2 2 CUC TRI

Dạng 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
Phương pháp . Tiến hành theo các bước sau:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f.
Bước 2. Tính f '(x) .
Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục trên (a,b)
và x0 �(a;b) .Thế thì điểm x0 là điểm cực trị của hàm số f nếu và chỉ nếu
đạo hàm f '(x) đổi dấu khi x đi qua x0 ”.
Bước 4.Giải quyết yêu cầu của cực trị (nếu có).
Chú ý:
* Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành
độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng
định lí Viét.
* Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các
kết quả sau:
Định lí 1: Cho hàm đa thức y  P  x , giả sử y   ax  b P' x  h  x khi đó
nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là:

y  x0   h  x0  và y  h  x gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị.

Chứng minh: Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm số, vì P  x là hàm đa
thức nên P' x0   0 � y  x0    ax0  b P' x0   h  x0   h  x0  (đpcm) .
Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ y 

u  x
v  x

khi đó nếu x0 là điểm cực

trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: y  x0  
Và y 

u' x
v' x

u' x0 
v' x0 

.

là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị.

Chứng minh: Ta có y' 

u' x v  x  v' x u  x
v2  x

� y'  0 � u' x v  x  v' x u  x  0   . Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm số
thì x0 là nghiệm của phương trình   �

u' x0 
v' x0 



u  x0 
v  x0 

 y  x0  .

Bài toán 01:

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ CÙNG DẤU, TRÁI DẤU.
Phương pháp .
Giả sử y'  ax2  bx  c

70


 Hàm số có hai điểm cực trị dương � y'  0 có hai nghiệm dương phân
biệt : 0  x1  x2 ۹ a 0,   0, x1  x2  0, x1.x2  0 .
 Hàm số có hai điểm cực trị âm � y'  0 có hai nghiệm âm phân biệt
x1  x2  0 ۹ a 0,   0, x1  x2  0, x1.x2  0 .
 Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu � y'  0 có hai nghiệm trái dấu
x1  0  x2 ۹ a 0, x1.x2  0 .
 Hàm số có hai cực trị có giá trị cực trị cùng dấu � y1.y2  0 .
Ví dụ : Định m để hàm số y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3 có cực trị trái
dấu .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3x2  6mx  3(m2  1)
Hàm số có cực trị trái dấu nhau khi và chỉ khi y'  0 có hai nghiệm phân
biệt x1,x2 thỏa mãn x1  0  x2 � 9(m2  1)  0 � 1  m  1
Vậy, với 1 m  1 thì hàm số có cực trị trái dấu nhau .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm m để hàm số :
1. y 

mx3
 mx2  x  1 có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu.
3

2. y  x3  6x2  3 m  2 x  m  6 đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị
cực trị cùng dấu.
3. y  x3  3mx2  3(m2  1)x  6m  2 có hai cực trị trái dấu.
Bài 2: Tìm m để hàm số :
1. y 

x3
 (m  1)x2  (6  2m)x  m đạt cực trị tại hai điểm trái dấu.
3

2. y  (m  1)x3  3(m  1)x2  2mx  m có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng
minh rằng khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng d : x  1.
3. y  x3  (2m  1)x2  3mx  m có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực
đại và cực tiểu của hàm số trái dấu nhau.
Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
Phương pháp .
Giả sử y'  ax2  bx  c
 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung � y1.y2  0 .
 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung � x1.x2  0 .
 Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành � y1  y2  0, y1.y2  0 .

71


 Hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành � y1  y2  0, y1.y2  0 .
 Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành � y1.y2  0 .
Các ví dụ
Ví dụ 1 : Cho hàm số y  x3  3x2  mx  m – 2 ( m là tham số) có đồ thị là

 Cm  . Xác định

m để  C m  có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai
phía đối với trục hoành.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Phương trình hoành độ giao điểm của  C m  và trục hoành:
2
x3  3x2  mx  m – 2  0  1 � x  1 hoặc g(x)  x  2x  m  2  0  2

 Cm  có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành
khi  1 có 3 nghiệm phân biệt tức phương trình  2 có 2 nghiệm phân biệt
�
�
 3 m  0
�
� m 3
khác 1 � �
g(1)  m  3 �0
�
Vậy, với m  3 thì hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía
đối với trục hoành.
1 3
x  mx2  (2m  1)x  3 ( m là tham số) có đồ thị
3
là  C m  . Xác định m để  C m  có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng
một phía đối với trục tung.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  x2  2mx  2m  1

Ví dụ 2 : Cho hàm số y 

Đồ thị  C m  có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng phía đối với trục
�
� m2  2m  1 0
�
tung  y �
 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu  �
2m  1  0
�

�
m 1
�
��
1
m
�
�
2
1
Vậy, với  m �1 thì hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng
2
một phía đối với trục tung.
Ví dụ 3 : Cho hàm số y  x3  (2m  1)x2  (m2  3m  2)x  4 ( m là tham số)
có đồ thị là  C m  . Xác định m để  C m  có các điểm cực đại và cực tiểu
nằm về hai phía của trục tung.

72

Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �

Ta có: y'   x2   2m  1 x  (m2  3m  2)

Đồ thị  C m  có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
 y� 0 có 2 nghiệm trái dấu  3(m2  3m  2)  0  1  m  2 .
Vậy, với 1  m  2 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục
tung.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số y  x4  2mx2  4 . Tìm các giá trị của m để tất cả các
điểm cực trị của đồ thị đều nằm trên các trục toạ độ
Bài 2: Tìm m để hàm số :
1. y  2x3  mx2  12x  13 có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách
đều trục tung.
mx2  3mx  2m  1
có hai điểm cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm
x1
về hai phía với trục Ox .
Bài 3 Với giá trị nào của m�� thì đồ thị của hàm số
2. y 

y





mx2  m2  1 x  4m3  m

x m

tương ứng có một điểm cực trị thuộc góc phần

tư thứ  II  và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  IV  của mặt phẳng
tọa độ.
Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC.
Phương pháp .
1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua
đường thẳng d cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.
�
d
– Giải điều kiện: �
.
I �d
�
2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường
thẳng d cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện: d(A ,d)  d(B,d) .
3. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách
giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng
qua hai điểm cực trị).
– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.

