 0 (Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 < x2)
• Kết luận
−∞
x
x1
x2
+∞
f(x)
cùng dấu a 0 trái dấu a 0cùng dấu a

a. f ( x) < 0, ∀x ∈ ( x1; x2 )
a. f ( x ) > 0, ∀x ∈ S với S = ( −∞ ;x1) ∪ (x2;+ ∞ )

Bài toán 1: Giải bất phương trình: f ( x) > 0, f ( x) < 0, f ( x) ≥ 0 , f ( x) ≤ 0 .
Phương pháp
 Đặt điều kiện f(x) có nghĩa (nếu có)
 Biến đổi đưa về tích hoặc thương của nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai
 Tìm nghiệm của những nhị thức hay tam thức bậc hai.
 Bảng xét dấu
 Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm.
BÀI TẬP
Giải các bất phương trình sau
1. (2 x + 3)(5 x − 7) ≥ 0
4. x 2 − 3 x + 2 < 0

2. (3 − 2 x)(4 x + 3) < 0
5. − x 2 + 12 x + 13 > 0

7.

8.

x+2 x−2
>
3x + 1 2 x − 1

1
3
<

x + 2 x −3

3. (2 x + 5)(3 − x)(5 x −1) ≤ 0
6. x 2 + 6 x + 9 ≤ 0
9.

5x − 6
≤6
2x − 5

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com

Bài toán 2: Giải hệ bất phương trình
Phương pháp
 Giải từng bất phương trình
 Tập nghiệm của hệ là phần giao của các tập nghiệm của các bất phương trình.
BÀI TẬP
Giải hệ bất phương trình:

x − 2 > 0
1. 
2
−3x + 6 x + 9 ≤ 0
3 x 2 + 8 x − 3 ≤ 0
4. 

2
17 x − 7 − 6 x ≥ 0

3x + 1 ≥ 2 x + 7
2. 
4 x + 3 < 2 x + 19
( x − 1)(2 x − 3) ≥ 0
x −1 ≥ 0

5. 

Bài toán 3: Giải bất phương trình f ( x) ≤ g ( x) (1)
Phương pháp



 x 2 + x + 5 < 0
3.  2
 x − 6 x + 1 > 0
2 x 2 − 7 x − 4 ≤ 0
6.  2
2 x − 15 x + 22 > 0

(1) ⇔ − g ( x) ≤ f ( x) ≤ g ( x)
 f ( x) ≤ g ( x)
⇔
( 2)
 f ( x) ≥ − g ( x )

 Giải hệ (2)

BÀI TẬP
Bài 3: Giải phương trình và bất phương trình sau
2
1. 4 − 3x ≤ 8
2. x − 4 x < 5

3. 2 x − 4 ≤ x + 12

2
4. x − 2 x < x

2
5. x − 4 + 2 x < 4

2
6. x − 3x + x − 2 < 0

2
2
7. x − x ≤ x − 1 (NC)

8.

9. ( x + 1)( x + 2) = x 2 + 3x − 4

x 2 + 2 x = −2 x 2 − 4 x + 3 (NC)
Bài toán 4: Giải bất phương trình f ( x) ≥ g ( x) (1)

Phương pháp

 f ( x ) ≥ g ( x )(2)

 (1) 
 f ( x ) ≤ − g ( x)(3)
 Giải (2) và (3)
 Tập nghiệm của (1) là hợp của (2) và (3)
BÀI TẬP
Bài 4: Giải bất phương trình sau:
1. 3 X − 2 ≥ 7
2. x − 3 > 3x + 15

2
3. x − 2 x − 8 > 2 x

4. 3 x − 1 + x − 7 > 0
5. x − 7 x + 12 < x − 4
Bài toán 5: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm
2

2

2
2
6. x + 3x + 2 + x + 2 x ≥ 0 Bài

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2

www.thuvienhoclieu.com

Phương pháp
 Tính ∆ = b − 4ac hoặc ∆ ' = b ' − ac Điều kiện để phương trình vô nghiệm
2

2

 a = 0

 b = 0 (1)
⇔  c ≠ 0

 a ≠ 0
 ∆(∆ ') < 0 (2)


 Giải (1) và (2)
 Giá trị của m là hợp của (1) và (2)
BÀI TẬP
Bài 5: Tìm m để phương trình vô nghiệm
1. x2 – (2m+1)x + m2 +2 = 0
2. (m +1)x2 + (3m – 4)x + m – 11 =0
3. mx2 – (m +1)x +m – 1= 0
4. (m + 2)x2 + 2x – m + 2 =0
2
Bài toán 6: Tìm m để phương trình ax + bx + c = 0 có nghiệm
Phương pháp
2
2

 Tính ∆ = b − 4ac hoặc ∆ ' = b ' − ac

 a = 0
(1)

b
≠
0

 Điều kiện để phương trình có nghiệm ⇔ 
 a ≠ 0

(2)
 ∆( ∆ ') ≥ 0
 Giải (1) và (2)
 Giá trị của m là hợp của (1) và (2)
BÀI TẬP
Bài 6: Tìm m để phương trình có nghiệm.
1. x2 + (2m – 1)x – m = 0
2. x2 – 2mx – 4m + 5 = 0
3. (m – 1)x2 – 2(m +1)x + m + 2 = 0
4. mx2 + (2 – 3m)x – 6 = 0
Bài toán 7: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
Phương pháp
 Tính ∆ = b 2 − 4ac hoặc ∆ ' = b '2 − ac

a ≠ 0
(*)
∆(∆ ') > 0

 Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm pbiệt ⇔ 
 Giải (*)
 Kết luận

BÀI TẬP
Bài 7: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1. x2 + 2(m – 1)x – 2m + 5 = 0
2. (m – 1)x2 +2x + 1 = 0
3. (m – 1)x2 + 2(m + 1)x – m – 1 = 0
4. (2 – m)x2 + 2( m + 3)x + 2m + 6 = 0
Bài toán 8: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu
www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com

Phương pháp
 Tính biểu thức a.c
 Điều kiện phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0
 Giải (*) .Kết luận

(*)

BÀI TẬP
Bài 8: Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
1. (2m2 – 5m + 3)x2 +2mx + 2 = 0
2. (m – 3)x2 + x + 10 – 3m = 0
3. (2m +3)x2 +5x + m2- 20m +36 = 0

4. (m2+ 3)x2 + 2mx + m – 7 = 0
Bài toán 9: Tìm m để f(x) = ax2 + bx + c luôn dương ∀x ∈ ¡
Phương pháp
 TH1:Nếu a = 0 thì tuỳ theo kết quả mà nhận hay loại giá trị của tham số vừa tìm đựơc.
 TH2: Nếu a ≠ 0
+ Tính ∆(∆ ')

a > 0
(*)
∆
(
∆
')
<
0


+ Để f(x) luôn dương ∀x ∈ ℜ ⇔ 
+ Giải (*)
 Kết luận: TH 1 ∪ TH 2

BÀI TẬP

Bài 9: Tìm m để f(x) luôn dương ∀x ∈ ℜ
1. f(x) = (m – 2)x2 + 2(m – 2)x + m + 4
2. f(x) = (3m + 1)x2 – (3m + 1)x + m + 4
3. f(x) = (m + 4)x2 – (m – 4)x – 2m – 1
4. f(x) = (m +3)x2 + 2(m – 1)x + 4m
Bài 10: Tìm m để bất phương trình có nghiệm ∀x ∈ ¡
1. x2 – (m – 2)x + 8m + 1 > 0

2.(m -2 )x2 + 2x – 4 > 4
3. (m – 1)x2 + 2(m +1)x + 3m – 6 > 0
4. (m + 3)x2 + 2(m +1)x + 1> 0
Bài 11: Tìm để bất phương trình vô nghiệm
1. x2 – 2(m – 2)x + m – 2 ≤ 0
2. (m – 2)x2 – 2(m – 2)x + 1 ≤ 0
2
Bài toán 10: Tìm m để f(x) = ax + bx + c luôn âm ∀x ∈ ℜ
Phương pháp
 TH1:Nếu a = 0 thì tuỳ theo kết quả mà nhận hay loại giá trị của tham số vừa tìm đựơc.
 TH2:Nếu a ≠ 0 Tính ∆(∆ ')
a < 0
(*)
∆(∆ ') < 0

