Chuyen de PT BPT vo ty

Chuyên đề: Phương trình vô tỉ

GV : Cù Đức Hoà
1. PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA

Giải các phương trình sau:
1)

x2  4x  6 x  4

2)

x 2  2x  4  2  x

3)  x  3 x 2  4 x 2  9

4)

3x 2  9 x  1 x  2

5)

x 2  3 x  2  3  x 0

6)

7) 3x  3 3x  1 5

8)

4  1 x  2  x

9)

10)
13)

11)
14)

3

16)

x  5  3 x  6 3 2 x  11
x  3  7  x  2x  8
y  14  12  y 0

18)

x 2  3x  2  x 2  6 x  5  2 x 2  9 x  7

20)

x2  9 

17)

3

x  1  3 x  2  3 x  3 0

5 x  1  3 x  2  x  1 0

3

12)
15)

x  1  3 x  1 3 5 x
x 1 x 2  x 3
x  2  3  x  5  2x

3x2  6x  16 x2  2x 2 x2  2x  4

21)

x 2  7 2

3x 2  9 x  1  x  2

19)

x 1  x  9  2

3x 2  5 x  8 

3 x 2  5 x  1 1

2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Các phương trình có dạng

Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) ( x  1)( x  4) 5 x 2  5 x  28 )

A.B  A.B  C 0

7)
2)

5 x 2  10 x  1 7  x 2  2 x

 x  3 2  3x  22 

x 2  3x  7

3) x( x  5) 23 x 2  5 x  2  2

5)  4 (4  x)( 2  x)  x 2  2 x  12 6) (4  x)(6  x) x 2  2 x  12
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm?
a) (1  2 x)(3  x) 2 x 2  5 x  3  m
b)  x 2  2 x  4  3  x  x  1 m  3
4) x 2  4 x  2 2 x 2  4 x  5

Bài 3. Cho phương trình:  x 2  2 x  4 (3  x)( x  1) m  2
a. Giải phương trình khi m = 12
b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
x1
Bài 4. Cho phương trình: (x  3)(x  1)  4(x  3)
m (Đ3)
x 3
a. Giải phương trình với m = -3

b. Tìm m để phương trình có nghiệm?





2

Dạng 2: Các phương trình có dạng: A  B  A  B  C 0
Bài 1. Giải các phương trình sau:
2
x  x2  x  1 x
a) (QGHN-HVNH’00) 1 
b) 2 x  3  x  1 3 x  2 2 x 2  5 x  3 - 2
3
x 4 x 4
c) (AN’01) 7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42 181  14 x
d)
 x  x2  16 6
2
5
1
3
1
2 x 
 7
2 x 
 4 (Đ36)
e) 5 x 
g) (TN- KA, B ‘01) 3 x 

2x
2x
2 x
2 x
h)

z  1  z  3  2 ( z  1)( z  3) 4  2 z i)

3 x  2  x  1 4 x  9  2 3x 2  5 x  2 (KTQS‘01)
1  x  8  x  1  x  8  x  a
Bài 2. Cho phương trình:
(ĐHKTQD - 1998)
a. Giải phương trình khi a = 3.
b. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?
Bài 3. Cho phương trình: 3  x  6  x   3  x  6  x  m (Đ59)
a. Giải phương trình với m = 3.
b. Tìm m để phương trình có nghiệm?
x  1  3  x  ( x  1)(3  x) m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000)
Bài 4. Cho phương trình:
a. Giải phương trình khi m = 2.
b. Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 5. Tìm a để PT sau có nghiệm: 2  x  2  x   2  x  2  x  a
Tất cả bài tập 2, 3, 4, 5 ta có thể sáng tạo thêm những câu hỏi hoặc những bài tập sau:
a) Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất? (ĐK cần và đủ)
/>



Chuyên đề: Phương trình vô tỉ
b) Tìm a để phương trình đã cho vô nghiệm?

Dạng 3: Một số dạng khác.



1) 9 x  1 2  3x  7  1 

3x  4



4) 10. x 3  8 3 x 2  x  6

x



2

2) x 2  3 x  1 



5)

35
12

4

3

x 4  x2 1
3

x 2  1  x  x 2  1 2

x

3)
6)

x 3  1  x 2  3x  1

6x

x 2

12 x
12 x
 24
0
x 2
x 2

1
3x
1 x 2  x 2
3x


1



1
2
2
1 x
1 x
x2  1
1 x 2
1 x 2
4x 2
x
x 1
2 x  9
10)
11)
 2
3 (Đ141)
2
x 1
x
1  1  2x
Dạng 4: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu.
1)  4 x  1 x 2  1 2 x 2  2 x  1
2) 21  x  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1
3) x2  x  12 x  1 36

7) x 



8)



4) 1 x  2x2  4x2  1 
7) 2x 

x 1

x



5) 4 1  x  3 x  3 1  x  1  x 2
6) sin x  sin x  sin 2 x  cos x 1


1
1
2
2 x y
 2 cos x  y   13  4 cos 2  x  y 
8) 4 3. 4 x  x sin
1  3 x  0
2


x
x

2x  1

3. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.

