06 toa do trong khong gian

CHỦ ĐỀ: TỌA ĐỘ
TRONG KHƠNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A.TĨM TẮT GIO KHOA.

I. Tọa độ trong không gian
1) Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz
�Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ
vuông góc trong không gian.
�Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ, trục Ox là trục hoành, Oy là trục tung
và Oz là trục cao.
r r r
�Véctơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i , j , k, ta có:
r
r
r
r r r r rr
i  j  k  1, i . j  j .k  k.i  0.

�Xét điểm M thỏa mãn
uuuur
r
r
r
OM  x.i  y. j  z.k thì M (x; y; z).
Ngược lại, điểm M (x; y; z) thì
uuuur
r
r
r
OM  x.i  y. j  z.k .

r
�Với véctơ u trong hệ tọa độ Oxyz
luôn tồn tại duy nhất bộ (x; y; z) thỏa:
r
r
r
r
u  x.i  y. j  z.k.
r
Tọa độ u là (x; y; z) .

2) Tọa
u
r độ véc tơ – Tọa
r độ điểm
Cho a  (x1; y1; z1), b  (x2; y2; z2) và số thực k . Khi đó
u
r

r

u
r

* a �b  (x1 �x2; y1 �y2)
u
r r
u
r
r

x1

* a / /b � a  kb �
x2

* ka  (kx1; ky1; kz1)
�x1  x2
u
r r
�

 k � a  b � �y1  y2 .
y2 z2
�
�z1  z2
y1

z1

Chú ý: Nếu x2  0  y2  0, z2  0 thì x1  0  y1  0, z1  0
88


u
rr

u
r

* | a|  x12  y12  z12

* a.b  x1x2  y1 y2  z1z2

u
rr
u
r r
a.b
* cos(a, b)  ur r
| a| | b|
Cho A  (xA ; yA ; zA ), B  (xB ; yB ; zB ), C(xC ; yC ; zC ), D(xD ; yD ; zD ) .
u
r r
* a  b � x1x2  y1 y2  z1z2  0

Khi
uuuđó:
r
* AB  (xB  xA ; yB  yA ; zB  zA )
uuur

* AB  AB  (xB  xA )2  ( yB  yA )2  (zB  zA )2
�x  xB yA  yB zA  zB �
;
;
�
�
2
2
2

�
�

A
* Trung điểm I của đoạn AB: I  �
�

* Trọng tâm G của ABC :
�x  xB  xC yA  yB  yC zA  zB  zC �
G�A
;
;
�
�
�
3
3
3
�
�

* Trọng tâm G của tứ diện ABCD:
�x  xB  xC  xD yA  yB  yC  yD zA  zB  zC  zD �
G�A
;
;
�
�
�
4

4
4
�
�

3) Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng
�

�

a) Định nghĩa: Cho a   x ; y ; z  và b   x ; y ; z 
1 1 1
2
2 2
u
r r
�y z z x x y �
�
a, b� � 1 1 ; 1 1 ; 1 1 �
� � �y z z x x y �
�2 2 2 2 2 2 �

b) Các tính chất:

r

u
r r

r

u
r
a, b� 0
* a cùng phương b � �
� �
u
r r
r
�
a, b� b
� �
u
r r
u
r r
u
r r
a, b� a . b .sin(a, b)
* �
� �

c) Các ứng dụng của tích có hướng

r
1 uuur uuuu
�Diện tích tam giác: SABC  �
AB, AC �.
�
2�

�Thể tích:
uuur uuuu
r uuur
AB, AD �.AA '
* Hình hộp: VABCD. A ' B ' C ' D '  �
�
�
u
u
u
r
u
u
u
u
r
u
u
u
u
r
1
* Tứ diện: VABCD  �AB, AC �.AD .
�
6�

89

u
r r

u
r

a, b� a và
* �
� �


Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:

u
r r r

u
r r r

a, b�.c  0
* a, b, c đồng phẳng � �
� �

uuur uuuu
r uuuu
r

AB, AC �.AD  0 .
* A, B,C , D đồng phẳng � �
�
�
3. Phương trình mặt cầu.

Mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) , bán kính R có phương trình
(x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R 2 (1).
Phương trình (1) có thể được biểu diễn cách khác như sau
x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)
�a2  b2  c2  d  0
�

2
2
2
2
Với d  a  b  c  R � �

�
�R 

a2  b2  c2  d

.

II. Phương trình mặt phẳng
1. Véc tơ pháp tuyến:
ur r
Định nghĩa: Cho mặt phẳng ( ) . Véc tơ n �0 gọi là véc tơ pháp tuyến
ur
u
r
(VTPT) của mp ( ) nếu giá của n vuông góc với ( ) , kí hiệu n  ( ) .

Chú ý:ur

ur
*Nếu n là VTPT của () thì k.n (k �0) cũng là VTPT của (a) . Vậy mp
(a) có vô số VTPT.
u
r r
* Nếu hai véc tơ a, b (không cùng phương) có giá song song (hoặc nằm
u
r

u
r r

a, b�
(a) .
trên) (a) thì n  �
� �là một VTPT của mp

* Nếu ba điểm A, B, C phân biệt không thẳng hàng thì véc tơ
ur
uuur uuuu
r
n�
AB, AC �là một VTPT của mp  ABC  .
�
�

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
ur
* Cho mp( ) đi qua M (x0; y0; z0) , có n  ( A; B; C ) là một VTPT . Khi đó
phương trình tổng quát của (a) có dạng:

A (x  x0)  B( y  y0)  C (z  z0)  0 .
ur
* Nếu ( ) : Ax  By  Cz  D  0 thì n  ( A; B; C ) là một VTPT của (a) .
90


* Nếu A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) ; abc �0 thì phương trình của ( ABC )
có dạng:
x y z
   1 và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của (a) .
a b c

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
Cho hai mp (P ) : Ax  By  Cz  D  0 và (Q) : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0
A ' : B ' : C '.
* (P ) cắt (Q) ۹ A : B : C
A
B
C
D


�
A' B' C' D'
A
B
C
D
(P ) �(Q) �




A' B' C ' D'
(P )  (Q) � AA ' BB ' CC '  0 .

*(P ) / /(Q) �

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ M  x0; y0; z0  đến mp (P ) : Ax  By  Cz  D  0 là:
d(M , (P )) 

Ax0  By0  Cz0  D
A 2  B2  C 2

.

III. Phương trình đường thẳng trong không gian
1. Phương trình tham số của đường thẳng:
a) Véc tơ chỉ phương của đường
u
r r thẳng:
Cho đường thẳng  . Véc tơ u �0 gọi là véc tơ chỉ phương(VTCP) của
đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với  .
Chú ý u
1.3.3:
u
r
r
* Nếu u là VTCP của  thì k.u (k �0) cũng là VTCP của 
uuur

* Nếu đường thẳng  đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP

uuu
r uuur
uur
�
�
n
,
n

u
(
Q
)
(
P
)
* Nếu  là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
thì �P Q �  là
uuu
r uuu
r
một VTCP của  (Trong đó nP , nQ lần lượt là VTPT của (P ) và (Q) ).

b) Phương trình tham số của đường thẳng
u
r
Cho đường thẳng  đi qua M (x0; y0; z0) và có VTCP u  (a; b; c) . Khi đó

�x  x0  at
�
phương trình đường thẳng  có dạng: �y  y0  bt
�
�z  z0  ct

t �� (1)

(1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng  , t gọi là tham số.
 có phương trình (1)
Chú
u
r ý . Cho đường thẳng
* u  (a; b; c) là một VTCP của 
* M � � M (x0  at; y0  bt; z0  ct) .
91


2. Phương trình chính tắc:
u
r
Cho đường thẳng  đi qua M (x0; y0; z0) và có VTCP u  (a; b; c) với
abc �0 . Khi đó phương trình đường thẳng  có dạng:
x  x0
a



y  y0
b



z  z0
c

(2)