73


Cực trị hàm đa thức bậc 3:

1. Hàm số: y  ax3  bx2  cx  d  a �0
2. Đạo hàm: y'  3ax2  2bx  c
3. Điều kiện tồn tại cực trị
 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y�
Hoành độ x1,x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình
y�
 0.
4. Kỹ năng tính nhanh cực trị
Giả sử  '  b2  3ac  0 khi đó y'  0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 với
2
x1,2   b � b  3ac và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
3a
Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:
�
�
�
�
2
2
y1  y  x1   y � b  b  3ac �; y2  y  x2   y � b  b  3ac �
3a
3a
�

�
�
�
Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta
có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm.
Bước 1: Thực hiện phép chia y cho y' ta có:









� b2 �
y  1 x  b y' 2 �
c
x  d  bc
�
3
9a
3 � 3a �
9a
y

y'.q(x)

r(x)
hay

với bậc r  x  1
�
b2 �
2�
y

y
x

r
x

c

x  d  bc




�
�
�
1
1
1
�y' x1  0
�
�
3� 3a �1
9a

nên �
Bước 2: Do �
2�
y'
x

0
�


�y  y  x   r  x   2 c  b x  d  bc
� 2
�
�
2
2
2
�
3� 3a �2
9a
�
Hệ quả:
Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y  r  x









Đối với hàm số tổng quát : y  ax3  bx2  cx  d (a �0) thì đường thẳng đi





� b2 �
qua cực đại, cực tiểu có phương trình: y  2 �
c
x  d  bc
�
3 � 3a �
9a
Chú ý: Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d1 : y  k1x  b1, d2 : y  k 2x  b2 thì
tan 

k1  k2
1 k1k2

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu
song song (vuông góc) với đường thẳng d : y  px  q .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

74

1
).
p
2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu
tạo với đường thẳng d : y  px  q một góc  .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
kp
 tan . (Đặc biệt nếu d  Ox, thì giải điều kiện:
– Giải điều kiện:
1 kp
– Giải điều kiện: k  p (hoặc k  

k  tan )
Các ví dụ
Ví dụ 1 : Cho hàm số y   x3  3mx2  3m  1 ( m là tham số) có đồ thị là

 Cm  . Với giá trị nào của

m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực

tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x  8y  74  0 .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3x2  6mx

Đồ thị  C m  có 2 điểm cực đại và cực tiểu � y'  0 có 2 nghiệm phân biệt
x1;x2 � m �0

uuu

r
Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3m  1), B(2m;4m3  3m  1) � AB(2m;4m3)
Trung điểm I của AB có toạ độ: I(m;2m3  3m  1)
u
r
Đường thẳng d : x  8y  74  0 có một VTCP u  (8; 1) .
��
I d
A và B đối xứng với nhau qua d  �
AB  d
�

�
m  8(2m3  3m  1)  74  0
�
� �uuu
ru
r
AB.u  0
�
�

� m 2
Vậy, với m  2 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d : x  8y  74  0 .
Chú ý: Bài toán có thể yêu cầu như sau:
‘’ Cho hàm số y   x3  3mx2  3m 1 có đồ thị là  C m . Tìm trên đồ thị hàm
số điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng
d : x  8y  74  0 ’’.
Ví dụ 2 : Cho hàm số y  x3  3x2  mx  2 ( m là tham số) có đồ thị là

 Cm  . Xác định

m để  C m  có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều

đường thẳng y  x  1.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3x2  6x  m

75


Đồ thị  C m  có 2 điểm cực đại và cực tiểu � y'  0 có 2 nghiệm phân biệt
x1;x2 �  '  9  3m  0 � m  3

Gọi hai điểm cực trị là A  x1; y1 ;B x2; y2 
�1
1 � �2m
� � m�
y' �  2�
x �
2 �
Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y  � x  �
3� �3
�3
� � 3�
�2m
� � m�
�2m

� � m�
� y1  y  x1   �  2�
x1  �
2 �
; y2  y  x2    �  2�
x2  �2  �
�3
� � 3�
�3
� � 3�
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
�2m
� � m�
 : y   �  2�
x �
2 �
3
�
� � 3�
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y  x  1 � xảy ra 1 trong 2 trường
hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường
�2m
�
3
thẳng y  x  1 �  �  2� 1 � m   (thỏa mãn)
2
�3
�
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y  x  1

� yI  xI  1 �

y1  y2 x1  x2
�2m
�
� m�

 1 �  �  2�
x1  x2   2�
2  �  x1  x2   2

2
2
�3
�
� 3�

�2m
�
2m
� �  3�
.2  6 
� m0
3
�3
�
3
Vậy, các giá trị cần tìm của m là: m   , m  0 thì đồ thị của hàm số có
2
các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y  x  1.