 Để f(x) luôn âm ∀x ∈ ℜ ⇔ 
Giải (*)
 Kết luận: TH 1 ∪ TH 2

Bài 12: Tìm m để f(x) luôn luôn âm ∀x ∈ ¡

BÀI TẬP
www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com
2

1. f(x) = –2x + 2(m – 2)x + m – 2
Bài 13: Tìm m để bất phương có nghiệm ∀x ∈ ℜ
1. –x2 + 3x – m + 1 < 0
Bài 14: Tìm m để bất phương trình vô nghiệm
1. x2 + 2(m + 1)x – m + 3 ≥ 0

2. f(x) = 3mx2 – mx + 1
2. (m – 1)x2 – 4mx + 4 < 0
2. (m – 1)x2 + 3(m – 1)x

www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com

CHỦ ĐỀ 2. HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Kiến thức cần nhớ
Sử dụng các hệ thức cơ bản:
cos x
s inx

sin 2 x + cos 2 x = 1

cot x =

t anx.cot x = 1

1 + tan 2 x =

1
cos 2 x

BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
1. cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2sin 2 x
3. 3 − 4sin 2 x = 4 cos 2 x − 1
5. sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x.cos 2 x
7. 4 cos 2 x − 3 = (1 − 2sin x)(1 + 2sin x)
9. sin 4 x − cos 4 x = 1 − 2 cos 2 x = 2sin 2 x −1
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
2 cos 2 x − 1
s inx + cos x
cos x
3. t anx +
1 + s inx

1.

t anx =

s inx
cos x

1 + cot 2 x =

1
sin 2 x

(6)

2. 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x
4. sin x.cotx+ cos x.t anx = s inx + cos x
6. cos 4 x − sin 4 x = cos 2 x − sin 2 x
8. (1 + cos x)(sin 2 x − cos x + cos 2 x) = sin 2 x
10. sin 3 x cos x + sin x cos 3 x = sin x cos x
1 − cos x
1
−
2
sin x 1 + cos x
s inx + t anx
− s inx.cot x
4.
t anx

2.

Dạng 3: Biến đổi thành tích
1. 2 cos 2 x − 1
2. 3 − 4sin 2 x
3. s inx.cos x + cos 2 x −1
4. sin 2 x + s inx.cos x − 1
5. 1 + s inx + cos x + t anx
6. t anx − cot x + s inx + cos x
2
7. cos x.tan x − 1 − cos x
8. 3 − 4 cos 2 x − s inx(2sin x + 1)
9. cos3 x + cos 2 x + 2sin x − 2

10. cos3 x − sin 3 x + s inx + cos x
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x:
1. cos 4 x − sin 4 x + 2sin 2 x
2. sin 4 x + sin 2 x.cos 2 x + cos 2 x
3. cos 4 x + sin 2 x.cos 2 x + sin 2 x
4. (t anx + cot x) 2 − (t anx − cot x) 2
5. cos 4 x (2 cos 2 x − 3) + sin 4 x (2sin 2 x − 3)
6. sin 6 x + cos6 x − 2sin 4 − cos 4 x + sin 2 x
7. sin 4 + 4 cos 2 x + cos 4 + 4sin 2 x
8. cos 2 x.cot 2 x + 5cos 2 x − cot 2 x + 4sin 2 x

CHỦ ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác của x khi biết một giá trị của nó
Loại 1: Cho biết sinx = a và m < x < n . Tính tanx, cotx, cosx.
Phương pháp:
 Sử dụng hệ thức cơ bản
 Xác định dấu của gía trị lượng giác với điều kiện cho trước.
BÀI TẬP
Bài 1: Tính cosx, tanx, cotx, biết:
3
và 00 < x < 900
4
5
π
3. s inx =
và < x < π
13
2

1. s inx =

4
và 900 < x < 1800
5
12
π
4. s inx =
và 0 < x <
13
2

2. s inx = −

Bài 2: Tính tanx, cotx, cosx biết:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com
−5
2. cos x =
và 1800 < x < 2700
13
8
π
4. cos x =
và < x < π
17

2

4
1. cos x = và 0 < x < π
5
3
3. cos x = và 00 < x < 900
5

Bài 3: Tính cosx, sinx cotx biết :
1. t anx =

π
< x <π
2
−π
4. t anx = 3 và − π < x <
2

3
π
và 0 < x <
4
2

2. t anx = − 2 và

3. t anx = 2 và 00 < x < 900
Bài 4: Tính sinx, cosx, tanx biết:

2
π
3π
và 0 < x <
2. cot x = 2 và π < x <
3
2
2
3. cot x = 2 và 00 < x < 900
4. cot x = 3 và 1800 < x < 3600
Bài 5: Cho biết t anx = −2 . Tính giá trị biểu thức.
5 cot x + 4 tan x
2sin x + cos x
1. A =
2. B =
5cot x − 4 tan x
cos x − 3sin x
Bài 6: Cho biết cot x = 2 . Tính giá trị biểu thức
3sin x − cos x
sinx − 3cos x
1. A =
2. B =
s inx + cos x
s inx + 3cos x
2
Bài 7: Cho biết s inx = và 00 < x < 900 . Tính giá trị biểu thức
3
t anx − cos x
t anx.cos x
− cos x.cot x

1. A =
2. B =
cot x
sin 2 x
4
π
Bài 8: Cho biết cos x = − và < x < π . Tính giá trị biểu thức
5
2
cot x + t anx
s inx
1. A =
2. B = cot x +
cot x − t anx
1 + cos x

1. cot x =

CHỦ ĐỀ 4. CUNG LIÊN KẾT

β

sinβ
cosα

π-α
π +α

sinα
- sinα

π
−α
2

cosβ
sinα

tanβ
cotα

cotβ
tanα

- cosα
- tanα
- cosα
tanα
BÀI TẬP
Bài 1: Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của x
1. sin( x − 900 )
2. cos(1800 + x)
3. sin(2700 − x)
4.
0
0
0
5. cos( x + 540 )
6. cot(180 + x)
7. sin( x − 450 )

8.
9. tan(

11π
+ x)
2

10. sin( x +

7π
)
2

11. tan( x − 5π )

- cotα
cotα

sin( x − 1800 )
tan(3600 − x)
5π
12. cos( x − )
2

CHỦ ĐỀ 5. CÔNG THỨC CỘNG – NHÂN ĐÔI

1. sin(α − β ) = sin α cosβ − cosα sin β
3. cos(α − β ) = cosα cosβ + sin α sin β
tan α − tan β
5. tan(α − β ) =

1 + tan α tan β
7. sin 2α = 2sin α cos α

2. sin(α + β ) = sin α cosβ + cosα sin β
4. cos(α + β ) = cosα cosβ − sin α sin β

tan α + tan β
1 − tan α tan β
2
8. cos 2α = cos α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α

6. tan(α + β ) =

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


9. tan 2α =

www.thuvienhoclieu.com

2 tan α
1 − tan 2 α

Bài 1: Tính giá trị biểu thức

1
π
π

12 π x 3π
(0 < x < )
2. sin( − x) , biết cos x = − ( < < )
2
3
3
3
13 2 2 4
π
−4
3π
π
5π
(π < x <
)
3. cot( x − ) , biết sin x =
4. tan( x + ) ,biết cot( − x) = 2
4
5
2
4
2
4
8
(00 < a < 900 ) , sin b =
(900 < b < 1800 ) .Tính sin(a − b), cos(a + b)
Bài 2: Cho sin a =
5
17

π
1. cos( x + ) , biết s inx =

Bài 3: Chứng minh đẳng thức
2 tan x
1 − tan 2 x

1. sin 2 x = 2sin x cos x

2. cos2 x = cos 2 x − sin 2 x

3. tan 2 x =

4. sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x

5. cos3x = 4 cos3 − 3cos x

6. cos x + s inx = 2cos( x − ) = 2 sin( x + )

π
4

π
3

π
4

7. cos x − s inx = 2cos( x + ) = 2 sin( x − )

π
3

π
4

π
4

8. tan x tan( − x) tan( + x) = tan 3 x

CHỦ ĐỀ 6. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

α +β
α −β
.cos
2
2
α +β
α −β
.cos
3. sin α + sin β = 2sin
2
2

1. cosα + cosβ = 2 cos

α +β
α −β
.sin

2
2
α +β
α −β
.sin
4. sin α − sin β = 2 cos
2
2

2. cosα − cosβ = −2sin

BÀI TẬP
Bài 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức
cos2a − cos4a
biết a = 200
sin 4a − sin 2a
cos a.cos10a
π
3. C =
, biết a =
cos2a + cos4a
13