(2) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng  .
3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d :

x  x0
a



y  y0
b



z  z0
c

đi qua M (x0; y0; z0) có

VTCP

uur

,
,
,
, ,
ud  (a; b; c) và d ' : x  x0  y  y0  z  z0 đi qua M '(x0, ; y0
; z0) có
a
'
b
'
c
'
uuur
VTCP ud '  (a '; b '; c') .
uur uuur uuuuuu
r
d ' đồng phẳng. Khi đó xảy ra ba trường
* Nếu [ud , ud ' ]MM '  0 � d va�

hợp
u
r uu
r
i ) d và d ' cắt nhau ۹ [u, u ']

r
0 và tọa độ gia điểm là nghiệm của hệ :

�x  x0 y  y0 z  z0



�
b
c
� a
�
,
,
, .
�x  x0 y  y0 z  z0


�
b'
c'
� a'
u
r uu
r
r
�
[u, u ']  0
�
r uuuuuu
r
r
ii ) d / / d ' � �u
[u, MM '] �0
�
u

r uu
r
r
�
[u, u ']  0
�
r uuuuuu
r r
iii ) d �d ' � �u
[u, MM ']=0
�
u
r uu
r uuuuuu
r
* Nếu [u, u ']MM ' �0 � d và d ' chéo nhau .

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và
ur mặt phẳng
Cho mp( ) : Ax  By  Cz  D  0 có n  ( A; B; C ) là VTPT và đường
thẳng
:

x  x0



y  y0

a

b
M 0 (x0; y0; z0 ) .



z  z0
c

u
r

có u  (a; b; c) là VTCP và đi qua

92


ur
u
r
� cắt ( ) � n và u không cùng phương � Aa  Bb  Cc �0 . Khi đó
�Ax  By  Cz  D  0
(a)
�
tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ : �x  x0 y  y0 z  z0


(b)
�
b
c

� a
Từ (b) � x  x0  at, y  y0  bt, z  z0  ct thế vào (a) � t � giao điểm
ur u
r
�
�Aa  Bb  Cc  0
�n  u
�
��
*  / /( ) � �
�Ax0  By0  Cz0  D �0
�M 0 �( )
ur u
r
�
�Aa  Bb  Cc  0
nu
�
�
��
*  �( ) � �
�M 0 �( )
�Ax0  By0  Cz0  D  0
ur
u
r
ur
u
r
*   ( ) � n va�

u cùng phương � n  k.u .

5. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
u
r
Cho đường thẳng  đi qua M 0 , có VTCP u và điểm M � . Khi đó để
tính khoảng cách từ M đến  ta có các cách sau:
uuuuuur u
r
[M 0M , u]
u
r
C 1: Sử dụng công thức: d(M , ) 
.
u

C 2: Lập phương trình mp  P  đi qua M vuông góc với  . Tìm giao điểm
H của (P ) với  . Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.
b) Khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau:
u
r
Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M 0 có VTCP u và  ' đi qua

uu
r
M 0 ' có VTCP u ' . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng  và  ' được

tính theo các cách sau:

u
r uu
r uuuuuuuuu
r
�
u, u '�.M 0M '0
� �
C 1: Sử dụng công thức: d(,  ') 
u
r uu
r
.
�
u, u '�
� �
C 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách

cần tìm.
C 3: Lập phương trình mp  P  đi qua  và song song với  ' . Khi đó
khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  ' đến (P ) .
IV. GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng:

93


Cho hai đưòng thẳng  :
và đường thẳng  ' :

x  x0

a

x  x0 '
a'

Đặt    ,  ' , khi đó:



y  y0



z  z0

u
r

có VTCP u  (a; b; c)

b
c
uu
r
y  y0 ' z  z0 '
có VTCP u '  (a '; b'; c') .


b'
c'

u
r uu
r
cos   cos u, u ' 





aa ' bb ' cc '
a2  b2  c2 . a '2  b'2  c'2

.