Ví dụ 3 : Cho hàm số y  x3  3x2  mx  2 ( m là tham số) có đồ thị là

 Cm  . Tìm

m để  C m  có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi

qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y  4x  3 .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3x  6x  m

Đồ thị  C m  có 2 điểm cực đại và cực tiểu � y'  0 có 2 nghiệm phân biệt
x1;x2 � y'  0 có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 �  '  9  3m  0 � m  3

Gọi hai điểm cực trị là A  x1; y1 ;B x2; y2 

�1
1 � �2m
� � m�
y' �  2�
x �
2 �
Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y  � x  �
3� �3
�3
� � 3�
�2m
� � m�
�2m
� � m�

� y1  y  x1    �  2�
x1  �
2 �
; y2  y  x2    �  2�
x2  �
2 �
3
3
3
�
� �
�
�
� � 3�

76


� Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d : 
�2m
� � m�
y   �  2�
x �
2 �
 
�3
� � 3�
Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d :  y  4x  3
� �2m
�

 �  2� 4
�
� �3
�
��
� m  3 (thỏa mãn)
�
m
�
�2 
�
��3
�
� 3�
�
Vậy, m  3 thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 4 : Cho hàm số y  x3  3x2  mx  2 ( m là tham số) có đồ thị là

 Cm  . Tìm

m để  C m  có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi

qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x  4y – 5  0 một góc 450 .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3x2  6x  m

Đồ thị  C m  có 2 điểm cực đại và cực tiểu � y'  0 có 2 nghiệm phân biệt
x1;x2
� y'  0 có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 �  '  9  3m  0 � m  3

Gọi hai điểm cực trị là A  x1; y1 ;B x2; y2 

�1
1 � �2m
� � m�
y' �  2�
x �
2 �
Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y  � x  �
3
3
3
�
� �
� � 3�
�2m
� � m�
�2m
� � m�
� y1  y  x1    �  2�
x1  �
2 �
; y2  y  x2    �  2�
x2  �
2 �
�3
� � 3�
�3
� � 3�

� Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là  :
�2m
� � m�
y   �  2�
x �
2 �
�3
� � 3�
�2m
�
1
Đặt k   �  2�. Đường thẳng d : x  4y – 5  0 có hệ số góc bằng  .
3
4
�
�
� 3
�
39
� 1
1
1
k
k   1 k
m 
�
�
�
o
10

4 �� 5 ��
4 �� 4
Ta có: tan45 
1
1
1
5 �
1
�
�
1 k
k   1 k
k
m 
�
�
�
4
� 4
4
3 �
2
�
1
Đối chiếu điều kiện , suy ra giá trị m cần tìm là: m  
2
1
Vậy, với m   thỏa mãn bài toán.
2
k

77


Ví dụ 5 : Cho hàm số y  x3  6mx2  9x  2m ( m là tham số) có đồ thị là

 Cm  . Tìm

m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị sao cho khoảng

cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

4
5

.

Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3x2  12mx  9
 0 có 2 nghiệm phân biệt , tức
Hàm số có 2 điểm cực trị  phương trình y�
phải có:
3
 3
hoặc m 
(*)
2
2
�x 2m �

.y�
 (6  8m2)x  4m � đường thẳng đi qua 2 điểm
Khi đó ta có: y  � 
�
�3 3 �
cực trị
của đồ thị hàm số (1) có PT là:  : y  (6  8m2)x  4m
 '  4m2  3  0 � m 

Theo bài toán d(O, ) 

4m
2 2

(6  8m )  1



4
5

� 64m4  101m2  37  0

37
. Đối chiếu điều kiện, ta thấy m  �1 thỏa.
8
Vậy, với m  �1 thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 6 Giả sử đồ thị y = mx3 - 3mx2 +( 2m +1) x +3 - m , có đồ thị  Cm 
� m  �1 hoặc m  �

�1
�2

�
�

có 2 cực trị . Tìm m để khoảng cách từ I � ;4 �đến đường thẳng đi qua 2
cực trị của  Cm  là lớn nhất.
Lời giải.
TXĐ: D  �
Ta có: y '  3mx2  6mx  2m  1

Để  Cm  có 2 cực trị khi và chỉ khi y '  0 có 2 nghiệm phân biệt đồng thời

m �0
�
�

đổi dấu 2 lần qua mỗi nghiệm đó , tức là ta luôn có: �
2

3m  3m  0
�

� m  0 hoặc m  1
Với m  0 hoặc m  1 thì  Cm  luôn có 2 cực trị, đồng thời hoành độ cực
trị thỏa mãn phương trình 3mx2  6mx  2m  1  0   .

78

Và y 





1
1
 x  1 3mx2  6mx  2m  1  �
 2  2m  x  10  m �
�, suy ra
3
3�

1
y �
 2  2m  x  10  m �
�do   là đường thẳng đi qua 2 cực trị.
3�
1
Đặt  : y  �
 2  2m  x  10  m �
��  :  2  2m  x  3y  10  m  0
3�
2m  1
1
d  I;   

18

6
Cách 1:
 2  2m  2  9

1
2 2m  1
2m

1


d  I;   
Hay

Vậy, với m 

1
2

�2

�3 2
1 � 1

�
�
�2m  1
� 2
2
�

�

, đẳng thức xảy ra khi m 

5
.
2

5
thì max d  I;    2 .
2

�1 �
�2 �
Gọi N là hình chiếu vuông góc của I lên  , khi đó d  I;   �IN �IM , do đó
khoảng cách từ I đến  bằng IM khi và chỉ khi IM   tức k IM .k   1
2  2m
5
�
.1  1 � m  .
3
2
 ;3 �với m ��.
Cách 2: Dễ thấy  luôn đi qua điểm cố định M �

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số y  x3  3x2  mx . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm
số cho có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường
thẳng d: x  2y  5  0 .
Bài 2: Cho hàm số y  x3  3(m  1)x2  9x  m  2 . Với giá trị nào của m thì

đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua
đường thẳng d: x  2y  0 .
Bài 3:
1. Cho hàm số y  x3  mx2  7x  3 . Tìm m để đồ thị các điểm cực đại, cực
tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d:
y  3x  7 .
1
2. Tìm m để hàm số: y  x3  mx2   5m  4 x  2 có cực đại , cực tiểu và
3
đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với
đường thẳng  d  : 8x  3y  9  0
Bài 4: Tìm m để hàm số :

79


1. y  x3  3mx  3m  1 (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều
đường thẳng có phương trình x  y  0
x3
 (m  1)x2  4mx có điểm cực đại và điểm cực tiểu sao cho trung
3
điểm của đoạn thẳng nối hai điểm này thuộc đường thẳng  d  : 2x – 3y  0
2. y  

x2  2mx  2
có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai
x 1
điểm đó đến đường thẳng  : x  y  2  0 bằng nhau.
3. y 

Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: y  2x3  3(m  1)x2  6m(1 2m)x
1. Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y  4x .
2. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với
đường thẳng y  x  1.
Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số:
x2  2mx  m
có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua
x1
đường thẳng : x  2y  4  0. .
1. y 

2. y  x3  3x2  m2x  m có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng : d : x  2y  5  0 .
Bài toán 04: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC.
Phương pháp .
1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực
trị thoả hệ thức cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.
2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K 1  (�; ) hoặc
K 2  (; �) .
y'  f(x)  3ax2  2bx  c .
Đặt t  x   , khi đó: y'  g(t)  3at2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c
Hàm số có cực trị thuộc K 1  (�; )
Hàm số có cực trị trên khoảng
(�; )
� f(x)  0 có nghiệm trên (�; ) .

Hàm số có cực trị thuộc K 2  (; �)

Hàm số có cực trị trên khoảng
(; �)
� f(x)  0 có nghiệm trên ( ; �) .

� g(t)  0 có nghiệm t < 0

� g(t)  0 có nghiệm t > 0

�
 ' �0
�
S 0
� P  0 hoặc �
�
P �0
�

�
 ' �0
�
S 0
� P  0 hoặc �
�
P �0
�

80


3. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả:

a) x1    x2

b) x1  x2  

c)   x1  x2

y'  f(x)  3ax2  2bx  c .
Đặt t  x   , khi đó: y'  g(t)  3at2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c
a) Hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả x1    x2
� g(t)  0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1  0  t2 � P  0
b) Hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả x1  x2  
�
'  0
�
� g(t)  0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1  t2  0 � �
S 0
�
P0
�
c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả   x1  x2
� g(t)  0 có hai nghiệm t1,t2 thoả 0  t1  t2

�
'  0
�
��
S 0
�
P0
�

Các ví dụ
Ví dụ 1 : Cho hàm số y  (m  2)x3  3x2  mx  5 ( m là tham số) có đồ thị là

 Cm  . Tìm các giá trị của

m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số đã cho có hoành độ là các số dương.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3(m  2)x2  6x  m
Đồ thị  C m  có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có
hoành độ là các số dương y' =0 có 2 nghiệm dương phân biệt
�
a  (m  2) �0
�
 '  9  3m(m  2)  0 �
�
 '   m2  2m  3  0 �
3  m  1
�
�
�
�
m
��
�
m

0

�
m0
� 3  m  2
P
0
�
�
� 3(m  2)
�
�
m  2 0
m  2
�
�
�
3
�
S
0
� m 2
Vậy, với 3  m  2 thì đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu
có hoành độ là các số dương.
Ví dụ 2 : Cho hàm số y  x3  3(m  1)x2  9x  m ( m là tham số) có đồ thị là

 Cm  . Xác định
x1  x2 �2 .

Lời giải.

81

m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1,x2 sao cho


Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3x2  6(m  1)x  9

Đồ thị  C m  có 2 điểm cực đại và cực tiểu � y'  0 có 2 nghiệm phân biệt
x1;x2 �  '  (m  1)2  3  0 � m  1 3 hoặc m  1 3 .
Theo định lý Viet ta có x1  x2  2(m  1), x1x2  3.
Khi đó: x1  x2 �2 �  x1  x2   4x1x2 �4 � 4 m  1  12 �4
2

2

� (m  1)2 �4 � 3 �m �1
Vậy, 3 �m  1 3 và 1 3  m �1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3 : Cho hàm số y  x3  (1 2m)x2  (2  m)x  m  2 ( m là tham số) có

đồ thị là  C m  . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho
x1  x2 

1
.
3

Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3x2  2(1 2m)x  2  m

Đồ thị  C m  có 2 điểm cực đại và cực tiểu � y'  0 có 2 nghiệm phân biệt
x1;x2 �  '  (1 2m)2  3(2  m)  4m2  m  5  0 � m  1 hoặc m 

5
4

2(1 2m)
2 m
,x1x2 
3
3
1
1
2
2
x1  x2  �  x1  x2    x1  x2   4x1x2 
3
9

Theo định lý Viet ta có x1  x2  

� 4(1 2m)2  4(2  m)  1 � 16m2  12m  5  0 � m 
Vậy, m  1 hoặc m 

3  29
3  29
hoặc m 
8
8

3  29
là giá trị cần tìm.
8

1 3
x   m  2 x2   5m  4 x  3m  1 . Với giá trị nào
3
của m thì hàm số đạt cực trị tại tại những điểm có hoành độ x1,x2 sao
Ví dụ 4 : Cho hàm số: y 
cho x1  2  x2 .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên �.
Ta có: y'  x2  2 m  2 x   5m  4 và y'  0 � x2  2 m  2 x   5m  4  0  