1. A =

cos a.cos13a
π
, biết a =
cos3a + cos5a
17

tan 2a − sin 2a
2
D=
, biết t ana =
tan 2a + sin 2a
15

2. B =
4.

Bài 2: biến đổi thành tích các biểu thức sau:
1. 1 + s inx − cos2 x
2. 1 + s inx + cos x
3. cos x + sin 2 x − cos3 x
4. sin 3 x − s inx + sin 2 x
5. 1 + cos x + cos2 x + cos3 x 6. sin 3x + s inx − sin 2 x + 2(1 − cos x) cos x
7. s inx − sin 3x + sin 7 x − sin 5 x
8. cos x + cos3x + 2cos 5 x

CHỦ ĐỀ 7. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1
1
1. cosα .cosβ = [ cos(α + β ) + cos(α − β ) ]
2. sin α . sin β = − [ cos(α + β ) − cos(α − β )]
2
2
3. sin α .cosβ =

1
[ sin(α + β ) + sin(α − β ) ]

2

BÀI TẬP
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
1. cos11x.cos3x − cos17 x.cos9 x

2. sin18 x.cos13 x − sin 9 x.cos4 x

3. s inx.sin 3 x + sin 4 x.sin 8 x

4. sin 2 x.sin 6 x.cos4 x + cos12x

1
4

CHỦ ĐỀ 8. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng:
Phương pháp:
Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước:
www.thuvienhoclieu.com

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com

- Tìm một vectơ chỉ phương u = (u1 ; u 2 ) của đường thẳng ∆.
- Tìm một điểm M0(x0; y0) thuộc ∆.
 x = x 0 + u1t
 y = x0 + u 2 t

- Phương trình tham số của ∆ là : 

*Chú ý:
- Nếu ∆ có hệ số góc k thì ∆ có vectơ chỉ phương u = (1; k ) .
- Nếu ∆ có vectơ pháp tuyến n = (a; b) thì ∆ có vectơ chỉ phương u = (−b; a ) hoặc u = (b;− a )
BÀI TẬP
Bài 1:Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm A(2; -5) và có vectơ chỉ phương u = (3;−4)
b) d đi qua điểm M(-3; -4) và có vectơ pháp tuyến n = (−2;−5)
Bài 2:Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(7; 1) và có hệ số góc k = -2.
b) d đi qua hai điểm A(6; 4) và B(8; -3)
x = 1 + t
. Viết phương trình tham số của đường
 y = 4 + 2t

Bài 3:Cho đường thẳng d có phương trình tham số 
thẳng

a) Đi qua M(8; 2) và song song với đường thẳng d
b) Đi qua N(1; -3) và vuông góc với d.
Dạng 2: Phương trình tổng quát của đường thẳng.
Phương pháp:
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước:
- Tìm một vectơ pháp tuyến n = (a; b) .
- Tìm một điểm M0(x0; y0) thuộc ∆.
- Viết phương trình ∆ theo công thức: a(x – x0) + b(y – y0) = 0
- Biến đổi về dạng: ax + by + c = 0
* Chú ý: (d): ax + by + c = 0

+ (d1) // (d) ⇒ (d1 ) : ax + by + c1 = 0 ( c1 ≠ c )
+ (d2) ⊥ (d) ⇒ (d 2 ) : bx − ay + c 2 = 0
Bài tập:
Bài 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(1; 1) và có vectơ pháp tuyến n = (3;−7)
b) d đi qua điểm M(-4; 2) và có vectơ chỉ phương u = (2;−3)
c) d đi qua A(2; -5) và có hệ số góc k =

3
2

d) d đi qua hai điểm A(3; -6), B(6; 5).
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d cắt Ox và Oy lần lượt tại A(2; 0) và B(0; -5)
b) d vuông góc với Ox tại M(-4; 0).
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(5; 3), B(-1; 2), C(-4; 5). Viết phương trình tổng quát của
a) Đường cao AH.
b) Trung tuyến AM, BN, CP.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


www.thuvienhoclieu.com

Bài 4: Cho đường thẳng d: x + y + 7 = 0. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các
trường hợp sau:
a) ∆ đi qua M(1; 3) và có cùng hệ số góc với d.
b) ∆ đi qua M(1; 3) và vuông góc với d.
 x = 1 + 3t

. Viết phương trình tổng quát của đường
y = 5 − t

Bài 6: Cho đường thẳng d có phương trình tham số 

thẳng ∆ đi qua M(2; 4) và vuông góc với d.
Bài 7: Cho tam giác ABC với A(2; 2). Lập phương trình các cạnh của tam giác biết rằng 9x + 3y – 4 =
0 và x + y – 2 = 0 là phương trình các đường cao kẻ từ B và C
Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Phương pháp
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d 1): a1x + b1y + c1 = 0
và (d2): a2x + b2y + c2 = 0 ta xét các trường hợp sau: (đk: a2, b2, c2 khác 0)
+ (d1) cắt (d2) ⇔

a1 b1
≠
a 2 b2

+ (d1) // (d2) ⇔

a1 b1 c1
=
≠
a 2 b2 c 2

+ (d1) ≡ (d2) ⇔

a1 b1 c1
=
=

a 2 b2 c 2

a1 x + b1 y + c1 = 0
a 2 x + b2 y + c 2 = 0

Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình 

Bài tập:
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng.
a) 

x = 5 + t
 y = −3 + 2t

và

c) 2x – y – 13 = 0

và

 x = 4 + 2t

 y = −7 + 4t
 x = 4 + 2t

 y = −7 + 3t

x = 5 + t
 y = −1
x = 5 + t

d) 
 y = −1 − t

b) 

và

x+y–5=0

và

x+y–4=0

Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng.
a) d1: 2x + 3y + 1 = 0 và d2: 4x + 5y – 6 = 0
b) d1: 3x – 2y + 1 = 0 và d2: 2x + 3y – 5 = 0
x = 4 − t
 y = −1 + 2t

c) d1: 

và

 x = 7 − 4t
 y = −5 − 2t

d2: 

 x = 3 + 4t
 y = −2 − 5t

d) d1: 

và

d2: 5x + 4y – 7 = 0

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Đường phân giác của góc tạo bởi 2
đường thẳng.
Phương pháp:
* Để tính khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 ta dùng công thức:
d (M 0 ; ∆) =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

* Nếu đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ là ∆, ta
luôn có:
- Một nửa mặt phẳng chứa các điểm M1(x1; y1) thỏa mãn: ∆(M1) = ax1 + by1 + c > 0
- Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm M2(x2; y2) thỏa mãn: ∆ (M2)=ax2 + by2 + c < 0
* Cho hai đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; (d2): a2x + b2y + c2 = 0
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1) và (d2) là:
a1 x + b1 y + c1
a12 + b12

=±

a 2 x + b2 y + c 2
a 22 + b22

BÀI TẬP
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:
www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com

a) A(3; -2) và ∆: 4x – 7y + 1 = 0
b) B(-5; 3) và ∆: 10x – 16y + 2 = 0
 x = 7 + 2t
 y = −6 − 4t

c) M(5; -2) và ∆: 

Bài 2: Tính bán kính đường tròn có tâm I(1; 5) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x – 3y + 1 = 0
Bài 3: Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng ∆1: 2x + 4y + 7 = 0 và
∆2: x – 2y – 3 = 0
Bài 4: Tìm phương trình của tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng ∆1: 5x + 3y – 3 = 0 và
∆2: 5x + 3y + 7 = 0
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2) và B(5; 4).
Bài 6: Cho tam giác ABC, biết A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2).
a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.
b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 1) và cách điểm B(3; 6) một khoảng bằng 2.
Bài 8: Viết PT đường thẳng d song song với ∆: 3x – 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến d bằng 1
Dạng 5: Góc giữa hai đường thẳng:
Phương pháp
* Cho hai đường thẳng (∆1): a1x + b1y + c1 = 0; (∆2): a2x + b2y + c2 = 0

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được tính bởi công thức:
cos(∆1 ; ∆ 2 ) =

n1.n2
n1 . n2

=

a1.a2 + b1.b2
a12 + b12 . a22 + b22

BÀI TẬP
Bài 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng (d1): x + 2y + 4 = 0 và (d2): 2x – y – 3 = 0.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình AB: x + 2y – 1 = 0 và BC: 3x – y + 5 = 0. Viết
phương trình đường thẳng AC biết rằng AC đi qua điểm M(1; -3).
Bài 3: Cho ba điểm A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2)
a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A
b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

CHỦ ĐỀ 9. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) Phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R: ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2
b) Nếu a 2 + b 2 − c > 0 thì phương trình x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm
I(a,b); bán kính R = a 2 + b 2 − c .
c) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I(a;b);R)
Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) có phương trình: (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)( y – y0) = 0.
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn
Xác định tâm và bán kính của đường tròn x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (C)
+ Tìm a,b,c + Tâm I(a,b)