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
ur
Cho mp ( ) : Ax  By  Cz  D  0 có n   A; B; C  là VTPT và đường
thẳng  :

x  xo



y  yo



z  zo

u
r

có u  (a; b; c) là VTCP. Gọi  là góc

a
b
c
mp
(

)
giữa
và đường thẳng  , khi đó ta có:
ur u
r
Aa  Bb  Cc
sin   cos n, u 
.
A 2  B 2  C 2 a2  b2  c2

 

3. Góc giữa hai mặt phẳng
uur
Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 có VTPT n1  ( A; B; C) và
uur

(b) : A 'x + B 'y +C 'z + D ' = 0 có VTPT n2   A '; B '; C ' .

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( 00 � �900 ). Khi đó:
uur uur
cos   cos n1, n2 





AA ' BB ' CC '
A 2  B 2  C 2 A '2  B '2  C '2

.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.
Vấn đề 1. CÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA
ĐỘ VECTƠ
Phương pháp:
�Dựa vào định nghĩa tọa độ của điểm, tọa độ của véc tơ
�Dựa vào các phép toán véc tơ
Áp dụng các tính chất sau:
r
r
Cho các vectơ u  (u1 ; u2 ; u3 ) , v  (v1 ; v2 ; v3 ) và số thực k tùy ý .Khi đó ta có

94


u1  v1
�
r r

�
u 2  v2
a) u  v � �
�
u3  v3
�
r r
b) u  v  (u1  v1 ; u2  v2 ; u3  v3 )
r r
c) u  v  (u1  v1 ; u2  v2 ; u3  v3 )
r
d) ku  (ku1 ; ku2 ; ku3 )
u
r r
u
r
r
u
r r
�
Ví dụ 1.1.6 Cho hai véc tơ a, b thỏa a, b  1200, a  2, b  3
u
r
r
1. Tính a  2b
u
r
r
u
r

r
2. Tính góc giữa hai véc tơ a và x  3a  2b
Lời giải.
u
rr u
r r
u
r r
�
1. Ta có: a.b  a . b .cos a, b  2.3.cos1200  3

 

 

u
r
r 2 u
r2
u
rr
r2
u
r
r
� a  2b  a  4a.b  4b  22  4.3  4.32  52 � a  2b  2 13





u
rr

u
r



u
r

r



u
r2

u
rr

r

u
r

r

2. Ta có: a.x  a 3a  2b  3a  2a.b  6 và x  (3a  2b)2  6

u
rr
r u
r
u
r r
�
�
a.x
6
1
cos
x
,
a



�
a
, x  600 .
u
r
r
Suy ra
6.2
2
a.x

 

 

Ví dụ 2.1.6 Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ

r
r
r
a  (1;0; 2) , b  ( 2;1;3) , c  ( 4;3;5)
r
r
r
1. Tìm toạ độ vectơ 3.a  4.b  2c
r
r r
2. Tìm hai số thực m , n sao cho m.a  n.b  c .
Lời giải.
r
r
r
1. Tọa độ vectơ 3.a  4.b  2c

r
r
a  (1;0; 2) � 3.a  (3; 0; 6) ,
r
r
b  (2;1;3) � 4b  (8; 4; 12),
r
r

c  (4;3;5) � 2.c  ( 8;3;10),
r
r
r
Suy ra 3.a  4.b  2c   3  8  8;0  4  3; 6  12  10    3; 1; 4  .
2.Tìm m,n .
r
r
Ta có m.a  n.b  (m  2n; n; 2m  3n) ,

95


�m  2n  4
r
r r
�m  2
�
n 3
��
Suy ra m.a  n.b  c � �
.
�n  3
�2m  3n  5
�
Ví dụ 3.1.6 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A  2;  3;1 ,

B  1;  1; 4  và C   2;1; 6  .

1. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC ;

2. Xác định toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và toạ độ giao
điểm hai đường chéo của hình bình hành này;
uuuu
r
uuur
3. Xác định toạ độ điểm M sao cho MA  2MB
Lời giải.
1. Xác định tọa độ trọng tâm G .
Theo tính chất của trọng tâm G ,ta có :

xA  xB  xC 1
�

�x G 
3
3
�
uuur 1 uuur uuur uuur
y  yB  yC
�
 1 .
OG  (OA  OB  OC) � �yG  A
3
3
�
z  z B  z C 11
�
zG  A

�

3
3
�
2. Xác định tọa độ điểm D.
Vì A,B,C là ba đỉnh của một tam giác ,do đó

�x B  x A  x C  x D
uuur uuur
�
yB  yA  yC  y D .
ABCD là hình bình hành � AB  DC � �
�
zB  zA  zC  zD
�
1   2  x D
�
�x D  1
�
�
��
2  1  yD
� �y D  1 .
�
�
3  6  zD
zD  3
�
�
Vậy D   1;  1;3  .
Giao điểm I của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD là trung

xA  xC
�
0
�x I 
2
�
y  yC
�
yI  A
 1 .
điểm của AC ,suy ra I �
2
�
� z A  zC 7
zI 

�
2
2
�
3. Xác định tọa độ M.
96


Gọi  x; y; z  là toạ độ của M,ta có

� 4
�x  3
2  x  2(1  x)

�
�
uuuu
r
uuur
5
�
�
MA  2MB � �
3  y  2(1  y) � �y  
3
�
�
1  z  2(4  z)
�
z3
�
�
�
Ví dụ 4.1.6 Cho tam giác ABC có A(1;0;  2),B(1;1;0),C(2;4;  2).
1. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác
ABC.
2. Tìm tọa độ giao điểm của phân giác trong, phân giác ngoài góc A với đường
thẳng BC.
Lời giải.
uuur
uuur
uuur
1. AB(2;1;2),BC(1;3;  2),CA(3;  4;0).

4�
�2 5
 ; ; �
.
Trọng tâm G �
3�
�3 3
uuur uuur
AB;AC �
Ta có �
�
� (8;  6;  5). Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ
uuuu
r uuur
�AH.BC  0
x  3y  2z  3
�
�
�uuur uuur
�
� 29 22 2 �
BH.CA  0
��
3x  4y  7
�H�
 ;
; �
.
�
r

� 25 25 5 �
�uuur uuur uuuu
�
8x  6y  5z  2
�
AB,AC �
.AH  0
�
�
�
��
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ
�
IA  IB
4x  2y  4z  3
�
�
�
�
� 21 103 11 �
IA  IC
��
6x  8y  19
�I�
 ;
; �
.
�
5�
� 50 50

�uuur uuur uur
�
8x  6y  5z  2
AB,AC �
.AI  0
�
��
�
�
�
2. Gọi E,F lần lượt là giao điểm của phân giác trong, phân giác ngoài góc A với
EB FB AB 3



đường thẳng BC. Từ
ta tính được tọa độ các điểm
EC FC AC 5
3 � �1 7 �
� 11 7
E�
 ; ;  �
,F
;  ; 3�
.
8
4� �
� 8
�2 2 �
Ví dụ 5.1.6 Trong không gian Oxyz , , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1,2,3) ,C(1; 4; 5) ,B’(-3;3;-2) , D’(5;3;2) . Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình

hộp.
Lời giải.
97


D

C
E
B

A

D'

C'

E'
A'

B'

Gọi
uuurE, E’
uuulần
ur lượt
uuuu
rlà trung
uuuu
r điểm

uuuurcủa AC và B’D’ thì ta có
EE '  AA '  BB'  CC'  DD' và

�
�
x  xC
x x
xE  A
0 �
xE'  B' D'  1
�
2
2
�
�
y

y
y

y
�
�
C
yE  A
3 , �
yE'  B' D'  3 .
�
2
2

�
�
z  zC
z z
�
�
zE  A
4 �
zE'  B' D'  0
�
2
2
�
�
uuur
Suy ra EE '  (1;0; 4)

