10 Đề Thi Học Kỳ 2 Toán 11 Có Đáp Án

www.thuvienhoclieu.com

www.thuvienhoclieu.com
ĐỀ 1
I.

ĐỀ THI HỌC KỲ II
Môn: Toán 11
Thời gian: 90 phút

PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm)

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) . Trong các tam giác sau
tam giác nào không phải là tam giác vuông?
A. ∆SBC
B. ∆SAB
C. ∆SCD
D. ∆SBD
Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
n2 − 2
1 − 2n 2
n 2 − 2n
2n 2 − 1
u
=
A.
B.
C.
D.
u
=

n
n
5n + 3n 2
5n + 3
1 + 3n 2
5n + 3n 2
Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số

f ( x) =

x −1
x =1
x + 1 gián đoạn tại

x2 −1
f
(
x
)
=
R
C. Hàm số
x + 1 liên tục trên

B. Hàm số
D. Hàm số

f ( x) =

x +1
x 2 + 1 liên tục trên R

f ( x) =

x +1
x − 1 liên tục trên (0; 2)

2x + 3
là:
x →1 1 − x
A. −∞
B. 2
C. +∞
D. −2
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC. Khẳng định nào sau đây
đúng ?
A. SO ⊥ ( ABCD )
B. BD ⊥ ( SAC )
C. AC ⊥ ( SBD)
D. AB ⊥ ( SAD)
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng
định nào sau đây đúng ?
A. ( SCD) ⊥ ( SAD)
B. ( SBC ) ⊥ ( SAC )
C. ( SDC ) ⊥ ( SAC )
D. ( SBD) ⊥ ( SAC )
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , SA = SB , I là
trung điểm AB. Khẳng định nào sau đây sai ?
·

A. Góc giữa SC và ( ABC ) là SCI
B. SI ⊥ ( ABC )
C. AC ⊥ ( SAB)
D. AB ⊥ ( SAC )

Câu 4: Giới hạn lim−

Câu 8: Một chất điểm chuyển động có phương trình s = t 3 + 3t (t tính bằng giây, s tính bằng mét) Tính
vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0 = 2 (giây) ?
A. 15m / s
B. 7 m / s
C. 14m / s
D. 12m / s
Câu 9: Cho một hàm số . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Nếu f (a ) f (b) < 0 thì phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b) .
B. Nếu hàm số liên tục, đồng biến trên đoạn và thì phương trình không có nghiệm trong khoảng .
C. Nếu liên tục trên đoạn [ a; b ] , f (a ). f (b) < 0 thì phương trình không có nghiệm trên khoảng (a; b) .
D. Nếu phương trình có nghiệm trong khoảng thì hàm số phải liên tục trên khoảng (a; b)

(

)

a
a
( a, b ∈ Z và tối giản) thì tổng a 2 + b 2 là :
b
b
A. 10
B. 3

C. 13
D. 20
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. AC ⊥ SH
B. BC ⊥ SC
C. AB ⊥ SH
D. BC ⊥ AH

Câu 10: lim

n 2 + 3n − n 2 + 2 =

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
Câu 12: Hàm số y =
A.

3

( x + 9)

2

x+6
có đạo hàm là:

x +9
3
B. −
2
( x + 9)

C.

15

( x + 9)

2

D. −

15

( x + 9)

2

ax 2 + 4 x + 3
f ( x) bằng:
, (a ∈ R, a ≠ 0) . Khi đó xlim
→−∞
3 x − 2ax 2
a
1
A.

B. −
C. +∞
D. −∞
3
2
x+4
3
2
Câu 14: . Hàm số y = x + 2 x +
có đạo hàm là:
2
1
1
2
2
A. y ' = 3x + 4 x +
B. y ' = 3 x 2 + 4 x + 4 .
C. y ' = 3x + 4 x +
D. y′ = 3 x 2 + 4 x + 2
4
2
Câu 13: Cho hàm số f ( x) =

Câu 15: Cho hàm số y = 3x − 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song
3
1
với đường thẳng y = x + là:
2
2
3

1
3
3
3
3
A. y = x −
B. y = x − 1
C. y = x + 1
D. y = x −
2
2
2
2
2
2
Câu 16: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn hữu hạn?
n 3 − 2n + 3
3n 4 − 1
2n 3 − n
2
u
=
u
=
A. n
B.
C.
D.
u
=

u
=
n
+
2
n
−
n
n
n
n
n2 − 2
n6 + 2
n4 + 4
3
x là:
Câu 17: Giới hạn lim
x→0
1
4−
x
1
A.
B. 3
2
2+

Câu 18: Phương trình s inx = lim
A.

t →1

π

C.

D. −3

π
2 t +3−4
, có nghiệm x ∈ (0; ) là
2
t −1

B. vô nghiệm

6

3
4

2x
= 2 , khi đó a có giá trị là:
x →+∞ a + x
B. Không tồn tại

C. 300

D.

1
2

Câu 19: Biết lim

C. ∀a ∈ R

D. 0
f ( x) − f (2)
= 3 . Kết quả nào sau
Câu 20: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R thỏa mãn lim
x →2
x−2
đây là đúng?
A. f ’ ( 3) = 2
B. f ’ ( 2 ) = 3
C. f ’ ( x ) = 3
D. f ’ ( x ) = 2
A. 1

Câu 21: Đạo hàm của hàm số y = sin 3x là :
3cos 3x
cos 3x
− cos 3x
−3cos 3x
.
.
.
.
A.

B.
C.
D.
2 sin 3x
2 sin 3x
2 sin 3x
2 sin 3x
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh SA = a 2 và SA vuông
góc với mp(ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) là:
A. 450
B. 300
C. 600
D. 900
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy tâm O và M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Khẳng định nào sau đây là sai ?
www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
A. ( SBD) ⊥ ( SAC )
·
C. Góc giữa ( SCD) và ( ABCD ) là NSO

·
B. Góc giữa ( SBC ) và ( ABCD ) là SMO
D. ( SMO) ⊥ ( SNO )

Câu 24: Cho hàm số y = f (x) = cos2 x + msin x có đồ thị (C). Giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có

hoành độ x = π vuông góc với đường thẳng y = − x là:
A. Không tồn tại.
B. 0 .
C. 1.
D. −1 .
Câu 25: Hàm số y = cos x − sin x + 2 x có đạo hàm là:
A. − sin x + cos x + 2
B. sin x − cos x + 2 .
C. − sin x − cos x + 2 .
D. − sin x − cos x + 2 x .
II.PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