+ Bán kính R = a 2 + b 2 − c với a 2 + b 2 − c > 0
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 5 = 0
b) x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 20 = 0
c) x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3 = 0
www.thuvienhoclieu.com

Trang 11


www.thuvienhoclieu.com
e) x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0
f) 16 x 2 + 16 y 2 + 16 x − 8 y − 11 = 0

d) x + y − 4 x + 6 y + 1 = 0
Dạng 2. Lập phương trình đường tròn biết tâm và bán kính
2.1. Phương trình đường tròn có tâm I(x0;y0) và đi qua điểm A(xA;yA)
+ Bán kính đường tròn: R = IA
2
2
2
+ Phương trình đường tròn tâm I bán kính R: ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) = R
2

2

2.2. Phương trình đường tròn có đường kính AB với A(xA;yA) và B(xB;yB)
+ Tâm I(x0;y0) của đường tròn là trung điểm của AB
+ Bán kính đường tròn: R = IA = IB =

AB
2

+ Phương trình đường tròn tâm I bán kính R: ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) = R
2.3. Phương trình đường tròn có tâm I(x0;y0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆
+ Bán kính đường tròn: R = d(I; ∆)
2
2
2
+ Phương trình đường tròn tâm I bán kính R: ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) = R
Dạng 3. Lập phương trình đường tròn sử dụng phương trình đường tròn dạng khai triển
3.1. Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C
+ Gọi phương trình đường tròn: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (C)
+ Thay tọa độ 3 điểm A, B, C vào (C).
+ Giải hệ ta được a, b, c và thay a, b, c vào (C).
Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
4.1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I;R) tại điểm M(x0;y0)
+ Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
+ Tính IM
+ Vì d ⊥ IM nên IM =(A; B) là 1 vectơ pháp tuyến của d.
+ Phương trình của d: A( x − x0 ) + B ( y − y 0 ) = 0
4.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I;R) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng ∆: Ax + By + C = 0
+ Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
+ Vì d // ∆ nên phương trình d có dạng: Ax + By + C’ = 0 (C’≠ C).
+ d tiếp xúc với C(I;R) ⇔ d(I; d) = R
+ Giải phương trình ta tìm được C’ (so sánh với điều kiện)
+ Thay C’ vào phương trình d.
4.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I;R) biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng ∆: Ax + By + C = 0
+ Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
+ Vì d ⊥ ∆ nên phương trình d có dạng: Bx – Ay + C’ = 0.
+ d tiếp xúc với C(I;R) ⇔ d(I; d) = R
+ Giải phương trình ta tìm được C’.
+ Thay C’ vào phương trình d.
4.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I;R) đi qua điểm M(x0;y0) với M∉(C)
+ Gọi d:Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến cần tìm.
2

2

2

M ∈ d
 Ax + By 0 + C = 0
⇔ 0
C tx d
d ( I , d ) = R

+

+ Giải phương trình trên tìm A, B, C (bằng cách cho trước A hoặc B)
www.thuvienhoclieu.com

Trang 12


www.thuvienhoclieu.com

+ Thay A, B, C vào phương trình d.
BÀI TẬP
2

2

Bài 1. Cho phương trình đường tròn: x + y + 2 x − 4 y − 4 = 0 . (C)
a.Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc đường thẳng 3x +4y – 6 = 0.
Bài 2. Cho phương trình đường tròn: x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 . (C)
a.Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-3;2).
Bài 3. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 8y + 15 = 0.
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng ∆: x – 3y + 5 = 0
Bài 4. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(–5 ;3) và tiếp xúc với d2: 2x – y + 7 = 0
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 + 2x – 4y = 0, biết tiếp tuyến đi qua E(4;7).
Bài 6. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x +6y + 9 = 0.
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng ∆: 3x – 4y + 2 = 0
Bài 7. Cho đường tròn (C): x2 + y2 +4x – 2y –4 = 0.
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(2;1)
Bài 8. Cho tam giác ABC với A(-2;4). B(5;5), C(6;-2).
a. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng ∆: 3x + 4y + 4 = 0
Bài 9. Cho tam giác ABC với A(-2;5). B(5; -4), C(2; 3). Viết phương trình đường tròn tâm A, tiếp xúc
với BC.
Bài 10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G( -2;-1), phương trình cạnh AB là: 4x +y +15 = 0, phương
trình cạnh AC là: 2x + 5y + 3 = 0

a. Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC.
b. Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình cạnh BC.
c. Viết phương trình đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm A(1;2) và B(3;-4).
a.Viết phương trình đường tròn (C) đường kính AB.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A.
Bài 13. Viết phương trình đường tròn tâm I(2;-3) và tiếp xúc với đường thảng ∆: 3x – 4y + 2 = 0

PHẦN TRẮC NGHIỆM
CHỦ ĐỀ 1. BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỦ ĐỀ 1. BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1. Suy luận nào sau đây đúng
a > b
⇒ ac > bd
c > d

B. 

a > b
⇒a–c>b–d
c > d

D. 

A. 
C. 

Câu 2. Tìm mệnh đề đúng:
A. a < b ⇒ ac < bc

a > b
a b
⇒ > D
c
>
d
c d

a > b > 0
⇒  ac > bd
c > d > 0

B. a < b ⇒ a + c < b + c

www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


www.thuvienhoclieu.com

a < b
⇒ ac < bd
c < d

D. a < b ⇒ ac > bc .

C. 

Câu 3. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau

A. x ≥ x
B. x < 2 ⇔ x < −2 hoặc x > 2
C. x ≥ − x
D. x − y ≤ x − y
Câu 4. Cho x ≥ 0; y ≥ 0 và xy = 2 . Giá trị nhỏ nhất của A = x 2 + y 2 là
A. 2
B. 1
C. 0
Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = ( x + 3) (5 − x) là:
A. 0
B. 16 ;
C. -3

D. 4
D. 5

CHỦ ĐỀ 2. BPT – HỆ BPT 1 ẨN
Câu 6. Điều kiện xác định của bất phương trình
 x ≠ ±2
.
x ≥ 1

2x
1
− 2
≤ 0 là
x −1 x − 4
x ≠ 2
.
C. 

x > 1

 x ≠ ±2
.
x > 1
1
> x + 1 có nghĩa là :
Câu 7. Điều kiện để bất phương trình 2
x + 2x
A. x ∈ [ −1; +∞ ) \ { 0, −2}
B. x ∈ ( −1; +∞ )

A. 

B. 

C. x ∈ [ −1; +∞ ) \ { −2}

x ≠ 2
.
x ≥ 1

D. 

D. x ∈ [ −1; +∞ ) \ { 0}

Câu 8. Điều kiện của bất phương trình

1
> 2 x là :

x+2
C. x > −2

A. x ≠ 2
B. x ≠ −2
D. x < −2
2
Câu 9. Tìm điều kiện của bất phương trình: 3 − x + x + 1 ≤ x .
A. x ≤ −1
B. x ≥ 3
C. −1 ≤ x ≤ 3
D. −3 ≤ x ≤ 1 .
Câu 10. Bất phương trình x − 5 > 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây:
2
A. ( x − 5 ) > 0
B. x − 5 + x − 2 > x − 2
1
1
1 1
> 2
D. x − 5 + > .
x + 25 x + 25
x x
Câu 11. Bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 2 x > 1 ?
C. x − 5 +

2

B. 2 x −

A. 2 x + x − 2 > 1 + x − 2

1
1
> 1−
x −3
x −3

C. 4 x 2 > 1
D. 2 x + x 2 + 2 > 1 + x 2 + 2
Câu 12. Bất phương trình 1 − 2 x > 0 tương đương với bất phương trình
A. 2 x −1 > 0
B. 2 x −1 < 0
C. 2 x > 1
D. −2 x > 1
Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình 3 − 2x < x là
A. ( −∞;3)
B. ( 1; +∞ )
C. ( −∞;1)
D. ( 3; +∞ )
Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình 1 <
A. ( 1; 2 )

B. ( 1; +∞ )

Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình
A. ( −∞; −2]

B. ( −∞; −2 )

1
là
x −1

C. ( −∞;1)

x+4
< 2 x + 5 là
2
C. { −2}

D. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )
D. ( −2; +∞ )

www.thuvienhoclieu.com

Trang 14


www.thuvienhoclieu.com

3x +

Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình
B. ( −∞;1)

A. ( −∞;1]

2
1

> 4 x − là
3
3
C. ( 1;+∞ )

Câu 17. Số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình
A. 2

B. 1

3− x

>

x −1
?
3− x

C. 0

Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình:
A. S = [ 5;6]

1− x

D. [ 1; +∞ )

( x − 4)

x −5

x −5

B. S = ( −∞;6]

D.