82


Đồ thị hàm số đã cho có cực trị khi phương trình y'  0 có hai nghiệm
phân biệt, nghĩa là phải có :  '   m  2   5m  4  0 � m2  9m  0 � m  0
2

hoặc m  9
Khi m  0 hoặc m  9 thì đồ thị cho có cực trị tại những điểm có hoành độ
x1,x2 là hai nghiệm của phương trình  
Để thỏa mãn điều kiện x1  2  x2 ta cần có :

 x1  2  x2  2  0 � x1.x2  2 x1  x2   4  0

�
x1  x2  2(2  m)

Theo định lý viét, ta có �
x1x2  5m  4
�
Nên có 5m  4  2.2(2  m)  4  0 � 9m  0 � m  0
Vậy, m  0 thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 5 : Cho hàm số y  x3  3x2  3mx  2. Tìm giá trị của tham số thực m
sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và các cực trị x1, x2 thỏa mãn
3x12  2x22  77.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên �.
Ta có: y'  3x2  6x  3m.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'  0 có hai nghiệm phân biệt
và đổi dấu qua mỗi nghiệm đó tức là phải có  '  9  9m  0 � m  1
�
b
x x  2
�
�1 2
a
Áp dụng Viet cho x1, x2 ta có �
c
�
x x  m
�1 2 a
3x12  2x22  77 � 2 x1  x2   4x1x2  x12  77 � 2.22  4m  x12  77 � x12  69  4m  1
2

Mà x1 là nghiệm của phương trình
y'  0 � 3x12  6x1  3m  0 � x12  2x1  m  2
Từ  1 và  2 ta được 69  4m  2x1  m � x1 

2

69  5m
2

�69  5m �
2
�
�  69  4m � 25m  674m  4485  0
� 2 �
299
� m  15 hoặc m  
thỏa điều kiện m  1
25
299
Vậy, m  15 hoặc m  
thỏa yêu cầu bài toán.
25
Thay vào  1 ta được:

83


Ví dụ 6 : Cho hàm số: y  x3  (1 2m)x2  (2  m)x  m  2 . Với giá trị nào của
m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (2;0) .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên �.
 0 � g(x)  3x2  2(1 2m)x  2  m  0
Ta có: y�
 3x2  2(1 2m)x  2  m và y�

 

Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (2;0) �   có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
�
2  x1  x2  0
�
2  x1  0 �x2
và có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;0) � �
�
x1 �2  x2  0
�

(1)
(2)
(3)

�
4m2  m  5  0
�
�
 '  4m  m  5  0
2m  1
�
�
2 
0
x1  x2
�
�

3
10
2 
0
�
�
� � 4(2m  1) 2  m
�   m  1
Th1: (1) � �
2
7
4

0
�
 x1  2  x2  2  0 �
3
3
�
�
�
�2  m
x1x2  0
�
0
�
� 3
2

�

 '  4m2  m  5  0
�
g  0  2  m �0
�
Th2: (2) ��۳
�
 x1  2   x2  2  0
�
�
 x1  2  x2  2  0
�

�
4m2  m  5  0
�
m �2
�
�2m  1
�
 2
� 3
�2  m 4 2m  1
�

 4 0
3
� 3

m 2

�
4m2  m  5  0
�
�
 '  4m  m  5  0
3m  5 �0
�
�
g  2  10  6m �0
�2m  1
5
�
��
�  �m  1
Th3: (3) � �
0
3
x1  x2  0
�
� 3
�
�2  m
x1x2  0
�
�
0
� 3
2

�5

�
 ; 1���
2; � là giá trị cần tìm.
Vậy, m ��
�
�3
�
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1:
1. Cho hàm số y  4x3  mx2  3x .Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
x1, x2 thỏa x1  4x2 .
2.
Tìm
các

giá

trị

của

m

để

hàm

số:

84

1
m 3 2
3
m  1 x3 
x   3  m x  m 
có cực trị và số 2 nằm giữa hai

3
2
2
điểm cực trị của hàm số.
m
3.
Tìm
các
giá
trị
của
để
hàm
số:
y





y  x3  3 m  1 x2  3m2  7m  1 x  m2  1 có điểm cực tiểu tại một điểm

có hoành độ nhỏ hơn 1.
4. Tìm các giá trị của m để hàm số: y  mx3  (2m  1)x2  mx  1 có điểm
cực đại và điểm cực tiểu ,đồng thời điểm cực đại của đồ thị hàm số có
hoành độ lớn hơn 1.
1
5. Cho hàm số y  x3  mx2  mx  1, với m là tham số thực. Xác định m
3
để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1  x2 �8
1 3 1
x  mx2  (m2  3)x . Tìm các giá trị của m để hàm số
3
2
5
cho có các điểm cực trị x1,x2 với x1  0,x2  0 và x12  x22  .
2
6. Cho hàm số y 

7. Cho hàm số y 

x2  m  x  1
x 2

có hai cực trị x1 ;x2 thỏa mãn

�1
1�
�.
x12  x22  6� 
�x
�

� 1 x2 �
x2  m2x  2m2  5m  3
8. Tìm tham số m để hàm số: y 
đạt cực tiểu tại
x
x � 0;2m , m  0.
9. Tìm m để hàm số : y  (x  m)(x2  3x  m  1) có cực đại và cực tiểu x1, x2
thoả x1.x2  1 .
2x2  3x  m
có điểm cực đại và cực tiểu tại
x m
thỏa mãn y(x1)  y(x2)  8 .

10. Tìm m để đồ thị hàm số: y 
các điểm có hoành độ x1,x2
Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số:
1. y 
y  x2 

mx2  x  m
có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1 ,x2 và
x m
 y  x1 �4

2x2  3x  m  2
có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ
x 2
x1 ,x2 thỏa mãn y  x2   y  x1   8 .