1 3
2
Câu 1 (1 điểm). Cho hàm số y = − x + 2mx − 3mx + 2 2 , m là tham số.
3
a)Giải bất phương trình y ′ > 0 khi m = 1 .
b)Tìm điều kiện của tham số m để y ' ≤ 0, ∀x ∈ R .
Câu 2(0,75 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 + x tại điểm có hoành độ là 1.
Câu 3(1,25 điểm ). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a . Biết SA = SC, SB
3a
= SD, SO =
và ·ABC = 600 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC.
4
a)Chứng minh SO ⊥ ( ABCD ) , ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .
b). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và IJ.
c) Tính góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC).
-----------------------------------------------

----------- HẾT ---------ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÃ ĐỀ

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM(7điểm): Mỗi câu đúng đạt 0.28 điểm
1D
2A
3B
4C
5C
6A
7D
8A
9B
10C
11D
13B
14C
15A
16B
17D
18A
19C
20B
21A
22A
23C
25C
II. PHẦN TỰ LUẬN(3 điểm)
Câu
Ý
Nội dung
1
y = − x3 + 2mx 2 − 3mx + 2 2 , m là tham số. a)Giải bpt y ′ > 0 khi m = 1 .

3
a
y ' = − x 2 + 4mx − 3m . Khi m=1, y ' = − x 2 + 4 x − 3
y ′ > 0 ⇔ 1 < x < 3 . Vậy bất phương trình y ′ > 0 có nghiệm 1 < x < 3
1
(1đ)
b)Tìm điều kiện của tham số m để y ' ≤ 0, ∀x ∈ R
b

y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0

1

a

Điểm
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25

3
4
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 + x tại điểm có hoành độ là 1.
y′(1) = 4 , y (1) = 2
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = y′(1)( x − 1) + y (1)
⇔ y = 4( x − 1) + 2 = 4 x − 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a . Biết SA = SC, SB
⇔ 4m 2 − 3m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤

2
(1đ)

12A
24D

www.thuvienhoclieu.com

0,25
0,75
0,25
0,25
0,25
0,5
Trang 3


www.thuvienhoclieu.com
3a
và ·ABC = 600 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC
4
a)Chứng minh SO ⊥ ( ABCD ) , ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .

= SD, SO =

(3đ)

∆ SAC cân tại S nên SO ⊥ AC , ∆ SBD cân tại S nên SO ⊥ BD .Vậy SO ⊥ ( ABCD ) .

0,25

 AC ⊥ SO(Cm trên)
⇒ AC ⊥ ( SBD) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD)

 AC ⊥ BD(ABCD là hình thoi)

0,25

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và IJ.

0,25

E = BO ∩ IJ ⇒ E là trung điểm của BO. Do OE ⊥ IJ;OE ⊥ SO ⇒ d ( SO, IJ ) = OE

b

Tam giác ABC đều cạnh a nên BO =

0,25

a. 3
BO a. 3
.Vậy d ( SO, IJ ) = OE =
=
2
2
4

Tính góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC).

0,5

Nhận thấy giao tuyến của (SIJ) và (SAC) song song với AC.
·
Theo trên AC ⊥ ( SBD) , do đó góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC) là OSE
· E = OE = 1 ⇒ góc giữa (SIJ) và mặt phẳng (SAC) là ·
tan OS
OSE = 300
SO
3

c

www.thuvienhoclieu.com
ĐỀ 2

0,25
0,25

ĐỀ THI HỌC KỲ II
Môn: Toán 11
Thời gian: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM ( 3 điểm)
Câu 1: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?
2n 2 − 3n + 1
k
*
A. lim 3n ;

B. lim 3
;
C. lim n k ∈ ¥ ;
2
n + 4n − 3
2 + 4 + 6 + ... + 2n
Câu 2: lim
là:
2n 2 + n + 1

(

A.

1
2

B. −

Câu 3: lim+
x →3

A.

1
2

1
4

C. −

1
2

)

D. lim

D

n3
n2 + 3

1
4

x +1
là:
2x − 6
B.

1
6

C. −∞

D. +∞

Câu 4: Đạo hàm của hàm số là:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com

A.

B.

C.

D.

Câu 5: Hàm số f ( x ) = sin 2 x + 5cos x + 8 có đạo hàm là:
A. f '( x) = 2cos2x + 5sin x .
C. f '( x) = cos2x + 5sin x .

B. f '( x) = 2cos2x − 5sin x .
D. f '( x) = −2cos2x − 5sin x .

Câu 6: Một chất điểm chuyển động có phương trình S(t) = t 3 − 3t 2 + 5t + 2 . Trong đó t > 0, t
tính bằng giây(s) và S tính bằng mét(m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là:
A. 24m / s 2
B. 17m / s 2
C. 14m / s 2
D. 12m / s 2
Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x) = 2 x 4 − 4 x + 1 tại điểm M(1; -1) có hệ số góc bằng:
A. 4

B. -12
C. 1
D. 0
uuur r uuur

r uuur

r

Câu 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, có AB = a , AD = b , AA ' = c. Gọi I là trung
điểm của BC’. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
uur

1r r 1r
2
2
uuuu
r
r r r
AC ' = 2(a + b + c)

A. AI = a + b + c

uuuu
r

r r r

B. AC ' = −a + b + c

uur

r

1r
2

1r
2

C. AI = a + b + c

D.

Câu 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc
với nhau
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với
nhau
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với
nhau
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với
nhau
Câu 10: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( α ) . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Nếu a ⊥ ( α ) và b ⊥ a thì ( α ) / /b

B. Nếu a / / ( α ) và b ⊥ ( α ) thì a ⊥ b

C. Nếu a / / ( α ) và ( α ) / /b thì b / / a

D. Nếu a / / ( α ) và b ⊥ a thì ( α ) ⊥ b

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Góc giữa hai đường thẳng AC và A1 D1 bằng
A. 900

B. 450

C. 300

D. 600

Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy
B. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật
C. Hình hộp có các cạnh bằng nhau gọi là hình lập phương
D. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đ
PHẦN II: TỰ LUẬN ( 7 điểm)
Câu 13(1,5 điểm):
www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com
(−3 x5 + 5 x3 + x − 2)
a) Tìm giới hạn sau xlim
→−∞



n 


4

b) Tính đạo hàm của hàm số y =  m + 2 ÷ ,( với m,n là tham số) tại điểm x = 1
x
 x 2 − 3x + 2 nếu

Câu 14(1,0 điểm): Tìm a để hàm số f ( x) =  x − 2
ax + 1 nếu


x<2

liên tục tại x = 2.

x≥2

Câu 15(1 ,5điểm)
a) Cho hàm số y = x3 − 5 x 2 + 2 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = −3 x − 7
x+m
có đồ thị là (Cm ) . Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao
x +1
điểm của đồ thị (Cm ) với trục hoành. Gọi k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị

b) Cho hàm số y =

(Cm ) tại điểm có hoành độ x =1 . Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho k1 + k2