3
2

≤ 2 là:

C. S = ( 5; +∞ )

D. S = ( 5;6] .

2 x − 5 ≥ 0
là
8 − 3 x ≥ 0

Câu 19. Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
5 8

3 2 

A.  ; 
 2 3

8 5 

B.  ;  ;
8 5 

Câu 20. Tập nghiệm của hệ bất phương trình
 3 
A.  − ;1
 2 

8

 3 
B.  − ;1÷
 2 



D.  ; +∞ ÷
3


C.  ; 
3 2 
2 x + 3 > 0
là

1 − x ≥ 0
 3 
C.  − ;1
 2 

 3 
D.  − ;1÷
 2 

CHỦ ĐỀ 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Câu 21. Nhị thức f(x)= 2x – 3 dương khi
3





3



3

A. x ∈  ; +∞ ÷
B. x ∈  −∞; 
C. x ∈  −∞; ÷
2
2
2



Câu 22. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị dương với mọi x lớn hơn -2.
A. f (x) = 2x − 1
B. f (x) = x − 2

C. f (x) = 2x + 5

3



D. x ∈  ; +∞ ÷
2

D. f (x) = 6 − 3x

Câu 23. Nhi thức f ( x ) = 2 − x dương khi
A. x ∈ ( −∞;2 )
B. x ∈ ( −∞; −2 )

C. x ∈ ( 2; +∞ )
D. x ∈ ( −2; +∞ )
- 3
?
Câu 24. Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi số x nhỏ hơn
2
A. f ( x) = −2 x − 3
B. f ( x) = 2 x + 3
C. f ( x ) = −2 x + 3 D. f ( x) = 2 x − 3
Câu 25. Nhị thức f ( x) = 2 x − 4 với x ∈ ( 2; +∞ ) nhận các giá trị:
A. đều âm.
B. đều dương .
C. bằng 0.
D. không âm.
Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình ( x + 2 ) ( 5 − x ) < 0 là

A. ( −∞; −2 ) ∪ ( 5; +∞ )
B. [ 5; +∞ )
C. ( −5; −2 )
D. ( −2;5)
Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình
A. [ 2; +∞ )

B. [ 0;2 )

3x
≥ 0 là
4 − 2x
C. [ 0; 2]

D. ( −∞;0]
Câu 28. Tất cả các giá trị x thỏa mãn bất phương trình ( 3 − x ) ( 4 + x ) ≥ 0 là:
A. x ∈ [ 3; −4]
B. x ∈ ( −4;3)
C. x ∈ [ −4;3]
D. x ∈ ( −∞; −4 ) ∪ ( 3; +∞ )
www.thuvienhoclieu.com

Trang 15


www.thuvienhoclieu.com

9 − 3x
≥ 0 là:
4 − 2x

A. ( −∞;2 ) ∪ [ 3; +∞ )
B. ( 2;3)
C. ( −∞;2 ) ∪ ( 3; +∞ )
D. ( −∞;2 ] ∪ [ 3; +∞ )
x−4
≤ 0 là:
Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình:
x−2
A. S = [ 2;4 )
B. S = ( −∞;4]
C. S = ( 2;4]
D. S = [ 2;4] .
Câu 29. Tập nghiệm bất phương trình

Câu 31. Nghiệm của bất phương trình 2 x − 1 ≤ x + 2 là
1
−1
−1
≤ x≤3
≤x≤2
< x≤3
C.
D.
3
3
3
Câu 32. Tất cả các giá trị của x thoả mãn x − 1 < 1 là:
A. −2 < x < 2
B. 0 < x < 1
C. x < 2

D. 0 < x < 2
m x ∈ R khi:
Câu 33. Bất phương trình ( m + 2) x ≥ −2coùnghieä

A.

−1
≤ x≤3
3

B.

A. m > −2
B. m < −2
C. m = −2
D. m ≠ −2
Câu 34. Cho bất phương trình x + 2m > 2 + mx . Khi m < 1 tập nghiệm của bất phương trình là
A. ( −∞; −2)
B. ( 2;+∞ )
C. ( −2; +∞ )
D. ( −∞;2)

CHỦ ĐỀ 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 35. Cặp số nào là nghiệm của bất phương trình −2x + 3y > 3
A. ( 4; −4 )
B. ( 2;1)
C. ( −2; −1)
Câu 36. Cặp số (-2;1) là nghiệm của bất phương trình
A. x − 2 y ≤ −4

B. x − 2 y > −4
C. x + 2 y < −4
Câu 37. Tập nghiệm của bất phương trình x − 2 y + 5 < 0 là

D. ( 4; 4 )
D. x − y + 4 ≤ 0
1
2

A. Nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng y = x +

5
(không bao gồm đường
2

thẳng).
1
2

B. Nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng y = x +

5
(không bao gồm đường
2

thẳng).
1
5
(bao gồm đường thẳng).
2

2
1
5
D. Nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng y = x + (không bao gồm đường
2
2

C. Nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng y = x +

thẳng).
Câu 38. Điểm O ( 0;0 ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
x + 3y − 6 > 0
x + 3y − 6 > 0
x + 3y − 6 < 0
A. 
B. 
C. 
2 x + y + 1 > 0
2 x + y + 1 < 0
2 x + y + 1 > 0

x + 3y − 6 < 0
D. 
2 x + y + 1 < 0
x + 3y − 2 ≥ 0
2 x + y + 1 ≤ 0

Câu 39. Trong các điểm sau , điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 

A. ( 0;1)

B. ( −1;1)
C. ( 1;3)
D. ( −1; 0 )
Câu 40. Trên mặt phẳng tọa độ, góc phần tư thứ hai (không kể các trục) là miền nghiệm của hệ bất
phương trình nào sau đây?
www.thuvienhoclieu.com

Trang 16


www.thuvienhoclieu.com

x > 0
A. 
y > 0

x < 0
B. 
y < 0

x > 0
C. 
y < 0

x < 0
D. 
y > 0

CHỦ ĐỀ 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Câu 41. Tam thức bậc hai f ( x) = x 2 + (1 − 3) x + 1
A. Dương với mọi x
B. Âm với mọi x
C. Âm với mọi x thuộc (−∞, 3)
D. Không âm với mọi x
Câu 42. Tam thức nào dưới đây luôn dương với mọi giá trị của x?
A. − x 2 + 2 x − 10
B. x 2 − 2 x + 10
C. x 2 − 10 x + 2
Câu 43. Nghiệm của bất phương trình: x2 − 9 ≤ 0 là
A. x = ±3
B. x ≤ ±3
C. x ≤ −3 hoặc x ≥ 3
2
Câu 44. Tập nghiệm của bất phương trình x − 2 x − 3 < 0 là
A. (−1,3)
B. ( −∞ , −1) ∪ (3, +∞ )
C. (−3,1)
Câu 45. Nghiệm của bất phương trình
A. x ≥ 2

B. x ≤

D. x 2 − 2 x − 10
D. −3 ≤ x ≤ 3
D. (−∞, −3) ∪ (1, +∞ )

3
> 0 là
( 2 x − 1) 2

1
2

C. x ≠

1
2

D. x =

1
2

Câu 46. Tập nghiệm của bất phương trình 4 x 2 − 3x − 1 ≥ 0 là
 1 
 4 

A.  − ;1




1

B.  −1; − ÷U ( 1; +∞ )
4

 1 

C.  − ;1÷

 4 
2
Câu 47. Tập nghiệm của bất phương trình ( x + 3)( x − 1) ≤ 0 là
A. (−∞, −3]
B. [-3,1]
C. (−∞ , −3] ∪ {1}
2
Câu 48. Tập nghiệm của bất phương trình ( x − 2) ( x − 7) ≥ 0 là
A. [7,+∞ )
B. (−∞ , 2] ∪ [7,+∞ )
C. (7, +∞ ) ∪ {2}
2
Câu 49. Bất phương trình ( x − 2 x + 1).( x − 2) < 0 có tập nghiệm là
A. x < 2

x < 2
x ≠ 1

B. 