2. y 

85


1 3
mx  3mx2   3m  1 x  2 có cực đại tại x � 3;0 .
3
1
4. y  x3  mx2   2m  1 x  2 có 2 điểm cực trị dương.
3
3. y 

5. y  x3  3x2  mx  2 có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành
độ x1 ,x2 thỏa mãn: x13  4x1  x2.
Bài 3:
1. Cho hàm số y  x3  (1– 2m)x2  (2– m)x  m  2 ( m là tham số) có đồ thị

là  C m  . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, điểm
cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
m
2. Cho hàm số y  x3  (m  2)x2  (m  1)x  2 . Tìm m để hàm số có cực đại
3
tại x1 , cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1  x2  1.
x3
 mx2  2(5m  8)x  1. Xác định tham số m để hàm số
3
đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ bé hơn 1.
3. Cho hàm số y 





3
2
2
2
4. Tìm m để đồ thị hàm số: y  x  3 m  1 x  3m  7m  1 x  m  1 đạt

cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.

5. Tìm m để đồ thị hàm số: y  x3 – 3x2   6m  3 x – 3m đạt cực trị tại hai
điểm có hoành độ lớn hơn 2.
6. Tìm m để đồ thị hàm số: y  x3  6x2  3mx  2  m số có điểm cực đại M(
x1;y1) và điểm cực tiểu M 2(x2 ;y2) thỏa mãn điều kiện
Bài 4 : Tìm các giá trị của m để hàm số

y1  y2

(x1  x2)(x1x2  2)

0

1
1
y = x3 - ( m + 4) x2 +( 2m +5) x +1
3
2
1. Có hai cực trị lớn hơn - 1 ;
4. Có hai cực trị nhỏ hơn 4 ;

2. Có đúng một cực trị lớn hơn
- 1;
3. Có ít nhất một cực trị lớn hơn

3
;
2
Bài 5: Cho hàm số : y =
cực trị :
1. Trong khoảng (�;1) .
.

5. Có một cực trị trong khoảng

( 3;5) ;
6. Không có cực trị.

1 3
x  mx2  (m2  m  1)x  1. Tìm m để hàm số có
3
2. Trong khoảng (1; �)

86


3. x1,x2 thoả mãn x1  1  x2 .

4. x1,x2 thoả mãn

1  x1  x2 .

1
Bài 6: Cho hàm số y  x3  ax2  3ax  4 . Tìm a để hàm số cho đạt cực trị
3
x
x
tại 1 , 2
phân biệt và thoả mãn điều kiện:

x12  2ax2  9a
a2



a2
x22  2ax1  9a

2

Bài 7:
1. Cho hàm số y  x3  3x2  2 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y  3x  2
sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
2. Cho hàm số y   x3  (m  1)x2  2(m  2)x  4 .Tìm m để hàm số đạt cực trị
tại x1,x2 sao cho biểu thức: P  x1  x2 

1
đạt giá trị nhỏ nhất
x1x2

mx2  4x  m  3
 1

x 2
1.Với giá trị nào của m thì hàm số  1 có hai cực trị cùng dấu;
Bài 8: Cho hàm số: y 

2. Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y  3 x  10 cắt đồ thị hàm số

 1

tại hai điểm phân biệt A  x1;y1  , B x2;y2  . Trong trường hợp này, tìm

một hệ thức giữa y1 và y2 độc lập đối với m .
Bài 9: Tìm tham số m để hàm số:
2x2  mx  2m  1
có
x1
2  x1  1 x2  0 .

1.

y

hai

điểm

cực

trị

x1,x2

thỏa

mãn

2. y  x3  3 m  1 x2  3m m  2 x  12m  8 có hai điểm cực trị A và B sao
cho AM  BM nhỏ nhất, với M  3;2 .

3. y  x3   1 2m x2   2  m x  m  2 có hai điểm cực trị, đồng thời hoành
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
4. y 

x2  m2x  2m2  5m  3
đạt cực tiểu tại x � 0;2m , m  0 .
x

Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC.
Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
CÙNG ĐIỂM K TẠO THÀNH TAM GIÁC THỎA MÃN TÍNH CHẤT NÀO
ĐÓ.
Phương pháp .

87


1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai
trục Ox,
Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho
trước).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy.
– Giải điều kiện SIA B  S .
2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có
diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện SIA B  S .
3. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác
vuông cân hoặc tam giác đều.
 0 có 3 nghiệm phân biệt.
– Tìm điều kiện để phương trình y�
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra ABC cân tại A.
uuu
r uuur
– Giải điều kiện: ABC vuông tại A  AB.AC  0 ; ABC đều  AB  BC
4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam
giác có diện tích S cho trước.
 0 có 3 nghiệm phân biệt.
– Tìm điều kiện để phương trình y�
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra ABC cân tại A.
– Kẻ đường cao AH.
1
– Giải điều kiện: S  SA BC  AH.BC .
2
Ví dụ 1
1. Tìm tham số thực m để hàm số: y  x4  2 m  1 x2  m  1 có 3 cực trị
A ,B,C sao cho: OA  BC , O là gốc tọa độ , A là cực trị thuộc trục tung,
B,C là 2 điểm cực trị còn lại.

Đề thi Đại học
khối B – năm 2011

2. Cho hàm số y  x4  2(m  1)x2  m2  1 ,với m là tham số thực. Tìm m để

đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác
vuông
Đề thi Đại học khối A,A1
– năm 2012
3. Cho hàm số y  x3  3mx2  3m3  1 , m là tham số thực. Tìm m để đồ
thị hàm số  1 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OABcó diện
tích bằng 48.
Đề thi Đại
học khối B– năm 2012
Lời giải.
1. TXĐ: D  �

88


y'  4x3  4 m  1 x � y'  0 � x  0 hay x2  m  1
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y'  0 và đổi dấu 3 lần qua nghiệm
x hay x2  m  1 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 � m  1  0 tức m  1 .
Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị



 

A  0;m , B  m  1; m2  m  1 , C



m  1; m2  m  1

Theo bài toán, ta có: OA  BC � m2  4 m  1 � m  2 �2 2 thỏa m  1
2. TXĐ: D  �

Đạo hàm y'   4 x3  – 4 m   1 x
y'  0 � 4x3 – 4 m   1 x   0 � x  0,x2   m  1

Hàm số có 3 cực trị điều kiện cần là y'  0 có 3 nghiệm phân biệt. Điều
này xảy ra khi và chỉ khi m  1  0 � m  1.