�
xA '  1 1
uuuur uuur
�
AA '  EE ' � �
yA '  2  0 � A '(0;2; 1) .
�
zA '  3  4
�
�3 xB  1
uuuu
r uuur
�

BB'  EE ' � �
3 yB  0 � B(4;3;2) .
�2  z  4
B
�
�
xC'  1  1
uuuu
r uuur
�
CC'  EE ' � �
yC'  4  0 � C'(2;4;1)
�
zC'  5  4
�

98


�
5 xD  1
uuuur uuur
�
DD'  EE ' � �
3 yD  0 � D(4;3;6)
�
2  zD  4
�
Ví dụ 6.1.6 Cho hình chóp S.ABCD với điểm A (4;  1;2), B (1;0;  1)
và C (0;0;  2), D(10;  2;4). Gọi M là trung điểm của CD . Biết SM

vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và thể tích khối chóp VS.ABCD  66
(đvtt). Tìm tọa độ đỉnh S .
Lời giải.
uuur
uuuu
r
uuuu
r
uuur
Ta có AB(5;1;  3), DC (10;2;  6) � DC  2. AB nên ABCD là hình

thang và
S ADC  2S ABC , hay S ABCD  3S ABC .
uuur uuuu
r
uuur
uuuu
r
AB, AC � (1;  8;  1), do đó
Vì AB (5;1;  3), AC (4;1;  4) nên �
�
�
S ABC 

1
2

uuur uuuu
r
�

AB, AC �
�
�

66
3 66 (đvdt).
� S ABCD 
2
2

Chiều cao của khối chóp là SM 

3VS. ABCD

 2 66.
S ABCD
uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
uuur uuuu
r
�
�
�
�
�
�vuông

AB
,
AC

AB
,
AB
,
AC

AC
AB
,
AC
Vì �
nên giá của véc tơ �
�
�
�
�
(
ABCD
),
SM

(
ABCD
)
góc với mặt phẳng
mà

nên tồn tại số thực k sao

cho:

uuuur
uuur uuuu
r
SM  k. �
AB, AC � ( k;  8k;  k).
�
�
uuuur
Suy ra 2 66  SM  ( k)2  (8k)2  ( k)2 � k  2 � k  �2.
uuuur
M là trung điểm CD nên M (5;  1;1) � SM (5  xS ;  1  yS ;1  zS ).
uuuur
�Nếu k  2 thì SM  (5  xS ;  1  yS ;1  zS )  (2;  16;  2) nên tọa độ

của điểm S là S (7;15;3).

uuuur
�Nếu k  2 thì SM  (5  xS ;  1  yS ;1  zS )  (2;16;2) nên tọa độ của

điểm S là S (3;  17;  1).
Vậy tọa độ các điểm S cần tìm là S (7;15;3) hoặc S (3;  17;  1).
Ví dụ 7.1.6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(2;
-1;3) , B(3;0; -2) , C(5; - 1; -6)
� ,suy ra số đo của BAC
� ;
1. Tính cos BAC

99


2.Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên BC và toạ độ điểm A’ đối
xứng của A qua đường thẳng BC.
Lời giải.
� và số đo của BAC
�
1.Tínhcos BAC

uuur

uuur

Ta có : AB  (1;1; 5) , AC  (3;0; 9) ,suy ra

uuur uuur
uuur uuur
AB.AC
�  cos(AB, AC)  uuur uuur
cos BAC
AB AC
=

3  45
12  12  (5)2 . 32  02  (9)2



48

16

27. 90 3 30

� ; 13010 '
Suy ra BAC
2. Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng BC.
Kí
hiệu (x;y;z) là toạ độ của H ,tacó
A