C. 1 < x < 2

1





D.  −∞; −  U [ 1; +∞ )
4
D. (−∞ , −3) ∪ {1}
D. [7,+∞ ) ∪ {2}
D. 1 ≤ x < 2

9 − x2
≥ 0 là
x 2 + 3 x − 10
B. ( −5; −3] ∪ [ 2;3)
C. ( −5; −3] ∪ ( 2;3]

Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình:

A. [ −5; −3] ∪ [ 2;3]
D. ( −5; −3) ∪ ( 2;3)
Câu 51.
Phương trình x 2 + 2(m + 1) x + 9m − 5 = 0 vô nghiệm khi
A. m ∈ (−∞;1) B. m ∈ (1;6)
C. m ∈ (−∞;1) ∪ (6; +∞ )
D. m ∈ (6; +∞ )
Câu 52.
Bất phương trình x 2 + 2(m + 1) x + 9m − 5 ≥ 0 có tập nghiệm là ¡ khi
A. m ∈ [1;6]
B. m ∈ (1;6)
C. m ∈ (−∞;1) ∪ (6; +∞ )
D. m ∈ (6; +∞ )
2
Câu 53. Bất phương trình x − 4 x − m − 5 < 0 có nghiệm khi
A. m ≤ −9

B. m ≤ −8
C. m < 7
D. m ≤ 7
2
Câu 54. Bất phương trình (m − 1) x − 2(m − 1) x + m + 3 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈¡ khi
A. m ∈ (2; +∞) B. m ∈ (1; +∞ )
C. m ∈ (−2;7) m < 7
D. m ∈ [1; +∞ )
Câu 55. Phương trình: mx 2 − 2mx + 4 = 0 vô nghiệm khi
A. 0 < m < 4
B. m < 0 hoặc m > 4
C. 0 ≤ m ≤ 4
D. 0 < m ≤ 4
2
Câu 56. Tất cả các giá trị của m để phương trình 2 x − mx + m = 0 có nghiệm là
A. m = 8 hoặc m = 0
B. m ≤ 0 hoặc m ≥ 8
C. m < 0 hoặc m > 8
D. 0 ≤ m ≤ 8
www.thuvienhoclieu.com

Trang 17


Câu 57.
A.
Câu 58.
A.

www.thuvienhoclieu.com

Điều kiện cần và đủ để phương trình x 2 − 2mx + 4m − 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt là :
m < 1 hoặc m > 3
B. 1 < m < 3
C. 1 ≤ m ≤ 3
D. m ≤ 1 hoặc m ≥ 3
2
Phương trình: mx − 2(m − 1) x + 4m = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi
1
1
1
1
m<
B. m < 0 hoặc m >
C. 0 ≤ m ≤
D. 0 < m <
4
4
4
4

Câu 59. Cho phương trình: (x − 1)(x2 − 4mx − 4) = 0 .Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi
A. m∈ R

B. m ≠ 0

C. m ≠

3
4

D. m ≠ −

3
4

Câu 60. Phương trình x 2 + 2(m + 1) x + 9m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi
A. m ∈ (− 2;1)

B. m ∈ (−2;6)

5
9

C. m ∈ ( ;1) ∪ (6; +∞ )

D. m ∈ (6; +∞ )

CHỦ ĐỀ 2. LƯỢNG GIÁC
CHỦ ĐỀ 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn
A. Chỉ một chiều chuyển động
B. Chỉ một chiều chuyển động gọi là chiều dương
C. Chỉ có một chiều chuyển động gọi là chiều âm
D. Một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại gọi là chiều âm
Câu 2. Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là
A. Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ
B. Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ
C. Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể ngược chiều quay kim đồng hồ
D. Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng có không ngược chiều quay kim đồng hồ
Câu 3. Với hai điểm A, B trên đường tròn định hướng ta có

A. Chỉ một cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
B. Đúng hai cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
C. Đúng bốn cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
D. Vô số cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
Câu 4. Khẳng định nào sau đây đúng
A. Trên đường tròn tâm O, bán kính R = 1, góc hình học AOB là góc lượng giác.
B. Trên đường tròn tâm O, bán kính R = 1, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm
cuối B là góc lượng giác.
C. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB là góc lượng giác.
D. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là
góc lượng giác.
Câu 5. Khẳng định nào sau đây đúng
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
B. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1, là một đường tròn lượng giác.
C. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1, tâm trùng với góc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1, tâm trùng với góc tọa độ là một đường tròn
lượng giác.
Câu 6. Trên đường tròn lượng giác, cung có số đo 1 rad là
A. Cung có độ dài bằng 1.
B. Cung tương ứng với góc ở tâm 600 .
C. Cung có độ dài bằng đường kính.
D.Cung có độ dài bằng nữa đường kính.
Câu 7. Khẳng định nào sau đây đúng
www.thuvienhoclieu.com

Trang 18


www.thuvienhoclieu.com

A. 1rad = 10

B. 1rad = 600

 180 

0

D. 1rad = 
÷
 π 

C. 1rad = 1800

Câu 8. Khẳng định nào sau đây đúng
A. π rad = 10

Câu 9. Trên đường tròn bán kính r = 5, độ dài của cung có số đo
A. l =

π
8

B. l =

rπ
8

 180 

C. l =

5π
8

0

D. π rad = 
÷
 π 

C. π rad = 1800

B. π rad = 600

π
là
8

D. Kết quả khác

Câu 10. Trên đường tròn bán kính r = 15, độ dài của cung có số đo 500 là
B. l = 15.

A. l = 750

180
π

C. l =

15π
180

D. l = 15.

180
.50
π

Câu 11. Trên đường tròn lượng giác, khẳng định nào sau đây đúng
A. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B chỉ có một số đo.
B. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B chỉ có hai số đo sao cho tổng của chúng bằng
π
2
C. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B chỉ có hai số đo hơn kém nhau 2 π
D. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B có vô số số đo sai khác nhau 2 π
Câu 12. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A , cung lượng giác có số đo 550 có điểm đầu A xác
định
A. chỉ có một điểm cuối M.
B. đúng hai điểm cuối M.
C. đúng 4 điểm cuối M.
D. vô số điểm cuối M
Câu 13. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A , cung AN, có điểm đầu là A, điểm cuối là N
A. chỉ có một số đo
B. có đúng hai số đo
B. có đúng bốn số đo
D. có vô số số đo
Câu 14. Lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A, các đỉnh lấy theo thứ tự đó và
các điểm B, C có tung độ dương. Khi đó góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OC bằng

A. 1200
B. -2400
C. 1200 hoặc 2400
D. 1200 + k 3600 , k ∈ Z
Câu 15. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A. Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo 450 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Ox, số đo cung lượng giác AN bằng
A. -450
B. 3150
C. 450 hoặc 3150
D. -450 + k3600 , k ∈ Z
Câu 16. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A. Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo 600 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Oy, số đo cung lượng giác AN bằng
A. 1200
B. -2040
C. -1200 hoặc 2400
D. 1200 + k3600 , k ∈ Z
Câu 17. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A. Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo 750 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ O, số đo cung lượng giác AN
bằng
A. 2550
B. -1050
0
0
C. -105 hoặc 255
D. -1050 + k3600 , k ∈ Z
Câu 18. Cho α =

π
+ 2kπ (k ∈ Z ) .Để α ∈ (19 ; 27 ) thì giá trị của k là
3

A. K =2; k =3

B. k = 3 ;k = 4

C. k = 4 ;k = 5

D. k = 5 ; k = 6

www.thuvienhoclieu.com

Trang 19


www.thuvienhoclieu.com
π
Câu 19. Cho góc lượng giác (OA, OB ) có số đo bằng . Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của
5

một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối
A.

6π
5

B.

11π
5

C.

9π
5

D.

Câu 20. Cung α có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của α là:
A.

3π
+ kπ
4

B. -

3π
+ kπ
4

C.

3π
+ k 2π
4

D. -

C.

3π
2

D.

Câu 21. Góc có số đo 1080 đổi ra radian là
A.

3π
5

B.

π
10

Câu 22. Góc có số đo

2π
đổi sang độ là
5

A. 2400

B. 1350

Câu 23. Góc có số đo

π
đổi sang độ là

9

A. 150
B. 180
Câu 24. Góc có số đo 1200 đổi sang radian là
A.

π
10

B.

3π
2

3π
+ k 2π
4

π
4

C. 720

D. 2700

C. 200

D. 250

C.

π
4

D.

31π
5

2π
3

Câu 25. Cho L, M, N, P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Cung α có mút đầu
trùng với A và số đo α = −

3π
+ kπ . Mút cuối của α ở đâu
4

A. L hoặc N
B. M hoặc P
C. M hoặc N
D. L hoặc P
Câu 26. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
A.A. 300
B. 400
C. 500
D. 600
Câu 27. Số đo góc 22030’ đổi sang radian là

A.