đạt
giá trị nhỏ nhất
Câu 16 (3 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O.
a 3
Biết SA ⊥ ( ABCD ) , SA =
.
3

a)

Chứng minh BC ⊥ SB

b)

Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh ( BDM ) ⊥ ( ABCD )

c)

Tính góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) .
-------------------------------HẾT--------------------------------

ĐÁP ÁN
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 3 điểm)
+ Gồm 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm

Câu

1

2

3

4

5

6

7

www.thuvienhoclieu.com

8

9

10

11

12

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com

Đáp án

B

A

D

A

B

D

A

C

D

B

B

C

PHẦN II: TỰ LUẬN ( 7 điểm)
Câu

Nội dung

Điểm

( −3 x + 5 x + x − 2)
a) Tìm giới hạn sau xlim
→−∞

0,75

5 1 2
+ − )
x 2 x 4 x5

0,25

5

5
3
5
Ta có lim ( −3 x + 5 x + x − 2) = lim x ( −3 +
x →−∞

x →−∞

3

x 5 = −∞ , lim (−3 + 52 + 14 − 25 ) = −3 < 0
Mà xlim

→−∞
x →−∞

0,25

x
x
x
5
3
(−3 x + 5 x + x − 2) = +∞
Vậy xlim
→−∞

13




0,25
n 


4

b) Tính đạo hàm của hàm số y =  m + 2 ÷ ,( với m,n là tham số) tại điểm x = 1
x
4

3

0,75

'

n 
n  
n 


y =  m + 2 ÷ ⇒ y ' = 4 m + 2 ÷  m + 2 ÷
x 
x  
x 


3

0,25
3

n   2n 
8n 
n 

= 4  m + 2 ÷  − 3 ÷= − 3  m + 2 ÷
x   x 
x 
x 


Vậy y '(1) = −8n ( m + n )

14

3

0,25

 x 2 − 3x + 2 nếu
x<2

Tìm a để hàm số f ( x) =  x − 2
liên tục tại x = 2.
ax + 1
nếu
x≥2

Tập xác định D = R
x 2 − 3x + 2
(ax + 1) = 2a + 1 , • f (2) = 2a + 1
Ta có • lim−
= lim− ( x − 1) = 1 , • xlim
→ 2+
x→2
x
→
2
x−2
Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (2)

x→2

15

0,25

1,0

0,5
0,25

x→2

⇔ 2a + 1 = 1 ⇔ a = 0
Vậy với a=0 thì hàm số liên tục tại x = 1
3
2
a) Cho hàm số y = x − 5 x + 2 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = −3x − 7
Phương trình tiếp tuyết có dạng: y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −3x − 7 ⇒ f '( x0 ) = −3

+

x0 =

1,0
0,25

 x0 = 3

⇔ 3 x0 − 10 x0 = −3 ⇔ 3 x0 − 10 x0 + 3 = 0 ⇔ 
 x0 = 1

3
+ x0 = 3 ⇒ y0 = −16;
2

0,25

2

1
40
⇒ y0 =
3
27

0,25

.
0,25

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3,-16) là:
y = −3( x − 3) − 16 = −3x − 7

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7

www.thuvienhoclieu.com
1 40

Phương trình tiếp tuyến tại điểm N ( 3 ; 27 ) là:
1 40
67
y = −3( x − ) +
= − 3x +
3 27
27

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là:
y = −3 x +
b) Cho hàm số y =

0,25

67
27

x+m
có đồ thị là (Cm ) . Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao
x +1

điểm của đồ thị (Cm ) với trục hoành. Gọi k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị

0,5

(Cm ) tại điểm có hoành độ x =1 . Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho k1 + k2

đạt giá trị nhỏ nhất

x+m
1− m
⇒ y'=
x +1
( x + 1) 2
Hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm ) với trục hoành là x = −m
1
1− m
x = −m ⇒ k1 = y '(−m) =
; x = 1 ⇒ k2 = y '(1) =
1− m
4

TXĐ D=R\{-1}. Ta có y =

0,25

Ta có
k1 + k2 =

1
1− m
1
1− m
1 1− m
+
=
+

≥2
.
= 1, ∀m ≠ 1
1− m
4
1− m
4
1− m 4

Dấu “=” xảy ra
⇔

0,25

 m = −1
1
1− m
=
⇔ (1 − m) 2 = 4 ⇔ 
1− m
4
m = 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O.
16

3,0

a 3
Biết SA ⊥ ( ABCD ) , SA =

. Gọi M là trung điểm của SC.
3

www.thuvienhoclieu.com

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com

0,5

Hình vẽ 0,5 (điểm)

a) Chứng minh BC ⊥ SB

0,5

Ta có BC ⊥ SA ( do SA ⊥ ( ABCD ) ) (1) , BC ⊥ AB ( do ABCD là hình vuông) (2)

0,25

và SA, AB ⊂ ( SAB ) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB
( Có thể áp dụng định lí 3 đường vuông góc để chứng minh)
b) Chứng minh ( BDM ) ⊥ ( ABCD )
+ Xét 2mp (BDM) và (ABCD), ta có

0,25

1,0


 ⇒ MO ⊥ ( ABCD ) (1)
SA ⊥ ( ABCD ) 
+ Mà MO ⊂ ( BDM ) (2) Từ (1) và (2) suy ra ( BDM ) ⊥ ( ABCD ) .
c) Tính góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) .
MO PSA

0,5
0,5
1,0

Ta có SO là hình chiếu của SB lên mp(SAC)
·
Do đó góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) là BSO
.