1)
2)
3)

4) 8) x 2  8 x  15 3 x  3  2 x  5  6
x2  7x  4
5)
4 x (ĐHDL ĐĐ’01)
 x  1 2  3n  x  1 2  2n x 2  1 0 (với n  N; n  2)
x2
6)  x  2 2 x  1  3 x  6 4   x  6 2 x  1  3 x  2
x2  x  2  2 x  2  2  x 1
x 2  10 x  21 3 x  3  2 x  7  6

n

7) x  2 x  1   x  1 x  x 2  x 0

(1)

(HVKT QS - 2001)

4. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC

1. (ĐHSPHN2’00)

x( x  1)  x ( x  2)  x 2

2.

3.

x 2  2002 x  2001  x 2  2003x  2002  x 2  2004 x  2003

5.

x( x  1)  x( x  2) 2 x( x  3)

6.

x( x  1)  x ( x  2)  x( x  3)

8)

9.

x 2  3x  2  x 2  4 x  3  x 2  5 x  4
4. 2 x( x  1 

x( x  2)  x 2

x 2  3 x  2  x 2  4 x  3 2 x 2  5 x  4

x 2  3x  2  x 2  6 x  5  2 x 2  9 x  7

(Đ8)

(BKHN- 2001)

5. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

1.

x2  4x  5 

3.

x2 x 1  x 2 x 1 

5.

x2 x 1 

7.

x

x2  10x  50 5

2.

x  3  4 x  1  x  8  6 x  1 1

x 3
2

4.

x  2  3 2x  5  x  2 

6.

x 4  2 x 2  1 1  x

8.

x  15  8 x  1  x  8  6 x  1 1

x  2 x  1 2

(HVCNBC’01)

4 x  4  x  4 x  4 2 .

Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã

(Đ24)

2 x  5 2 2

8. 4 x  2  x  1  4


Chuyên đề: Phương trình vô tỉ
6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

Giải các phương trình sau:
1) x( x  1)  x( x  2) 2 x( x  3)
4)

21  x  21  x 21

x
21  x  21  x

3

5)

3

x( x  2)  x 2

2) 2 x( x  1) 

7 x  3 x 5
6  x
7 x 3 x  5

6)

3)

2x  2 

2x  1 x

x2  3x  2  x2  4x  3 2 x2  5x  4

7) 2x2  1  x2  3x  2  2x2  2x  3  x2  x  2
8) 3 x 2  7 x  3  x 2  2  3 x 2  5 x  1  x 2  3x  4
9) x 2  2003 x  2002  x 2  2004 x  2003 2 x 2  2005 x  2004
7. PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ

Giải các phương trình sau:
1) 3 x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2

2)

3)

x 2  6 x  11  x 2  6 x  13  4 x 2  4 x  5 3  2

5)

2 x 2  8 x  12 3 

8) 1  2 x  1  2 x 

4

3 x 2  12 x  13

1  2x
1  2x


1  2x
1  2x

10) x 2  2 x  3  2 x 2  x  1  3x  3 x 2

6)

x 2  6 x  15
 x 2  6 x  18
2
x  6 x  11

4) x 2  3 x  3,5   x 2  2 x  2 x 2  4 x  5

x 2  2 x  5  x  1 2 7)
9)
11)

2( 1  x  x )  4 1  x  4 x

x  2  4  x x 2  6 x  11
x  2  10  x  x 2  12 x  52

8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ .

Dạng 1: Đưa về hệ phương trình bình thường. Hoặc hệ đối xứng loại một.

Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã

(Đ11)

Chuyên đề: Phương trình vô tỉ
3

1)

2  x 1 

x 1

GV : Cù Đức Hoà

25)

(ĐHTCKTHN - 2001)

4

2)

1
1
 cos2x  4  cos2x 1
2
2

26)
2  x  x2 
1

4
10 8sin2 x  4 8cos2 x  1 1
x  x  1  x 2  x 127) 17 x  17 x 2

3  x  x2 
3)

(ĐHDL HP’01)

4)
5)

4

5 x  4 x  1  2

(DL Hùng vương- 2001)

28) x  1  1  6  x
(CĐ mẫu giáo TW1- 2001)

29)
x2  3x  3  x2  3x  6 x23 x  5  x2  8x  4 5
3
6)
x  34  3 x  3 1 30)
(Đ12)
1
x 2  x  1  x2  x  1 
7) 4 x  4 97  x 5