Khi đó y'  4x x  m  1 x  m  1 đổi dấu qua các điểm
x  0,x   m  1,x  m  1 nên hàm số có 3 cực trị tại 3 điểm này.
Với m  1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là :



 



A 0;  m2  ,B    m   1; –2m – 1 ,  C





m   1;–2m – 1

Cách 1: Nhận xét: A �Oy ,B và C đối xứng qua Oy nên tam ABC
cân tại A tức là AB  AC nên tam giác chỉ có thể vuông cân tại A .
Gọi M là trung điểm của BC � M  0; 2m – 1
Do đó để tam giác ABC vuông cân � BC  2AM  (đường trung tuyến
bằng
nửa
cạnh
huyền)





3

� 2 m  1  2  m2     2m   1  2  m   1 �  1   m   1 m  1   m  1 2
2

� 1    m   1 �  m   0  do m  1
Cách 2: ABC vuông cân.
Ta có: AB2  AC 2   m  1   m  1

4

và BC 2  4 m  1 .

Theo định lý pitago ta có:
�
m  1 0 �
m  1
2AB2  BC2 � (m  1)4  m  1 � �
��
m  1 1 �
m 0
�
So với điều kiện m  1 , m cần tìm là m  0.





2

Cách 3: ABC vuông cân � AB.AC  0 �   m  1  2m  1 m2   0
� m4  4m3  6m2  3m  0 � m  0 hoặc m  1 (loại)
Cách 4:
uuu
r uuu
r
�
Sử dụng góc ABC vuông cân � cos AB,BC  450 , từ đây tìm được m  0



89




3. Cách 1:
Ta có: y'  3x2 – 6mx. Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi y'  0 có 2

nghiệm phân biệt  m �0 và đổi dấu qua mỗi nghiệm x  0 hoặc x  2m .



 

3
3
Khi đó hàm số có hai điểm cực trị. A 0;3m ,B 2m; m



3
B,OA �
Nhận xét: A thuộc Oy nên OA  yA  3m ,d �
�
� 2 m và SA BC  48

1
3m3 2m  48 � m4  16 � m  �2 thỏa điều kiện bài toán

2
Cách 2:
Để hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y'  0 có 2 nghiệm phân biệt và
đổi
�

۹
dấu qua mỗi nghiệm, nghĩa là phải có: �y'�0

36m2

0

m 0

Với m �0 thì hàm số có cực đại A  x1;y1 và B x2;y2  .

Trong đó: y' x1   y' x2   0 và y1  2m2x1  3m3 , y2  2m2x1  3m3
SOAB  48 �

�

 x2  x1

Hay

2

 x2  x1

2

 1 4m  .
4

  y2  y1  .
2

3m3
4m4  1

3m3
4m4  1

 96 �

 96

 x2  x1 2  4x1x2 . 3m3  96

 2m 2 3m3  96 � m4  16 � m  �2

Ví dụ 2.Cho hàm số: y 

x2  2mx  m
 1 . Tìm tham số m để đồ thị hàm
x m

số  1 có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu đồng thời:
1. Đường thẳng đi qua hai điểm này tạo với các trục tọa độ một tam giác

có diện tích bằng 1;
2. Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O .
Lời giải.
TXĐ: D  �\   m
Hàm số có có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi phương trình
1
x2  2mx  2m2  m  0 có hai nghiệm phân biệt khác m tức m   hoặc
3
m  0.
1. Phương trình đường thẳng qua hai cực trị là : y  2x  m , theo bài toán ta
1
có: A  m;0 và B 0; 2m . SA OB  .OA.OB � m  1.
2

90


1
hoặc m  0 thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại
3
C  x1;y1
và cực tiểu D  x2;y2  : y  2x  m , khi đó C  x1;2x1  m và
uuur uuur
D  x2;2x2  m . Tam giác OCD vuông tại O khi và chỉ khi OC.OD  0 tức

2. m  

5x1x2  2m  x1  x2   m2  0   .

Áp dụng định lý vi – ét x1  x2  2m; x1x2  2m2  m , khi đó   trở thành

5m  m  1  0 � m  1 hoặc m  0.
Đối chiếu điều kiện, ta thấy m  1 thỏa.





2 2
Ví dụ 3 : Cho hàm số y  x x  a ; với a là tham số thực, x là biến số

thực.Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi a  2
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên �
a
Ta có: y'  4x3  2ax và y'  0 � x  0 hoặc x2  
2
a
Để hàm số có 3 cực trị �   0 � a  0 , khi đó phương trình y'  0 có 3
2
nghiệm x  0 hoặc x   

a
a
hoặc x  
2
2

� a a2 � � a a2 �
 ; �

;B�
  ; �
Giả sử hàm số có 3 điểm cực trị là : O  0;0 ;A �
� 2 4� �
2 4�
�
� �
�
a4 a � OAB cân tại O, do đó ta chỉ cần chứng

16 2
minh OAB có góc �
AOB nhọn thì OA B có 3 góc nhọn.
Suy ra : OA = OB =

a a4
uuur uuu
r

4
3
OA.OB
�
2 16  a  8a  a  8
 uuur uuu
Ta có : cosAOB
r 
a a4 a4  8a a3  8
OA . OB
 

2 16
a3  8
�
�
 0 � a3  8  0 ( vì a < 0 nên
AOB là góc nhọn � cosAOB  0 � 3
a 8
a3  8  0 ) a  2 . Kết hợp điều kiện có 3 cực trị của hàm số ta được a  2
Vậy, hàm số có 3 cực trị lập thành tam giác nhọn khi và chỉ khi a  2 .
Ví dụ 4 : Cho hàm số y  x3  3x2  mx  2  1 . Xác định m để hàm số  1
có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Lời giải.