0,25

OB
·
=
Xét tam giác vuông SOB, có: sin BSO
. Mà
SB
a 2
a 2
a 3 2 2a
6

·
OB =
, SB = a 2 + (
) =
⇒ sin BSO
= 2 =
2
a
2
3
4
3
3

0,5

·
⇒ BSO
≈ 37,50

0,25

·
Vậy góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC) là: BSO
≈ 37,50

www.thuvienhoclieu.com

Trang 9

www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
ĐỀ 3

ĐỀ THI HỌC KỲ II
Môn: Toán 11
Thời gian: 90 phút

Câu 1: (1 điểm) Tính các giới hạn sau:
2 − x − x2
x→1
x− 1

a) lim

x+2
x →3 x − 3
Câu 2: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x5 − 3x4 + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân
biệt.
Câu 3: (1,5 điểm)

b) lim+

a) Tính đạo hàm của hàm số y =

3x + 1
1− x

π 

 2

b) Cho hàm số f (x) = cos2 2x . Tính f ′′ ÷.
Câu 4: (1 ,5 điểm) Cho hàm số y =

x−1
.
x+ 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y =

x− 2
.
2

Câu 5: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O,
SA ⊥ ( ABCD) và SA = a 6 .
a) Chứng minh : (SBD) ⊥ (SAC ) .
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và BC.
Câu 6: (1 điểm) Cho định nghĩa bông tuyết von Koch như sau:
Bông tuyết đầu tiên K1 là một tam giác đều có cạnh bằng 1. Tiếp đó, chia mỗi cạnh của tam giác
thành ba đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bởi hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với
đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía ngoài, ta được bông tuyết K 2 . Cứ tiếp tục như vậy, cho ta
một dãy các bông tuyết K1 , K 2 , K 3 ,..., K n ... . Gọi Cn là chu vi của bông tuyết K n . Hãy tính lim Cn

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com

ĐÁP ÁN
câ
u
1

2

Đáp án

Điể
m
0.5

2 − x − x2 lim (− x − 2)(x − 1) = lim(− x − 2) = −3
=
x→1
x→1
(x − 1)
x→1
x− 1

lim

 lim+ ( x + 2 ) = 5
 x→3

x+2
lim
= +∞ vì  lim+ ( x − 3) = 0
x →3+ x − 3
 x→3
 x − 3 > 0 khi x → 3+
Xét hàm số f (x) = x5 − 3x4 + 5x − 2 ⇒ f liên tục trên R.

0.5

1

Ta có:

ff(0) = −2, (1) = 1, ff(2) = −8,

(4) = 16

⇒

ff(0). (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)

ff(1). (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1;2)
ff(2). (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2;4)

⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
3

y′ =

1

4
(x − 1)2

0.5

f ′(x) = −4cos2xsin2x ⇒ f ′(x) = −2sin4x ⇒ f ′′(x) = −8cos4x

π 
⇒ f " ÷ = −8cos2π = −8
 2

4

y=

1

2
x−1
(x ≠ −1)
⇒ y′ =
x+ 1
(x + 1)2

a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y′ (−2) = 2 ⇒ PTTT: y + 3 = 2(x + 2) ⇔
y = 2x + 1.

b) d: y =

0.5

x− 2
1
1
có hệ số góc k = ⇒ TT có hệ số góc k = .
2
2
2

1

Gọi (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có y′ (x0) = 2 ⇔

2
(x0 + 1)2

=

1
⇔
2

 x0 = 1
 x = −3
 0
S

1

1
+ Với x0 = 1⇒ y0 = 0 ⇒ PTTT: y = x − .
2

2

1
7
+ Với x0 = −3 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = x + .
2

2

5

1
a)
H

O
D

minh

:

BD ⊥ SC,(SBD) ⊥ (SAC ) .

B

A

Chứng

• ABCD là hình vuông nên BD ⊥

www.thuvienhoclieu.com
C

Trang 11


www.thuvienhoclieu.com

AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SC
• (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC)
b) Tính d(A,(SBD))
• Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD)

1

• AO = a 2 , SA = a 6 ( gt) và ∆SAO vuông tại A
2

nên

1
AH 2

⇒ AH 2 =

=

1
SA2

+

1
AO2

=

1
6a2

+

2
a2

=

13
6a2

6a2
a 78
⇒ AH =
13

13

c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
• Dế thấy do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC ⇒

1

góc giữa SC và (ABCD) là ·SCA . Vậy ta có:
SA a 6
tan·SCA =
=
= 3 ⇒ ·SCA = 600
AC a 2

d) Gọi M là trung điểm của AB.

1

6
a
2
2
5
AM + SA
Mỗi công đoạn cho ta một hình mới có số cạnh gấp 4 lần số cạnh ban đầu nên
bông tuyết K n có số cạnh là 3.4 n−1 .
Mỗi công đoạn lại làm độ dài mỗi cạnh giảm đi 3 lần nên bông tuyết K n có độ
d SO ;BC = d BC ;( SOM ) = d B ;( SOM ) = d A;( SOM ) = AK =

6

dài cạnh là

AM .SA

=

1

1
.
3n−1
n −1

Như vậy chu vi của bông tuyết K n được tính bằng Cn = 3.4n−1.
n −1

4
Suy ra lim Cn = lim3.  ÷
3

1
4
=
3.
 ÷
3n−1
3

= +∞

www.thuvienhoclieu.com
ĐỀ 4

ĐỀ THI HỌC KỲ II
Môn: Toán 11
Thời gian: 90 phút

I. Phần trắc nghiệm(6 điểm/20 câu, từ câu 1 đến câu 20): Chung cho tất cả thí sinh.
Câu 1: Đạo hàm của hàm số y = tan x là
1
1
1
1
A.
B. − 2
C.
D. 2
2
sin x
sin x
cos x
cos 2 x
Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( α ) . Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Nếu a / / ( α ) và ( α ) / /b thì b / / a

B. Nếu a / / ( α ) và b ⊥ a thì ( α ) ⊥ b

www.thuvienhoclieu.com

Trang 12


www.thuvienhoclieu.com
C. Nếu a / / ( α ) và b ⊥ ( α ) thì a ⊥ b .
Câu 3: Vi phân của hàm số y = 2 x + 1 −

D. Nếu a ⊥ ( α ) và b ⊥ a thì ( α ) / /b

1
là:
x

1 
1 
 1
 2x
+ 2 ÷dx
− 2 ÷dx
A. dy = 
B. dy = 
 2x + 1 x 
 2x + 1 x 
1 
1 
 2x
 1
+ 2 ÷dx
− 2 ÷dx
C. dy = 

D. dy = 
 2x + 1 x 
 2x + 1 x 
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Tính khoảng cách từ
điểm B đến mp (SAC).
a
a 2
a 2
a 2
A.
B.
C.
D.
2
3
4
2
Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là
trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. BC ⊥ (SAB)

B. BC ⊥ (SAM)
C. BC ⊥ (SAC)
D. BC ⊥ (SAJ)
x3 3
Câu 6: Cho hàm số f ( x) = − x 2 − 4 x + 6. Phương trình f ′( x) = 0 có nghiệm là:
3 2
A. x = −1, x = 4
B. x = 1, x = 4
C. x = 0, x = 3

D. x = −1
Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = tanx là:
A. y '' = 2 tan x(1 − tan 2 x).

B.

C.

D.

Câu 8: lim

−3n2 + 5n + 1
2n2 − n + 3

bằng:

A.