2
8) 3 14 x  3 12 x 2
(Đ142)
9)
31)
2
2
2
3
3
3
( x  8)  ( x  8)  x  64
4 x3 x  3 35 x3 30
x3 35
32)
10)





2
2
x  17  x 2  x 17  x 2 9 3x  5x  8  3x  5x  1 1
33)
1
1


2

11)
2x2  5x  2  2 2x2  5x  6 1
2  x2 x
34)
12)
4
47 2x  4 35 2x 4
3
1  x  3 1  x 2
65
1
13) 3 x 2  2 3 x 2 
8
1
1
14) 3  x  3  x 1
2
2
15)
3
7  tgx 3 2  tgx3
16) 3 24 x  12 x 6
17)

 34 x

3

3

x  1   x  1 3 34 x
30
34 x  3 x  1

18)
1 1 x2



1 x 3  1 x 3

 2

1 x2

19)
3
2  x  x2  3 2  x  x2 3 4
20)
3

 3x  1 2  3  3x  1 2  3 9 x 2  1 1

21)
3

 2  x 2  3  7  x 2  3  2  x 7  x 3

22)
2 x  x  1  1  2 x  x  1 2 x  1  1

23)
3
sin2 x  3 cos2 x 3 4
24)
sinx  2  sin2 x  sinx. 2  sin2 x 3
/>



Cï §øc Hoµ
Tæ : To¸n - Lý
Dạng 2: Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai.
1) x 3  1 23 2 x  1
2) x3  2 33 3x  2
3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4
4) x 2  1  x  1
5)  x2  2  2  x
6) x 2  5  x 5
7) 5  5  x  x
4x  9
, x  0 (ĐHAN-D)
9) 4 
28
11) x2  5  x 5
12) x3  33 3x  2 2
8) 7x2  7x 

10)

4  x x

3

x  9  x  3  6

13) x2  1 x 1

3

14)

3  3  x x

9. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM.
1. Các bước:
 Tìm tập xác định của phương trình.
 Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó.
 Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến(nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương
trình.
2. Ví dụ.

Giải phương trình sau:

3

2 x  1  3 2 x  2  3 2 x  3 0 (1)

Giải:
Tập xác định: D = R. Đặt f(x) = 3 2 x 1  3 2 x  2  3 2 x  3
Ta có:

f ' ( x) 

2
3

(2 x  1)

2



2
3

(2 x  2)



2




2
3

(2 x  3)

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập M=   ,

2

 0; x 

1
3
, 1,
2
2

1  1  
3  3

    , 1    1,     ,
2  2  
2  2


Ta thấy f(-1)=0  x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có: f ( 

1
3
) 3; f ( )  3
2
2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
x

-∞ 

f’(x)

3
2



-1





1
2

+∞



F(x)

+∞
0
-∞

3

-3

Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0  x = -1. Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm
x = -1.
Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
/>



Cï §øc Hoµ
Tæ : To¸n - Lý
1)

3





2
2
2)  2 x  1 2   2 x  1  3   3x 2  9 x  3 0

x  2  3 x  1 3 2 x 2  1  3 2 x 2

Từ bài 2, ta có bài tập 3.
3)



 2 x  1 2000   2 x  1 2  1999

  x2000 



x 2  1999 0

4)

x  3  x  19  y  3  y  19
5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:





m 1  x 2  1  x 2  2 2 1  x 4  1  x 2  1  x 2
6) (ĐH.A’08) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
4

2 x  2 x  24 6  x  2 6  x m
10. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ.

Ví dụ. Giải phương trình sau: x 3  1  x 2 3 x 2  2 x 2 (1)
Giải:
Tập xác định: D = [-1; 1].

(2)

Do (2) nên đặt x = cost (*), với 0  t   (A)
Khi đó phương trình (1) trở thành: cos 3 t  1  cos 2 t 3 cos t 2(1  cos 2 t ) (3)
Với t  (A), ta có: (3)  cos 3 t  sin 3 t  2 cos t. sin t   cos t  sin t 1  sin t. cos t   2 cos t. sin t (4)
Đặt X = cost + sint (5), X  2 (B) X2 = 1 + 2sint.cost  sint.cost =

X2  1
2

Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X:
 X 2  1
X21


X .1 
 2.
 X 3  X 2  2 X 2  1  X 3  2 X 2  3X 

2 
2






 X







X  2
2 X 2  2 2 X  1 0  

2
 X  2 2 X  1 0





2 0

X  2

 X  2  1

 X  2  1

Ta thấy chỉ có nghiệm X = 2 và X = - 2 + 1 là thoả mãn điều kiện (B).
+ Với X = 2 , thay vào (5) ta được:

sin t  cos t  2 
Vì t  (A) nên ta có t =

 