π
8

B.

Câu 28. Cho α =

7π
12

C.

π
+ k 2π . Tìm k để 10π < α < 11π
2

π
6

D.

π
5

A. k = 4
B. k = 6
C. k = 7
D. k = 5

0
Câu 29. Một đường tròn có bán kính R = 10cm. Độ dài cung 40 trên đường tròn gần bằng
A. 7cm
B. 9cm
C. 11cm
D. 13cm
Câu 30. Một đường tròn bán kính R =
A. 10cm

B. 5cm

10
π
cm . Tìm độ dài cung
trên đường tròn
π
2
20
π2
cm
C. 2 cm
D.
π
20

CHỦ ĐỀ 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Câu 31. Biết tan α = 2 và 1800 < α < 2700 . Giá trị cos α + sin α bằng
A. −

3 5
5

B. 1 − 5

C.

3 5
2

D.

5 −1
2

2 cos 2 x − 1
Câu 32. Rút gọn biểu thức A =
, ta được kết quả là
sin x + cos x

A. A = cosx + sinx
C. A = cos2x – sin2x

B. A = cosx – sinx
D. A = cos2x + sin2x
www.thuvienhoclieu.com

Trang 20

www.thuvienhoclieu.com
Câu 33. Tính giá trị của biểu thức A = sin 6 x + cos6 x + 3sin 2 x cos 2 x

A. A = -1

Câu 34. Biểu thức A = (
A. 1

1 − tan 2 x )
2

4 tan x

2

−

B. -1

Câu 35. Cho cos α = −
A. −

B. A = 1

5 2
;
13 3

C. A = 4

D. A = -4

1
không phụ thuộc vào x và bằng
4sin x cos 2 x
1
1
C.
D. 4
4
2

12
π
và < α < π . Giá trị của sin α và tan α lần lượt là
13
2
2
5
5 5
5
5
B. ; −
C. − ;
D. ; −
3 12
13 12
13 12

Câu 36. Biểu thức C = 2 ( sin 4 x + cos4 x + sin 2 x cos 2 x ) − ( sin 8 x + cos8 x ) có giá trị không đổi và bằng

A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
2

π
< α < π . Kết quả đúng là
2
A. sin α > 0; cos α > 0

Câu 37. Cho

C. sin α > 0; cos α < 0
Câu 38. Cho 2π < α <

5π
. Kết quả đúng là
2

B. sin α < 0; cos α < 0
D. sin α < 0; cos α > 0

A. tan α > 0; cot α > 0
B. tan α < 0; cot α < 0
C. tan α > 0; cot α < 0
D. tan α < 0; cot α > 0
2
2
2

Câu 39. Biểu thức D = cos x.cot x + 3cos x − cot 2 x + 2sin 2 x không phụ thuộc x và bằng
A. 2
B. -2
C. 3
D. -3
98
thì giá trị biểu thức 2sin 4 x + 3cos 4 x bằng
81
101
601
103
603
hay
hay
A.
B.
81
405
81
405
105
605
107
607
hay
hay
C.
D.
81
405

81
405
1
2
Câu 41. Cho biết cot x = . Giá trị của biểu thức A = 2
bằng
2
sin x − sin x.cos x − cos 2 x

Câu 40. Nếu biết 3sin 4 x + 2 cos 4 x =

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

1
Câu 42. Nếu sin x + cos x = thì 3sin x + 2cos x bằng
2
5− 7
5+ 7
5− 5
5+ 5
A.
B.
hay
hay

4
4
7
4
2− 3
2+ 3
3− 2
3+ 2
C.
D.
hay
hay
5
5
5
5
2
2
2
Câu 43. Đơn giản biểu thức A = 1 − sin x cot x + 1 − cot x ta có

(

A. A = sin 2 x
Câu 44. Biết tan x =

B. A = cos 2 x

)

(

)

C. A = − sin 2 x

D. A = − cos 2 x

2b
. Giá trị của biểu thức A = a cos 2 x + 2b sin x.cos x + c sin 2 x bằng
a−c

A. –a
B. a
C. –b
D. b
Câu 45. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng
A. sin(1800 - α ) = -cos α
B. sin(1800 - α ) = -sin α
C. sin(1800 - α ) = sin α
D. sin(1800 - α ) = cos α

www.thuvienhoclieu.com

Trang 21


www.thuvienhoclieu.com

Câu 46. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức sai

A + B + 3C
= cos C
B. cos( A + B − C ) = − cos 2C
2
A + B − 2C
3C
A + B + 2C
C
= cot
= tan
C. tan
D. cot
2
2
2
2
3
Câu 47. Cho tan x = −
và góc x thõa 900 < x < 1800. Khi đó
4
4
3
3
4
A. cot x =
B. cos x =
C. sin x =
D. sin x = −
3

5
5
5
3
Câu 48. Cho sin x = và góc x thỏa mãn 900 < x < 1800 . Khi đó
5
4
4
3
4
A. cot x =
B. cos x =
C. tan x =
D. cos x = −
3
5
4
5
3
Câu 49. Cho cot x = và góc x thỏa mãn 00 < x < 900. Khi đó
4
4
3
4
4
A. tan x = −
B. cos x = −
C. sin x =
D. sin x = −
3

5
5
5
Câu 50. Gọi M = sin 2 100 + sin 2 200 + sin 2 30 0 + sin 2 400 + sin 2 500 + sin 2 60 0 + sin 2 70 0 + sin 2 80 0 thì M bằng

A. sin

A. 0

B. 2

C. 4

Câu 51. Biết tanx = 2 , giá trị của biểu thức M =
A. −

4
9

B.

4
19

D. 8

3sin x − 2 cos x
bằng
5cos x + 7 sin x
4

C. 19

D.

4
9

Câu 52. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, mệnh đề nào sau đây đúng
A. sin(A+C) = -sinB
B. cos(A+C) = -cosB
C. tan(A+C) = tanB
D. cot(A+C) = cotB
Câu 53. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó
A. sinC = -sin(A+B)
B. cosC = cos(A+B)
C. tanC = tan(A+B)
D. cotC = -cot(A+B)
Câu 54. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó
C
 A+ B 
÷ = sin
2
 2 
C
 A+ B 
C. tan 
÷ = tan
2
 2 

A. sin 

C
 A+ B 
÷ = cos
2
 2 
C
 A+ B 
D. cot 
÷ = cot
2
 2 

B. sin 

Câu 55. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó
C
 A+ B 
÷ = sin
2
 2 
C
 A+ B 
C. sin 
÷ = cos
2
 2 

A. sin 

Câu 56. Với góc x bất kì
A. sinx + cosx = 1
C. sin3x + cos3x = 1

 A+ B 

C

B. sin 
÷ = − sin
2
 2 

C
 A+ B 
÷ = − cos
2
 2 

D. sin 

B. sin2x + cos2x = 1
D. sin4x + cos4x = 1

2sin x − 3cos x
. Giá trị của M bằng
4sin x + 7 cos x
1
1

B. M =
C. M = −
15
15

Câu 57. Biết tanx = 2 và M =
A. M = 1

D. M = −

www.thuvienhoclieu.com

2
9

Trang 22


www.thuvienhoclieu.com
2
Câu 58. Cho M = ( sin x + cos x ) − ( sin x − cos x ) . Biểu thức nào sau đây là biểu thức rút gọn của M
A. M = 2
B. M = 4
C. M = 2sin x cos x
D. M = 4sin x cos x
2

Câu 59. Cho tanx + cotx = m , gọi M = tan3x + cot3x . Khi đó
A. M = m3
B. M = m3 + 3m

C. M = m3 - 3m
Câu 60. Cho M = 5 – 2sin2x . Khi đó giá trị lớn nhất của M là
A. 3
B. 5
C. 6
2
2
Câu 61. Cho M = 6cos x + 5sin x . Khi đó giá trị lớn nhất của M là
A. 1
B. 5
C. 6
Câu 62. Giá trị lớn nhất của N = sin4x – cos4x bằng
A. 0
B. 1
C. 2
2
2
Câu 63. Biểu thức thu gọn của M = cot x – cos x là
A. M = cot2x
B. M = cos2x
C. M = 1
6
6
Câu 64. Nếu M = sin x + cos x thì M bằng
A. 1 + 3sin 2 x.cos 2 x
B. 1 − 3sin 2 x
3
2

D. M = m(m2 – 1)

D. 7
D. 11
D. 3
D. M = cot2x.cos2x

3
4

C. 1 − sin 2 2 x

D. 1 − sin 2 2 x

Câu 65. Giá trị nhỏ nhất của M = sin 6 x + cos 6 x là
A. 0

B.