3
2

B. +∞

D. −

C. 0

3
2

Câu 9: Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) = − x 3 + x tại điểm M (−2;6). Hệ số góc của (d) là
A. −11
B. 11
C. 6
D. −12
Câu 10: Cho hình
uuu
r hộp ABCD. A’B’C’D’. Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp
và bằng vectơ AB là:
D
uuur uuuuu
r uuuuur
uuur uuuuu
r uuuuur
A. DC ; A ' B '; D ' C '
B. DC ; A ' B '; C ' D '
uuur uuuuur uuuuu
r
uuur uuuuur uuuuu
r
A
C. DC ; C ' D '; B ' A '
D. CD; D ' C '; A ' B '
B
3
1
1
1− 1− x
Câu 11: lim

bằng
A. 0 B. 1 C.
D.
x→0
3
9
x
D'

(

4

2

)

Câu 12: lim 3 x + 9 x − 5 bằng:
x→−∞

Câu 13: lim+
x →1

−2 x + 1
bằng:
x −1

A. -2 B. − ∞
A.

2
3

C. +∞

B. − ∞

C.

D. 2
1
3

A'

B'

D.

+∞
Câu 14: Điện lượng truyền trong dây dẫn có phương trình Q = t 2 . Tính cường độ dòng điện tức thời tại
thời điểm t0 = 3 (giây) ?
A. 3( A)
B. 6( A)
C. 2( A)
D. 5( A)
3
2
'
Câu 15: Cho hàm số y = f ( x) = x − 3 x + 12. Tìm x để f ( x ) < 0.

A. x ∈ ( −2;0)
B. x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞ )
C. x ∈ (−∞;0) ∪ (2; +∞ )
D. x ∈ (0; 2)
7

5

Câu 16: Đạo hàm của hàm số y =  x 4 − 6 x ÷ là:
3

6

5

A. 7  x 4 − 6 x ÷
3


6

 20

B.  x 3 − 6 ÷
 3

www.thuvienhoclieu.com

Trang 13

C

C'


www.thuvienhoclieu.com
6

6

5
 5

 20
 5

C. 7  x 4 − 6 ÷ x 4 − 6 x ÷
D. 7  x 3 − 6 ÷ x 4 − 6 x ÷
3
 3

 3
 3

Câu 17: Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình hộp?
A. Có số cạnh là 16.
B. Có số đỉnh là 8.
C. Có số mặt là 6.
D. Các mặt là hình bình hành
Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
B. Trong không gian cho hai đường thẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng
này thì vuông góc với đường thẳng kia.
C. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
với nhau.
D. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.
 x 2 + 1 khi x > 0
Câu 19: Cho hàm số: f ( x) = 
trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
khi x ≤ 0
x
A. lim+ f ( x) = 1
B. lim− f ( x) = 0
x →0

x →0

C. f (0) = 0
D. f liên tục tại x0 = 0
Câu 20: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước.
B. Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
đó .
C. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông
góc với mặt phẳng ấy.
D. Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước.
II. Phần tự luận
−2 x − 11
Câu 21 a. (1.0điểm)

1. Tìm giới hạn: lim
.
x→+ ∞ 5 x + 3
2. Tìm đạo hàm của các hàm số: y = x3 + cos (3x+1) .
Câu 22a(1.0điểm) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x 2 + 6 x + 4 tại điểm A(-1;-3)
Câu 23a (2.0điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA =
2a.
1. Chứng minh (SCD) ⊥ (SAD) .
2. Tính d(A, (SCD).
2 x − 11
Câu 21 b. (1.0điểm). 1. Tìm giới hạn: lim
.
x→−∞ 3 x + 3
2. Cho hàm số f(x) = cos2x - 4cosx - 3x . Hãy giải phương trình f ′(x) = −3.
1
1
tại điểm có tung độ bằng .
3
x
Câu23b (2.0điểm). Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a.
SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a 3 .
1. Chứng minh : (SAC ) ⊥ (SBD) .
2. Gọi I là trung điểm của AD, mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với SD. Xác định và tính diện
tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
---------------- Hết --------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ, tên thí sinh:..................................................................... Số báo danh: ............................
Câu 22b(1.0điểm) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

ĐÁP ÁN

Môn: Toán – Khối 11

www.thuvienhoclieu.com

Trang 14


www.thuvienhoclieu.com

CÂU
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

14
15
16
17
18
19
20

21a

22a

ĐA
C
C
A
D
B
A
B
D
A
A
C
C
B
B
D
D
A

C
D
B
B
D
D
A
C
D
B

ĐÁP ÁN ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 11
−2 x − 11
Câu 21a:
Tìm giới hạn: Tìm giới hạn: lim
x→+ ∞ 5 x + 3
−2 x − 11 −2
=
đ/ s lim
x→+ ∞ 5 x + 3
5
.
3
Tìm đạo hàm của các hàm số: y = x + cos (3x+1) đs: y ' = 3x 2 − 3sin(3 x + 1).
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = − x 2 + 6 x + 4 tại điểm A(-1;-3)
Ta có y′ = −2x + 6 nên y , (−1) = 8
www.thuvienhoclieu.com

0,5d

0,5
1,0d
0,5

Trang 15


www.thuvienhoclieu.com
Phuơng trình tiếp tuyến là : y + 3 = 8( x + 1) ⇔ y = 8 x + 5
23a

hình vuông nên CD ⊥ AD

S

Vì đáy là
(1)
Mặt
(2)
Từ (1) và
mà

khác, vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD

H
A

B

(2) ta có CD ⊥ (SAD)

CD ⊂ ( SCD) nên (SCD) ⊥ (SAD)

C

Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ⊥ SD,
AH ⊥ CD ⇒AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH.
1
AH

21b

2

=

1
2

SA

+

1
AD

2

=

1

2

+

1
2

⇒ AH =

0,25
0,25
0,25

O
D

0,25

2a 5
5

4a a
2a 5
Vậy: d(A,(SCD)) =
5
2 x − 11
2 x − 11 2
=
.1. Tìm giới hạn: lim
đs lim

x→−∞ 3 x + 3
x→−∞ 3 x + 3
3
2. Cho hàm số f ( x) = cos2x − 4cosx − 3 x . Hãy giải phương trình f ′(x) = −3

0,25
0,25
0,25
0,25
1,0d

f ′(x) = 2sin2x + 4sinx-3

22b

23b

sin x = 0
Ta có f ′(x) = −3 ⇔ 2sin2x + 4sinx-3 = −3 ⇔ sin x(cosx+1) = 0 ⇔ 
 cos x = −1
 x = kπ
⇔
; k ∈ Z ⇔ x = kπ , k ∈ Ζ.
 x = π + k 2π
1
1
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có tung độ bằng .
3
x
1