C
H

uuur uuur
�
AH  BC
�
uuur
�uuur
BH cu�
ngph�
�
ngBC
�

B
A'

uuur

uuur
uuuu
r
AH  (x  2;y  1;z  3),BC  (2; 1; 4) , BH  (x  3; y; z  2)
uuur uuur
uuur uuur
AH  BC � AH.BC  0 � 2(x  2)  (y  1)  4(z  3)  0
� 2x  y  4z  7  0 .
uuu
r
�x  2y  3
uuur
BH cùng phương với BC � �
�4y  z  2
�
2x  y  4z  7
�
x  2y  3
Giải hệ �
ta được H( 1;1;2) .
�
4y  z  2
�
Tọa độ A’ đối xứng của A qua BC.
A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC � H là trung điểm của AA’

�
x  xA '
xH  A
�

2
�
xA '  2xH  xA  0
�
yA  yA '
�
�
��
yH 
��
yA '  2yH  yA  3 Vậy A’( 0;3;1)
2
�
�
zA '  2zH  zA  1
�
zA  zA '
�
zH 
�
2
�
100


Ví dụ 8.1.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác ABC có
A(4;2;0) , B(2;4;0) và C(2;2;1). Xác định tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại
tiếp của tam giác ABC.
Lời giải.
Toạ độ trực tâm của tam giác ABC

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC ,ta có

uuur uuur
�
AH  BC
�
�uuur uuur
BH  AC
.
�
�uuur uuur uuur
BC,AC,AH �
o�
ngpha�
ng
�
uuur
uuur
uuu
r
Trong đó AH  (x  4; y  2; z) , BC  (0; -2;1) , BH  (x  2; y  4; z) ,
uuur
AC  ( 2;0;1) .
uuur uuur
uuur uuu
r
* AH  BC � AH.BC  0 � 2(y  2)  z  0 � 2y  z  4
uuur uuur
uuur uuur
* BH  AC � BH.AC  0 � 2(x  2)  z  0 � 2x  z  4.

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
* BC,AC,AH đồng phẳng � [BC,AC].AH  0 (trong đó
uuur uuur
[BC,AC]  (2; 2; 4) ) � - 2(x – 4) -2(y – 2) – 4z =0
� x + y + 2z = 6
�
2y  z  4
�
7 7 2
2x  z  4 , ta được H( ; ; ) ).
Giải hệ: �
3 3 3
�
x  y  2z  6
�
Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,ta có

�AI  BI  CI
�
�uuur uuur uur
o�
ngpha�
ng
�BC,AC,AI �
�AI 2  BI 2
�
2
2

�AI  CI

* AI = BI = CI � �

�
(x  4)2  (y  2)2  z2  (x  2)2  (y  4)2  z2
�
��
(x  4)2  (y  2)2  z2  (x  2)2  (y  2)2  (z  1)2
�
�
x y  0
��
4x  2z  11
�
uuur uuur uur
uuur uuur uur
* BC,AC,AI đồng phẳng � [BC,AC].AI  0 � x + y + 2z = 6

101


�
x y  0
�23 23 1 �
�
4x  2z  11 ,ta được I � ; ; �.
Giải hệ �
�8 8 4 �
�

x

y

2z

6
�
CC BI TỐN LUYỆN TẬP
Bi 1

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba véc tơ

u
r
r
r
r r
r
r r
r
r
a  2i  3 j  5k, b  3 j  4k, c  i  2 j
r
u
r r r r
u
r
r
x

a) Xác định tọa độ các véc tơ a, b, c , x  3a  2b và tính
u
r
x
y
b) Tìm giá trị của để véc tơ   2x  1;  x;3x  2 vuông góc với véc tơ
r r
2b  c
u
r r r
c) Chứng minh rằng các véc tơ a, b, c không đồng phẳng và phân tích véc tơ
u
r
u
r r r
u   3;7; 14 qua ba véc tơ a, b, c .