91


Hàm số đã cho xác định trên �
Ta có: y'  3x2  6x  m
Hàm số có cực trị khi y'  0 có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi
nghiệm, tức là phải có: �  '  9  3m  0 hay m  3 .
Với m  3 thì đồ thị của hàm số có cực trị và
1
� 2m
�
m
y   x  1 .y' �

 2�
x  2

3
3
� 3
�
� 2m
�
m

 2�
x  2
Suy ra y  �
là đường thẳng d qua 2 điểm cực trị
3
� 3
�
� 6 m
�
;0�
,
Giả sử đường thẳng d cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tại A �
�2(m  3) �
� 6 m �
B�
0;
�
� 3 �
Tam giác OAB  cân � OA  OB �

m6
6 m

9
3

� m  6, m   ,m  
2(m  3)
3
2
2

Với m  6 thì A �B �O do đó so với điều kiện ta nhận m  
Vậy, với m  

3
2

3
thỏa mãn bài toán.
2

Ví dụ 5 : Cho hàm số y  2x3  3(2m  1)x2  6m(m  1)x  1  1 . Xác định m

để M(2m3;m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số  1 một
tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên �
Ta có: y'  6x2  6(2m  1)x  6m(m  1) và y'  0 � x  m, x  m  1
� m ��, hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là A(m;2m3  3m2  1),
B(m  1;2m3  3m2)
Suy ra AB  2 và phương trình đường thẳng AB: x  y  2m3  3m2  m  1  0

Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ
M tới AB nhỏ nhất.
1
1
3m2  1  �
d(M;AB)

mind(M ;AB)
Ta có: d(M ,AB) 
đạt được khi m
2
2
2
=0
Vậy, với m = 0 thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 6 : Cho hàm số: y  x3  3mx  2 ( m là tham số) có đồ thị là  C m  .
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua cực đại, cực

92


tiểu của đồ thị hàm số  C m  cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại
hai điểm phân biệt A ,B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên �
Ta có: y'  3x2  3m và với mọi m  0 thì hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là
 : 2mx  y  2  0
Điều kiện để đường thẳng  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt là
2m  1

d  I,   R �
 1� m  0
2
4m  1
1
1
1
SIA B  IA.IB.sinAIB � R 2  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IA vuông góc
2
2
2
IB .
Gọi H là trung điểm của AB, ta có HI  HA  HB
2m  1
R
R
1
4 � 12
IH 2  HB2  R 2 � IH 
� d  I,   
�

� m
4
2
2
2
4m2  1
4 � 12
thỏa mãn bài toán.

4
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1.
1. Cho hàm số y  x4  (3m  1)x2  3 . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị
hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh
2
đáy bằng
lần độ dài cạnh bên.
3
Vậy, với m 

2. Cho hàm số y  x4  2mx2  2m  1  1 . Định m để hàm số  1 có ba cực
trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số  1 tạo thành một tam giác có





chu vi bằng 4 1 65 .
x2   a  1 x  a  b

. Tìm giá trị của tham số thực a, b sao
x1
cho hàm số đạt cực tiểu tại x  3 và đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo
3. Cho hàm số y 





2

với hai trục tọa độ một tam giác có chu vi bằng 1 5 .
Bài 2.
1. Cho hàm số y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3  4m  1. Tìm m để đồ thị của
hàm số cho có hai điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O

93


2. Cho hàm số y  x4  2(m  2)x2  m2  5m  5 . Tìm các giá trị của m để đồ
thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông
cân.
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
1. y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3  4 có hai điểm cực trị A ,B sao cho tam
giác OAB có diện tích bằng 4( O là gốc tọa độ ).
2. y  x4  2m2x2  1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông
cân.
3. y  x4  2m(m  1)x2  m  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
vuông cân.
3
2
2
2
4. y =- x + 3x + 3 m - 1 x - 3m - 1 có 2 cực trị cùng điểm O tạo

(

)

thành tam giác vuông tại O .
Bài 4.
1. Cho hàm số y  x3  3x2  m . Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho
�  1200
có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB
2. Cho hàm số y  x4  2mx2  m2  m . Với những giá trị nào của m thì đồ
thị của có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam
giác có một góc bằng 1200 .
Bài 5.
1. Tìm m để đồ thị hàm số: y  x4  2mx2  m  1 có 3 điểm cực trị và tam
giác mà 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị có diện tích bằng 1.
2. Cho hàm số y  x3  3x2  m2  m  1. Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai
điểm cực đại, cực tiểu là A và B để diện tích tam giác ABC bằng 7, với
điểm C(–2; 4 ).
3. Cho hàm số y  x3  3x2  4mx  1 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm
cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt trục Ox, Oy lần lượt tại
A ,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9 , trong đó O là gốc tọa độ .
20
Bài 6.
1. Với giá trị nào của m �� thì đồ thị của hàm số y   x4  4mx2  4m có 3
� 31�
0; � làm trực tâm.
cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác nhận điểm H �
� 4�
2. Tìm m để đồ thị hàm số: y  x4  2mx2  2 có ba điểm cực trị tạo thành
một tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm.

94