1
Ta có y = ⇒ y′ = − 2 (x ≠ 0)
x
x
1
1
1
1
= ⇔ x0 = 3 ; y′ (3) = − ⇒
Với y0 = ta có
x0 3
9
2
1
1
1
2
Vậy PTTT: y = − ( x − 3) + = − x +
9
3
9
3
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a.
SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a 3 .
1. Chứng minh : (SAC) ⊥ (SBD)
2. Gọi I là trung điểm của AD, mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với SD. Xác
định và tính thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).

www.thuvienhoclieu.com

2,0d

Trang 16


www.thuvienhoclieu.com
Vì đáy là hình vuông nên BD ⊥ AC
Mặt khác, vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD
Từ (1) và (2) ta có BD ⊥ (SAC )
mà BD ⊂ ( SBD) nên ( SDB) ⊥ ( SAC )

(1)
(2)

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
b, Kẻ IH ⊥ SD, HG P DC , IF P DC
Do DC ⊥ ( SAD) ⇒ HG ⊥ ( SAD) ⇒ HG ⊥ SD
Vậy ( P ) là mặt phẳng ( IHGF )

0,25

Dựng được thiết diện IFGH. Tính đúng diện tích
DH HG
=
SD = 4a ,

DS DC

0,25

3
a
7a
a;DH = ; IF = 2a; GH = .
2
2
4
IF + HG
15 3 2
S=
.IH =
a
2
16

0,25

IH =

www.thuvienhoclieu.com
ĐỀ 5

ĐỀ THI HỌC KỲ II
Môn: Toán 11
Thời gian: 90 phút

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM:
x2 − 1
Câu 1: Tính lim 2
bằng
x →+∞ x + 3 x + 2
1
A. 1.
B. .
C. −1 .
2
x +1 − 2
Câu 2: Tính lim
bằng
x →3 9 − x 2
1
1
1
A. − .
B.
.
C. .
24
24
6
Câu 3: Hàm số nào sau đây không liên tục trên R?
www.thuvienhoclieu.com

1
D. − .
2

1
D. − .
6
Trang 17


www.thuvienhoclieu.com
A. y = sin x .
B. y = 3 x 4 − 2 x + 3 .
C. y = tan x .
D. y = cos x .
Câu 4: Chứng minh rằng phương trình x3 − x + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Một bạn học sinh trình bày lời giải như sau:
Bước 1: Xét hàm số y = f ( x) = x3 − x + 3 liên tục trên ¡ .
Bước 2: Ta có f (0) = 3 và f (−2) = −3 .
Bước 3: suy ra f (0). f (−2) > 0 .
Bước 4: Vậy phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm.
Hãy tìm bước giải sai của bạn học sinh trên ?
A. Bước 1.
B. Bước 2 .
C. Bước 3.
D. Bước 4 .
π
Câu 5: Đạo hàm của hàm số y = cos2 x tại x = là
8
2
2
A. 2 .
B.

.
C. − 2 .
D. −
.
2
2
Câu 6: Cho u = u ( x ) , v = v ( x ) , v ( x ) ≠ 0 . Hãy chọn khẳng định sai?
1 ′
v'
B.  ÷ = − .
v
v
D. ( k .u ) ′ = k .u ′ .

A. ( u + v ) ' = u '+ v ' .
C. ( u.v ) ' = u '.v + u.v ' .

2x −1
là
1− x
−1
B. y ' =
.
( 1− x) 2

Câu 7: Đạo hàm của hàm số y =
A. y ' =

1

( x − 1)

2

.

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số sau y =
A. y ' =

2017
2

Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai?
A. ( sin x ) ′ = cos x .

D. y ' =

.

−3

( 1− x) 2

.

2017 ( 2 x + 1)

2016

2

.

.

B. ( cos x ) ′ = − sin x .

1
.
cos 2 x
Câu 10: Đạo hàm của hàm số y = x3cosx là
A. y ' = 3x 2 cos x − x3 sin x .

( − x + 1)

2

( x + 1) 2017
2016
2017 ( 2 x + 1)
D. y ' =
( 2 x + 1) 2017

.

C. ( tan x ) ′ = −

3

( 2 x + 1) 2017 .

B. y ' =

( 2 x + 1) 2017

2017
2 x + 1)
(
C. y ' =
2017
2 ( 2 x + 1)

C. y ' =

D. ( cot x ) ′ = −

1
.
sin 2 x

B. y ' = 3x 2 cos x + x3 sin x .

C. y ' = 3x cos x − x 3 sin x .
D. y ' = 3x 2 cos x + 3x 2 sin x .
Câu 11: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos x là
A. y '' = − sin x .
B. y '' = − cos x .
C. y '' = cos x .
D. y '' = sin x .
ABCD. A ' B ' C ' D ' . Đẳng thức nào sau đây là sai?
Câu 12:

uuurCho
uuuhình
r uuhộp
ur uuuu
r
uuur uuur uuur uuuu
r
A. AB + AD + AA ' = AC ' .
B. BC + CD + BB ' = BD ' .
uuu
r uuur uuuu
r uuur
uuur uuu
r uuur uuuur
C. CB + CD + DD' = CA ' .
D. AD + AB + AA ' = A ' C .
uuuur
uuur
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' . Tìm góc giữa hai vectơ AD ' và BD .
A. 450
B. 300
C. 600
D. 1200
Câu 14: Trong không gian, phát biểu nào sau đây là sai ?
A. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
B. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 18

www.thuvienhoclieu.com
C. Cho hai đường thẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc
với đường thẳng kia.
D. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ ( ABCD ) . Chọn khẳng định
sai ?
A. BD ⊥ ( SAC ) . B. AC ⊥ ( SBD ) .
C. BC ⊥ ( SAB ) .
D. DC ⊥ ( SAD ) .
Câu 16: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ ( ABC ) và AH là đường cao
của ∆SAB . Khẳng định nào sau đây sai ?
A. SB ⊥ BC .
B. AH ⊥ BC .
C. SB ⊥ AC .
D. AH ⊥ SC .
Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ ( ABCD) . Khi đó, mặt phẳng
( SCD) vuông góc với mặt phẳng
A. ( SBC ) .
B. ( SAC ) .
C. ( SAD) .
D. ( ABCD) .
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD) và SA=x. Tìm x để
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 là
a 3
A. x =
.
B. x = a 3 .
C. x = a 6 .
D. x = a 2 .

3
Câu 19: Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau, biết a ⊂ ( P ), b ⊂ (Q) và ( P ) / /(Q) . Khẳng định nào
sau đây là sai?
A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (Q).
B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ một điểm A tùy ý thuộc đường thẳng
a đến mặt phẳng (Q).
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b không bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của chúng.
1 2
Câu 20: Một vật được thả rơi tự do ở độ cao 147m có phương trình chuyển động S ( t ) = gt , trong đó
2
2
g = 9,8m / s và t tính bằng giây(s). Tính vận tốc của vật tại thời điểm vật tiếp đất.
A. 30 m / s

B.