2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các véc tơ

u
r
r
r r r
r
r r
r
r
a  2i  3 j  k, b  i  2k, c  2 j  3k
u
r r r

a) Xác định tọa độ các véc tơ a, b, c
u
r
u
r
u
r
r
r
b) Tìm tọa độ véc tơ u  2a  3b  4c và tính u
r
r
c) Tìm x để véc tơ v  (3x  1; x  2;3  x) vuông góc với b
r
u
r r r
d) Biểu diễn véc tơ x  (3;1;7) qua ba véc tơ a, b, c .
Bi 2
r
r
r r
r r
0
1. Cho hai véc tơ a, b có a  2 3, b  3, (a, b)  30 . Tính
r r
r
r r r
a) Độ dài các véc tơ a  b,5a  2b, 3a  2b,
r
r r

r r
r
�
a, b�
a, 3b��
, 5a,  2b�
b) Độ dài véc tơ �
�
�, �
��
�.
2. Tìm điều kiện của tham số m sao cho
r
r
r
a) Ba véc tơ u(2;1;  m),v(m  1;  2;0),w(1;  1;2) đồng phẳng.
b) A(1;  1;m),B(m;3;2m  1),C(4;3;1),D(m  3;  m;2  m) cùng thuộc một
mặt phẳng.
r
r
c) Góc giữa hai véc tơ a(2;m;2m  1),b(m;2;  1) là 600.
Bi 3 Cho tam giác ABC có B(1;1;  1),C(2;3;5). Điểm A có tung độ
1
�7 �
1; ;3�và diện tích tam
là , hình chiếu của điểm A trên BC là K �
3
�3 �
49
.

giác ABC là S 
3
102


1. Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hoành độ dương.
2. Tìm tọa độ chân đường vuông góc hạ từ B đến AC.
3. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp và tọa độ trực tâm H của tam giác
ABC.
uuuu
r
uur
4. Chứng minh HG  2GI với G là trọng tâm tam giác ABC.
Bi 4 Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau. Tọa độ các
điểm A(2;4;1),B(0;4;4),C(0;0;1) và D có hoành độ dương.
1. Xác định tọa độ điểm D.
2. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Chứng minh rằng G cách đều các đỉnh
của tứ diện.
3. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Chứng minh rằng MN là đường
vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
4. Tính độ dài các đường trọng tuyến của tứ diện ABCD.
Tính tổng các góc phẳng ở mỗi đỉnh của tứ diện ABCD.
Bi 5 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A (0;2;0), B(1;0; 3),
C (0; 2;0), D(3;2;1) .

1. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng;
2. Tính diện tích tam giác BCD và đường cao BH của tam giác BCD ;
3. Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ A ;
4. Tìm tọa độ E sao cho ABCE là hình bình hành;
5. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AC và BD ;

6. Tìm điểm M thuộc Oy sao cho tam giác BMC cân tại ;
7. Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và chứng minh A, G, A �
thẳng hàng với A ' là trọng tâm tam giác BCD .
Bi 6 Cho tam giác ABC có A (2;3;1), B (1;2;0), C (1;1;  2).
1. Tìm tọa độ chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC .
2. Tìm tọa độ H là trực tâm của tam giác ABC .
3. Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC .
4. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng các điểm
G, H , I nằm trên một đường thẳng.
Bi 8

Trong không gian với hệ tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz cho tam giác đều
ABC có A (5;3;  1), B(2;3;  4) và điểm C nằm trong mặt phẳng (Oxy) có
tung độ nhỏ hơn 3 .
a) Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều.
b) Tìm tọa độ điểm S biết SA, SB, SC đôi một vuông góc.
Bi 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A  3; 2;4
103


a) Tìm tọa độ các hình chiếu của A lên các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa
độ
b) Tìm M �Ox, N �Oy sao cho tam giác AMN vuông cân tại A
c) Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho tam giác AEB cân
tại E và có diện tích bằng 3 29 với B  1;4; 4 .

CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC
Bi 10

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho A (4;0;0), B(x0; y0;0) với

x0, y0  0 thỏa mãn AB  2 10 và �
AOB  450 .
a) Tìm C trên tia Oz sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 8 .
b) Gọi G là trọng tâm ABO và M trên cạnh AC sao cho AM  x . Tìm
x để OM  GM .

104