 
 
2 sin t    2  sin t   1  t    k 2  t   k 2 , k  Z .
4 2
4
 4
 4



2
. Thay vào (*) ta được: x = cos =
(thoả mãn tập xác định D).
4 2
4

/>



Cï §øc Hoµ
Tæ : To¸n - Lý

2

+ Với X = -

+ 1, thay vào (5) ta được:

 

  
2 sin  t     2  1  sin  t   
4
4



sin t  cos t   2  1 (**) 

2 1
.
2

Khi đó, ta có:
2


   
 
cos t     1  sin  t     1  
4
4 

 


2

2 1
3 2 2

2 21
  1 


2
2
2 



2 21
 
cos t   
4
2

 cos t. cos



2 21
2
 cos t  sin t    2 2  1  cos t  sin t  2 2  1(6)
 sin t.sin  

4
4
2
2
2

Từ (**) và (6) suy ra cost =

2 1  2 2  1

. Thay vào (5), ta được x =
2



2  1 2 2  1 thoả mãn tập xác định D.
2

Nhưng chỉ có nghiệm x = 

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x =

2
và x = 
2

1 2x 1 x2
1 2x2
2

1 1 x2



1 x

2  1 2 2  1 .
2

1) 4 x 3  3 x  1  x 2 (HVQHQT- 2001)2) x 3  1  x 2 3  x. 21  x 2 

Bài tập tương tự.
3)

3



1 x

3

4)

 2 

1 x2

Một số bài tập tham khảo:
1. Giải các phương trình sau:
x 2
 x 4
1) 9  x 5  2 x  4
8)
2x  7

2) 25  x 2  x  1
9) 3x  1  x  4 1
5x  1 

3x  2 

2 1  2 2  1
.
2

15) 6  x  1  x   5  2 x
16)

x  1 0

3)

4  2x  x 2 x  2

10)

11  x 

17)

1

x 4  x 2 x  1

4)

x  1  x2  1

11)

9  x  7  16  x

18)

2

x  5  13  x

6)

x 2  2x  4  6  x

13)

x 5 

20)

x  1 2

2 x  14  x  7

3

12  x  3 4  x 4

7) x 2  5 x  4  x  1
14)  x 2  9 x  9  x  9  x 21) 3 x  1  3 x  2 3 2 x  3
2. Giải các phương trình sau:
1) x 2  6  2 x 2  8 x  12  4 x
9) 2 x 2  ( x  1)(2  x) 1  2 x
/>



Cï §øc Hoµ
Tæ : To¸n - Lý
2) ( x  5)(2  x) 3 x 2  3 x

10)

x 2  x  2  x 2  x  7  3x 2  3x  13
3) 5 x  8 7 x 2  5 x  1 7 x 2  8

11) (4 x  1) x 2  1 2( x 2  x)  1

4) ( x  1)( x  4)  3 x 2  5 x  2 6

12) x 2  3 x  1 ( x  3) x 2  1

x  3  6  x 3  ( x  3)(6  x)

5)

13) 2( x  1) 2 x 2  1 2 x 2  2 x  2

6) 3  2 x  x 2 3( x  1  x )

14)

7)

15)

2 x  3  x  1  16 3x  2 2 x 2  5 x  3

x 2  3x  3  x 2  3 x  6 3

x 2  7  x  x 2  x  2  3x 2  3x  19
3. Giải các phương trình sau: (ẩn phụ  hệ)
2)

2

2

3  x  x  3  x  x 1

3)

2

1)

x 3  x  3

4)

2

x  3  10  x 5

3x 2  2 x  15  3x 2  2 x  8 7
4. Giải các phương trình sau (Đánh giá)
3)

x  3  5  x  x 2  8 x  18

2)

1) x 2  2 x  5  x  1 2

1  x 2  23 1  x 2 3

x  x  4 2  x  2  x 4
5. Tìm m để phương trình có nghiệm.
1) x  1  3  x  ( x  1)(3  x) m
2)

4)

4

x  1  1  x a

2 ( x  2)(4  x)  x 2 2 x  m

6. Tìm m để phương trình có nghiệm.
1) 4  x  x  2 m
4) x  2  x m

4)

2) 4 x  4 2  x m

5)

1  x 2  23 1  x 2  m
3) 4 x  1  x  1  4 3  x  3  x m
6) 4 x  x  4 2  x  2  x m
7. Giải phương trình, hệ phương trình:
a) 7  x  x  5  x 2  12 x  38
b) 5  2 x  2 x  3 3 x 2  12 x  14
c)
2
x  x  2004 2004
 x  1  y 1
 x  1  y 4
2x
1 1
d) 
e) 
f)


2
 x  y 7

1 x
2 2x
 x  y  1 1

/>