30 m / s

C.

49 30
m/s
5

II. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm):
Bài 1( 1,0 điểm): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) : y =

D.

49 15
m/s
5

2x − 5
, biết tiếp tuyến song
x+2

song với đường thẳng d : y = x − 2017 .
Bài 2 ( 2,0 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x5
a) y = − + 2 x 2 − x .
5
sinx
b) y =
.
sin x − cos x
π
2
c) y = cos  2 x − ÷.
3

Bài 3 ( 2,0 điểm): Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 10 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD.
a. Chứng minh : BD ⊥ ( SAC )
b. Tính góc giữa SM và (ABCD).
c. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SMN ) .
D. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM TỰ LUẬN
Bài

ĐÁP ÁN
www.thuvienhoclieu.com

Điểm
Trang 19


www.thuvienhoclieu.com
1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) : y =
tuyến song song với đường thẳng d : y = x − 2017 .
Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.
Vì d : y = x − 2017 có hệ số góc k = 1
9
=1
Suy ra: hệ số góc tiếp tuyến y ′ ( x0 ) = 1 ⇔
2
( x0 + 2 )

2x − 5
, biết tiếp
x+2

 x0 = −5
⇔ x0 2 + 4 x0 − 5 = 0 ⇔ 
 x0 = 1
x0 = 1 ⇒ y0 = −1 ⇒ pttt : y = x − 2
x0 = −5 ⇒ y0 = 5 ⇒ pttt : y = x + 10
2a

2b

=
=
2c

cos x ( sin x − cos x ) − sin x ( cos x + sin x )

0,25
0,25

0,75

0,25
0,25

( sin x − cos x ) 2

−1

0,25

( sin x − cos x ) 2

π

y = cos 2  2 x − ÷.
3


π 
π  ′


y ' = 2cos  2 x − ÷ cos  2 x − ÷÷
3 
3 


π
π
2π 



= −4cos  2 x − ÷.sin  2 x − ÷ = −2sin  4 x −
÷
3
3
3 




3a

0,25

5

x
+ 2 x2 − x
5
1
y ' = − x4 + 4 x −
2 x
sinx
y=
.
sin x − cos x
( sin x ) ' ( sin x − cos x ) − sin x ( sin x − cos x ) '
y'=
( sin x − cos x ) 2
y=−

0,25

0,25

0,25

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 10 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC
và CD.

BD ⊥ ( SAC )

0,5

a. Chứng minh :

0,5
www.thuvienhoclieu.com

Trang 20


www.thuvienhoclieu.com

3b

3c

BD ⊥ AC 
 ⇒ BD ⊥ ( SAC )
BD ⊥ SA 
b. Tính góc giữa SM và (ABCD).
Hình chiếu của SM lên (ABCD) là AM.
Nên ∠ ( SM , ( ABCD ) ) = ∠ ( SM , AM ) = ∠SMA
Xét ∆SAM vuông tại A, ta có
SA a 10
·
tan SMA
=
=
=2 2
AM
a 5
2
o
·

⇒ SMA = 70 31'

0,25
0,25

c. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SMN ) .
Gọi O = AC ∩ BD; I = AC ∩ MN .
1
Vì d ( C , ( SMN ) ) = d ( O, ( SMN ) ) = d ( A, ( SMN ) )
3
Theo giả thiết, ta có:
( SMN ) ⊥ ( SAC )

0,25

( SMN ) ∩ ( SAC ) = SI

Kẻ AH ⊥ SI tại H
nên AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, ( SMN ) = AH
Xét ∆SAI vuông tại A , với AC = a 2, AI =

3
3 2a
AC =
4
4

Nên
1
1

1
1
1
89
= 2+ 2 =
+
=
2
2
2
AH
SA
AI
90a 2
(a 10)  3 2 
a÷

 4 
⇒ AH 2 =

90a 2
10
⇒ AH = 3a
89
89

1
AH a 10
=
Vậy d ( C , ( SMN ) ) = d ( O, ( SMN ) ) = d ( A, ( SMN ) ) =

3
3
89

www.thuvienhoclieu.com
ĐỀ 6

0,25

ĐỀ THI HỌC KỲ II
Môn: Toán 11
Thời gian: 90 phút

I/ PHẦN TRẮC NGHIỆM: (6 điểm)
x2 − 4
Câu 1. lim
bằng:
x →−2 x + 2
A.1
B.+ ∞
C.4
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ ( ABCD ) .
Phát biểu nào sau đây đúng:
A.AC ⊥ SB
B.BC ⊥ (SAB)
C.BC// SD

www.thuvienhoclieu.com

D.-4

D.SB ⊥ ( ABCD )

Trang 21


www.thuvienhoclieu.com
Câu 3. lim

5n + 4.3n
bằng:
5n+1 − 1

1
C.4
D.0
5
∞
Câu 4. Vi phân của hàm số y=sin2x bằng:
A.dy=sin2xdx
B.dy=cos2xdx
C.dy=2cosxdx
D.dy=2sinxdx
1 − 2n
Câu 5. lim
bằng:
n+2
A.0
B.-1
C.1

D.-2
2
1− x
Câu 6. lim−
bằng:
x →2 x − 2
A.+ ∞
B.2
C.- ∞
D.0
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD); SA= a 2 . Góc giữa
SC và mặt phẳng (ABCD) bằng:
A.45º
B.90º
C.30º
D.60º
Câu 8. Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a song song với b?
A.1.
B.2.
C.0.
D.Vô số.
Câu 9. Độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh a là
A.3a
B.a 3
C.3a2
D.a3
Câu 10. Cho hàm số y=(x+1)5.
A.y''=5(x+1)3
B.y''=5(x+1)4
C.y''=20(x+1)3

D.y''=20(x+1)4
1− x
Câu 11. Đạo hàm của hàm số y =
bằng :
1+ x
1
−1
−2
2
2
2
2
2
A.y' =
B.y' =
C.y' =
D.y' =
1+ x
1+ x
1+ x
1+ x
A.+

B.