1
4

C.

1
2

D. 1

Câu 66. Nếu tan α + cot α = 5 thì tan3 α + cot3 α bằng
A. 100
B. 110

C. 112
D. 115
Câu 67. Tìm đẳng thức sai
A. sin 4 x − cos 4 x = 1 − 2 cos 2 x
B. tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x
C. cot 2 x − cos 2 x = cot 2 x.cos 2 x
Câu 68. Biểu thức A =
A. -1

D.

sin x + cos x − 1
2 cos x
=
1 − cos x
sin x + cos x + 1

cos 2 x − sin 2 y
− cot 2 x.cot 2 y không phụ thuộc x và bằng
sin 2 x sin 2 y
1
1
B. 1
C.
D. 2
2

Câu 69. Nếu 3cosx + 2sinx = 2 và sinx < 0 thì giá trị đúng của sinx là
A. −

5
13

Câu 70. Khi α =

B. −

7
13

C. −

9
13

D. −

12
13

π
thì biểu thức
6

1 − cos α
1 + cos α
−
có giá trị bằng
1 + cos α
1 − cos α

B. −2 3
C. 3
1

A. 2 3

D. − 3

2π
thì biểu thức
có giá trị bằng
3
sin α − cot 2 α − cos 2 α
A. 2
B. − 2
C. 3
D. − 3
4
4
10
10
sin α cos α
1
sin α cos α
+
=
+
Câu 72. Nếu
thì biểu thức M =
bằng

a
b
a+b
a4
b4
1
1
1 1
1
1
5
4
A. 5 + 5
B.
C. 4 + 4
D.
( a + b)
( a + b)
a b
a
b

Câu 71. Khi α =

π
13π
π


= sin  x + ÷ thì giá trị đúng của cosx là

Câu 73. Nếu biết sin  x − ÷+ sin
2
2
2








www.thuvienhoclieu.com

Trang 23


A. 1

B. -1

www.thuvienhoclieu.com
1
C.
2

D. −

1
2

Câu 74. Biểu thức cos(2700 – x) – 2sin(x – 4500) + cos(x + 9000) + 2sin(2700 – x) + cos(4500 – x) có
kết quả rút gọn bằng
A. 3cosx
B. -2cosx – sinx
C. -2cosx + sinx
D. -3sinx

CHỦ ĐỀ 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
8
5
Câu 75. Nếu biết sin a =
, tan b =
và a, b đều là các góc nhọn và dương thì sin(a – b) là
17
12
20
20
21
22
A.
B. C.
D.
220
220
221
221
3
Câu 76. Nếu tanx = 0,5 ; sin y = (0 < y < 900 ) thì tan(x + y) bằng
5

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Câu 77. Với x, y là hai góc nhọn, dương và tanx = 3tany thì hiệu số x – y sẽ
A. Lớn hơn hoặc bằng 300
B. Nhỏ hơn hoặc bằng 300
0
C. Lớn hơn hoặc bằng 45
D. Nhỏ hơn hoặc bằng 450

π
π
+ kπ , α ≠ + lπ , (k , l ∈ Z ) thì
2
2
B. tan(α + β ) = 2 cot β
D. tan(α + β ) = 2 tan α

Câu 78. Nếu sin α .cos(α + β ) = sin β với α + β ≠

A. tan(α + β ) = 2 cot α
C. tan(α + β ) = 2 tan β
Câu 79. Nếu tan(a + b) = 7 , tan(a – b) = 4 thì giá trị đúng của tan2a là

11
13
13
C. −

D.
27
27
27


2
2  2π
2  2π
Câu 80. Biểu thức sin x + sin  + x ÷+ sin  − x ÷ không phụ thuộc vào x và có kết quả rút gọn
 3

 3


A. −

11
27

B.

bằng
3
4
D.
4
3
2
2

Câu 81. Biểu thức rút gọn của : A = cos a + cos (a + b) − 2 cos a.cos b.cos(a + b) bằng

A.

2
3

A. sin2a

B.

3
2

B. sin2b

C.

C. cos2a

D. cos2b

4
thì giá trị của cos 4α là
5
527
527
524
524
A.

B. C.
D. 625
625
625
625
1
Câu 83. Nếu sin a − cos a = ( 1350 < a < 1800) thì giá trị đúng của tan2a là
5
20
20
24
24
A. −
B.
C.
D. −
7
7
7
7
2
2
sin 2α + 4sin α − 4
Câu 84. Biểu thức
có kết quả rút gọn bằng
1 − 8sin 2 α − cos 4α
1
1
A. 2 tan 4 α
B. tan 4 α

C. 2 cot 4 α
D. cot 4 α
2
2
1
x
Câu 85. Biết rằng 0 < x < π và sin x + cos x = . Giá trị đúng của tan là
5
4
2 −1
3 −1
5 −1
6 −1
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2

Câu 82. Nếu sin α =

www.thuvienhoclieu.com

Trang 24


www.thuvienhoclieu.com

1
1 + sin 2 x + cos 2 x
Câu 86. Biết sin x = và 900 < x < 1800 thì biểu thức
có giá trị bằng
3
1 + sin 2 x − cos 2 x
1
1
A. 2 2
B.
C. - 2 2
D. 2 2
2 2

Câu 87. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai
A. sin 200.sin 40 0.sin 80 0 =

3
8

C. tan 90 − tan 27 0 − tan 630 + tan 810 = 4

2π
4π
6π
1
+ cos
+ cos
=−
7

7
7
2
1
− 4sin 70 0 = −2
D.
0
sin10

B. cos

Câu 88. Kết quả biến đổi nào dưới đây là kết quả sai
x
2
B. sin x.cos 3 x + sin 4 x.cos 2 x = sin 5 x.cos x
C. cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3 x − 1 = 2 cos 3 x.cos 2 x.cos x
D. sin 2 x − sin 2 2 x − sin 2 3 x = 2sin 3 x.sin 2 x.sin x

A. 1 + 2 cos x + cos 2 x = 4 cos x.cos 2

Câu 89. Nếu a = 2b và a + b + c = π thì kết quả đúng là
A. sinb(sinb + sinc) = cos2a
B. sinb(sinb + sinc) = sin2a
2
C. sinb(sinb + sinc) = sin a
D. sinb(sinb + sinc) = cos2a
Câu 90. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC thì
A. sin2a + sin2B + sin2C = 4cosA.cosB.cosC
B. sin2a + sin2B + sin2C = -4cosA.cosB.cosC
C. sin2a + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

D. sin2a + sin2B + sin2C = -4sinA.sinB.sinC
Câu 91. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC thì
A
B
C
2
2
2
A
B
C
C. cosA + cosB+ cosC = 1 − 4 cos .cos .cos
2
2
2

A. cosA + cosB+ cosC = 1 − 4sin .sin .sin

A
B
C
2
2
2
A
B
C
D. cosA + cosB+ cosC = 1 + 4 cos .cos .cos
2
2

2

B. cosA + cosB+ cosC = 1 + 4sin .sin .sin

Câu 92. Gọi M = cos(a + b).cos(a - b) – sin(a + b).sin(a – b) thì
A. M = 1 – 2cos2a
B. M = 1 - 2sin2a C. M = cos4a

D. M = sin4a

π
π
Câu 93. Rút gọn biểu thức cos( x + ) − cos( x − ) ta được
4
4
A. 2 sinx
B. - 2 sinx
C. 2 cosx
D. - 2 cosx
1
1
1
Câu 94. Cho A, B, C là các góc nhọn và tan A = , tan B = , tan C = . Tổng A + B + C bằng
2
5
8
π
π
π
π

A.
B.
C.
D.
6
5
4
3
2
2 cos 2α + 3 sin 4α − 1
Câu 95. Biểu thức A =
có kết quả rút gọn là
2sin 2 2α + 3 sin 4α − 1
cos(4α + 300 )
cos(4α − 300 )
sin(4α + 300 )
sin(4α − 300 )
A.
B.
C.
D.
cos(4α − 300 )
cos(4α + 300 )
sin(4α − 300 )
sin(4α + 300 )
tan 2 a − sin 2 a
Câu 96. Biểu thức rút gọn của A = 2
bằng
cot a − cos 2 a
A. tan6 α

B. cos6 α
C. tan4 α
D. sin6 α

www.thuvienhoclieu.com

Trang 25