(

)

(

)

(

)

(

)

Câu 12. Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

f ( x) =f(x )
A.Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0 thuộc tập xác định của nó nếu xlim
0
→ x0
B.Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc

(a;b).
C.Hàm số f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc

[a;b].
D.Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu x0 không thuộc tập xác định của nó.
Câu 13. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B.Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
C.Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
D.Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = 2x + cosx tại x = π bằng:

A.1
B.2
C.-2
D.-1
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng 2a, O là tâm

hình vuông ABCD. Tìm câu sai trong các câu sau:
A. ( SAC ) ⊥ ( SBD)

B. BC ⊥ ( SAB )
D.S.ABCD là hình chóp đều

C.SO là đường cao của hình chóp.
Câu 16. Cho 2 đường thẳng phân biệt a và b không nằm trong mặt phẳng (P), trong đó a ⊥ (P). Mệnh đề

nào sau đây sai?
A.Nếu b//(P) thì b ⊥ a
C.Nếu b ⊥ a thì b//(P)

B.Nếu b ⊥ (P) thì b cắt a
D.Nếu b//a thì b ⊥ (P)

(

)

2
Câu 17. Đạo hàm của hàm số f(x) = 2 x − 1

2

tại x0 =

2 bằng:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 22


www.thuvienhoclieu.com
A.f'( 2 ) = 24 2
B.f'( 2 ) = 18 2
C.f'( 2 ) = 20 2
D.f'( 2 ) = 16 2
Câu 18. Chọn câu sai. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau bằng:
A.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
B.Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng

còn lại.
C.Đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó
D.Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó
Câu 19. Tìm câu đúng sau: AB và CD vuông góc với nhau khi
uuur uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. AB . CD = 0
B. AB . CD = 0

C.cos( AB , CD ) = 1

uuu
r uuur

D.cos( AB , CD ) = 90º

Câu 20. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng:
A.

a 6
3

B.

a 3
3

Câu 21. Đạo hàm của hàm số y = 1 A.y'=1-2x+3

x

2 -4

x3

B.y' =

C.

a 3
6

D.

a 6
2

x 2 x3 x 4
+ −
bằng:
2 3 4
x3 x2 x
− + +1
4 3 2

C.y' =

x3 x 4 x 2
− +
4 3 2

D.y'= -

x3

+

x2

-x

 x 2 − 2 x neáu x ≠ 1
Câu 22. Cho hàm số f(x)= 
. Chọn m bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x=1?
 2m + 1 neáu x = 1
A.m=1

B.m=0

Câu 23. Cho hàm số f ( x) =
A. ( 0; +∞ )
Câu 24. Tổng S = -1+
A.

10
11

3

C.m=3

D.m=-1

2

x
x
+ + x . Tập nghiệm của bất phương trình
bằng:

f ′( x ) ≤ 0
3 2
C. [ −2; 2]

B.∅

(−1) n
1
1
+… + n−1 + ... bằng:
10 102
10
−10
B.
C.0
11

D. ( −∞; +∞ )

D.+

∞

Câu 25. Cho hàm số f ( x) = x − 3 x + 5 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( −1;1) thuộc đồ thị hàm
3

2

số có phương trình là :
A.y=3 - 2x

B.y = 9x + 10
C.y = 1 + 3x
D.y = -3x + 4
Câu 26. Cho đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a và b; a và b cắt nhau cùng thuộc (α). Khi
đó:
A.d⊂ (α)
B.d//(α)
C.d//b
D.d⊥ (α)
Câu 27. Hàm số nào sau đây liên tục trên R:

3
1− x
B.y=cot3x
C. y = 2
D.y=
x+2
x
x +4
Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại A và có cạnh SB ⊥ (ABC). AC vuông góc với
mặt phẳng nào sau đây?
A.(SBC)
B.(ABC)
C.(SBC)
D.(SAB)
A.y=cos

( x 2 + x − x) bằng:
Câu 29. xlim
→ +∞

A.-

B.0

C.+

∞
∞
Câu 30. Hàm số nào trong các hàm số sau gián đoạn tại x=-3 và x=1?

www.thuvienhoclieu.com

D.

1
2

Trang 23


www.thuvienhoclieu.com
A.y= ( x + 3)( x − 1)

B. y =

x+ 2
( x − 1)(4 x + 12)

C.y=

x 2 − 5x + 6
x −1

D.y=x2+2x-3

II/ PHẦN TỰ LUẬN: (4 điểm)
Bài 1: (1,5 điểm)
x+ 7 − 3
a) Tìm lim 2
x→2 x − 4
b) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng y = 9x + 2012.
60 64
c) Giải phương trình f’(x)=0. Biết rằng f(x)=3x+ − 3 + 5 .
x x
Bài 2: (0,5 điểm)
 x2 -5x+6
neá
ux ≠ 2

Cho hàm số f(x) =  x-2
. Tìm a để hàm số liên tục tại x0=2?
3a+x
neá
u x =2

Bài 3: ( 2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), SA = a 3 .
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ SB; (SAC) ⊥ (SBD)
b) Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB)

c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD).
**********Hết**********

www.thuvienhoclieu.com

Trang 24


www.thuvienhoclieu.com
ĐÁP ÁN
I/ Phần trắc ngiệm (6 điểm)
01. D; 02. B; 03. B; 04. A; 05. D; 06. A; 07. A; 08. A; 09. B; 10. C; 11. C; 12. C; 13. D; 14. B; 15. B;
16. B; 17. A; 18. C; 19. A; 20. A; 21. D; 22. D; 23. B; 24. B; 25. B; 26. D; 27. C; 28. D; 29. D; 30. B;
II/ Phần tự luận: (4 điểm)

Câu

Đáp án

Biểu
điểm

a)
x+ 7 − 3

lim

2

x −4

x→2

= lim

x→2

( x + 2) (

= lim

x→2

1

x− 2

( x − 4) (
2

)

x+ 7 + 3

=

)

0.25

x+ 7 + 3

1
24

b) y ' = 3 x 2 − 6 x
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 2012 nên ta có y '( xo ) = 9
1
 x0 = −1  y0 = 0
(1,5đ) ⇔  x = 3 ⇒  y = 4
 0
 0

0.25

0.25

Vậy có 2 tiếp tuyến là: y = 9x + 9 và y = 9x - 23

0.25

c) f '( x) = 0 ⇔ x 4 − 20 x 2 + 64 = 0

0,25

 x = 16
 x = ±4
⇔ 2
⇔
 x = ±2

 x = 4

0,25

2

2
(0,5đ)

x2 − 5x + 6
= lim( x − 3) = −1
x→2
x→2
x→2
x− 2
f ( 2) = 3a+2
lim f (x) = lim

0,25

f ( x) = f (2) ⇔ 3a + 2 = −1 ⇔ a = −1
Hàm số liên tục tại x0 = 2 khi và chỉ khi lim
x →2
Vậy a = -1 thì hàm số liên tục tại x0 = 2

0,25

0.25

www.thuvienhoclieu.com

Trang 25